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Avvertenza Iniziale

1. Questi appunti potrebbero contenere errori, per favore se trovate affermazioni, formule o conti errati avvisate il docente.

2. Questi appunti NON sostituiscono il libro di testo, che deve essere studiato.

3. L’ordine degli argomenti discussi in questi appunti è differente da quello seguito dal libro di testo.

4. Non limitatevi a fare solo gli esercizi consigliati e proposti in questi appunti, fatene anche altri. Prendete spunto dalle esperienze che farete e dai temi di esame che trovate sul sito web del corso.

5. L’impostazione di questa prima parte di lezione è empirica, non saranno date dimostrazioni. Nella seconda parte del corso molti argomenti saranno svolti con un approccio più formale e rigoroso.

Misura: “Insieme di operazioni sperimentali e/o numeriche che assegnano un numero ad una osservabile fisica attraverso confronto di questa con un'altra grandezza a lei omogenea detta unità di misura “

CASO A : MISURE DIRETTE

Perche’ sia possibile questa associazione occorre che:

• si possa stabilire fra gli enti della stessa specie (o classe) un criterio di confronto (uguali o diversi) , un

criterio di somma e differenza e un ente campione scelto arbitrariamente. Gli enti della stessa classe che

soddisfano i suddetti requisiti sono detti omogenei.

• si possa, per ogni ente omogeneo, definire operativamente mediante i criteri di confronto e somma, quante

volte l’unita’ campione o frazione di essa occorre sommare per ottenere un ente uguale a quello in

osservazione. Questa operazione di confronto diretto fra l’ente in osservazione e l’ente campione produce

un numero che e’ detto misura dell’osservabile che da qui viene chiamata una grandezza fondamentale.

CASO B : MISURE INDIRETTE

Talvolta non e’ possibile misurare direttamente un ente ( Velocità, Pressione, Forza….) ma e’ possibile

misurare direttamente grandezze ad esso collegate mediante una formula ( v= l/t….).

In questo caso l’operazione di misura e’ un’operazione algebrica: si sostituisce nella formula alle grandezze

fondamentali la loro misura e si calcola il numero reale che è una misura indiretta dell’ente in osservazione o

grandezza derivata. L’unità di misura della grandezza derivata si ottiene allo stesso modo della misura,

sostituendo nella formula alle grandezze fondamentali le rispettive unita’ di misura e definendo

cosi’algebricamente l’unita’ di misura della grandezza derivata.

Misura:

“Insieme di operazioni sperimentali e/o numeriche che assegnano un numero ad una osservabile fisica attraverso confronto di questa con un'altra

grandezza a lei omogenea detta unità di misura “

• A priori non si conosce il valore di ciò che si misura, sicuramente più dovrà avere una idea del suo

ordine di grandezza o si avrà una stima ‘teorica’ dell’osservabile.

• Nessuna misura, per quanto fatta con cura, può essere completamente libera da incertezze.

• E’ quindi di importanza fondamentale essere capaci di calcolare/estrarre/ricavare queste incertezze ed pianificare l’esperimento in grado di ridurle al minimo.

• Ogni qualvolta si effettua una misura è quindi necessario/obbligatorio fornire un errore. • Errore non vuol dire uno sbaglio o un comportamento/procedura non corretta

• Questa tipologia di errore non è contemplata • Gli errori non si possono eliminare • Il concetto di errore è insito nel concetto di misura

Esempio:

Massa = (0.23 ± 0.01) 10-5 kg

Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili).

Una misura DEVE dare una informazione COMPLETA.

E’ una notazione compatta che esprime il risultato della misura, cioè

Vedremo successivamente quale è il significato in termini probabilistici

di una tale notazione

kgMassakg 55 1024.01022.0

Inevitabilità dell’incertezza

Immaginiamo di misurare la larghezza dell’aula: • Contiamo le piastrelle, sapendo le dimensioni delle piastrelle, otteniamo una misura

della larghezza dell’aula • Sorgenti di errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):

1. Le distanza tra le piastrelle non sarà sempre la stessa 2. Le piastrelle non saranno sempre di dimensioni esattamente uguali 3. L’ultima piastrella sarà certamente tagliata

• Errore: probabilmente qualche centimetro

• una certa frazione delle dimensioni della piastrella

• Usiamo un metro a nastro • Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):

1. la sensibilità del metro (legata alla minima suddivisione apprezzabile sullo strumento) 2. Il metro a nastro è steso perpendicolarmente alle pareti ?

• Errore: probabilmente qualche millimetro

• una certa percentuale della sensibilità strumentale

• Usiamo un sistema laser

• Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte): 1. La rugosità delle pareti fa cambiare la larghezza dell’aula

• Errore: al massimo un mm

Altre sorgenti di errore:

• Anche se fossero risolti tutti i precedenti problemi la larghezza potrebbe dipende dalle condizioni di temperatura, umidità, …

In fisica classica nessuna quantità può essere misurata con una infinita precisione. Indipendentemente dallo strumento che usiamo per effettuare la misura di una osservabile fisica, esistono sempre una vasta gamma di fenomeni (detti fenomeni casuali perche al di fuori del controllo dello sperimentatore) che ne possono modificarne il valore (Errore Casuale). Se le pareti della stanza non fossero parallele tra loro o perpendicolari al pavimento ? - ondulate - inclinate

Esiste un altro tipo di errore, molto piu difficile da riconoscere e da correggere, esso è definito come Errore Sistematico. E’ difficile dare una definizione generale di “errore sistematico”. In generale, questo deriva da uno strumento difettoso o mal calibrato, oppure da un’ipotesi errata, o da un’approssimazione eccessiva nel nostro modello di lavoro. La sua caratteristica principale è quella di influenzare tutte le misure allo stesso modo (per esempio sempre in eccesso, o sempre in difetto, ma non `e detto che si sappia in che verso). Al contrario degli errori casuali, gli errori sistematici non si riducono aumentando il numero di misure. In presenza di errori sistematici non è possibile misurare il valore ‘vero’ di una osservabile indipendentemente dal numero di misure effettuate. La presenza di errori sistematici (non corretti) sostanzialmente invalita la teoria statistica che presenteremo a lezione. E’ quindi necessario identificare/stimare la presenza di errori sistematici, correggere il valore misurato.

Esempio: 1. Supponiamo di dover pesare un determinato corpo, ma di avere una bilancia mal calibrata, in cui cioè il risultato è sempre il 10% maggiore di quello reale.

• Se non pesiamo il corpo con una strumentazione differente non saremo mai in grado di riconoscere questo tipo di errore nella misura

• Se ricalibriamo lo strumento potremmo correggere anche le misure già effettuate

2. Supponiamo di dover confrontare la velocità del suono nota dalla pressione e temperatura dell’aria v=(g po/ro) 0.5 con quella ottenuta con la misura delle frequenze delle onde stazionarie in un tubo di Kundt (v=ln).

• Per estrarre questo valore leggerò la pressione e la temperatura da un sensore. • Tuttavia l’aria all’interno del mio strumento non necessariamente ha la stessa temperatura presente in prossimità del sensore e sicuramente non rimarra costante nel tempo (come potrà cambiare la pressione atmosferica)

• La velocità cosi estratta sarà sempre leggermente differente da quella reale poichè la temperatura/pressione usata nelle formule non è quella corretta.

3. Eccessiva semplificazione del modello adottato: una molla ad esempio è supposta lineare su un ampio intervallo di allungamenti, ma in realtà lo è sicuramente solo sull’intervallo nel quale si è misurata k; se per esempio, per pesi elevati la molla subisce allungamenti minori di quelli previsti dalla legge di Hooke, le misure di peso vengono sistematicamente sottostimate.

Esempio: 4. Si misura g attraverso la misura del periodo del pendolo T, si fa oscillare il pendolo con un angolo massimo di 30◦ e si calcola g con la formula T2 = 2π (ℓ/g), valida solo per “piccole oscillazioni”; l’approssimazione è eccessiva, perché l’angolo di oscillazione scelto è troppo grande e la formula non corretta

5. La misura è affetta da condizioni sperimentali sfavorevoli. Per esempio, vogliamo misurare l’allungamento di una molla mediante una scala graduata in millimetri, che per motivi di montaggio dell’esperimento si trova ad una certa distanza dalla molla stessa. In tal caso, come mostrato l’incertezza della lettura è affetta dalla posizione dell’occhio, cosicché l’errore di misura `e ben più di 1 mm (distanza fra le tacche). Essa andrà quindi valutata dallo sperimentatore

Morale:

L'errore sistematico e` per sua natura molto difficile da individuare, perchè ha cause

in linea di principio ignote:

• lo strumento e` calibrato bene?

• il nostro modello descrive bene la realtà?

• es: le pareti sono davvero lisce, parallele etc.

Quand'anche si riescano a considerare tutte le possibili fonti di incertezza, la

valutazione quantitativa del loro impatto spesso implica una qualche discrezionalità

dello sperimentatore - anche per questo non possiamo attribuirgli un significato di

deviazione standard, o di intervallo di confidenza

Spesso aiuta ripetere la stessa misura con due tecniche sperimentali

completamente diverse ed indipendenti:

-per es misurare la k della molla con un metodo statico (allungamenti) e uno

dinamico (periodi):

la presenza di discrepanze significative suggerisce che ci siano degli effetti

sistematici non valutati

L’errore sistematico e l’errore casuale sono legati dal concetto di accuratezza e precisione: Accuratezza:

• Stima di quanto il risultato di una misura è vicino al valore reale della quantità misurata

Precisione:

• Stima della ripetibilità della misura indipendentemente dal fatto che la misura sia accurata

Una misura molto accurata sarà senza errore sistematico. Una misura molto precisa potrà essere affetta anche da un grande errore sistematico

12

Bassa Accuratezza Alta Precisione (errore piccolo,

valor medio lontano dal valore

vero, errore sistematico)

Alta Accuratezza Alta Precisione

Alta Accuratezza Bassa Precisione (errore grande)

Bassa Accuratezza Bassa Precisione

In questa serie di figure è molto semplice identificare l’errore casuale e quello sistematico, questo perché sappiamo a priori il valore ‘vero’ dell’osservabile, cioè il centro della figura. Cosa succede quando (in quasi tutte le situazioni reali) non è noto il valore vero dell’osservabile da misurare ?

Esiste un terzo tipo di errore, è chiamato Errore grossolano Come si può dedurre dal nome è un errore unicamente dovuto allo sperimentatore e facilmente riconoscibile ripetendo i conti e/o una misura. Esso puo essere generato da:

• Una lettura non corretta dello strumento

• Una sbagliata unità di misura

• Una non corretta procedura di misura

• ………….

Ovviamente in queste lezioni considereremo sempre assenti gli errori grossolani

Stima dell’incertezza casuale

Lo strumento usato è la prima sorgente di incertezza Lo strumento tuttavia non è la sola sorgente di incertezza. Di questo parleremo diffusamente nelle lezioni successive

Per convenzione si prende come incertezza strumentale di una misura la metà della sensibilità dello strumento usato per fare la misura stessa. Ricordate che non necessariamente la sensibilità coincide con la minima suddivisione (anche se in generale è così) p.es. Caso 1 Migliore stima = 36 mm Incertezza = 0.5 mm Caso 2 Migliore Stima = 5.3 Volt Incertezza = 0.3 Volt Nota: Poiché è una convenzione potrebbe capitare che in campi specifici o in particolari protocolli di misura questa regola venga modificata.

Non scrivere una cifra o un decimale nel riportare il valore di una data misura indica implicitamente l’impossibilità di conoscere il valore della cifra non scritta, e viceversa. La scrittura 12.0 indica: 12.0 Il numero di decimali usati per una misura fornisce di per se stesso una stima dell’incertezza presente. E’ un errore GRAVE mettere un numero errato di decimali nelle relazioni/schede/scritti

Rappresentazione dell’incertezza

Da un punto di vista sperimentale/statistico, è molto differente scrivere:

12. mm 120000 mm

12.0 mm 1.2 105 mm

12.00 mm 12 104 mm

12.000 mm 120 103 mm

indica un valore non noto ma non per questo nullo

Attenzione: Quando viene fatto un conto, utilizzando un calcolatore, NON bisogna mai copiare senza riflettere sul risultato: Esempio: Pesiamo insieme tre masse uguali e otteniamo 4.0 grammi. Vogliamo sapere quanto pesa una massa. Effettuando la divisione 4:3 con la calcolatrice si ottiene 1.333333. E’ un grave errore copiare senza riflettere il risultato di 1.333333 grammi, un lettore sarà autorizzato ad assumere che la precisione della vostra misura è del milionesimo di grammo, cosa non vera.

Il numero di decimali usati per una misura fornisce di per se stesso una stima dell’incertezza presente, tuttavia per un fisico non è una rappresentazione soddisfacente della incertezza di una misura

Attenzione: Quando viene fatto un conto, utilizzando delle costanti (come ad esempio p), bisogna sempre usare un numero ‘sufficiente’ di decimali. Esempio: Misuriamo il diametro di un tavolo e vogliamo calcolare la sua superficie. Il tavolo ha un diametro di 123 .31 cm, la sensibilità della misura è pari a 0.30 cm.

L’uso di un numero troppo basso di decimali nell’uso di costanti note, puo’ distruggere la precisione della misura. Quando usate delle costanti nei vostri conti usate quanti piu decimali possibile. Vedremo in seguito come si puo’ estrarre l’errore e l’incertezza di una misura e quindi scegliere il numero di decimali corretto (s , sm)

S = R2 p

Il risultato di una qualsiasi misura di una osservabile fisica si scrive come:

Valore dell’osservabile = xbest ± s (unità di misura)

Massa = (0.23 ± 0.01) 10-5 Kg

Nota: Non ha senso scrivere X = 12.345689 ± 0.1 X = 12.3 ± 0.137845 X = 12.345689 ± 0.190865 Attenzione ai decimali ogni cifra scritta in una misura ha un preciso significato, le misure precedenti si scriveranno come: X = 12.3 ± 0.1 X = 12.3 ± 0.1 X = 12.35 ± 0.19 L’ultima cifra significativa, in qualunque risultato, dovrebbe di solito essere dello stesso ordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell’incertezza.

L’incertezza è stata

indicata con s

poichè

successivamene

sarà chiamata

deviazione

standard

123.456789 ± 0.17 11123.456789 ± 345.17 123.456789 ± 0.17908 123.456789 ± 1.17 123.456789 ± 1.1 123.456789 ± 1 123.456789 ± 0.00017 123.456789 ± 0.0017 123.456789 ± 0.017 123.456789 ± 0.170

123.46 ± 0.17 1.112 ± 0.035 104

123.46 ± 0.18 123.5 ± 1.2 123.5 ± 1.1 123 ± 1 123.45679 ± 0.00017 123.4568 ± 0.0017 123.457 ± 0.017 123.46 ± 0.17

Esercizio: Scrivete correttamente i risultati delle seguenti misure

In presenza di un errore sistematico accertato

Valore dell’osservabile = xbest ± scasuale ± ssistematico (unità di misura)

g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s2

Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se presente e quantificata) Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una azione di somma tra gli errori. Infatti:

Errore Casuale

In presenza di un errore sistematico accertato

Valore dell’osservabile = xbest ± scasuale ± ssistematico (unità di misura)

g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s2

Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se presente e quantificata) Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una azione di somma tra gli errori. Infatti:

Errore Sistematico

Errore Casual

Cosa fare in presenza sia di errore sistematico che di casuale ? - Se l’errore sistematico è maggiore dell’errore casuale è assolutamente inutile fare più misure, infatti l’incertezza nella misura è caratterizzata dall’errore sistematico che non si riduce con il numero di misure

- Se devo confrontare una misura sperimentale (con errore sistematico e casuale) con una previsione teorica o una altra misura allora è possibile sommare in quadratura i due errori (deviazioni standard o della media) ricordando tuttavia che:

- Siccome non stiamo valutando la convoluzione di due errori che si distribuiscono casualmente non valgono le proprietà di una distribuzione gaussiana - Non è vero ad esempio che esiste il 68% di probabilità che la misura vera sia entro una deviazioni standard o della media - invece che un punto e una barra di errore è meglio mettere semplicemente una barra

Cifre Significative:

Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla,

da sinistra verso destra.

Lo zero non è significativo se è l’ultima cifra alla sinistra (p.es. 0.0012)

Lo zero è significativo se è in mezzo a due cifre non zero oppure se si trova a destra.

2.30 104 3 cifre significative




• Quando si moltiplicano o si dividono due numeri il risultato non può avere più cifre significative

del fattore meno preciso

• Nelle addizioni e sottrazioni l’ultima cifra significativa del risultato occupa la stessa posizione

relativa dell’ultima cifra significativa degli addendi.

Non e’ quindi importante il numero di cifre significative ma la loro posizione decimale

Esempio: a = 187.3 4 cifre significative b = 1234.584 7 cifre significative

a+b = 1421.884 1421.9 5 cifre significative

ATTENZIONE Le regole sul calcolo delle cifre significative ora viste valgono solo quanto si sommano,

sottraggono, moltiplicano o dividono due numeri. Non valgono nel caso di altre operazioni:

Esempio: Sen (85°) = 0.996194698

Se dicessi: 85° ha 2 cifre significative: allora

Sen(85°) = 0.99 ma Arsen (0.99) = 81.9 °

Arsen (0.9961) = 84.9 °

Per riottenere l’angolo di partenza devo utilizzare 4 cifre significative

Il medesimo ragionamento vale per tutte le funzioni trigonometriche, per i logaritmi, per gli

esponenziali .....

NOTA

La regola delle cifre significativa è una rozza approssimazione (limitata alle quattro

operazioni fondamentali) di come è possibile valutare un errore e propagarlo nelle

operazioni matematiche

Nel corso vi verrà spiegata una metodologia piu accurata e rigorosa che DEVE

essere sempre usata

Le regole con le cifre significative è utilissima per una stima veloce, senza l’uso di

matematica sofisticata, di quale possa essere l’incertezza di una misura o di come si

propaga

Esercizi:

Fare le seguenti operazioni usando le cifre significative corrette

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti: • Tipologia di Errore e loro origine. • Rappresentazione dell’errore casuale. • Rappresentazione dell’errore sistematico. • Significato e uso delle cifre decimali. • Cifre Significative

Analisi statistica delle incertezze casuali Misure Ripetute ed Indipendenti

Una delle metodologie più semplici per valutare l’affidabilità di una misura consiste nel ripeterla diverse volte, nelle medesime condizioni, ed esaminare i diversi valori ottenuti.

• Dalla dispersione delle misure possiamo avere un’idea dell’entità dell’errore casuale. Non avremo pero’ alcuna informazione sull’errore sistematico.

Attenzione: E’ necessario essere assolutamente sicuri che la grandezza da misurare sia esattamente la medesima (questo significa misure ripetute nelle stesse condizioni) ogni volta che si effettua la misura. Inoltre il risultato di una misura non deve influenzare la misura successiva (questo significa Indipendenti):

• Possono cambiare le condizioni al contorno (lo vedremo con il pendolo) • Il sistema può evolvere

• Se pesiamo un bicchiere d’acqua in ebollizione ogni misura sarà differente (minore) della precedente poichè un po’ di acqua sarà evaporata.

Le misure non sono indipendenti.

In questa prima parte supporremo vere le seguenti ipotesi Ipotesi-1: Le condizioni sperimentali non devono variare lungo l’arco di tempo in cui si effettuano le misure (Indipendenza e Ripetibilità) Ipotesi-2: Non sono presenti errori sistematici Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima del valore dell’osservabile da misurare è data dalla media aritmetica delle singole misure: Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima della incertezza media delle misure è data dalla deviazione standard definita come:

N

x

N

xxxxx

N

i

i

Nbest

121 ...

1

)(

1

)(...)()(. 1

2

22

2

2

1

N

xx

N

xxxxxxRMSStdDev

N

i

i

Ns

Nota: Nel caso astratto in cui vengano considerate un numero infinito di misure ripetibili ed indipendenti allora la definizione della deviazione standard può essere scritta come:

Teorema

La deviazione standard può essere scritta anche come:

N

xx

RMSStdDev

N

xxxxxxRMSStdDev

N

i

i

n

N

n

1

2

22

2

2

1

)(

lim.

)(...)()(lim.

s

s

222

1

21lim. s

xxN

RMSStdDevN

i

in

Nel limite di un numero infinito di misure indipendenti e ripetibili, cioè di un

esperimento ideale:

Esistono quindi due modi equivalenti per calcolare la deviazione standard:

1) La ‘media’ degli scarti quadratici

2) La differenza tra la media dei quadrati delle misure con il valor quadratico

medio delle misure

NxxRMSStdDev

N

i

i

1)(.

1

2

s

222

1

21lim. s

xxN

RMSStdDevN

i

in

Nella relazione è il valore vero (non noto) ma approssimabile con la media

Nota: • Perché la media è semplicemente la somma delle misure ? Il sistema è sempre lo stesso e nessuna misura è a priori migliore delle altre. Potete poi immaginare ogni misura come espressa dalla relazione:

Xi = Xvero + ki

Dove ki è l’effetto delle fluttuazioni casuali, ki è cioè un numero casuale positivo o negativo. Eseguendo la media di tutte le misure ottengo: Si puo’ dimostrare, sotto opportune ipotesi, che k’ 0 se N ∞ quindi xbest sarà più vicino a xvero di un generico xi

'...... 2121 kx

N

kkk

N

xN

N

xxxxx vero

NveroNbest

Nota: • Perché la deviazione standard è sotto radice ? In questo modo la deviazione standard ha esattamente le stesse unità di misura della osservabile di cui rappresenta la dispersione. Così la misura e la sua deviazione standard sono grandezze omogenee • Perche la differenza tra la misura ed il valor medio è al quadrato ?

Perché è possibile dimostrare che è sempre vera la seguente relazione Quindi se non elevo al quadrato non ho nessuna informazione utile (ho sempre zero)

1

)(1

2

2

N

xx

Varianza

N

i

i

s

0)(1

N

i

i xx

Nota: Perché al denominatore c’e’ N-1 ? Se ho una sola osservazione x1

Infatti con una sola osservazione non sono in grado di valutare la dispersione e quindi l’incertezza delle mie misure. Ho una sola misura per determinare il valor medio e non posso calcolare la deviazione standard. Se avessi usato la relazione dividendo per N

Cioè avrei una misura con deviazione standard nulla cioè con incertezza nulla

! Inconsistente !

) )0

0

11

1

1

11

2

1

xxxxN

xx

is

) ) 01

111

2

1

xxxxN

xx

is

Nota: • Perché al denominatore c’e’ N-1 ?

• Attraverso una trattazione matematicamente più rigorosa è possibile dimostrare che:

• Se dalle N misure si è estratto il valor medio allora la deviazione standard deve essere estratta dividendo per N-1, si è ‘bruciato’ un grado di libertà*

• Se il valor vero è noto attraverso un’altra via allora la deviazione standard deve essere calcolata dividendo per N

• Ovviamente tanto più N è grande tanto piu piccola sarà la differenza tra i due valori di deviazione standard

*Grado di Libertà : Numero di misure indipendenti meno il numero di parametri estratti da queste misure

Nota: • Perché al denominatore c’e’ N-1 ?

Supponiamo di avere N misure indipendenti Supponiamo di estrarre il valore medio a partire dalle N misure Allora usando il valor medio e N-1 misure sono in grado di ricavare la misura ‘ennesima’. Infatti Quindi l’ennesima misura non è più indipendente Quindi, se estraggo il valor medio dai dati, ho solo N-1 misure indipendenti

)121

21

...

...

NN

Nbest

xxxxNx

N

xxxxx

Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere) La deviazione standard è una stima dell’incertezza della singola misura, in altre parole è una valutazione quantitativa di come si disperdono le singole misure attorno al valore medio. Domanda: La deviazione standard è in grado di valutare quanto è vicina al valore vero la mia misura sperimentale, cioè il valor medio estratto dai dati ?

• La deviazione standard non cambia sostanzialmente con l’aumentare di N

Se raddoppio il numero di misure in prima approssimazione raddoppia il numeratore Se raddoppio il numero di misure raddoppia N Quindi il valore della deviazione standard non cambia significativamente con il numero di misure. Aumentando il numero di misure, tuttavia, sarò in grado di avere una stima più precisa della dispersione dei dati, cioè della deviazione standard ‘vera’. Con l’esperienza dei dadi vedrete direttamente questa fenomenologia.

1

)(1

2

N

xxN

i

i

s

Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere) La deviazione standard è una stima dell’incertezza della singola misura, in altre parole è una valutazione quantitativa di come si disperdono le singole misure attorno al valore medio. Nota: • La deviazione standard è una misura della qualità dell’esperimento (strumentazione + sperimentatore)

• La deviazione standard può cambiare solo se si cambia strumentazione e/o sperimentatore

• Se la deviazione standard cambiasse con il numero di misure significherebbe che le misure non sarebbero più indipendenti tra loro. In altra parole ci sarebbe memoria del passato

Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere)

• Allora s non può rappresentare l’errore della mia misura, infatti mi aspetto che l’errore diminuisca con l’aumentare del numero di misure, N. Infatti

Come già anticipato in una nota precedente Morale: La deviazione standard rappresenta la dispersione dei dati attorno al valore medio. Noto il tipo di distribuzione statistica (ne parleremo in una lezione successiva) è in grado dare una stima probabilistica del risultato di una singola misura futura. La deviazione standard NON da una stima dell’errore con cui è stata valutata una osservabile (solo un estremo superiore). In altre parole, la deviazione standard non è in grado di dare una valutazione (se non sovrastimata) di quanto il valore medio può distare dal valore vero. Abbiamo bisogno di una osservabile statistica che mi stimi questa differenza per valutare l’errore di una misura.

verobest

veroNveroN

best

xxquindiekalloraNse

kxN

kkk

N

xN

N

xxxxx

0'

'...... 2121

Deviazione Standard della Media

E possibile Dimostrare che l’incertezza a cui è soggetto il valore medio è data dal rapporto della

deviazione standard con la radice quadrata del numero di misure effettuate.

Altri nomi della Deviazione Standard della media (SDOM) sono:

• Errore Standard

• Errore Standard della Media

• La Deviazione Standard della media decresce con l’aumentare del numero di misure

Nxm

sss mediadellastandardDeviazione

Nell’ipotesi di:

• Aver effettuato N misure della medesima quantità (misure ripetute ed indipendenti).

• NON siano presenti errori sistematici.

C’e’ il 68% di probabilità che il valore xvero sia all’interno dell’intervallo (<x> – sm; <x> + sm).

Il valore <x> è estratto atrraverso il processo di media.

Analogamente per il 95% ed il 99.7% di probabilità con 1.96sm e 3sm

Questo argomento lo riprenderemo con lo studio delle proprietà di una gaussiana

Per comprendere in maniera intuitiva l’origine della deviazione standard della media

• Immaginate di avere un numero infinito di dataset composti ciascuno da N misure di

una osservabile fisica (indipendentemente da come sono distribuiti)

• I dati in ciascun dataset si distribuiranno secondo una distribuzione qualsiasi dalla

quale su potrà estrarre un valor medio ed una deviazione standard

• Posso ottenere un numero infinito di valori medi (uno per dataset).

• Costruiamo la distribuzione dei valori medi ottenuti in ciascun dataset.

• Questa distribuzione è una Gaussiana

• Questa distribuzione avrà come valore medio xvero

• Questa distribuzione avrà come deviazione standard la deviazione standard della

media di un singolo dataset

Media Dev. Std

Media Dev. Std

Media Dev. Std

Media Dev. Std

Media Dev. Std


Nota importante

La deviazione dalla media è uno strumento molto utile per valutare il numero

di misure necessarie per ottenere un certo errore. P.es.

Devo misurare una osservabile, una stima a priori mi dice che dovrei ottenere

come valor medio <x> ed una deviazione standard s

Se volessi una incertezza nel valore medio pari all’1% quante misure dovrei

fare ?

2

01.0

1

01.01

%1

xN

xNx

x

m

m

s

ss

s

La deviazione standard è una stima dell’incertezza sulla singola misura, in altre

parole è una valutazione quantitativa delle fluttuazioni casuali e quindi di come si

disperdono le singole misure attorno al valore medio.

L’errore sistematico in generale non è una deviazione standard

Definizioni

Deviazione Standard s

Deviazione Standard della Media sm

La deviazione standard della media è una stima dell’incertezza sul valor medio,

in altre parole è una valutazione quantitativa di quanto (in assenza di errore

sistematico) <x> è lontano da xvero .

In particolare, esiste il 68% di probabilità che xvero sia all’interno dell’intervallo

<x> – sm; <x> + sm


Nota Importante Voglio conoscere il valore di una osservabile attraverso una operazione di misura.

Ipotizzo che i dati si distribuiscano secondo una gaussiana attorno al valore medio

Effettuo N misure (indipendenti e ripetibili) dell’osservabile.

• Estraggo il valore medio (la migliore stima del valore vero)

• Estraggo la deviazione standard del campione (la migliore stima di s)

• Estraggo la deviazione dalla media (la migliore stima del mio errore)

• Posso quindi affermare che ho il 68% di probabilità che il valore vero sia nell’intervallo

(xmedio ± sm) o il 99.7% che il valore vero sia nell’intervallo (xmedio ± 3sm)

Tuttavia:

• per estrarre la deviazione dalla media devo usare la deviazione standard, che tuttavia non

conosco ma di cui ho una stima (la deviazione standard del campione) non necessariamente

corretta.

• Come posso stimare l’errore della misura se non conosco il valore vero della deviazione

standard ?

• Se il numero di misure N è ‘piccolo’ posso aspettarmi che il valore della deviazione

standard del campione possa essere molto differente dal valore vero della

deviazione standard

Questo è un problema importante che può essere affrontato introducendo un nuovo concetto chiamato ‘t di

Student’. Vedrete di cosa si tratta nelle prossime lezioni


Esercizio: Uno studente misura l’accelerazione di gravità, g, cinque volte con i seguenti risultati Trovare il valor medio e la deviazione standard

9.90 m/s2

9.60 m/s2

9.50 m/s2

9.70 m/s2

9.80 m/s2

L’esercizio è molto semplice, i conti anche. L’importante è non sbagliare a digitare i numeri sulla calcolatrice o fare un errore grossolano nei conti. Un buon metodo è usare questa tabella, è leggermente più lungo da fare, ma minimizza gli errori e se presenti permette di identificarli facilmente. Notate il fatto che la somma degli scarti è zero e il numero di decimali con cui sono stati espressi valor medio e deviazione standard.

Esercizio: Calcolare la media e la deviazione standard delle seguenti 30 misure (valori in secondi) Trovare la percentuale di misure comprese in una deviazione standard dal valor medio, in due e in tre deviazioni standard

8.16 8.14 8.12 8.16 8.18 8.10 8.18 8.18 8.18 8.24

8.16 8.14 8.17 8.18 8.21 8.12 8.12 8.17 8.06 8.10

8.12 8.10 8.14 8.09 8.16 8.16 8.21 8.14 8.16 8.13

Altri Esercizi ? Provate a fare il 4.1, 4.3, 4.10 del Taylor

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti: • Indipendenza e Ripetibilità • Concetto di media (ipotesi per cui è possibile calcolarla). • Concetto di deviazione standard (ipotesi per cui è possibile calcolarla). • Significato statistico della deviazione standard.

Se si vuole misurare una osservabile, quindi, è opportuno effettuare più misure. Ciascuna di queste misure ha, il più delle volte, un risultato differente.

• Il valor medio è la miglior stima del valore vero • La deviazione standard è la miglior stima dell’incertezza della singola misura

Posso estrarre altre informazioni dalle mie N misure ? E possibile costruire ad esempio un istogramma della distribuzione delle misure:

Misuriamo ad esempio la massa di un oggetto

• Eseguo 21 misure della stessa quantità.

• Ottengo 21 numeri differenti.

• Media = 0.90 g • s = 0.31 g

• Costruisco un grafico che ha come ascissa il valore della misura (in intervalli) e sull’ordinata la frequenza assoluta o il numero di volte in cui ho ottenuto tale misura.

Istogramma o Distribuzione in frequenza

Per costruire un istogramma bisogna: 1. Trovare la misura con valore massimo xmax e la misura con valore minimo xmin e

l’intervallo D tra questi due valori detto ‘range’ della distribuzione • Nel nostro caso: xmax = 2.01 g, xmin = 0.6 g D = 1.41 g

2. Dividere l’intervallo D in un numero conveniente di sottointervalli (passi) di ampiezza d

• Nella maggioranza dei sottointervalli dovrebbero cadere almeno 3-5 misure • Non necessariamente tutti i sottointervalli devono avere la stessa ampiezza d • Una buona regola generale è che un sottointervallo deve essere almeno 1/3 della

deviazione standard s

• Non tutte queste condizioni potrebbero essere soddisfatte contemporaneamente • A volte ci sono troppo poche misure per fare un istogramma

• Nel caso d = 0.1 g - vedi plot successivo • Nel caso d = 0.15 g - vedi plot tra due pagine

3. Costruire una Tabella/Grafico con il numero di misure che cadono in ciascun sottointervallo

In questo caso l’istogramma ha sull’asse delle Y il numero di conteggi, cioè il numero di volte in cui

l’osservabile misurata cade nell’intervallo associato ad una data cella (per esempio l’osservabile ha

dato per 5 volte un valore compreso tra 0.6 e 0.7 g). La somma dei valori sull’asse delle Y fornisce il numero totale di misure fatte.

cellen

i imisure yN1

Esempio di istogramma

Nel caso il passo delle celle sia costante in tutto l’istogramma, sull’asse delle y è meglio mettere la

didascalia ‘conteggi / d ‘ dove d è il passo della cella. Nel caso del plot mostrato “conteggi / 0.1 g”.

Questa dicitura permette di calcolare il numero di conteggi come integrale dell’istogramma e allo

stesso tempo di conoscere il numero di conteggi acquisiti.

misure

n

i

n

ii

n

i i Niconteggigg

iconteggidy

cellecellecelle

111)(1.0*

1.0

)(*

Esempio di istogramma a passo ‘d’ costante

Nota:

L’asse y ha come unità di

misura ‘Conteggi/0.1g ‘

Cioè il numero di misure

che cadono all’interno di

un intervallo pari a 0.1 g

Esempio di istogramma con d = 0.15 g

Anche in questo caso

21)(15.0*51.0

)(*

111 misure

n

i

n

ii

n

i i Niconteggigg

iconteggidy

cellecellecelle

Notate che pur essendo i dati gli stessi ho una informazione differente rispetto a prima

Passo troppo largo (0.5 g) Passo troppo stretto (0.025 g)

Con un passo troppo largo quasi tutte le misure cadranno in uno o due intervalli, con un Passo troppo stretto ogni intervallo conterra al più una sola misura

Nel caso il passo delle celle sia diverso da cella a cella (o perché l’istogramma è stato cosi costruito

oppure perche sono state riuniti i conteggi di più celle per ridurre le fluttuazioni statistiche) allora

bisogna costruire un rettangolo tale per cui l’area (x*y) sia uguale al numero di conteggi

3742853*33.14*25.1

45.0*15.0

33.16.0*15.0

25.1*

****

1

2

1

21

1

1

2111

celle

cellecelle

cellecelle

n

i imisure

n

i ii

n

i imisure

nn

n

i ii

n

i imisure

yN

g

conteggiy

g

conteggidyN

dYdydydyN

Esempio di istogramma a passo variabile

1000 Misure

Aumentando il numero di misure può cambiare l’istogramma ma non cambia il profilo della distribuzione ne le sue caratteristiche intrinseche. E’ possibile però determinare con piu’ precisione la forma della distribuzione Nell’ipotesi di fare un numero infinito di misure ed in assenza di errore sistematico la distribuzione finale è detta distribuzione limite e il valor medio della distribuzione statistica coincide con il valore vero della osservabile

100 Misure 250 Misure

4000 Misure

Normalizzare un istogramma è fare in modo che il suo integrale abbia valore 1 Per normalizzare un istogramma devo:

- mettere sull’asse delle y il numero di misure che cadono nell’intervallo della cella diviso per il numero totale di misure fatte

- Il valore ottenuto corrisponde esattamente alla probabilità di ottenere una misura nella cella data (per esempio ho il 14% che una misura cada tra 0.575 g e 0.725 g)

Istogramma Normalizzato

1*1

i

n

imisure

i dN

ycelle

Posso sovrapporre ad un istogramma normalizzato una distribuzione di probabilità continua (p.es. Gaussiana G(x)) . Attenzione che è necessario avere le stesse unità di misura (nel nostro caso probabilità/0.1g) dell’istogramma. In altre parole: Il valore della distribuzione di probabilità deve essere tale per cui : Se bisogna sovrapporre ad un istogramma una distribuzione continua normalizzata: 1) in prima approssimazione si moltiplica il valore della distribuzione per l’intervallo

associato alla cella (vedi foglio excel nella pagina successiva) • Vale solo in certe e ben definite condizioni • Vale quando d << s

1) Per un confronto esatto eseguo l’integrale di G(x) cella per cella (usare le tabelle)

Istogramma Normalizzato

dxxGxxP

dxPdxxGdxxxGdxxdxP

mm

m

dx

dx

m

*),,(),,(

),(),,(),,()2/2/( 0

2/

2/

00

0

0

ss

ss

In questo caso l’approssimazione è molto ‘ardita’ provate a fare gli integrali e vedrete

Media

Mediana Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la Mediana è definita

come quel valore di x che divide l’istogramma dei dati in due parti tali che il 50% delle misure siano superiori ad esso ed il 50% inferiori. Esistono definizioni più accurate di mediana. Noi useremo quella che usa il ‘bin’ dell’istogramma

Moda Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la Moda è definita

come il valore per cui la probabilità è massima.

Media = 0.90 g Mediana ≈ 0.85 g Moda = 0.65 g s= 0.31 g

N

xxxxx N

best

...21

Media

Mediana Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la Mediana è definita

come quel valore di x che divide l’istogramma dei dati in due parti tali che il 50% delle misure siano superiori ad esso ed il 50% inferiori. Esistono definizioni più accurate di mediana. Noi useremo quella che usa il ‘bin’ dell’istogramma

Moda Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la Moda è definita

come il valore per cui la probabilità è massima

Media = 0.90 g Mediana ≈ 0.875 g Moda = 0.875 g s= 0.31 g

N

xxxxx N

best

...21

E’ possibile definire anche altri parametri utili a descrivere la forma della distribuzione. Per esempio la larghezza a meta altezza (FWHM). In generale esiste uno stretto legame tra la FWHM e la deviazione standard.

Media

Moda

Mediana

s s

FWHM

Conte

ggi / 0.0

5g

Distribuzione Marrone → s = 1.3 Distribuzione Viola → s = 2 Distribuzione Blu → s = 3

s s

s s

s s

Attenzione

Misure Sperimentali Distribuzione Associata

Attenzione

Misure Sperimentali E’ una lista di N misure della stessa quantità Ogni valore ha un’unità di misura

Media

Deviazione Standard

N

xxxxx N

best

...21

1

)(

. 1

2

N

xx

StdDev

N

i

i

s

Media = 0.90381 g 0.90 g s= 0.308261 g 0.31 g

Attenzione


Attenzione

Distribuzione Associata E’ una lista del numero di misure della lista precedente che cadono all’interno di un determinato intervallo o classe (p.es. 0.65-0.75 g) Ogni Classe ha una unità di misura

Media

Deviazione Standard

Classin

i

i

Classin

i

ii

best

n

nx

xx

1

1

1

)(

.

1

1

2

N

i

i

Nclassi

i

ii

n

xxn

StdDev sni (o frequenza assoluta fi) è il numero di volte che la

misura ha dato un valore pari a xi ± d/2 (dove d è il passo).

NnNnf iii /

Attenzione

Distribuzione Associata E’ una lista del numero di misure della lista precedente che cadono all’interno di un determinato intervallo o classe (p.es. 0.65-0.75 g) Ogni Classe ha una unità di misura

Media

Deviazione Standard

Classin

i

i

Classin

i

ii

best

n

nx

xx

1

1

1

)(

.

1

1

2

N

i

i

N

i

ii

n

xxn

StdDev sMedia = 0.903571 g 0.90 g s= 0.316848 g 0.32 g

Attenzione


Esercizio: Calcolare la media e la deviazione standard dei seguenti 30 intervalli temporali (in secondi) Fare l’istogramma dei seguenti dati ed estrarre il valor medio e la deviazione standard usando la relazione per le distribuzioni. Estrarre poi anche la moda e la mediana. Fare poi la Curva di Probabilità

8.16 8.14 8.12 8.16 8.18 8.10 8.18 8.18 8.18 8.24

8.16 8.14 8.17 8.18 8.21 8.12 8.12 8.17 8.06 8.10

8.12 8.10 8.14 8.09 8.16 8.16 8.21 8.14 8.16 8.13

Calcolo valor medio e deviazione standard al solito modo

Moda = 8.18 s Mediana = 8.16 s

Nell’istogramma l’area di ciascuna barra deve corrispondere al numero di misure presenti in quel determinato intervallo. Spesso però sull’asse delle ordinate dell’istogramma si mette solo il numero di misure presenti nella classe Attenzione se devo unire delle classi

Per far questo sull’asse delle ordinate devo rappresentare un rettangolo con la base pari alle classi che ho sommato e l’altezza pari alla media dei conteggi presenti.

Si NO SI

Perche il valor medio e la deviazione standard sono differenti rispetto a quelli Estratti con le formule classiche ? Media = 8.149 Media = 8.151 Sigma = 0.039 Sigma = 0.041 La differenza è significativa ?

Esercizi Calcolare la media e la deviazione standard dei seguenti 3 dataset di 20 misure ciascuno. Fare l’istogramma e la curva di probabilità dei dati ed estrarre il valor medio e la deviazione standard usando la relazione per le distribuzioni. Estrarre poi anche la moda e la mediana Esercizi 5.1, 5.2, 5.3, 5.4

6 5 3 6 9 3 4 2 1 4

9 1 5 3 10 8 6 4 3 4

5 9 2 2 4 10 5 5 3 9

6 7 7 7 4 3 5 4 3 1

2 0 7 8 4 4 5 5 5 5

1 2 2 6 7 7 5 2 4 10

1 2 3

BOX Plot

E’ una tipologia di plot scarsamente usata un fisica ma usata in molti altri contesti

statistici.

Per fare un BOX plot bisogna dividere i dati in quartili

1 Quartile – intervallo tra la misura minima e quella associata al 25% delle misure

2 Quartile – Intervallo tra la misura associata al 25% dei dati e la Mediana

3 Quartile – Intervallo tra la mediana e la misura associata al 75% dei dati

4 Quartile – Intervallo tra la misura associata al 75% dei dati e la massima

Misure

921

800

774

654

500

482

470

465

451

430

424

410

403

390

376

355

340

300

250

170

151

MAX

Mediana

MIN

1 quartile

2 quartile

3 quartile

4 quartile

Whiskers

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti: • Istogramma. • Costruzione di un istogramma, istogramma normalizzato e distribuzione di probabilità. • Moda e Mediana • Definizioni di Media e deviazione standard per i dati in un istogramma • Differenza/significato/uso dei dati raggruppati in un dataset o in un istogramma

avvertenza iniziale - mi.infn.itcamera/lab-fisica/dispense/2-analisi-statistica... · misura:...

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