az általános relativitáselmélet logikai alapjai -...

Intro SpecRel AccRel GenRel

Az általános relativitáselmélet logikai alapjai

Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G.

MTA Rényi Intézet/NKE

GR100 konferencia, 2016.11.09.



S.R. G.R.



S.R. G.R.

SpecRel GenRel



S.R. G.R.

SpecRel AccRel GenRel



Szóhasználat (változás)

Euklidesz/Einstein/. . . Hilbert/Tarski/. . .

Posztulátumok

Axiómák

Axiómák



Einstein eredeti posztulátumai (1905):

Relativitás elve: „A fizikai törvények ugyanazokminden inerciális megfigyelő számára.”

Fény posztulátum: „Van olyan inerciálismegfigyelő, aki számára a fényjelek mindenirányban ugyanakkora sebességgel terjednek.”

Köv.: „A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számáraminden irányban ugyanakkora.”


Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek

SpecRel



Logikai nyelv: {B, IOb,Ph,Q,+, ·,≤,W }

B 〈Q,+, , ≤〉〈Q,+, ·,≤〉

PhIOb

W

B! Fizikai objektumok (próbatestek)IOb! Inerciális megfigyelők Ph! Fényjelek

Q! Mennyiségek (idő, távolság)+, · és ≤! összeadás, szorzás és rendezés

W! Világképreláció (6 argumentumú reláció)



W(m, b, x , y , z , t)! „Az m megfigyelő a b próbatestet az〈x , y , z , t〉 téridő pontban koordinátázza.”

m t

x

y

b b′

〈x , y , z , t〉

A b próbatest világvonala az m megfigyelő szerint:

wlinem(b) = {〈x , y , z , t〉 ∈ Q4 : W(m, b, x , y , z , t)}

Az m megfigyelő szerint az 〈x , y , z , t〉 pontban „látott” esemény:

evm(〈x , y , z , t〉) = {b ∈ B : W(m, b, x , y , z , t)}



Fő axiómák

Axióma [ AxPh ]:

A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára mindenirányban ugyanakkora.

m t

x

y

p

x

y

space2(x , y)

time(x , y)2

∀m(IOb(m)→ ∃c

[c > 0 ∧ ∀x y

(∃p[Ph(p) ∧W(m, p, x)

∧W(m, p, y)]↔ space2(x , y) = c2 · time(x , y)2

)])

Axióma [ AxOf ]:

A mennyiségek struktúrája 〈Q; +, ·,≤〉 egy rendezett test.

Axióma [ AxEv ]:

Az inerciális megfigyelők ugyanazokat az eseményeket (próbatestektalálkozásait) koordinátázzák.



Fő axiómák

Axióma [ AxPh ]:


Axióma [ AxOf ]:


Racionális számok: Q,Q(√2), Q(

√3), Q(π), . . .

Kiszámítható számok,Szerkeszthető számok,Algebrai valós számok: A,Valós számok: R,Hiperracionális számok: Q∗,Hipervalós számok: R∗,stb.

Axióma [ AxEv ]:




Fő axiómák

Axióma [ AxPh ]:


Axióma [ AxOf ]:


Axióma [ AxEv ]:




Egyszerűsítő axiómák

Axióma [ AxSm ]:

Az inerciális megfigyelők ugyanazokat a mértékegységekethasználják.

Axióma [ AxSf ]:

Az inerciális megfigyelők a saját vonatkoztatási rendszerükhözképest nem mozognak.

SpecRelSpecRel = AxPh + AxOf + AxEv + AxSf + AxSm



Tétel: (Andréka–Madarász–Németi, 1998)

SpecRel⇒ „Bármely két inerciális megfigyelő m és k világképeközött az áttéréstranszformáció egy Poincaré transzformáció.”

k

m világképe

k

k világképe

Köv.:

SpecRel⇒{

„Mozgó órák lelassulnak.”,„Mozgó méterrudak megrövidülnek.”, stb.


Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP

AccRel



A logikai nyelv ugyanaz.

B 〈Q,+, ·,≤〉

Ob

PhIOb

W


Q! Mennyiségek


Megfigyelő: Ob(k)def⇐⇒ ∃xyzt b W(k , b, x , y , z , t)



Axióma [ AxCmv ]:

Minden megfigyelő, világvonalának minden pillanatában lokálisanolyannak látja a világot, mint egy inerciális megfigyelő.

∀x

∃m ∈ IOb

∀k ∈ Ob

∀k ∈ Ob ∀x ∈ wlinek(k) ∃m ∈ IOb dxwmk = Id , ahol

dxwmk = L def⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y |y − x | ≤ δ→ |wmk(y)−L(y)| ≤ ε|y − x |.



Tétel: (Sz.G., 2004)

SpecRel + AxCmv + 〈Q,+, ·,≤〉 ∼= R ⇒ TwPSpecRel + AxCmv + Th(R) 6⇒ TwP

Szia fiam!

Ikerparadoxon TwP

mk k



Tétel: (Sz.G., 2004)

SpecRel + AxCmv + 〈Q,+, ·,≤〉 ∼= R ⇒ TwPSpecRel + AxCmv + Th(R) 6⇒ TwP

mk k



Axiómaséma [ CONT ]:

Ha egy megfigyelhető jelenség megváltozik, akkor van egy olyanidőpont, ahol ez a változás bekövetkezett.

Racionális számok: Q,Q(√2), Q(

√3), Q(π), . . .

Kiszámítható számok,Szerkeszthető számok,Algebrai valós számok: A,Valós számok: R,Hiperracionális számok: Q∗,Hipervalós számok: R∗,stb.



Tétel: (Madarász–Németi–Sz.G., 2006)

SpecRel + AxCmv + CONT⇒ TwP

Axióma [ AxCmv ]:

Minden megfigyelő, világvonalának minden pillanatában lokálisanolyannak látja a világot, mint egy inerciális megfigyelő.

Axiómaséma [ CONT ]:

Ha egy megfigyelhető jelenség megváltozik, akkor van egy olyanidőpont, ahol ez a változás bekövetkezett.

AccRel

AccRel = SpecRel + AxCmv + CONT + AxEv− + AxSf− + AxDiff


Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE

GenRel



A logikai nyelv ugyanaz.

B 〈Q,+, ·,≤〉

Ob

PhIOb

W


Q! Mennyiségek


Megfigyelő: Ob(k)def⇐⇒ ∃xyzt b W(k , b, x , y , z , t)



„Az axiómák szintjén legyen minden megfigyelő egyenrangú.” (Einstein)

AxPh

AxEv

AxSf

AxSm

AxPh−

AxEv−

AxSf−

AxSm−

AxCmv

AxDiff

Például: AxPh,AxCmv⇒ AxPh−.



Axióma [ AxPh− ]:

Bármely fényjel pillanatnyi sebessége 1 a kibocsátás pillanatában, afényjelet kibocsátó megfigyelő szerint.

m

p

x



GenRel

GenRel=AxPh−+AxEv−+AxSf−+AxSm−+AxDiff+AxOf+CONT

GenRelSpecRel

AccRel



Tétel: (Andréka–Madarász–Németi–Sz.G., 2013)

GenRel teljes a Lorentz sokaságokra nézve.

M

Qd

Qd

Qd

ψi ψk

ψjwik

wij wjk



Einstein egyenletek: Rij − 12Rgij=Tij




Definíció vagy Axióma ?




Definíció vagy Axióma ?

Nincs lényeges különbség. . .



Miért nem tétel ?



Miért nem tétel ?

Lehetne tétel is!(más úton haladva)

Például: Hilbert-hatás + variációs elvek Einstein egyenletek



G.R.SpecRel Tijdef= Rij − 1

2Rgij

Ax : Rij − 12Rgij = Tij

Thm : Rij − 12Rgij = Tij

Köszönöm a figyelmet!


az általános relativitáselmélet logikai alapjai -...

Documents