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Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell 48

Nuova Forza• La forza Gravitazionale è attrattiva ed agisce su ogni MASSA• La forza elettrica è attrattiva o repulsiva ed agisce sulle CARICHE

Come Agisce ?

Un metallo (la magnetite) attira a sé la limaturadi ferro, acciaio e di altri (particolari) metalli

Può essere attrattiva

Gli estremi di due pezzi dimagnetite si attraggono o si respingono

Può essere sia attrattiva che repulsiva

Un elemento di magnetite fa cambiare orientamento ad una sottile lamina di magnetite in equilibrio su una punta o sospesa con un filo

Può indurre un momento di rotazione


Per ottenere due magneti da un magnete è sufficiente spezzarlo

in due pezzi.

Frantumando, non importa quanto finemente, un magnete ottengo tanti piccoli magneti

A tutt’oggi non è stato ancora possibile costruire un magnete che sia solo attratto o solo respinto da un altro magnete

A tutt’oggi non è stato ancora possibile ottenere un polo magnetico (nord o sud) isolato (monopolo magnetico)

L’elemento piu semplice che genera un campo magnetico è quindi una sbarrettina di dimensione infinitesime (o in prima

approssimazione un ago magnetizzato)

Dipolo Magnetico

Si definisce dipolo magnetico la sorgente più semplice di campo magnetico. Il dipolo magnetico è l’equivalente del dipolo elettrico.

+

--

Dipolo Elettrico

Dipolo Magnetico


Campo Magnetico

In analogia a quello che si è fatto nel caso gravitazionale ed elettrostatico si ipotizza quindi la presenza di un campo di tipo

magnetico generato dalla terra o da una calamita responsabile delle forze e/o rotazioni osservate sperimentalmente.

Nota:

Questa volta, diversamente che nel caso elettrico o gravitazionale, non partiamo neanche più dalla forza, ma direttamente dal campo. A partire dal campo verrà trovata la forza.

Per misurare la presenza di un campo magnetico si utilizza un ago magnetizzato (una piccola bussola) con attrito trascurabile.

La direzione del campo magnetico sarà quella in cui si orienta la bussola sonda. Ponendo la bussola in punti differenti sono in grado di disegnare le linee di campo magnetico


Magnete Permanente- Dipolo Magnetico -

Magnete Permanentecurvato ad U


Sperimentalmente si verifica anche che:

Il campo magnetico è generato non solo dai magneti ma anche da fili percorsi da corrente

Un filo percorso da corrente fa cambiare orientamento ad una sottile lamina di magnetite in equilibrio su una punta o sospesa con un filo

Un pezzo di magnetite fa cambiare orientamento ad un circuito percorso di corrente

Due fili percorsi da corrente subiscono una forza attrattiva o repulsiva in dipendenza dalla direzione della corrente che vi circola


Circuito percorso da corrente- Dipolo magnetico -

Filo rettilineo percorso da corrente


Campo di un dipolo elettricoCon il rosso è indicato il campo elettrico, con il giallo il potenziale

Campo di un dipolo magnetico

Il campo creato da una sbarrettina infinitesima o da un circuito di dimensioni infinitesime si dice campo di dipolo magnetico in analogia al campo creato da

un dipolo elettrico.


Forza Magnetica

Per misurare la forza indotta da un campo magnetico uso ancora un ago magnetizzato dove però il filo che sostiene l’ago risulta avere una resistenza costante alla torsione.

Dalla misura della torsione dell’ago posso avere una stima quantitativa della forza indotta da un campo magnetico

Sperimentalmente si verifica che:

• La forza diminuisce con la distanza dall’oggetto• La forza può essere attrattiva o repulsiva• In alcuni casi la forza non è diretta lungo la congiungente i due corpi

(p.es. Un filo percorso da corrente ed un ago magnetizzato)

• La forza dipende dall’orientamento della bussola• Essa è massima quando l’ago è posto perpendicolarmente alle linee di B• Essa è nulla quando l’ago è posto parallelamente alle linee di B

Un ago magnetizzato immerso in un campo magnetico B subisce una forza il cui momento è pari a

Il vettore µ è un vettore detto momento magnetico, esso è intriseco del materiale che costituisce l’ago ed ha la direzione dell’ago ed il verso pari alla direzione polo nord-polo sud

Ogni calamita ha un suo momento magnetico intrinseco µ

BM ∧= µ


L’origine del Campo Magnetico

Perché oggetti estremamente diversi come la magnetite, certi metalli e fili percorsi da corrente sono tutti soggetti alla forza magnetica ?

• Un filo percorso da corrente ⇒ Cariche elettriche in movimento• Materia ⇒ Sistemi costituiti da cariche in moto

Il Campo Magnetico è generato da cariche in movimento cariche in movimento sono soggette a forze dovute al Campo Magnetico

Nei magneti permanenti la somma di tutte le correnti elettriche dovute al moto degli elettroni non risulta nulla (come invece capita negli altri materiali) così che viene generato un campo magnetico

NON Magnete Magnete


- Magnetismo -

La forza magnetica si dovrà rappresentare come un vettore (esattamente come per la forza di gravità e la forza di Coulomb) cioè con

• un modulo che indicherà l’intensità della forza• una direzione che indicherà la direzione lungo la quale agisce la forza• un verso che indicherà il verso lungo il quale agisce la forza

Ho definito sperimentalmente il vettore campo magnetico che indico con B

• Otterrò sperimentalmente

• Il legame tra B ed la forza magnetica F• La direzione di B relativamente a F• Il verso di B relativamente ad F

L’esperimento deve essere il più semplice possibile

• Una particella di carica Q• La particella è in moto rettilineo uniforme

• La sua velocità è v costante in direzione, verso e modulo• Una regione di spazio ove il vettore B è costante

• Se la particella subisce una forza osserverò (dalle leggi di Newton):

• Una variazione della velocità (cioè una accelerazione o una decelerazione)

• Una variazione della direzione di moto(una deflessione)

• Dalla misura sistematica di questi effetti ricavo una legge generale


Esperimento:

Cosa osservo ?

• La forza agisce ortogonalmente alla direzione della velocità

• Se aumento la carica q la forza aumenta linearmente ----->

• Se B 0 allora anche F 0 --------------------------------->

• Se v 0 allora anche F 0 linearmente ------------------>

• A parità di v e B la forza che agisce dipende dalla direzione di moto

• Esiste una direzione ove F = 0• Esiste una direzione ove F è massima• Detto θ l’angolo tra la direzione ove F=0 e la direzione attuale

• L’energia cinetica totale della particella non varia

• La particella non accelera ne decelera in modulo• Se la particella devia, il modulo di v rimane però costante

• Allora la forza magnetica non lavora !!!!!

F

v

QF ∝

BF ∝

vF ∝

( )θsenvF ⋅∝

BvqF ×= Forza di Lorentz


Vettore Induzione magnetica B

Data una carica q che si muova con velocità v in un campo magnetico B (orientato di θ rispetto a v) che subisce una forza F.Si definisce il vettore B di induzione magnetica il vettore che ha per direzione quella ortogonale a v ed F, verso quello della regola della mano destra e modulo pari a:

Nota:

La definizione di direzione e verso è perfettamente coerente con quella precedentemente data con l’ago magnetizzato. La direzione è cioè quella determinata dall’orientamento di un ago magnetizzato ed il verso quello che va dal polo nord al polo sud del magnete.

( )θsinvqF

B =

La regola della mano destra vale nel caso della forza di lorentz e in tutti i casi compare un prodotto vettoriale


Unità di Misura

• Ovviamente la forza magnetica si misura in Newton (come ogni altra forza)

• Il campo magnetico si misura in Tesla T• una vecchia unità di misura è il Gauss G ⇒ 1 G = 10-4 T

[T] = [N][s]/([C][m])

• Un Tesla è il campo magnetico necessario affinchè una carica di 1 coulomb con velocità pari a 1 m/s subisca una forza pari ad 1 Newton

Campi Magnetici in Natura

• Sulla superficie di un nucleo ......................................................................... 1012 T• Sulla superficie di una Pulsar ........................................................................ 108 T• In un Laboratorio Scientifico (per tempi brevi) ............................................ 103 T• In un Laboratorio Scientifico (costante) ....................................................... 30 T• In una macchia solare ................................................................................... 2 T• In prossimità di un magnete ......................................................................... 2 10-2 T• In prossimità dell’impianto elettrico di casa ................................................ 10-4 T • Sulla Terra ..................................................................................................... 10-5 T• Nello spazio intergalattico ............................................................................. 10-10 T• In una camera antimagnetica schermata ........................................................ 10-14 T


Moto di una particella carica in un campo magnetico

E’ data una particella di carica Q in moto rettilineo uniforme con velocità v che improvvisamente entra in un campo magnetico costante B ortogonale alla velocità v

Florentz

Bv


La traiettoria finale della particella sarà di tipo elicoidale o, se la velocità della particella non ha componenti paralleli a B, di tipo circolare:

Nel caso più semplice quindi, la forza di Lorentz agirà su questa particella deviandola in una traiettoria circolare

v

vv

FB

Campo magnetico uscente

BF

F

Campo magnetico entrante

mqBf

qBmvr

FFrvmFqvBF

cM

cM

ππω

22

2

===

=

==

R = raggio dell’orbitaw = velocità angolaref = frequenza

La frequenza f (detta frequenza di ciclotrone) non dipende dalla velocità iniziale della carica• Le particelle veloci si muoveranno in orbite

molto larghe• le particelle lente in orbite molto stretteTutte però avranno lo stesso periodo di rotazione


La traiettoria di una particella carica in una carica a bolle in un campo magnetico

La traiettoria di un fascio di elettroni in un campo magnetico


Filo percorso da corrente

Un filo percorso da corrente può essere descritto come un insieme di cariche (glielettroni) che si muovono (con velocità v costante) lungo il filo conduttore: In presenza di campo magnetico questi elettroni subiranno una forza (e di conseguenza il filo stesso)

Ciascun elettrone subirà una forza pari a

La forza subita dal filo Ftot sarà risultante di quella subita dai singoli elettroni Fe

Che per fili rettilinei di lunghezza l in cui passa una corrente i immersi in un campo magnetico B costante nello spazio diventa

BvqF ×=

∑∑==

∧==Ni

eeNi

etot BvqFF,1,1

BliFtot ∧=


BliFtot ∧=

Per fili rettilinei di lunghezza l in cui passa una corrente i immersi in un campo magnetico B costante nello spazio diventa

Un campo magnetico quindi tende a far orientare

perpendicolarmente al compo magnetico stesso un circuito percorso da

corrente


Proprio come per un circuito, un campo magnetico su un ago magnetizzato induce un rotazione dell’ago stesso fino a farlo allineare con B, in altre parole subisce un Momento M

Dove è µ una costante caratteristica del circuito stesso

Principio di Equivalenza di Ampere

L’azione di un campo magnetico su un ago magnetizzato di momento magnetico µè identica a quella su una spira piana di superficie S percorsa da un corrente i se

Oppure:

Il campo magnetico generato da una spira percorsa da corrente è identico a quello generato da un magnete di momento magnetico corrispondente

BM ×= µ

µµ

=×=×=

iSBniSMBM


Riassunto:Riassunto:

•• La fenomenologia sperimentale del magnetismo associa oggetti a La fenomenologia sperimentale del magnetismo associa oggetti a prima prima vista sensibilmente diversi (circuiti, magneti, metalli)vista sensibilmente diversi (circuiti, magneti, metalli)

•• L’ipotesi che cariche in movimento generano un campo magnetico L’ipotesi che cariche in movimento generano un campo magnetico insieme all’ipotesi atomica inizia ad unificare lo scenarioinsieme all’ipotesi atomica inizia ad unificare lo scenario

•• La forza di La forza di LorentzLorentz applicata nelle varie situazione unifica formalmente applicata nelle varie situazione unifica formalmente queste diverse facce del magnetismoqueste diverse facce del magnetismo

•• Una volta che siamo in grado di calcolare/misurare la forza è pUna volta che siamo in grado di calcolare/misurare la forza è possibile ossibile risalire al modulo del vettore Campo Magnetico B (la direzione erisalire al modulo del vettore Campo Magnetico B (la direzione e verso verso la ottengo con la ottengo con unun ago magnetico)ago magnetico)

Tuttavia:Tuttavia:

Sappiamo che le leggi della fisica sono identiche in tutti i sistemi inerziali (cioè in tutti i sistemi il cui moto relativo è rettilineo uniforme)

Tuttavia un elettrone in movimento con velocità v (costante) genera un campo magnetico e subisce la forza di Lorentz mentre un elettrone fermo genera solo un campo elettrico.

Due sistemi inerziali in moto tra loro osserverebbero l’elettrone generare campi magnetici differenti e/o subire forze di Lorentz differenti.

Quest’assurdo non è risolvibile nell’ambito della fisica classica, è necessaria la teoria della relatività ristretta per rimettere tutto a posto.


• L’intensità del campo magnetico decresce con la distanza• L’intensità del campo magnetico aumenta con l’intensità di corrente

riB

πµ2

0=

Fili percorsi da Corrente

Legge di Biot-Savart:

Un filo rettilineo percorso da una corrente di intensità ‘i’ produce un campo di induzione magnetica circolare attorno all’asse del filo di intensità:

Dove µo= 4π10-7 = 1.26 10-6 [Volt][sec] / [ampere][metro]

r = distanza radiale tra il filo ed il punto ove voglio calcolare B

20

2 rriB ∧

=πµ

Qualsiasi sistema che generi un campo magnetico può quindi essere visto come un insieme di cariche in movimento. Utilizzando il Principio di sovrapposizione è possibile formulare una relazione generale, detta prima formula di Laplace, per il calcolo del vettore Induzione Magnetica B

irrdldB 3

0

4∧

=πµ

• i l’intensità di corrente che passa sul filo• dl rappresenta il segmento infinitesimo di

filo percorso da corrente• r la distanza tra il segmento dl ed il

punto ove voglio calcolare B

rdl

B ??

Prima formula di Laplace

i


SolenoideIl solenoide consiste in un avvolgimento cilindrico di filo conduttore ove la lunghezza sia molto maggiore del raggio di base. All’interno di un solenoide il campo magnetico è rettilineo e costante, al suo esterno è in pratica nullo.

Come nel caso del campo elettrico con il condensatore, il solenoide è sperimentalmente molto importante in quanto permette di creare un campo magnetico rettilineo, costante e confinato nello spazio, facilmente regolabile dall’esterno.(p.es. Nella NMR si entra all’interno di un solenoide)

inB oµ=

n ⇒ numero di avvolgimenti per mµo= 4π10-7 = 1.26 10-6 [Volt][sec] / [ampere][metro]


Esempio alla lavagna:

Ordini di grandezza sui magneti


Campo Magnetostatico

Ho due poli fisicamente NON separabili

Non esiste il Monopolo magnetico

Le linee di campo sono sempre chiuse

Una misura NON determina univocamente B

Difficilmente potrò definire un potenziale

- NON è un campo conservativo -

NON Vale il principio di azione e reazione

Campo Elettrostatico e Campo magnetostatico

L’esempio della carica in moto + relatività ristretta indicano che devono essere in qualche modo ‘parenti’ in quanto si trasformano uno nell’altro

Campo Elettrostatico

Ho due cariche elettriche fisicamente separabili

Le linee di campo iniziano e finiscono nelle cariche elettriche

Una misura determina E univocamente

Posso definire un potenziale U - E’ un campo conservativo -

Vale il principio di azione e reazione

0=⋅∫l

ldE

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