Bab 1Bab 1

Analisa Vektor

Notasi Vektor

Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-

komponen vektor satuan sebagai

A = Axax + Ayay + Azaz

Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda

vektor A didefinisikan sebagai

|A| =A=

Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh

222 AzAyAx

'|| A

A

A

AaA

Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan

Aljabar Vektor

A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz)

= (Ax±Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)azSifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif berlaku

dalam aljabar vektor

C = A+B=B+A

×A + (B + C) = (A + B) + C×k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A×A+B = B+A

A+(B+C) = (A+B)+C

Komutatif

Assosiatif

B

Komutatif & Assosiatif

Contoh : C= A+B=B+AKomunikatif

Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+CAssosiatif

BA A

B

C

C

C

A

B+C

D=A+(B+C)

A+B

D=(A+B)+C

A

C

Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor

Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar) dari nilai vektor asli

Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila

Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu a (A +B ) = aA +

aB

Perkalian Vektor dengan Skalar

Contoh :

B = aA a<0,B berlawanan A

B = aAa > 0,B searah A

A • B = AB cos (dibaca sebagai "A titik B")

Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar

Perkalian titik adalah komutatif

Perkalian titik adalah distributif

Perkalian titik memenuhi perkalian skalar

A.(B+C) = A.B + A.C

cos. BABA

Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor

A.B = B.A

A • kB = k(A •B)

cosBAC

A • B = AxBx + AyBy + AzBz

di mana adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil. Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan

Contoh :

Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran

vektor yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan

aturan tangan kanan.

Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif

Perkalian silang adalah distributif

sinBAAXBC

sinBAAXBC

= sudut antara A dan B yang lebih kecil.an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar

A dan BHasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan /

putaran skrup

Perkalian Silang Dua Buah Vektor

AX(B+C) = AXB + AXC

AXB = -BXA

Contoh :

Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-

komponen vektor akan menghasilkan,

A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz)

= (AYBZ – AzBz)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az

Jika A = 2ax + 4ay – 3aZ dan B = ax – ay, carilah A • B dan A x B !

Penyelesaian!

2)0)(3()1)(4()1)(2( BA

azayax

azayax

BA 633

011

342

Contoh :

• Koordinat cartesian tidak cukup !!!• Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah

penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan bola

• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinat bola.

• Ilustrasi :• Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat• Koordinat cartesian = (x, y, z)• koordinat silindris = (r, , z )• koordinat bola = (r,,)

Sistem koordinat

Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Buah

Sistem Koordinat

Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistem koordinat : A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)A = Arar + Aa + Azaz (Silindris)A = Arar + Aa + Aa(Bola)

Z

Y

Xx

y

z

A (x, y, z)

Z

X

z

Yr

Z

X

z

Y

r

A (r, φ, z)A (r, , z) A (r, ,θ)

.

Bidang-bidang PermukaanNilai Konstan untuk

Tiga sistem Koordinat

Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat

Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana koordinatnya bertambah.

Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:ax x aY = aZ ar x a = az ar x a = a

Koordinat cartesian – koordinat silinder

Transformasi skalar antar sistem koordinat

vektor dalam Cartesian :

A = Axax + Ayay + Azaz

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam

Silinder :

zazAaArarAA

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya dapat dicari dengan mengambil perkalian titik

ar a az

ax. cos -sin 0

ay. sin cos 0

az. 0 0 1

Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar

AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ

Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az

Transformasi skalar antar sistem koordinat

Koordinat cartesian – koordinat bola

vektor dalam Cartesian :

A = Axax + Ayay + Azaz

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam

Silinder :

aAaArarAA

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

Dengan cara yang sama …

ar a az

ax.

Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin

ay.

Cos θ Sin Cos

az.

Cos θ -Sin θ 0

Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar

A = (Axax + Ayay + Azaz)• a

A θ = (Axax + Ayay + Azaz) • a θ

Sin θ sin

Diferensial volume pada tiga sistem koordinat

Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegak terhadap ar adalah,

dS = (r d)(r sin d) = r2 sin dElemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P.Jadi,

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian) d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris)d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2 d2 (Bola)

Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)!Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya?

Penyelesaian :Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6.Selanjutnya.

C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az

Magnituda C adalah

Vektor satuannya adalah 212

212

212 )()()(|| zzyyxxCC

212

212

212

121212

)()()(

)()()(

zzyyxx

azzayyaxx

C

Ca zyxC

Soal-soal dan Penyelesaiannya

Soal 1

Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinatsilindris!

Penyelesaian :Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b

Panda gambar diperoleh :A = -5ay, B = 5ay + 10az

Soal 2

Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen antara kedua titik

210|| AB

Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya pada vektor B = 5ax – ay + 2az!

Penyelesaian :A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar, proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta mengambil perkalian titiknya.

Proyeksi A pada B = || B

BAaA B

A

BaB

Proyeksi A pada B

Jadi pada (2,2,1)Proyeksi A pada B =

30

1

)2()1()5(

)2)(0()1)(4()5)(1(

|| 222

B

BAaA B

Soal 3

Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area dari sebuah lembaran tipis pada selubung bola dengan jari-jari r = r ( Gambar 1-9). Berapakah luas area yang diperoleh jika = 0 dan = ?

Penyelesaian :Diferensial elemen permukaan adalah[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ] dS = r02 sin d d

Selanjutnya,

2

0

20

20 )cos(cos2sin rddrA

sehingga saat = 0 dan = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.

Soal 4