STATISTICA e PROBABILITA'

Il problema della misura si pone in termini probabilistici, determinando un intervallo di valori aventi una certa probabilità di essere osservati.

E' necessario quindi introdurre alcuni elementi di teoria della probabilità

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La Statistica è la disciplina che studia quantitativamente i fenomeni collettivi

L'insieme di tutte le possibili osservazioni di un fenomeno costituisce la Popolazione

L'insieme di osservazioni parziali costituiscono un Campione

Metodi e le finalita' della statistica sono diversi secondo che la popolazione venga osservata per intero o in modo parziale. Nel caso della misura, l'indagine viene condotta su un campione di dati e la statistica, che va sotto il nome di Inferenza statistica, fornisce i metodi con cui le informazioni contenute nel campione vengono estese, riferite, all'intera popolazione.

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Le diverse definizioni di Probabilita'

● 1-DEFINIZIONE CLASSICA di probabilità: (a priori)

● Il risultato di un esperimento si possa presentare con n eventi possibili ( modalita' dell'evento) e sia A un evento possibile.

● La probabilita’ di un evento A, P(A), è uguale al rapporto fra il numero di casi favorevoli n(A) al verificarsi dell’evento stesso e il numero n dei casi possibili, purché tutti equiprobabili:

● P(A) = n(A)/n

● 2-DEFINIZIONE EMPIRICA o STATISTICA di probabilità:(a posteriori)

● Supponendo che sia possibile ripetere un esperinento un numero N di volte nelle stesse condizioni ,la probabilità P(A) di un determinato evento A è il limite del rapporto tra il numero M(A) di volte in cui si è manifestato l’evento favorevole e il numero N di prove, al tendere all’infinito del numero di prove stesse, cioé

● P(A) = lim M(A)/N per N → infinito

● Da entrambe le definizioni risulta 0⩽P(A)⩽1 ; P(A)=0 per evento impossibile P(A)=1 evento certo

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● La definizione classica di probabilita' e' insoddisfacente per 2 motivi: in primo luogo sottointende il concetto di equiprobabilita', cosicche' nell'ambito della definizione si usa il concetto stesso da definire. Inoltre essa e' applicabile solo se gli eventi elementari hanno tutti la medesima probabilita'

● La definizione empirica di probabilita' sottointende che l'evento sia ripetibile nelle stesse condizioni sperimentali un numero N grande di volte. Inoltre presuppone a priori una convergenza della frequenza relativa al crescere di N, verso un valore ben definito.

● Le due definizioni (classica ed empirica) trovano una consistenza nella legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli) .

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Legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli

● L'enunciato in forma semplificata e' il seguente: Sia A un evento possibile in una serie di prove di un dato esperimento ripetuto nelle stesse condizioni . Se l'evento A si e'presentato M(A) volte in N prove, la probabilita' che la frequenza relativa f(A)=M(A)/N differisca dalla sua probabilita' classica P(A) di una quantita' in valore assoluto minore di un ε positivo piccolo a piacere , tende a 1 col crescere del numero delle prove.

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● La convergenza nella legge dei grandi numeri o Teorema di Bernoulli e' quindi intesa in senso statistico (o debole) e non implica una convergenza esatta nel senso dell'analisi: non implica cioe' che, preso un numero positivo ε piccolo a

piacere, sia possibile determinare in conseguenza un intero K

tale che per ogni N>K risulti sicuramente |f(A)-P(A)| <ε

● Quello che dice è: La probabilità che un dato evento con probabilità P(A) si presenti con una frequenza f(A) tale che la differenza fra P(A) e f(A) sia minore di un ε piccolo a piacere

tende a 1 (ovvero alla certezza) con N che tende a infinito .

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Cosa significa convergenza statistica

● Gli studenti hanno gia' verificato nei risultati della loro esperienza (lancio dei dadi) il significato di convergenza statistica .

● Vale ancora sottolineare che tale convergenza non prevede che all'aumentare del numero delle prove l'uscita di un evento A (comparsa di una determinata faccia di un dado) sia certa ma solo che aumenti la probabilita' del verificarsi di A ,senza che si raggiunga mai la certezza..

● Esempio: nel gioco del lotto non esiste un numero M di estrazioni dopo il quale un numero prefissato (che non e’ mai uscito), esca con certezza.

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3-DEFINIZIONE ASSIOMATICA di probabilita'

● La definizione assiomatica di probabilita' e' matematicamente consistente e supera le incongruenze delle definizioni precedenti.

● La probabilita' di un evento A e' definita come una funzione d'insieme

● Cosa è una funzione di insieme ? E' necessario premettere alla sua definizione alcune nozioni:

● Eventi - Insieme e sottoinsieme di eventi .

● Spazio campionario degli eventi,

● Operazioni d'Insieme (unione -intersezione)

● Funzione d'insieme

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EVENTI e INSIEME o SOTTOINSIEME di EVENTI

SPAZIO CAMPIONARIO

● Eventi semplici o elementari = possibili risultati o modalita' dell'esperimento non ulteriormente scomponibili

●Spazio degli eventi S = totalità degli eventi elementari associati all'esperimento

●Insieme o sottoinsieme di eventi = combinazione di uno o piu' eventi semplici

●Eventi complessi = sottoinsieme dello spazio campionario

●Esempio 1: Lancio di un dado

●Spazio campionario: E1 (comparsa faccia 1), E2, E3, E4, E5, E6

●Evento complesso: comparsa faccia pari E2, E4, E6

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Esempi

●Esempio 2: lancio 2 dadi a 6 facce

●Spazio campionario: tutti gli eventi semplici che sono le 36 coppie di valori (1,1) (1,2) ............. rappresentabili in un piano cartesiano dai punti in figura

● Evento complesso

● esempio: risultato del lancio somma 7 :

● (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

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Operazioni su insiemi

● Data la corrispondenza fra eventi e insieme di punti, lo studio della relazione tra eventi è riconducibile allo studio della relazione fra insiemi.

● Uno schema molto utile per illustrare gli insiemi e mostrarne le relazioni è il diagramma di Venn. Si tratta di un diagramma che rappresenta l'insieme con i punti contenuti in un cerchio, in un rettangolo o in altra

figura piana

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● Insieme complementare Ā = tutti gli elementi di S che non appartengono ad A

● Insieme vuoto Ǿ = insieme che non contiene alcun elemento

● Insiemi A e B disgiunti

● o mutualmente esclusivi

● Insiemi A e B congiunti

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● Insieme unione di insiemi A e B si indica A U B

● insieme degli elementi di A o di B o di entrambi

● Insieme intersezione di insiemi A e B si indica A ∩ B

● insieme dei punti che appartengono ad A ed a B

● Insiemi congiunti → A ∩ B ≠ 0 Insiemi disgiunti → A ∩ B = 0

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Funzione d'insieme

● Nell'accezione usuale, una funzione f(x) e' una legge che associa a ciascun elemento di un dato insieme di punti (dominio) uno e un sol punto di un altro insieme (codominio). Tale nozione puo' essere facilmente estesa al caso in cui gli elementi del dominio siano insiemi di punti anziche' singoli punti.

● Esempio

● si considerino i cerchi nel piano (x,y) di raggio r= (x2+y2) ½

● a ciascun cerchio si puo' associare l'area corrispondente C = r2 .

● C cosi' definita e' funzione d'insieme

Nella successiva definizione assiomatica di probabilita' si associa ad un insieme o ad un sottoinsieme A una funzione P(A) 14

3-DEFINIZIONE ASSIOMATICA di probabilità

● Ad ogni insieme A viene assegnata una funzione d'insieme P(A) detta Probabilità dell'insieme che deve soddisfare le seguenti proprietà:

– P(A) ≥ 0 per ogni A

– P(S) = 1

– P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti (o mutualmente esclusivi).

● E' una definizione puramente formale basata su 3 assiomi.

● Le proprietà danno una definizione operativa di probabilità ovvero definiscono operativamente la misura della probabilità di un insieme A.

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Legge della probabilità totale (forma semplice)

La proprieta' della definizione assiomatica

P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C) per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti (o mutualmente esclusivi)

e' nota come regola della Probabilita' totale per insiemi disgiunti . Essa e' anche formulata come:

Se un evento puo' manifestarsi con modalita' diverse che si escludono a vicenda, la probabilita' dell'evento e' la somma

delle probabilita' corrispondenti a quelle modalita'.

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Assegnazione della probabilta' agli eventi

● Sia la definizione classica, sia la definizione empirica di probabilita' soddisfa gli assiomi della definizione assiomatica e risultano quindi matematicamente consistenti.

● La definizione assiomatica di probabilita', non dice nulla su come assegnare dei valori alla probabilita'.

● Tuttavia su tali valori si possono fare delle ipotesi , verificabili poi analizzando gli eventi reali osservati.

● Si facciano, per tutti, gli esempi dell'assegnazione delle probabilita' nei giochi d'azzardo in cui in genere gli eventi sono supposti non equiprobabili.

● L'assegnazione della probabilita' agli eventi di S deve soddisfare la condizione di normalizzazione P(S)=1

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Esempio di assegnazione della probabilita' ad eventi equiprobabili e non equiprobabili

Agli eventi semplici che sono il risultato del lancio di un dado a sei

facce equiprobabile si assegnano le probabilita' mediante la

definizione classica

P(E1 ) = P(E2 ) = P(E3) = P(E4 ) = P(E5) = P(E6) = 1/6

Se si suppone che il dado sia “truccato” (per esempio si sospetti

che la faccia “2” abbia probabilita' doppia delle altre) si usano le

proprieta' della definizione assiomatica

P(E1 ) = P(E3 ) = P(E4) = P(E5) = P(E6) = 1/7 P(E2) = 2/7

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Legge della probabilità totale (forma generale)

● La proprieta' assiomatica

P(A U B U C …) = P(A) + P(B) + P(C)

● per ogni serie finita o infinita di eventi disgiunti permette di ricavare la regola della probabilità totale nella forma generale, estesa anche ad insiemi congiunti .

P(A U B ) = P(A) + P(B) ─ P(A∩B)

● Dimostrazione:

In figura e' mostrato come e' sempre possibile esprimere l'insieme unione A U B di insiemi congiunti come l'unione di insiemi disgiunti

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● inoltre sia A che B possono sempre esprimersi come unione di insiemi disgiunti nella forma:

● da cui si ottiengono le relazioni

● Appilcando all'insieme (A U B) la proprieta' della somma di insiemi disgiunti

● Sostituendo i termini barrati

P(A U B)=P(A∩B)+P(A)-P(A∩B)+P(B)-P(A∩B)

P(A U B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)

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P(A∣B) = Probabilità condizionata di A dato B

Risulta talora necessario in alcuni problemi ,valutare la probabilita' che si

verifichi un evento A essendosi gia' verificato un evento B

Siano A e B due eventi dello spazio campionario S e sia P(B) non nulla.

Si definisce probabilita' condizionata di A dato B , che si indica come P(A∣B) la probabilita' dell'intersezione A∩B diviso la probabilita' di B

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)

ovviamente P(A∣B)=0 se gli eventi o insiemi sono disgiunti essendo A∩B=Ǿ

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La P(A∣B) soddisfa gli assiomi

Si puo' verificare che questa definizione di probabilita' soddisfa le proprieta' della definizione assiomatica.

Infatti se B e' un sottonsieme di S, dalla proprieta'

P(A∩B)≤P(B)<1 e P(A∣B)=P(A∩B)/P(B) risulta

0≤P(A∣B)≤1

essendo 0=P(A∣B) se gli eventi A e B sono disgiunti

e P(A∣B)=1 se B⊂A o B=A

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La probabilita' condizionata P(A∣B) puo' essere = P(A)

Se P(A∣B) = P(A) il verificarsi dell'evento B non influisce sul verificarsi dell'evento A

gli eventi A e B sono indipendenti tra loro

Esempio : Si consideri il lancio di 2 dadi simmetrici. Sia A l'evento che la somma dei 2 dadi sia 7 e B l'evento che il I dado sia 4 Si calcoli la

probabilita' condizionata P(A∣B)

Evento A:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → P(A) = 6/36 = 1/6

Evento B :(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) → P(B) = 1/6

Evento A∩B = (4,3) → P(A∩B) = 1/36

P(A∣B) = P(A∩B)/ P(B)=(1/36) /(1/6) = 6/36 = P(A)

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Legge della probabilità composta (forma generale)

● Dalla definizione di probabilita' condizionata P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)

● si ricava

● P(A∩B)=P(A∣B) P(B) o anche

● P(B∩A)=P(B∣A) P(A)

● La legge si generalizza a piu' eventi o insiemi nella forma

● P(A∩B∩C∩... )= P(A)P(B∣A) P(C∣A∩B)......

●

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Eventi indipendenti- Legge della Probabilita’ composta (forma semplice)

Se i due eventi A e B sono indipendenti cioè P(A∣B)=P(A) la legge della probabilita' composta (forma generale) diventa P(A∩B )=P(A) P(B)

Se gli eventi sono piu' di due, la legge si generalizza nella forma

P(A∩B ∩.C....)=P(A) P(B)P(C)...

Legge della probabilità composta (per eventi indipendenti):

se un evento E risulta dal concorso contemporaneo o successivo di 2 o piu' eventi completamente indipendenti tra loro, ciascuno con probabilita' P(A), P (B), P(C)...la probabilita' che si verifichi l'evento A∩B ∩C...e' il prodotto delle singole probabilita'

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Quadro riassuntivo 1 - Legge della probabilita' totale (forma generale)

P (A U B ) = P(A) + P(B) ─ P(A∩B)

2 - Legge della probabilita' composta (forma generale)

P(A∩B)=P(A∣B) P(B)=P(B∣A)P(A)

Casi particolari:

1a) Eventi A e B disgiunti (o incompatibili )

P(A∩B)=0 → P(A U B ) = P(A) + P(B) (probabilita’ totale in forma semplice)

2a) Eventi A e B indipendenti

P(A∣B)=P(A) P(B∣A) = P(B)

P(A∩B)=P(B∩A)=P(A) P(B)

E' la regola della probabilita’ composta in forma semplice

Nota che incompatibili/disgiunti e indipendenti hanno un significato molto differente

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Eventi A e B congiunti indipendenti

Qual'e' la probabilita' che esca un pari al II lancio se al I e' uscito un dispari ?

Lo spazio campionario e‘ costituito dalle 36 coppie (1,1),(1,2),......

Evento A (1,2) (2,2) (3,2)……………………

(1,4) (2,4) (3,4)……..

(1,6) (2,6) (3,6)……..

Evento B (1,1) (1,2) (1,3)……………………

(3,1) (3,2) (3,3)…….

(5,1) (5,2) (5,3)…….

P(A∣B) = P(A∩B) /P(B)=(9/36) / (1/2)= 9/18 = ½ = P(A)

Gli eventi sono indipendenti pur essendo congiunti infatti:

P(A∩B) ≠ 0

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Due eventi disgiunti/incompatibili non possono essere indipendenti nel senso che se avviene B non puo'

avvenire A e viceversa Sono mutualmente esclusivi

– Infatti se A∩B= e’ l’insieme nullo P(A∩B) = 0

● e quindi P(A|B)= P(A∩B)/P(B) = 0 ovvero se avviene B non avviene A

● e P(B|A)= P(A∩B)/P(A) = 0 e viceversa

● Vale la legge della probabilita’ totale → P(A U B ) = P(A) + P(B) (forma semplice)

Esempio1 Tiro una moneta (testa o croce) gli eventi sono incompatibili (o viene testa o viene croce)

– Gli eventi pero’ non sono indipendenti (se viene croce non viene testa)

Esempio 2 Tiro un dado (pari o dispari) gli eventi sono incompatibili (o viene pari o viene dispari)

● Due eventi indipendenti possono solo essere compatibili. Se fossero incompatibili, abbiamo visto

sopra, che non possono essere indipendenti

● Infatti P(A|B) = P(A )

– P(B|A) = P(B)

● Se sono incompatibili P(A∩B) =0

– P(A∩B) = P(A)P(B) = 0 cioè o l’evento A o l’evento B sarebbe impossibile

● Se sono compatibili P(A∩B) ≠0 e quindi

– P(A∩B) = P(A)P(B) ≠ 0 questo non implica che un evento (A o B) sia impossibile anche

se nessuno mi dice quanto vale la loro intersezione i

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Due eventi compatibili possono essere dipendenti o indipendenti

Infatti se sono compatibili P(A∩B) ≠ 0

e quindi P(A|B)= P(A∩B)/P(B) ≠ 0

● P(B|A)= P(A∩B)/P(A) ≠ 0

● Non ho alcuna informazione sulla probabilità congiunta.

● Se P(A|B) = P(A ) e P(B|A) = P(B) gli eventi A e B sono indipendenti

Se P(A|B) ≠ P(A) e P(B|A) ≠ P(B) gli eventi A e B sono dipendenti

Due eventi dipendenti possono essere incompatibili o compatibili

● Infatti se sono dipendenti P(A|B) = P(A∩B)/P(B) ≠ P(A)

● P(B|A) = P(A∩B)/P(A) ≠ P(B)

● Se fossero incompatibili allora la probabilità condizionata → P(A|B) = P(B|A) = 0

● Ovvero se avviene A non puo’ avvenire B e viceversa . Sono mutualmente esclusivi

– Se fossero compatibili allora P(A∩B) ≠ 0 non posso dire nulla sulla P(A|B) e P(B|A)

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