automatska regulacija, joško petrić

Automatska regulacija: uvod u analizu i sintezu

Joško Petri ć

Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilište u Zagrebu

2012

Automatska regulacija

2

Udžbenik Automatska regulacija: uvod u analizu i sintezu namijenjen je studentima koji slušaju kolegij Osnove automatizacije, ili Automatsku regulaciju, ili slične kolegije, a pokriva veći dio predavanja. Ovaj udžbenik, ili njegovi dijelovi, ne smije se kopirati, umnožavati, ili dijeliti bez suglasnosti autora. Joško Petrić Zagreb, 2012.

Sensing, actuation, and control USA National Academy of Engineering, The Engineer of 2020:

“Everything will, in some sense, be

smart; that is, every product, every

service, and every bit of infrastructure

will be attuned to the needs of the

humans it serves and will adapt its

behavior to those needs.”

3

SADRŽAJ

1. POJMOVI I DEFINICIJE 4 1.1 Uvod 4 1.2 Što je automatska regulacija? 4 1.3 Koje su dobrobiti povratne veze? 7 1.4 Koji su nedostaci povratne veze? 7 1.5 Koja su ograničenja povratne veze? 7 1.6 Koji su osnovni zahtjevi nekog sustava automatske regulacije? 8

2. OSVRT NA POVIJEST AUTOMATSKE REGULACIJE 9 2.1 Definicija sustava automatske regulacije 9

2.2 Ktesibios, Philon i Heron 10 2.3 Wattov centrifugalni regulator brzine parnog stroja 13 2.4 18. i 19. stoljeće 14 2.5 20. stoljeće 15 2.6 Doba računala 16 2.7 Klasična i moderna teorija automatske regulacije 17 3. OSNOVNI REGULACIJSKI KRUG 19 3.1 Uvod 19 3.2 Osnovni blok dijagram sustava automatske regulacije 20 4. OPIS SUSTAVA MATEMATIČKIM MODELOM 24 4.1 Definiranje matematičkih modela 24 4.2 Diferencijalne jednadžbe u opisu sustava 26 4.3 Kašnjenja u dinamičkom sustavu 26 4.4 Varijable snage i energetske varijable 28 4.5 Analitički modeli tehničkih sustava 29 4.6 Prijenosna funkcija 32

4.7 Blok dijagrami 36 4.8 Primjeri prijenosne funkcije 40 4.9 Metoda prostora stanja 42 4.10 Primjeri metode prostora stanja 45 4.11 Matematički model u Matlab/Simulinku 48 4.12 Linearizacija 50 4.13 Dobivanje matematičkog modela iz eksperimenta 51

5. ANALIZA SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJU 57 5.1 Standardne pobudne funkcije 57 5.2 Rješenje diferencijalne jednadžbe 62 5.3 Značajke dinamičkog sustava 66 5.4 Osnovni dinamički članovi 72 5.5 Zahtjevi kod vremenskog odziva 83 5.6 Utjecaj nula i dodatnih polova na odzive 86 6. OSNOVNA NAČELA POVRATNE VEZE 91 6.1 Djelovanje povratne veze 91 6.2 Regulatori 103 6.3 Regulacija kod metode prostora stanja 120 6.4 Stabilnost i točnost 126 7. ANALIZA SUSTAVA U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU 140 7.1 Smisao analize u frekvencijskom području 141 7.2 Grafički prikaz frekvencijskog odziva 144 7.3 Frekvencijski odzivi osnovnih dinamičkih članova 151 7.4 Značajke sustava u frekvencijskom području 163 7.5 PID regulator u frekvencijskom području 169 8. LITERATURA 172


4

1. Pojmovi i definicije

1.1 Uvod „Srce svakog sustava automatske regulacije jest ideja povratne veze!“ (A. Isidori, u predgovoru knjige [1]). A što je to ideja povratne veze?! Osnovna ideja povratne veze jest usporediti aktualni rezultat sa željenim rezultatom i djelovati na temelju njihove razlike. Povratna veza je jednostavni princip koji obuhvaća sve principe regulacije u prirodi: rast živih organizama, kao i bezbroj varijabli na kojima počiva život – tjelesna temperatura, krvni tlak, a također i iterakcija živih organizama se bazira na tome – ravnoteža, gibanje, vizualna koordinacija, odaziv na stres. Ljudi su u svojim izumima oduvijek kopirali prirodu, pa se i u mnogim tehničkim sustavima i procesima nalazi povratna veza. Primjeri su doista brojni, od vrlo jednostavnih do iznimno složenih poput robota, transportnih sredstava, električnih ili internetskih mreža. Štoviše, rijetki su moderni tehnički sustavi u kojima se ne nalazi barem neki primjer automatske regulacije.¶ 1.2 Što je automatska regulacija? ¶

Automatska regulacija po definiciji je automatsko održavanje željenog stanja nekog procesa ili mijenjanje tog stanja po određenom zakonu, bez obzira na djelovanje vanjskih i unutarnjih poremećaja. To se postiže pomoću povratne veze, koja omogućava usporedbu izmjerene vrijednosti neke veličine reguliranog procesa sa njenom željenom vrijednosti (referencijom), te se na temelju razlike tih dviju veličina odlučuje kako proces usmjeriti. Proces se usmjerava upravljanjem tokom energije ili tvari. Skica navedenoga „zatvorenog kruga“ ili regulacijske petlje prikazana je poopćeno na slici 1.1.

Slika 1.1 Regulacijska petlja ili zatvoreni krug

5

Pridjev automatska često se izostavlja, a tako će biti i u ovom udžbeniku, pa će se pod pojmom regulacija podrazumijevati automatska regulacija. Tada su razni uređaji zaduženi za mjerenje, uspoređivanje, odlučivanje i izvršenje upravljačke odluke. U lancu regulacije može biti i čovjek koji može nešto od toga raditi (ili čak sve to), no takva regulacija ne može se smatrati automatskom.

Automatizacija je pojam blizak automatskoj regulaciji, pa se oni vrlo često miješaju. Ipak, opisuju različite stvari. Automatizacija je proces kojim se nešto pravi automatskim, a također je stanje koje je rezultat tog istog procesa. Automatizacija je nastavak procesa mehanizacije, zato jer se automatskim može učiniti samo onaj proces koji je u dovoljnoj mjeri mehaniziran. Automatizacija u širem smislu obuhvaća sve mjere i procese kojima se smanjuje udio ljudskog rada, opažanja i odlučivanja. Za širi smisao pojma automatizacije katkad se rabi i izraz automacija. To je mnogo izraženije u anglosaksonskim zemljama gdje je izraz automation češći, i praktički zamjenjuje duži izraz automatisation.

Uspoređujući definicije automatizacije i automatske regulacije, očigledno je automatizacija opsežniji pojam. Očito je i da na određenom, višem stupnju automatizacije, automatska regulacija postaje njen bitni instrument.

Kibernetika je znanost o općim zakonitostima procesa vođenja, reguliranja, dobivanja, pohranjivanja, pretvorbe i prijenosa informacija u sustavima, neovisno o njihovoj fizikalnoj prirodi. Automatska regulacija jedan je od brojnih ogranaka kibernetike, no sustav s povratnom vezom smatra se najvažnijim oblikom osnovnog sustava za kibernetiku i za automatizaciju. Potrebno je naglasiti da sustav s povratnom vezom nije nužno tehnički, nego je svojstven i biološkim, ekonomskim, socijalnim, političkim, psihološkim, i inim sustavima. Dakle regulacija nije samo postupak u tehnici, nego prije svega je prirodni zakon.

Tadašnju novo ustanovljeno područje imenovao je Norbert Wiener sa M.I.T.-a (SAD) 1948. godine, citat iz [2]: „Odlučili smo nazvati cijelo područje teorije vođenja i komunikacija, bilo u strojevima ili životinjama, imenom kibernetika, koje je formirano od grčke riječi κυβερνήτης ili kormilar. Odabirući taj naziv, željeli smo izraziti priznanje tome da je prvi značajni rad o mehanizmima s povratnom vezom bio članak o regulatorima (governors), koji je objavio Clark Maxwell 1868. godine, i da su regulatori (governors) latinska iskrivljena riječ koja dolazi od κυβερνήτης“. Dakle, do kibernetike se došlo proučavajući etimologiju engleske riječi governor (regulator, upravitelj), odnosno latinske gubernare, odnosno originalne grčke κυβερνάν. Ipak, treba dodati da je još 1843. francuski fizičar i matematičar A.-M. Ampere predložio cybernetique kao pojam za znanost o vođenju [3].

Pojam regulacije potrebno je povezati s bliskim pojmovima upravljanja i vođenja.

Upravljanje je postupak pri kojem jedna ili više ulaznih veličina utječu na jednu ili više izlaznih veličina nekog procesa prema zakonitostima svojstvenim upravljanom procesu. Pri tom se upravljanje odvija u „otvorenom krugu“ (open loop control). To znači da, za razliku od regulacije, kod upravljanja nema povratne veze koja će omogučiti usporedbu željene i stvarne vrijednosti, niti će se proces usmjeravati na temelju njihove razlike. Stoga nema mogućnosti popravljanja upravljačke odluke na temelju promatranja odvijanja procesa. Skica sheme upravljanja dana je na slici 1.2.


6

Slika 1.2 Upravljanje ili otvoreni krug Vođenje procesa općenitiji je pojam koji obuhvaća i upravljanje i regulaciju. U pravilu je povezan uz upravljanje i regulaciju složenijih sustava pomoću računala. U ovom udžbeniku pojam vođenje se koristi kada je obuhvaćeno upravljanje i regulacija, ali i kada nije izričito određeno na koji se od ta dva postupka misli. Dakle, vođenje se može smatrati hrvatskim pojmom općenitog engleskog pojma control [4], koje se ipak u hrvatskom jeziku najčešće prevodi s pojmom upravljanje. Kako moderna tehnika omogućava razmjerno jednostavnu realizaciju vođenja, tako ono postaje sve složenije. Vrlo česte su različite kombinacije upravljanja, regulacije, te doista raznolikih naprednih sustava upravljanja i regulacije baziranih na računarskim algoritmima. Stoga je i dobrodošao jedan naziv poput vođenja, koji postaje hiperonim, nadređen pojmovima upravljanja i regulacije (hiponimi) koje obuhvaća.

Signali, sustavi i procesi su pojmovi koji su redovito povezani uz automatsku regulaciju.

Dakle, kibernetici i automatizaciji svojstveni su još pojmovi:

Signal je funkcija koja opisuje vremensku promjenu fizičke veličine nekog fizičkog procesa. Ili još kraće, signal je fizička veličina koja se mijenja s vremenom.

Sustav (system): na zadanu pobudu, ili signal ulaza, sustav generira odziv, ili signal izlaza. Dakle, sustav se može smatrati i uzročno-posljedičnom vezom između dva ili više signala. Također, sustav je skup elemenata povezanih vezama kojima djeluju jedan na drugi.

Signal koji se može prepoznati kao uzrok nekih promjena u sustavu naziva se ulaz ili pobuda. Signal koji se prepoznaje kao posljedica naziva se izlaz ili odziv. Sustav obično opisuje fizički proces, uređaj ili međusobnu vezu uređaja (pri tome se uređaj (device) može interpretirati u najširem mogućem smislu).

Sustavi se prikazuju blok-dijagramima, gdje pravokutni ili kvadratni okvir predstavlja sustav, strijelica koja ulazi u okvir predstavlja ulazni signal, dok strijelica koja izlazi iz okvira predstavlja izlazni signal.

Promatranje odnosa ulaza i izlaza, odnosno uzroka i posljedice, osnovna je tema proučavanja teorije sustava, te automatske regulacije.

Proces je općenito skup aktivnosti kojima se ulazni elementi transformiraju u izlazne elemente sa specifičnim svojstvima, a sama transformacija određena je parametrima i ograničenjima.

7

1.3 Koje su dobrobiti povratne veze?

Prethodno je iskazano da se sustav automatske regulacije, dakle sustav s povratnom vezom, smatra najvažnijim oblikom osnovnog sustava za kibernetiku i za automatizaciju. Može se postaviti logično pitanje, što je to tako značajno kod povratne veze? Odnosno, koje su to dobrobiti koje može donijeti regulacija nekog procesa?

Povratna veza omogućuje slijedeća zadivljujuća svojstva:

- Proces može postati neosjetljiv na vanjske poremećaje i promjene vlastitih svojstava.

- Proces koji je sastavljen od lošijih sastavnica može davati dobre rezultate.

- Proces koji je nestabilan može postati stabilan.

- Može se stvoriti neko poželjno ponašanje procesa koje nije moguće bez povratne veze.

1.4 Koji su nedostaci povratne veze?

Osnovni nedostatak povratne veze jest što proces njenim djelovanjem može postati nestabilan, oscilirajući, što je gotovo uvijek neprihvatljivo ponašanje. Stoga je primarni zadatak prilikom primjene regulacije osigurati stabilnost sustava. Kod sustava upravljanja (dakle, bez povratne veze), ako je sustav sačinjen od elemenata koji su stabilni, i sustav će biti stabilan. Kod sustava regulacije, to ne mora biti tako.

Također, u usporedbi sa primjenom sustava upravljanja, primjena regulacije u pravilu je skuplja i složenija. Međutim, nova kvaliteta koja se dobiva reguliranjem procesa trebala bi opravdati povećanje cijene i kompleksnosti takvog pocesa. Može se postaviti odmah pitanje, što je to stabilnost, što se podrazumijeva pod tim pojmom? U prethodnim podpoglavljima o prednostima i nedostacima povratne veze naglašen je pojam stabilnosti nekog dinamičkog sustava. Stabilnost zasigurno jest osnovno pitanje nekog sustava s povratnom vezom. Definicija i vrsta stabilnosti ima mnogo. Na početku, dovoljno je pojam stabilnost definirati kao svojstvo ograničenog odziva na ograničenu pobudu. Dakle, ako pobuda sustava ima ograničene vrijednosti, stabilan sustav imati će ograničene odzive. Nestabilan sustav može imati neograničene odzive, koji se mogu manifestirati na primjer trajnim oscilacijama, i slično.

1.5. Koja su ograni čenja povratne veze?

Prethodno su navedene dobrobiti povratne veze. Međutim, unaprijeđenja koja mehanizam povratne veze donosi poboljšanjem stabilnosti i ostalih svojstava reguliranog sustava su ograničene. Ograničenja često nisu posljedica projektiranja regulatora, nego su prvenstveno nametnuta fizičkim ograničenjima hardvera koji sudjeluje u krugu vođenja nekog sustava. To su na primjer „mrtva vremena“, odnosno kašnjenja koja unosi računalo koje sustav vodi, manjkavosti mjernih uređaja (poput nepreciznosti, šuma, kašnjenja signala,..), manjkavosti izvršnih uređaja (npr. nedovoljna snaga da izvrši naredbu) i prijenosnika (zazori, trenja, elastičnosti).


8

1.6 Koji su osnovni zahtjevi nekog sustava automats ke regulacije?

Osnovni zadatak projektiranja jednog sustava automatske regulacije jest zadovoljiti specifikacije radnih svojstava takvog sustava. Specifikacije radnih svojstava u pravilu su dane ograničenjima odziva sustava. Specifikacije se mogu dati na mnogo načina. Kako se odzivi sustava prikazuju u dva područja (ili dvije domene), vremenskom i frekvencijskom, tako su i specifikacije općenito dane u dva oblika – vremenskom i frekvencijskom, te najčešće određuju četiri važna svojstva nekog dinamičkog sustava: stabilnost (ili relativnu stabilnost), brzinu odziva, dozvoljenu regulacijsku pogrešku (odnosno točnost regulacije), te robusnost.

U vremenskom području specifikacije su najčešće dane vremenima uspona, smirivanja, (dominantnom) vremenskom konstantom, te maksimalnim prebačajem. U frekvencijskom području specifikacije sustava su dane amlitudnom i faznom rezervom, pojasnom širinom, te rezonantnom frekvencijom i rezonantnim uzdizanjem. Objašnjenja pojedinih specifikacija detaljnije su dana kasnije u tekstu – za vremensko područje u poglavlju 5.5, a za frekvencijsko područje u poglavlju 7.4.

9

2. Osvrt na povijest automatske regulacije

2.1 Definicija sustava automatske regulacije

Automatska regulacija jest tehnika koja doseže daleko u prošlost. Vrlo pomnu i sustavnu analizu povijesti automatske regulacije napisao je Otto Mayr [5], inženjer i znanstvenik kome je povijest povratne veze upravo bila tema znanstvenog rada. U knjizi [5] nije samo dan katalog izuma i izumitelja kroz povijest, nego su razmatrane i okolnosti razvoja povratne veze, a postavljeni su i originalni kriteriji utvrđivanja nekog sustava automatske regulacije. Tako su definirana tri uvjeta da bi se neki sustav doista mogao smatrati sustavom automatske regulacije:

1. Svrha sustava automatske regulacije jest da izvršava naredbe automatski, tj. da sustav održava reguliranu veličinu jednaku naredbi (željenoj veličini) unatoč poremećajima.

2. Sustav automatske regulacije radi kao sustav s negativnom povratnom vezom.

3. Sustav uključuje nekakav osjetnik (senzor) i komparator, od kojih se barem jedan od njih može razlučiti kao fizički odvojeni element.

U navedenim uvjetima naglašena je automatsko održavanje željene veličine, te „zatvorena“ petlja sa negativnim predznakom. Treći uvjet eliminira neka isključivo matematička ili softverska rješenja, koja bi mogla zadovoljiti prva dva uvjeta kao moguće sustave automatske regulacije. Dakle, sustav automatske regulacije prema kriterijima iz [5] treba doista biti uređaj, a ne samo računarski algoritam.

Primjene automatske regulacije u daljoj povijesti (do 19. stoljeća) mogu se podijeliti kronološki prema objektima regulacije. Tako se može prepoznati regulacija protoka tekućine, regulacija temperature, centrifugalni regulatori brzine strojeva (centrifugal governors), regulatori tlaka, te ostali regulatori. Regulatori protoka spominju se još od trećeg stoljeća prije Krista vezano uz imena Ktesibiosa, Philona i Herona [6]. Detaljnije o tim počecima regulacije dano je u potpoglavlju 2.2 „Ktesibios, Philon i Heron“. Regulacija protoka u povijesti automatske regulacije ponovo se javlja od 9. stoljeća naše ere u arapskom svijetu vezano uz vodene satove i druge uređaje. U to vrijeme i u Kineskom carstvu ima sličnih izuma koji bi mogli koristiti princip automatske regulacije.

Regulacija temperature novijeg je doba, a početak je vezana uz ime Corneliusa Drebbela, Holanđanina koji je početkom 17. stoljeća bio u službi češkog, a potom engleskog kralja.


10

Drebbela bi se moglo smatrati i prvim zapadnim izumiteljem nekog regulatora. Drebbelov regulator temperature namijenjen je održavanju željene temperature u pećima i inkubatorima. Funkcionira tako da se porastom temperature optočne vode u peći zagrijava alkohol u cijevi U-oblika (osjetnik temperature). Širenjem alkohola diže se nivo žive koja se nalazi na otvorenom kraju cijevi U-oblika. Na živi pluta vertikalna poluga koja preko dodatnog polužnog mehanizma zatvara ventil preko kojeg se dovodi zrak, te će tada vatra davati manje topline. Obrnuti proces događa se ako temperatura pada.

Regulatori tlaka pojavljuju se usporedo s razvojem i primjenom parnih kotlova. Denis Papin krajem 17. stoljeća objavio je opis ventila s utegom, koji je služio kao regulator tlaka pare u kotlovima. Zbog sigurnosne funkcije takvi ventili uskoro postaju sastavni dijelovi parnih strojeva. Papinov reulator tlaka može se prema kriterijima iz [5] svrstati u uređaj automatske regulacije. Stoljeće kasnije pojavljuju se odvojeni patenti Roberta Delapa, Matthewa Murraya, te firme Boulton & Watt na temu regulatora tlaka.

Mlinovi pokretani vodom ili vjetrom tijekom 18. stoljeća bili su na neki način ogledni primjer za primjenu različitih tehnoloških dostignuća, pa tako i onih vezanih uz automatsku regulaciju. Tako se primjene vezane uz automatsku regulaciju mlinova mogu smatrati prethodnikom velikog izuma s područja automatske regulacije – Wattovog centrifugalnog regulatora brzine parnog stroja, koji je opisan u potpoglavlju 2.3 „Wattov centrifugalni regulator brzine parnog stroja“. Mnogi upravo to smatraju pravim početkom automatske regulacije kakve danas poznajemo.

Uz prethodno navedene primjene regulatora tijekom povijesti važno je spomenuti i regulaciju gibanja satova, odnosno sinkronizaciju satova, kao značajan primjer prvih primjena automatske regulacije. Tu se može spomenuti Pendule sympathique s kraja 18. stoljeća i njen izumitelj Abraham-Louis Brequet.

2.2 Ktesibios, Philon i Heron

Prvi uređaji s povratnom vezom bili su različiti regulatori protoka, a prvo ime koje se spominje u kontekstu automatske regulacije jest Ktesibios iz Aleksandrije, koji je, prema pretpostavkama živio u prvoj polovini trećeg stoljeća prije Krista. Iako se o njegovom radu zna tek iz neizravnih izvora (najinformativniji je [7]), smatra se da je Ktesibios na početku karijere radio kao brijač, a zbog svojih izuma bio je slavan i svrstan uz bok Arhimedu. Njegovi izumi su vodene orgulje, neka vrsta pumpe, nekoliko vrsta katapultova i vodeni sat (klepsidra). Upravo je regulacija protoka vode kod vodenog sata prvi izum automatske regulacije. Naime, vodeni sat je, kako bi se voda u posudi punila, mehanizmom označavao proteklo vrijeme od početka punjenja. Za preciznost sata ključna je bila regulacija vode koja je dotjecala. Regulator protoka vode imao je plovak koji je bio osjetnik (senzor) nivoa tekućine, te ujedno i ventil, odnosno izvršni organ regulacije (gornji dio plovka zatvarao je dotok vode). Ktesibiosov sat prikazan je na slikama 2.1 i 2.2.

11

Slika 2.1. Ktesibiosov vodeni sat

Slika 2.2. Ktesibiosov vodeni sat Slijedeća imena koja se spominju u svezi sa regulacijom protoka su Philon i Heron. Philon je nešto mlađi od Ktesibiosa, iz druge polovine trećeg stoljeća prije Krista, a također se povezuje uz Aleksandriju (zna se da je makar neko vrijeme boravio tamo, ali nema preciznih saznanja). Autor je obimnog pregleda inženjerstva tog doba, od čega je tek dio napisanog materijala preživio, između čega je knjiga o pneumatskim uređajima. Ta knjiga je razmjerno poznata Philonova „Pneumatica“, a sačuvana je i objavljena na prijelazu 19. i 20. stoljeća zahvaljujući arapskom prijevodu. Philon je tu opisao način regulacije nivoa tekućine koji se razlikuje od Ktesibiosovog. Naime, visina nivoa ulja u posudi uljne lampe održavana je pomoću jednog sustava koji se sastojao od spremnika ulja, kapilarnih cjevčica i vertikalne


12

cijevi (vidjeti sliku 2.3). Kada bi nivo ulja u posudi lampe pao ispod nekog željenog (definiranog sa položajem vertikalne cijevi), zrak bi ušao kroz cijev u spremnik ulja, te bi se na taj način omogućilo da ulje iz spremnika kroz cjevčice dopuni posudu. Ispravno funkcioniranje uređaja ovisi o dimenzijama i profilima cijevi i cjevčica. Sličan princip u novije vrijeme se koristi za napojne žljebove za životinje. Sama povratna veza lako može ostati neprimjećena u ovakvom uređaju, međutim, ona postoji.

Slika 2.3. Philonova lampa koja se sama nadopunjava Heron je također živio u Aleksandriji, najvjerojatnije tijekom prvog stoljeća naše ere. Bavio se primjenjenim znanostima, a pisao je i knjige, ili zbirke izuma iz tehnike tog doba. Uređaji s povratnom vezom mogu se naći u njegovoj knjizi „Pneumatica“. Zanimljivo je da je objavio knjigu „Automata“, međutim u njoj nema uređaja s povratnom vezom, nego su opisani različiti aparati - automati s čvrstim odvijanjem programa (dakle upravljani, a ne regulirani). Kao i Philonova „Pneumatica“, tako je i Heronova „Pneumatica“ kasnije prevedena i objavljivana (tijekom 19. stoljeća). Iz njegove knjige nije sasvim jasno koliko je njegovih vlastitih izuma, a koliko je to zbirka izuma njegovih prethodnika. Heronu se pripisuje regulator protoka koji je sličan Ktesibiosovom, ali ima odvojene uloge osjetnika (plovka) i izvršnog organa (ventila). Polužje je osiguravalo konstantan nivo tekućine, odnosno protok. Štoviše, promjenom omjera krakova poluga moglo se utjecati na osjetljivost mjerenja, odnosno na stabilnost sustava. Heronov regulator protoka prikazan je na slici 2.4. Takav princip danas se nalazi u vodokotlićima za regulaciju nivoa vode.

13

Slika 2.4. Heronov uređaj za regulaciju punjenja 2.3 Wattov centrifugalni regulator brzine parnog st roja

Osnova uređaja za regulaciju brzine jest osjetnik koji će mjeriti brzinu vrtnje stroja. Patenti osjetnika brzine koji su u stvari generirali silu proporcionalnu brzini vrtnje (uslijed centripetalne sile) slijede 1785. godine (Robert Hilton), te 1787. godine (Thomas Mead), te su na temelju toga se pojavili i prvi regulatori brzine mlinova (T. Mead, 1785. g., zatim Stephan Hooper 1789. g.). Centrifugalni regulator za regulaciju brzine parnog stroja izumljen je 1788. godine u firmi Boulton & Watt, koja je proizvodila parne strojeve. Izum je u stvari bila primjena i adaptacija već postojećih sustava na parni stroj. Slika centrifugalnog regulatora brzine dana je na slici 2.5. Princip djelovanja regulatora razmjerno je jednostavan. Njihalo se ovisno o brzini rotacije podiže ili spušta, te preko polužja zatvara ili otvara prigušni ventil koji je smješten u cijevi za dovod pare. Tako se utječe na brzinu vrtnje stroja. Može se napomenuti da je i prvi primjenjeni regulator brzine vozila (tempomat) u biti funkcionirao na vrlo sličan način – postojao je centrifugalni osjetnik brzine, a mehaničko polužje je djelovalo na zaklopku (akcelerator ili „gas“) vozila. To je bilo 1958. godine na osobnom vozilu Chrysler Imperial.


14

Slika 2.5. Wattov centrifugalni regulator brzine 2.4 18. i 19. stolje će

Kada se razmatra slijed izuma automatske regulacije tijekom vremena, očita je izrazita zgusnutost događaja tek od druge polovine 18. stoljeća, odnosno razdoblja prve industrijske revolucije. Koji je razlog tome, raspravlja se u knjizi Otta Mayra [5]. Tamo se pretpostavlja da niti čisto tehnički faktori, a ni ekonomske okolnosti nisu glavni uzrok naglog interesa za koncept povratne veze. Mayr to tumači naprosto narasloj svijesti o konceptu povratne veze kod inženjera i znanstvenika toga doba, i to prvenstveno na prostoru zapadne Europe. Povratnu vezu pronalazi i u kapitalnom djelu iz ekonomije tog doba „Bogatstvu naroda“ (Wealth of Nations) Adama Smitha iz 1776., gdje se tržišna ekonomija postavlja u kontekstu regulatora tržišta. Također koncept povratne veze prepoznaje se i na primjeru trgovine začinima iz poznatog djela Davida Humea, škotskog filozofa i povjesničara (On the balance of trade, 1752). Mayr ne dovodi u izravnu vezu tehničke izume i primjere iz društvenih znanosti, međutim naglašava svjesnost o automatskoj regulaciji i povratnoj vezi, koja je prethodno bila sasvim zanemarena. Napominje se da su tijekom renesanse i baroka (ali i ranije u povijesti) bili popularni automati (automatons), različiti mehanički objekti koji su se pokretali po nekom čvrstom programu. Oni međutim, u svom automatskom gibanju nisu imali nikakvih elemenata povratne veze.

Tijekom 19. stoljeća raste primjena automatske regulacije, a sljednici Wattovog regulatora brzine su univerzalno prihvaćeni. U drugom dijelu 19. stoljeća pojavljuju se prvi teorijski radovi iz automatske regulacije. Pri tom su diferencijalne jednadžbe već bile dobro poznate u matematici zahvaljujući Newtonu, Leibnitzu i drugima (krajem 17. stoljeća), a analizu gibanja dinamičkih sustava korištenjem diferencijalnih jednadžbi započeli su Lagrange i Hamilton (18. i 19. stoljeće). „On Governors“ (O regulatorima) Jamesa Maxwella [8] iz 1868. godine vjerojatno je najistaknutiji pionirski rad iz teorije automatske regulacije. U radu se analizira stabilnost Wattovog regulatora preko linearizacije diferencijalne jednadžbe gibanja, pronalaženja karakteristične jednadžbe i njenih korijenova. Dakle, nešto što je i danas osnova analize nekog sustava automatske regulacije. Maxwellu je 1840. godine prethodio rad britanskog astronoma Airya [9], koji je izradio sustav s povratnom vezom za

15

usmjeravanje teleskopa. Kako je primjetio mogućnost velikih osilacija (nestabilnosti) takvog sustava, prvi je analizirao stabilnost povratne veze, i to korištenjem diferencijalnih jednadžbi. Slijede i radovi Vyshnegradskii-og, Routha, Lyapunova, Stodola i Hurwitza [10 -14], a svi se bave stabilnosti sustava s povratnom vezom. Analiza stabilnosti nelinearnih sustava pomoću ideje generalizirane energije koju je objavio ruski matematičar Aleksandr M. Lyapunov 1892. u svom doktoratu, postavila je temelje moderne teorije automatske regulacije, pa je to i danas je gotovo neizostavan alat prilikom analize i sinteze sustava automatske regulacije. To se naročito odnosi na nelinearne sustave i napredne algoritme vođenja (npr. adaptivne, robusne, i sl.). Zanimljivo je da je taj rad, obzirom da je pisan na ruskom, tek nakon sedamdesetak godina (u drugoj polovici 20. stoljeća) doživio punu afirmaciju na zapadu.

2.5 20. stolje će

Praktičnim rješenjima i teorijom automatske regulacije tijekom 19. stoljeća dominirale su metode iz mehanike. To je bilo doba analize u vremenskom području, dakle rješavanja diferencijalnih jednadžbi na klasičan način. Međutim početkom 20. stoljeća primjene i rješenja iz domene mehanike premještaju se sve više na područje elektrike, signalne tehnike i komunikacija. Pri tom pojačalo (amplifier) postaje vrlo važan element. Pojačalo nije nužno vezano uz povratnu vezu, niti je vezano isključivu uz električni medij (npr. obična poluga se može smatrati pojačalom sile), međutim pomoću povratne veze pojačalo dobiva novi kvalitet. Naime, razvojem telefonije pojavljuje se problem pojačavanja signala u dugim telefonskim linijama. Dolazilo bi do izobličenja (distorzije) signala - osim informacije pojačavao bi se i šum. Da bi se šum mogao izdvojiti, bilo je potrebno imati pojačalo s preciznim pojačanjem. Harold Black, zaposlenik ATT (American Telephone and Telegraph) 1927. godine izumio je pojačalo s negativnom povratnom vezom [15]. Takvo pojačalo imalo je manje pojačanje od onog direktnog (bez povratne veze), ali je bilo neosjetljivo na promjene parametara sustava. Smanjenje osjetljivosti na promjene parametara sustava i na vanjske poremećaje upravo je srž povratne veze.

I alati za teorijsku analizu automatske regulacije su se promijenili. Do tada se koristila analiza u vremenskom području, koja se koristila i u tadašnjoj mehanici. Dakle, diferencijalne jednadžbe opisivale su gibanje nekog dinamičkog sustava, a rješavale su se na klasični način, što može biti neprakratično za inženjerske primjene. Razvoj komunikacijske tehnike, te elektrotehnike, donosi i nove metode analize. Teorija koju su razvili matematičari P.-S. de Laplace, J. Fourier, A.-L. Cauchy iz druge polovice 18. i prve polovice 19. stoljeća, te operatorski račun Oscara Heavisidea s kraja 19. stoljeća zaslužni su za nove metode analize i sinteze automatske regulacije. Iz direktnog načina rješavanja diferencijalnih jednadžbi u vremenskom području prelazi se u indirektno rješavanje, tj. u frekvencijsko područje, koje je svojstveno signalnoj tehnici i komunikacijama. Sinteza filtera i električnih krugova područje je najvećeg razvoja regulacije u prvim dekadama 20. stoljeća. Radovi Karla Küpfmüllera u Njemačkoj ([16]) te Harrya Nyquista i Hendrika Bodea ([17], [18]) iz Bellovih laboratorija (SAD) su prijelomni u tom razdoblju. Nyquist je dao čuveni grafički kriterij stabilnosti sa zaokruživanjem grafičke karakteristike, dok je Bode uz novi i pregledniji frekvencijski prikaz prvi uveo pojam amplitudne i fazne rezerve stabilnosti kao mjere robusnosti.


16

Navigacija brodova i zrakoplova, regulacija dubine zarona torpeda, navođenje (protuzrakoplovne) vatre, radari, neke su od znamenitih primjena automatske regulacije u prvoj polovici 20. stoljeća koje su imale veliki utjecaj na njen budući razvoj. Naime, borba za vojnom premoći u razdoblju prije i za vrijeme II svjetskog rata promovirala je automatsku regulaciju u jednu od ključnih tehnika, te su formirani centri koji su okupljali eksperte iz područja elektronike, elektrotehnike, strojarstva, matematike i fizike radi razvoja regulacije. Oprobana i već zrela tehnika automatske regulacije, koja je bila dosta skrivena ratnim suparništvom i otežanim međunarodnim komunikacijama, završetkom rata najednom postaje otkrivena i široko dostupna, s dobro razvijenom teorijom i sa stručnjacima koji su je dalje mogli primjenjivati i širiti. Bio je to prvi veliki impuls automatskoj regulaciji. Drugi veliki impuls doći će kasnije, s razvojem mikroprocesora.

Nakon II svjetskog rata uskoro započima i doba hladnog rata, razvoja interkontinentalnih balističkih projektila i svemirske tehnologije. Sve to bilo je nezamislivo bez daljnjeg razvoja automatske regulacije. Teorija koja se koristila do tada bila je temeljena na frekvencijskom odzivu i približnim grafičkim prikazima sustava s jednim ulazom i jednim izlazom. Nove primjene i složeniji sustavi zahtijevali su i nove, znatno moćnije teorijske alate analize i sinteze sustava automatske regulacije. Prikaz sustava u vremenskoj domeni pomoću prostora stanja mogao je detaljnije opisati i složeniji sustav, s više ulaznih i izlaznih varijabli. Nova, „moderna“ teorija automatske regulacije zahtijevala je intezivno računanje. Linearna algebra, matrični račun, dinamičko programiranje, na što se moderna teorija oslanjala, tražila je takvo, intezivno računanje. Uvođenje i razvoj digitalnih računala od kraja pedesetih godina 20. stoljeća bilo je presudno u uvođenju nove, „moderne“ teorije automatske regulacije.

2.6 Doba ra čunala

Automatska regulacija povezana je suštinski s računalima – moderni sustavi vođenja napravljeni su od računala, a ne samo uz pomoć računala. Digitalna računala izumljena su negdje oko 1940. godine, što znači nekoliko godina iza analognih računala. Već krajem pedesetih započinje primjena digitalnog računala kao nadređenog uređaja za vođenje, kojemu je podređeno niz lokalnih, analognih regulatora (1959. godine, Texaco rafinerija u SAD-u). Također počinje primjena direktnih digitalnih regulatora. Vjerojatno još veći poticaj širenju automatske regulacije, i općenito automatizacije dali su mikroprocesori (1971. godine Intel 4004) i mikrokontroleri od početka sedamdesetih godina. Njihovim eksplozivnim razvojem i sve nižom cijenom, omogućeno je da povratna veza, i općenito neki oblik automatizacije, bude naprosto svugdje prisutan. Primjenom računala može se reći da se automatska regulacija „oslobodila“. Gledajući unazad, npr. Wattov regulator brzine, bilo je potrebno znanje iz mehanike, odnosno iz teorije mehanizama, da bi se konstruirao regulator. Kroz regulator (od vertikalne osovine regulatora do prigušnog ventila pare) proticala je zamjetna snaga. Obradba informacija nije energetski odvojena od procesa koji se regulira, pa takav regulator ne može biti nimalo fleksibilan, u smislu eventualnih obavljanja nekih dodatnih funkcija. Pneumatsko pojačalo (ventil pločica-sapnica, flapper-nozzle valve), te nešto kasnije elektroničko operacijsko pojačalo (operational amplifier, „op-amp“) napravili su bitan pomak. Međutim, tek su digitalna računala, odnosno mikroprocesori doista omogućili potpuno odvajanje obradbe informacija od izvršne i mjerne funkcije nekog sustava automatske regulacije. D.M. Auslander s Berkeleya to naziva spas od „tiranije impedancije“

17

(„tyranny of impedance“, [19]). Dakle digitalna računala (ili bolje samo „računala“), mikroprocesori i mikrokontroleri (mikroračunala) su doista omogućili široku uporabu automatske regulacije. Razmjerno lako se mogu programirati, jeftini su i dostupni. Čitav niz naprednijih funkcija regulacije jednostavno se može implementirati. Neki suvremeni algoritmi vođenja, poput npr. kliznih režima (sliding modes), neizrazitog vođenja (fuzzy control), adaptivne regulacije, itd., naprosto su inherentni računalima, jer bez njih ne bi ni postojali.

2.7 Klasi čna i moderna teorija automatske regulacije

„Klasična“ i „moderna“ teorija automatske regulacije, ili „klasični“ i „moderni“ period automatske regulacije pojmovi su kojima se često opisuje pristup analizi i sintezi regulacije. Klasična teorija nastaje negdje pred II svjetski rat, a prema [1, poglavlje 4] može se smatrati da završava krajem četrdesetih s objavom znamenite metode položaja korijena (root-locus) u [20]. U tom periodu istraživanja su se vršila na temu analize i sinteze servo sustava (ili servo-mehanizama, vodeći se doslovnim prijevodom izraza servomechanisms iz naslova tadašnjih glavnih radova). S jedne strane uspostavljena je matematička podloga takve teorije, dok su se s druge strane razvile približne inženjerske metode analize i sinteze, koje su koristile jednostavna pravila. Klasična teorija podrazumijeva frekvencijsko područje ili domenu, te jednovarijabilne sustave (sustave s jednim izlazom i jednim izlazom). Kako se prvenstveno oslanja na metode transformacije (Laplace, Fourier), klasična teorija prvenstveno je primjerena linearnim, vremenski-invarijantnim sustavima. Mogućnost analize svojstava sustava u zatvorenom krugu pomoću svojstava sustava u otvorenom krugu (bez povratne veze), koja su poznata ili lakša za izmjeriti, predstavlja ključan koncept u klasičnoj teoriji.

Najznačajniji centri itraživanja u tom razdoblju nalaze se u SAD (naročito na M.I.T.-u), Sovjetskom Savezu, Njemačkoj i Velikoj Britaniji. Tada se objavljuju i prvi značajniji udžbenici iz automatske regulacije. Po svemu sudeći, prva katedra za automatsku regulaciju osnovana je 1944. godine na Strojarskom fakultetu Tehničkog univerziteta u Berlinu (TU Berlin). Osnovao ju je Hermann Schmidt [21].

Razvojem digitalnih računala iz frekvencijske domene klasičnog perioda težište se premješta u vremensku domenu (ponovo, kao u počecima razvoja teorije u 19. stoljeću!). Nastaje period „moderne“ teorije automatske regulacije, koja se oslanja na radove matematičara Poincaréa i Lyapunova s kraja 19. stoljeća. Zapis diferencijalnih jednadžbi u prostoru stanja omogućio je primjenu znatno složenijeg matematičkog alata na području regulacije. Tako se prikladno moglo pristupati problemima analize i sinteze nelinearnih, multivarijabilnih (više ulaza i/ili izlaza), vremenski-varijantnih sustava, ili sustava koji su opisani modelima visokog reda. Razvija se optimalna teorija upravljanja, za što su naročito poticajni bili radovi Rudolfa Kalmana iz 1960. i 1961. ([22-24]).

Razvoju moderne teorije automatske regulacije značajno su doprinjela formiranja stručnih tijela i inteziviranje održavanja konferencija. International Federation of Automatic Control (IFAC) osnovan je 1957. godine, s prvom konferencijom u Moskvi 1960.g. Prethodno su se već formirali odjeli automatske regulacije pri različitim lokalnim profesionalnim tijelima. Na primjer 1939. godine ustanovljen je Zajednica za tehniku regulacije (Fachgruppe Regelungstechnik) pri njemačkoj VDI (Verein Deutscher Ingenieure), a 1943. godine formiran je


18

Instruments and Regulators Divison (danas je to Dynamic Systems and Control Divison) pri ASME-u (American Society of Mechanical Engineers).

Danas podjela teorije na klasičnu i modernu nije aktualna. Unatoč značajnim prednostima moderne teorije u odnosu na klasičnu bilo je i nedostataka prethodne, tako da je i klasična teorija preživjela, i dalje se razvijala, što je naročito naglašeno u praktičnim industrijskim primjenama. Klasična teorija naglašavala je primjenu inženjerske intuicije (znanja stečenog iskustvom), dok se kod moderne teorije puno toga moglo skriti iza formalnog matematičkog pristupa, što često može biti značajan nedostatak. Amplitudna i fazna rezerva stabilnosti kod klasične teorije bili su dobar alat za postizavanje robusnosti regulacije na poremećaje, mjerne šumove ili nemodeliranu dinamiku, dok moderna teorija nije imala nešto tako prikladno. Za jednovarijabilne linearne sustave mogu se naći i snažni argumenti prednosti klasičnog pristupa, pogotovo za neke primjene (vidjeti npr. [25]). Dalji razvoj teorije automatske regulacije brisao je razlike u pristupima, a suvremena edukacija ili udžbenici naprosto podrazumijevaju poznavanje metoda koje podrijetlo vuku kako iz „klasične“, tako iz „moderne“ teorije.

19

3. Osnovni regulacijski krug

3.1 Uvod

Grafički simboli blok dijagrama jezik su kojim se jasno, racionalno i nedvosmisleno prikazuju sustavi automatske regulacije, odnosno općenito automatizacije. Prikaz sustava blok dijagramom ujedno je i prvi korak u matematičkoj analizi takvog sustava. Pojedini elementi, ili dijelovi sustava povezuju se međusobno i prikazuju na slikoviti način. Pri tome se mogu prikazati funkcionalni odnosi među elementima nekog sustava, koji se mogu crtati bez strogih matematičkih pravila. Takvi blok dijagrami zovu se funkcionalni. Ako blokovi predstavljaju prijenosne funkcije dijelova sustava, te ako se tok signala označi odgovarajućom varijablom, onda je riječ o strukturnom blok dijagramu, koji predstavlja model sustava. Pri sastavljanju sveukupnog modela poštuju se pravila operacija među blokovima. Pravila operacija među blokovima dani su u poglavlju 4.7.

Četiri su osnovna simbola sačinjavaju blok dijagram. To su:

a) strjelica, predstavlja signal, fizikalnu veličinu koja se mijenja s vremenom u naznačenom smjeru;

b) blok, predstavlja funkcionalni odnos između signala koji ulaze u blok (uzroka) i signala koji iz bloka izlaze (posljedica). Signali koji ulaze u blok su ulazi (ili ulazne varijable, pobude, causes), dok su signali koji izlaze iz bloka izlazi (izlazne varijable, odzivi, effects);

c) krug, predstavlja točku zbrajanja ili komparator;

d) čvorište, predstavlja točku račvanja signala (signal je jednak u svakom ogranku).

Osnovni simboli prikazani su u tablici 3.1.


20

a)

b)

c)

d)

Tablica 3.1. Osnovni simboli koji sačinjavaju blok dijagram 3.2 Osnovni blok dijagram sustava automatske regulacije

Poopćeni osnovni blok dijagram jednog sustava automatske regulacije dan je na slici 3.1.

Slika 3.1. Poopćeni osnovni blok dijagram automatske regulacije

Veličine navedene u osnovnom blok dijagramu automatske regulacije su slijedeće:

r(t) – referentna veličina, ili referencija. Naziva se još i nazivna veličina kod čvrste regulacije, odnosno vodeća veličina kod slijedne regulacije. Referentna veličina (reference input) je vanjski signal primjenjen na sustavu automatske regulacije na komparatoru. Predstavlja željeno (ili idealno) ponašanje regulirane veličine procesa.

y(t) – regulirana veličina. Često se kaže samo izlaz. Regulirana veličina (controlled variable ili controlled output, ili najčešće samo output) predstavlja izlaznu veličinu reguliranog procesa.

e(t) – regulacijsko odstupanje, ili regulacijska pogreška. Regulacijsko odstupanje (actuating signal, ili error signal) je razlika između referentne i regulirane veličine, koja ulazi u regulacijski uređaj i potiče njegovo djelovanje.

u(t) – postavna veličina. Postavna veličina (control signal ili manipulated variable) je signal koji predstavlja izlaz iz regulacijskog uređaja, i ulaz u proces.

21

d(t) – poremećajna veličina. Poremećajna veličina (disturbance) je signal koji ima neželjeni utjecaj na reguliranu veličinu. Poremećajna veličina može djelovati iz okoline na više načina, te može ulaziti u sustav na mnogo različitih mjesta. Na primjer poremećaj može dolaziti sa strane opterećenja a također i sa strane postavne veličine. Poremećajne veličine u širem smislu mogu se smatrati i sva ona djelovanja koja pomiču sustav automatske regulacije iz neke ravnotežne točke, pa tako prema [26] to mogu biti i promjene postavne veličine, promjene parametara procesa, te mjerni šumovi i kvarovi.

Regulacijski uređaj (controller) – dio je sustava automatske regulacije koji generira postavnu veličinu koja će djelovati na regulirani proces. Regulacijski uređaj ili regulator obično sadrži pojačalo, nekakvo vremensko djelovanje, te komparator. U širem smislu regulator uz to može obuhvatiti i generator referentne veličine, te razne elemente za obradbu signala (npr. filtere, analogno-digitalnu i digitalno-analognu konverziju, itd.).

Objekt regulacije ili proces (process, plant) – obuhvaća sustav, podsustav ili proces čija veličina (ili veličine) je predmet regulacije. Ponegdje u hrvatskoj literaturi (npr. u [27]) može se naći i izraz regulacijska staza koji potječe iz njemačke literature (Regelstrecke). Taj izraz ima uži smisao od objekta regulacije ili procesa. Jedan objekt regulacije može imati više regulacijskih staza, već prema tome koje fizičke veličine tog objekta želimo regulirati. Na primjer, jedan elektromotor može biti objekt regulacije, a regulacija pozicije osovine elektromotora, ili regulacija njene brzine vrtnje dvije su različite regulacijske staze.

Negativna povratna veza i komparator (comparator) – osnovna funkcija povratne veze, to jest usporedba željene i stvarne vrijednosti veličine koju se želi regulirati, obavlja se komparatorom. Prirodno je stoga da povratna veza ima negativnu vrijednost. Komparator izdvojen iz osnovnog blok dijagrama automatske regulacije prikazan je na slici 3.2.

Pozitivna povratna veza u suprotnom slučaju potaknula bi nestabilnosti i poništila sve efekte i razloge primjene regulacije. Ipak, u iznimnim slučajevima postoje primjeri korištenja pozitivne povratne veze. Jedan primjer je izum pojačala s pozitivnom povratnom vezom (jedan od ključnih izuma na području radio-tehnike, iz 1917., a najčešće se pripisuje E.H. Armstrongu [28]) iz SAD-a. Vračajući audio-signal pozitivnom povratnom vezom, signal se pojačavao na uskom pojasu frekvencija (dolazilo je do rezonancije), što je bilo pogodno za primjene u radio tehnici. Također, primjeri pozitivne povratne veze navode se i u [29, pogl. 1.4], gdje se ona koristi da se dobije vrlo brzi odziv na ulazni signal (dan je primjer bistabila).

Slika 3.2. Komparator Uz vremensku invarijabilnost, odnosno varijabilnost referentne veličine r, mogu se povezati dva važna pojma u automatskoj regulaciji: čvrsta i slijedna regulacija. Kada je referentna vrijednost uglavnom vremenski invarijantna, odnosno kada se rijetko mijenja, onda se ona


22

još zove i nazivna vrijednost (setpoint), a regulacija je čvrsta (disturbance rejection, ili disturbance attenuation, dakle doslovni prijevod je otklanjanje poremećaja). Ako se referentna veličina kontinuirano mijenja, još se naziva i vodeća veličina. Tada je primarni zadatak sustava regulacije da regulirana veličina prati vodeću, a takva regulacija naziva se slijednom regulacijom (tracking control). Servomehanizmi ili kraće servo (servomechanisms, servo) na neki način su i sinonimi (bliskoznačnice) za slijednu regulaciju. Zadatak servomehanizama je praćenje neke mehaničke veličine, poput položaja, brzine ili ubrzanja, sa što većom točnošću. Pojam servo (od lat. servus, posluživati, biti podređen) vezan uz regulaciju prvi put se pojavljuje najvjerojatnije u drugoj polovici 19. stoljeća (izraz le servomoteur, a pripisuje se Francuzu J.J.L. Farcotu). Taj izraz postaje blisko vezan uz automatsku regulaciju u prvoj polovici 20. stoljeća (npr. značajan je rad H.L. Hazena Theory of Servomechanisms iz 1934. g.).

Zadatak slijedne i čvrste regulacije nije jednak, pa se i projektiranje uređaja za regulaciju može razlikovati (naime, prijenosna funkcija u ta dva slučaja se ponešto razlikuje). Ponegdje se i regulacijski uređaj vezan uz čvrstu regulaciju naziva regulator, a onaj vezan uz slijednu regulaciju kompenzator. Ipak, napominje se da se problemi čvrste i slijedne regulacije više puta isprepliću (često je potrebno riješiti oba zadatka), pa u prepoznavanju problema i rješenja iz samih naziva automatske regulacije treba biti oprezan, jer nerijetko nešto nije jednoznačno definirano.

U osnovnom blok dijagramu mogu se još naznačiti i blokovi koji predstavljaju izvršni i mjerni član, što je prikazano na slici 3.3. Nekada se oni predstavljaju kao dio regulacijskog uređaja (kao npr. u [30]), a nekada i kao dio objekta regulacije, ili čak kao sâm objekt regulacije. U američkoj literaturi izvršni član, ako se spominje, najčešće se naziva aktuator (actuator, npr. u [29], ili u [31]), dok se u njemačkoj literaturi češće sreće baš kao „izvršni član“ (Stellglied, npr. u [32]). Ne bi bilo jednostavno univerzalno definirati pojedine članove i njihovo mjesto u krugu automatske regulacije, obzirom na jako puno različitih mogućnosti i varijanti.

Izvršni član snabdijeva objekt regulacije snagom ili materijalom potrebnim za vođenje procesa. Prema [27], izvršni član sastoji se od postavnog pogona i postavnog člana. Postavni pogon je npr. neki elektromotor koji pokreće postavni član, npr. neki ventil.

Mjerni član sastoji se od mjernog osjetila (sensor) i mjernog pretvarača (transducer), i zadužen je za mjerenje regulirane veličine.

n(t) – mjerni šum, predstavlja pogrešku u mjerenju, koja je praktički uvijek prisutna u većoj ili manjoj mjeri. Razlikuje se više vrsta mjernog šuma. Detaljnije o šumu, te općenito o mjernom članu i mjerenju može se vidjeti npr. u [33].

23

Slika 3.3. Poopćeni osnovni blok dijagram automatske regulacije

s postavnim i mjernim članom


24

4. Opis sustava matemati čkim modelom

4.1 Definiranje matemati čkih modela

Uspješno vođenje nekog procesa zahtijeva njegovo poznavanje. To važi za bilo kakve procese, npr. gospodarske, društvene, a svakako i za tehničke. Pojednostavljeno rečeno, što više znanja o procesu bude uključeno u njegovom vođenju, to će biti bolji rezultati vođenja. Poznavanje nekog procesa koji je predmet vođenja, izražava se najčešće matematičkim modelima dinamike sustava (ili pojedinim elementima tog sustava). Takav model je apstraktni, matematički prikaz fizičkog, biološkog ili informacijskog sustava, koji daje uvid u njegovo ponašanje i omogućava predviđanje njegovog ponašanja u budućnosti.

Značajno je naglasiti da matematički model redovito uključuje samo neke značajke sustava, ali ne sve. Drugim riječima, model nikada potpuno ne preslikava stvarni sustav, već je uvijek u nekoj mjeri pojednostavljen. Koliko će model biti složen, odnosno koliko će biti pojednostavljen, ovisi o njegovoj namjeni. Dakle, model dinamike sustava je odgovarajući (proper) za određenu namjenu ako postiže traženu preciznost sa minimalnom složenošću ([34]). Na primjer, matematički model vozila namijenjen regulaciji brzine (tempomat) može biti vrlo jednostavan, dok model vozila namijenjen analizi i sintezi aktivnog ovjesa mora biti znatno složeniji, da bi vjerno izrazio promjene fizičkih veličina, koje su značajne u toj primjeni. Kako model predstavlja pojednostavljenje realnosti, nalaženje prave mjere obuhvata modela često nije jednostavan zadatak, i tu u punoj mjeri dolazi inženjerska vještina i intuicija. Model s jedne strane treba dovoljno vjerno opisati sustav radi dobrog razumijevanja, optimiranja i/ili vođenja. S druge strane model treba biti što jednostavniji radi efikasnije analize ponašanja, lakšeg uvida u karakteristike sustava , te mogućnosti primjene što jednostavnijih algoritama vođenja. Uz to jednostavniji model u pravilu se može brže simulirati na računalu, implementirati na računalu (što je nužno za implementaciju nekih algoritama vođenja temeljenih na modelu), ili za „hardware-in-the-loop“ primjene. Kako matematički model nekog sustava predstavlja i sredstvo komunikacije među grupama ili pojedincima koji se bave određenim problemom, to također ide u prilog jednostavnosti modela, koliko god to njegova namjena dozvoljava.

Uz matematičko modeliranje dinamičkih sustava usko je vezan pojam simulacije modela na računalu. Matematički modeli postoje još od doba razvoja diferencijalnih jednadžbi, međutim tek su računala i njihov razvoj doprinjela golemom značaju u tehnici kakvog danas

25

imaju modeli zajedno sa simulacijama na računalu. Analiza nekog sustava, te projektiranje i razvoj njegovog vođenja danas se ne može zamisliti bez računarskih simulacija.

Način modeliranju nekog dinamičkog sustava može biti različit. Načelno, dva su glavna pristupa ([35]): pristup po toku energije, i pristup po toku signala. Grafički prikaz modela pomoću mreža, poput električnih, ili hidrauličnih i pneumatskih shema primjer je prikaza fizičke strukture sustava. Elementi modela povezani su kao u stvarnom sustavu, i među njima je omogućen protok energije. Pri tom nije važno ustvrditi je li poveznica među elementima ulazna ili izlazna varijabla. Tipičan primjer modeliranja dinamičkih sustava po toku energije su vezni grafovi (bond graphs), koji su detaljno opisani npr. u [36] ili u [37]. S druge strane pristup po toku signala ne odražava fizičku strukturu sustava, već matematičku, ili računalnu strukturu kako je ponegdje nazvana ([38]). Karakterističan primjer grafičkog prikaza modela dobivenog praćenjem toka signala su blok dijagrami. U tom slučaju bitno je odrediti ulazne i izlazne varijable. Pri tom neki blok nema direktni utjecaj na prethodni blok. Mogući utjecaj na prethodni blok definira se uvođenjem povratne veze, što onemogućava stvarnu, fizičku interpretaciju pojedinih elemenata sustava. Naime, iterakcije energije među fizičkim elementima očito postoje, a to dobro iskazuju modeli dobiveni pristupom po toku energije (npr. mreže, vezni grafovi). Kao ilustracija može se dati primjer mehaničkog sustava sa oprugom i prigušenjem koji se giba translacijski. Na slici 4.1 a) dana je skica, tj. mreža elemenata, a na slici b) dan je prikaz istog sustava pomoću blok dijagrama. Tu je kao ulazna varijabla pretpostavljen pomak u točki A (xA), a kao izlazna varijabla pomak u točki B (xB). Do blok dijagrama može se doći iz ravnoteže sila u točki B:

BBA xDxxK &=− )( (4.1) Gdje su K konstanta krutosti opruge, a D konstanta viskoznog prigušenja prigušivača udarca. Izraz (4.1) može se napisati i u slijedećem obliku, koji vodi opisu danom na slici 4.1 b):

ABB xD

Kx

D

Kx =+& (4.2)

Očito je da „računalna struktura“ modela na nešto drugačiji način interpretira fizičku strukturu mehaničkih elemenata i tok energije između njih.

Slika 4.1. Mehanički sustav sa oprugom i prigušenjem

a) skica b) blok dijagram


26

4.2 Diferencijalne jednadžbe u opisu sustava Prilikom dobivanju matematičkog modela nekog sustava namijenjenog vođenju (control oriented model) prvenstveno je važno matematički prikazati vezu između ulaza (pobudu, uzrok) i izlaza (odziv, posljedicu) modeliranog sustava (pojam uzročnosti ili kauzalnosti – postojeće stanje sustava ovisi samo o njegovom prošlom stanju, ili drugačije rečeno, nema posljedica bez uzroka). Dakle, matematički modeli koji su obrađeni u ovom udžbeniku dobiveni su pristupom po toku signala. Može se dodati da se iz sustava prikazanog pomoću veznih grafova (pristup po toku energije) na sustavan način lako dolazi do prikaza sustava u obliku blok dijagrama (pristup po toku signala).

Vezu između ulaza i izlaza nekog dinamičkog sustava prikazuju diferencijalne jednadžbe (skraćeno d.j.).

Ovdje se vrlo kratko može podsjetiti na matematičko gradivo koje se tiče diferencijalnih jednadžbi: diferencijalne jednadžbe su jednadžbe s nepoznatim funkcijama, nezavisnim varijablama i derivacijama nepoznatih funkcija (ili njihovim diferencijalima) [Kraut, poglavlje IV]. Ako nepoznate funkcije ovise o jednoj nezavisnoj varijabli, onda se diferencijalna jednadžba naziva običnom. U problemima vezanim uz vođenje sustava, nezavisna varijabla je u pravilu vrijeme (t). Ako nepoznate funkcije ovise o nekoliko nezavisnih varijabli, onda se diferencijalna jednadžba naziva parcijalnom. Kod vođenja sustava ponekad se uz vrijeme pojavljuje i prostorna varijabla. Za takve sustave kaže se da imaju parametre raspodijeljene u prostoru (eng. distributed). Češći slučajevi u vođenju ipak nemaju prostornu komponentu, opisani su običnim diferencijalnim jednadžbama i nazivaju se sustavi s koncentriranim parametrima (engl. lumped). Red najviše derivacije ili diferencijala u jednadžbi naziva se redom diferencijalne jednadžbe. Integral diferencijalne jednadžbe je jedna ili više jednadžbi koje koje povezuju nepoznate funkcije i nezavisne varijable, na taj način da dana diferencijalna jednadžba prelazi u identitet ako u nju uvrstimo nepoznate funkcije i njihove derivacije dobivene iz tih jednadžbi. Određivanje integrala diferencijalne jednadžbe naziva se njenim integriranjem [39, četvrti dio]. Integral koji eksplicitno izražava nepoznatu funkciju s nezavisnim varijablama zove se rješenje diferencijalne jednadžbe. Rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija, dok je rješenje algebarske jednadžbe obično broj, ili skup brojeva.

Primjer jednostavne diferencijalne jednadžbe je Newtonov zakon F=m·a, gdje je F sila, m masa tijela, a ubrzanje je a = dv/dt. Rješenje takve homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda je funkcija vremena v(t)=A0eλt , za sve vrijednosti t, gdje su A0 početni uvjet i λ je konstanta.

Dakle, može se reći da dobiti matematički model nekog dinamičkog sustava, općenito znači napisati diferencijalnu jednadžbu (ili više njih) tog sustava. Simulacija modela zahtijeva rješavanje te diferencijalne jednadžbe. Rezultati simulacija najčešće se prikazuju grafički, pomoću dijagrama, gdje se crta kretanje zanimljivih varijabli sustava tijekom vremena.

4.3 Kašnjenja u dinami čkom sustavu Zadaća vođenja jest „bavljenje“ kašnjenjima u dinamičkim sustavima. To znači da se putem uređaja za vođenje (npr. regulatora) dodaju nova kašnjenja, ili vremenska prethođenja (kao

27

suprotnost kašnjenjima), da bi se dobilo ponašanje dinamičkog sustava koje će zadovoljiti postavljene kriterije glede stabilnosti, brzine odziva, točnosti i robusnosti.

Povezanost matematičke operacije integracije, pohrane energije i pojma kašnjenja (time lag) dobro se može prikazati na primjeru hidrauličkog cilindra (slika 4.2).

Slika 4.2 Hidraulički cilindar kao primjer integratora Ako se pretpostavi da je ulazna varijabla prikazanog procesa volumni protok tekućine Q ([m3/s]), koji se može mijenjati po želji, te kojim se upravlja brzinom klipnjače v ([m/s]), tada je veza između ulazne i izlazne varijable jednostavna: v = (1/A)·Q (gdje je A površina klipa ([m2])). Dakle, brzina se mijenja proporcionalno protoku, i svaka promjena protoka odražava se na promjeni brzine odmah, bez ikakvog kašnjenja.

U slučaju da se kao izlazna varijabla pretpostavi pomak klipnjače x ([m]), tada taj pomak x ne ovisi samo o trenutnom protoku Q kao kod brzine klipnjače, nego ovisi također i o vremenu koliko dugo postoji taj protok koji doprema tekućinu u cilindar: x = (1/A)·∫ Q·dt . Može se reći da cilindar „integrira“, tj. pohranjuje molekule tekućine. U prikazanom procesu očito je da je lakše upravljati brzinom, pošto je promjena brzine proporcionalna protoku i dešava se bez ikakvog kašnjenja. Upravljanje pomakom, odnosno pozicioniranje klipnjače cilindra, obuhvaća i neophodno vrijeme koje treba proteći da se jedna komora cilindra ispuni tekućinom, a to predstavlja kašnjenje, što treba uzeti u obzir prilikom upravljanja.

Vrlo općenito, upravljanje i/ili regulacija vode proces prijenosa i prijelaza energije iz jednog oblika u drugi. Proces pohrane energije u pripadajuće spremnike matematički je ekvivalentan integraciji po vremenu promjene energije, te predstavlja kašnjenje. Broj spremnika energije u modelu nekog sustava definira red tog modela, odnosno broj varijabli stanja u modelu.

Za ilustraciju mogu se navesti neki primjeri iz osnovnih domena u fizici. Na primjeru translacijskog gibanja krutog tijela „varijable snage“ su brzina i sila. Njihov umnožak daje snagu, koja se trenutačno prenosi nekim sustavom. Integracijom snage po vremenu dobiva se energija. Tako se integracijom po vremenu „varijabli snage“ (brzina i sila) dobivaju „energetske varijable“, koje se pohranjuju u odgovarajućim spremnicima energije. Dakle,


28

integracijom brzine i sile dobiva se put ili pomak koji se pohranjuje u opruzi (potencijalna energija), te količina gibanja koja se pohranjuje u masi tijela (kinetička energija). Pohrana energije u pripadajuće spremnike (njihovo punjenje ili pražnjenje) zahtijeva vrijeme (tj. kašnjenja).

4.4 Varijable snage i energetske varijable Koncept varijabli snage, te energetskih varijabli proizlazi iz veznih dijagrama (bond graphs), čiji detaljni opis je dan u [36] ili [37]. Prema tome, varijable snage čine varijabla toka f(t) (flow) i varijabla napora e(t) (effort), čiji umnožak daje snagu P(t) (4.3). Integral po vremenu snage daje energiju E(t), a energetske varijable dobivaju se integriranjem po vremenu varijabli snage (4.4). Energetske varijable su pomak ili istiskivanje q(t) (displacement), te količina gibanja p(t) (momentum). Neki primjeri varijabli snage i energetskih varijabli, te spremnika energije iz različitih fizičkih domena dani u tablici 4.1. Radi cjelovite slike o spremnicima energije, te varijablama energije i snage, treba dodati da trebaju postojati i potrošači energije (poput prigušnica, otpornika, itd .), gdje se korisna energija gubi putem topline.

)()()( tftetP ⋅= (4.3)

∫ ∫

∫ ∫

+=≡

+=≡

tt

tt

dttfqdttftq

dttepdttetp

0

0

)()()(

)()()(

0

0 (4.4)

∫∫

∫ ∫==

=≡)()()()()(

)()()()(

tdptftdqtetE

dttftedttPtE (4.5)

Varijable snage Energetske varijable Spremnik energije

Domena e(t) f(t) p(t) q(t) p(t) q(t)

Translacijsko gibanje

krutog tijela

Sila F [N]

Brzina v [m/s]

Količina gibanja p [N s]

Pomak, put

x [m]

Masa tijela

Opruga

Rotacijsko gibanje

krutog tijela

Okretni moment τ [N m]

Kutna brzina

ω [rad/s]

Kutna količina gibanja

pτ [N m s]

Kut θ [rad]

Moment tromosti

mase

Torzijska opruga

Elektrika Napon e [V]

Električna struja I [A]

Vezni magnetski tok

λ [V s]

Naboj Q [C=A s]

Zavojnica Kondenzator

Hidraulika Tlak p [Pa]

Volumni protok

Q [m3/s]

Količina gibanja tlaka

pp [Pa s]

Volumen V [m3]

Masa fluida u gibanju

Akumulator

Tablica 4.1. Varijable snage, energetske varijable i spremnici energije za neke fizičke domene

29

4.5 Analiti čki modeli tehni čkih sustava Matematički modeli dinamike sustava mogu se dobiti procesom modeliranja, to jest teoretskim ili analitičkim putem. Na taj način model tehnčkog sustava se dobiva primjenom osnovnih prirodnih zakona održanja mase, energije i impulsa, te korištenjem fizikalnih i kemijskih zakona. Rezultat toga jest matematički model u obliku diferencijalne jednadžbe, ili sustava diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju promjene stanja stvarnog tehničkog sustava tijekom vremena, kao posljedicu djelovanja vanjskih pobuda ili unutarnje pohranjene energije. Drugi način dobivanja matematičkog modela je iz eksperimentalnih podataka, što je opisano kasnije. Analitički način dobivanja modela u prednosti je nad eksperimentalnim načinom zbog mogućnosti boljeg uvida u ponašanje sustava, odnosno mogućeg boljeg razumijevanja utjecaja pojedinih elemenata na značajke cjelokupnog sustava. To često pridonosi poboljšanjima upravljanja takvim sustavima. No važno je naglasiti da se analitički dobiveni model u pravilu treba eksperimentalno provjeriti, odnosno verificirati. Ponekad je potrebno precizno odrediti parametre sustava (parametriranje), a općenito je potrebno potvrditi vjernost opisa stvarnog sustava modelom, što će osigurati neophodno povjerenje u rezultate simulacijskih analiza i sinteze upravljanja.

U nastavku su dani primjeri dobivenih diferencijalnih jednadžbi za neke jednostavne tehničke sustave koji su česti predmet upravljanja, ili su sastavni dijelovi uređaja upravljanja: mehanički sustav, električni sustav, te elektromehanički sustav. Dobivene diferencijalne jednadžbe pretvoriti će se u oblike pogodnije za analizu dinamike i sintezu upravljanja, poput prijenosne funkcije i prostora stanja.

Mehanički sustav

Dan je primjer linearnog mehaničkog gibanja (translacije). Mehanički sustav se pokorava 3. Newtonovom zakonu gibanja, koji posredno kaže da je zbroj primijenjenih sila jednak zbroju sila koje im se suprostavljaju. Tri su osnovna elementa mehaničke translacije kojima će se opisati ovaj sustav: masa M, opružno djelovanje (elastičnost) K i prigušenje D. Zbog jednostavnosti, neće se uključiti nelinearni elementi trenja koji mogu biti prisutni.

MA B

DK

xA(t)xB(t)

f(t)

Slika 4.3. Translacijski mehanički sustav sa masom, prigušenjem i oprugom

Iz ravnoteže sila u točkama A i B slijedi:


30

Točka A : )( BAK xxKff −== (4.6)

Točka B: dt

dxD

dt

xdMfff BB

DMK +=+= 2

2 (4.7)

gdje f označava vanjsku silu koja djeluje na točku A; fK, fM i fD su sile opružnog djelovanja, sila inercije i sila prigušenja; sa x su označeni pomaci u točkama A i B; a K, M i D označavaju konstantu krutosti opruge, masu i konstantu viskoznog prigušenja amortizera.

Ovaj sustav je drugog reda, sa dva spremnika energije, gdje masa u gibanju čuva kinetičku energiju, a opruga potencijalnu. Tijekom gibanja, potaknutim vanjskom silom f ili pohranjenom energijom unutar sustava (na što ukazuju početni uvjeti u modelu), energija prelazi iz jednog oblika u drugi, gubeći se na prigušenju. Omjeri mase, elastičnosti i prigušenja određuju kakav će biti oblik tih prijelaza.

Kako je cilj modela dinamike sustava dobiti apstraktan opis veza između posljedica nekih promjena (izlazne veličine) sa pobudama koje su ih uzrokovale, ovdje se nameću tri takva para: xa i f, xb i xa, te konačno xb i f. Parovi će se dati pomoću prijenosnih funkcija u poglavlju 4.6. Prikaz pomoću prostora stanja dan je u poglavlju 4.7.

Električni sustav

Na primjeru sustava sa serijski spojenim otpornikom, svitkom i kondenzatorom (RLC), danim na slici 4.4, prikazati će se model električnog sustava, koji je usporediv prethodnom mehaničkom sustavu po visini reda sustava, odnosno po broju spremnika i potrošača energije.

R L

C uc(t)+

-u0(t)

i(t)

Slika 4.4. Električni sustav sa otpornikom, svitkom i kondenzatorom

Jednadžbe za električni krug dobivaju se primjenom Kirchoffovih zakona, te Ohmovog i Faradeyovog zakona.

Pad napona na otporniku uR, svitku uL, te na kondenzatoru uC (slijedi iz izraza za struju, uz pretpostavku da je početni naboj 0) dani su slijedećim izrazima:

31

iRuR = (4.8)

dt

diLuL = (4.9)

dt

duCi C= ⇒ ∫=

T

C dtiC

u0

1 (4.10)

gdje R, L i C predstavljaju otpor, induktivitet i kapacitet; i je struja; a t vrijeme.

Kada je serijski RLC krug zatvoren, suma padova napona biti će jednaka primijenjenom istosmjernom naponu izvora u0 :

0uuuu CRL =++ (4.11)

Uvrštavanjem izraza (4.8) do (4.10) u (4.11) dobiva se:

00

1udti

CiR

dt

diL

T

=++ ∫ (4.12)

Primjenom izraza za struju na kondenzatoru iz (4.10) u (4.12) može se dobiti izraz za pad napona kondenzatora:

02

2uu

dt

duCR

dt

udCL C

CC =++ (4.13)

Prikaz jednadžbe (4.13) pomoću prijenosne funkcije dan je u poglavlju 4.8, a pomoću prostora stanja u poglavlju 4.10.

Sličnost opisanog električnog i prethodnog mehaničkog sustava je očita - također postoje dva spremnika energije, svitak i kondenzator, te jedan potrošač, otpornik. Svitak ovdje ima ulogu inercije, jer se suprostavlja promjeni struje. Pohranjujući magnetsku energiju opire se njenom porastu, dok razgrađivanjem magnetskog polja opire se naglom padu struje. Na kondenzatoru može se dostići gotovo dvostruki napon izvora, pa tada razlika napona tjera struju u suprotnom smjeru. Dio energije troši se pretvaranjem u toplinu na otporniku.

Elektromehanički sustav

Električna struja i magnetska polja međusobno djeluju na mnogo načina, čineći osnovu mnogim elektromehaničkim sustavima poput električnih motora i generatora, te različitih mjernih uređaja.

Ovdje je za primjer dan istosmjerni (DC) elektromotor prikazan na slici 4.5.


32

+

-u0(t)

LR

i(t)+

- J

e(t)

D ( )tθ

Slika 4.5. Istosmjerni elektromotor

Umjesto korištenja zakona motora i generatora koji povezuju magnetsku gustoću i geometrijske karakteristike motora, moment razvijen motorom T dan je pomoću konstante motora Km i struje armature i, dok je suprostavljajući napon e stvoren gibanjem u magnetskom polju (elektromotorna sila) dan pomoću konstante generatora Kg i brzine

gibanja θ& (kutna brzina rotora):

iKT m= (4.14)

θ&gKe = (4.15)

Konstanta motora Km i generatora Kg jednake i označene su sa K. Uz primjenu Newtonovih zakona za mehanički dio i Kirchoffovih zakona za električni krug, mogu se dobiti jednadžbe koje opisuju gibanje istosmjernog motora:

iKDJ =+ θθ &&& (4.16)

θ&KuiRdt

diL −=+ 0 (4.17)

J je moment tromosti rotora i povezanih opterećenja, dok je D koeficijent viskoznog trenja. Zanemareni su drugi mogući oblici trenja. L je induktivitet, R otpor armature, a u0 je napon izvora, odnosno to je varijabla ulaza kojom se može upravljati pomakom ili brzinom vrtnje elektromotora.

4.6 Prijenosna funkcija Prijenosna funkcija (transfer function) jedan je od nekoliko osnovnih pojmova svojstvenih automatizaciji, i općenito teoriji sustava. Prijenosna funkcija povezuje ulaz i izlaz nekog sustava ili elementa, odnosno uzrok i posljedicu promjena, te tako predstavlja dinamičko ponašanje sustava ili nekog pojedinog elementa.

Prijenosna funkcija zamjenjuje klasično rješavanje diferencijalne jednadžbe. Iako je matematička teorija na kojoj se temelji prijenosna funkcija dosta složena, njeno korištenje je razmjerno jednostavno, i nije uvjetovano poznavanjem te teorije. To je svakako jedan od

33

razloga njene široke primjene i popularnosti. Ipak, potrebno je poznavati njena ograničenja odnosno njeno područje primjene.

Prijenosna funkcija načelno je povezana uz područje linearnih vremenski invarijantnih sustava. Ona se temelji na operatorskom računu, odnosno preslikavanju funkcije na funkciju. Na taj način je engleski fizičar Heaviside krajem 19. stoljeća pojednostavnio rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi, ali bez čvrstih matematičkih dokaza. Kasnije je na temelju Laplaceove transformacije ta metoda matematički dokazana, te se za nju i koristi taj naziv – Laplaceova transformacija.

Laplaceova transformacija

Dana je linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima u slijedećem obliku:

)()(

...)()(

)()(

...)()(

011

1

1011

1

1 txbdt

tdxb

dt

txdb

dt

txdbtya

dt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n ++++=++++ −

−

−−

−

− (4.18)

y(t) je izlazna veličina, x(t) je ulazna veličina, dok su ak i bk pripadajući koeficijenti, pretpostavka je da su realni brojevi. Sustav je dan povezanošću između ulazne i izlazne veličine opisane diferencijalnom jednadžbom.

Diferencijalna jednadžba iz (4.18) je n-tog reda, pa se i za sustav kojeg ona predstavlja kaže da je n-tog reda. U pravilu je n ≥ m (ali može biti iznimaka).

Uvodi se transformacija, tako da funkcija x(t) postaje X(s), odnosno y(t) postaje Y(s). Derivacija se zamjenjuje operatorom s, odnosno integracija se zamjenjuje sa 1 / s :

)()(

sXsdt

tdx≡ )(

1)( sX

sdttx ≡∫

)()( 2

2

2sXs

dt

txd≡ )(

1)( 2 sX

sdttx ≡∫∫

.

.

.

)()(

sXsdt

txd nn

n

≡ (4.19)

Operator preslikava funkciju na funkciju, dok funkcija preslikava brojeve na brojeve. Transformiranjem (4.18), ona postaje:

)()(...)()()()(...)()( 011

1011

1 sXasXsbsXsbsXsbsYasYsasYsasYsa mm

mm

nn

nn ++++=++++ −

−−

−(4.20)

Dakle, diferencijalna jednadžba (4.18) postala je algebarska jednadžba (4.20), što njeno rješavanje čini znatno lakšim. Međutim, važno je uočiti da rješenje (4.20) neće biti funkcija vremena t, odnosno neće biti u vremenskom području nego u području operatora s.


34

Operator s je kompleksna varijabla, ili kompleksna frekvencija, stoga je rješenje u području kompleksne varijable. Prijelaz u vremensko područje ponovno zahtijeva transformaciju koja se zove obrnutom ili inverznom Laplaceovom transformacijom.

Obično se funkcija u vremenskom području piše malim slovom (npr. x(t)), dok se u području kompleksne varijable piše velikim slovom (npr. X(s)).

Operacija Laplaceove transformacije vremenske funkcije dana je nepravim integralom:

∫∞

−=0

)()( dtetfsF st (4.21)

gdje je s kompleksna varijabla (ili kompleksna frekvencija):

ωσ js += (4.22)

gdje σ predstavlja realni dio a ω imaginarni dio kompleksne varijable.

Simboličku oznaku Laplaceove transformacije predstavlja operator L, dok je inverzna transformacija L-1.

Sve funkcije ne mogu se transformirati. f(t) će imati Laplaceovu transformaciju ako je eksponencijalnog reda, odnosno ako je nepravi integral apsolutno konvergentan.

Detaljni prikaz teorije Laplaceove transformacije, njena svojstva i teoremi, usporedbe sa Fourierovom transformacijom, te tablice transformacije funkcija dane su u [27].

Definicija prijenosne funkcije

Transformiranu jednadžbu koja opisuje dinamiku sustava iz (4.20) može se urediti:

)()...()()...( 011

1011

1 sXbsbsbsbsYasasasa mm

mm

nn

nn ++++=++++ −

−−

− (4.23)

Omjer izlazne veličine Y(s) i ulazne veličine X(s) sustava iz (4.23) biti će:

011

1

011

1

...

...)()(

)(asasasa

bsbsbsb

sX

sYsG

nn

nn

mm

mm

++++++++

== −−

−− (4.24)

Izraz (4.24) predstavlja prijenosnu funkciju sustava, koja se obično označava sa G(s) (često također H(s)).

Dakle, prijenosna funkcija G(s) nekog sustava jest transformirani omjer izlazne i ulazne funkcije uz početne uvjete jednake nuli:

)()(

)(sX

sYsG = (4.25)

Iz pojma transformirani uočava se da je prijenosna funkcija povezana uz područje kompleksne varijable s. Osim toga, može se uočiti da prijenosna funkcija opisuje dinamiku sustav samo povezujući utjecaj pobude na izlaznu veličinu, a isključuje utjecaj pohranjene energije u sustavu, pošto su početni uvjeti po definiciji jednaki nuli.

35

Red prijenosne funkcije je red polinoma njenog nazivnika n. Članovi u nazivniku predstavljaju kašnjenja u sustavu (broj integracija), dok članovi u brojniku predstavljaju ponašanje sustava s obzirom na pobudu. U pravilu je red polinoma nazivnika prijenosne funkcije veći ili jednak redu polinoma njenog brojnika (n ≥ m), uz moguće iznimke.

Obrnuta Laplaceova transformacija prijenosne funkcije predstavlja težinsku funkciju g(t), odnosno odziv sustava na pobudu u obliku impulsne funkcije:

g(t) = L-1 [G(s)] (4.26)

Karakteristična jednadžba, polovi i nule

Prijenosna funkcija dana je u izrazu (4.24):

011

1

011

1

...

...)()(

)(asasasa

bsbsbsb

sX

sYsG

nn

nn

mm

mm

++++++++

== −−

−−

Može se napisati i drugačije:

( )

( )∏

∏

=

=

−

−=

n

ii

m

ii

ps

zs

KsG

1

1)( (4.27)

Vrijednosti s = pi za koje je polinom nazivnika prijenosne funkcije jednak nuli zovu se polovi prijenosne funkcije, ili polovi sustava kojeg prijenosna funkcija predstavlja. Za te vrijednosti kompleksne varijable, ili kompleksne frekvencije s prijenosna funkcija poprima beskonačne iznose (zbog dijeljenja nulom).

Vrijednosti s = zi za koje je polinom brojnika prijenosne funkcije jednak nuli zovu se nule prijenosne funkcije. Za te vrijednosti kompleksne varijable s prijenosna funkcija biti će jednaka nuli. Drugim riječima, za te vrijednosti s izlaz iz sustava biti će jednak nuli, bez obzira kakva pobuda djeluje na ulazu.

K je omjer b0/a0 i predstavlja pojačanje prijenosne funkcije. Kako je to pojačanje pri kompleksnoj frekvenciji s = 0, često se naziva DC gain (direct current).

Dakle, polovi prijenosne funkcije rješenja su jednadžbe koja nastaje kada se nazivnik prijenosne funkcije iz (4.24) izjednači sa nulom. Takva jednadžba naziva se karakteristična jednadžba:

0... 011

1 =++++ −− asasasa n

nn

n (4.28)


36

To je ista karakteristična jednadžba koju treba riješiti kada se traži opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe koja opisuje sustav uz pobudu jednaku nuli. Njeno rješenje, odnosno korijenovi, odgovaraju polovima (klasično rješenje diferencijalne jednadžbe opisano je u poglavlju 5).

Karakteristična jednadžba, odnosno polovi i nule, vrlo su važni pojmovi u automatizaciji. Poznavajući broj i smještaj polova, te nula (prikazanih u Gaussovoj ravnini) može se znati mnogo o svojstvima linearnog vremenski invarijatnog sustava, poput stabilnosti i brzine odziva.

4.7 Blok dijagrami Rašireni oblik prikazivanja modela sustava su blok dijagrami, a već su prethodno spomenuti u poglavlju 3.1. Pojedini elementi, ili dijelovi sustava, povezuju se međusobno i prikazuju na slikoviti način. Ako blokovi predstavljaju prijenosne funkcije dijelova sustava, te ako se tok signala označi odgovarajućom varijablom, onda je riječ o strukturnom blok dijagramu, koji čini model sustava. Pri sastavljanju sveukupnog modela poštuju se pravila operacija među blokovima. Funkcionalni odnosi među elementima nekog sustava također se često prikazuju grafički pomoću blokova, no oni se obično crtaju ležernije, bez strogih matematičkih pravila. Takvi blok dijagrami zovu se funkcionalni. U ovom poglavlju razmatraju se strukturni blok dijagrami, koji slikovito predstavljaju matematički model dinamike sustava. Blok dijagram jednog elementa ili sustava dan je na slici 4.6, a predstavlja njegovu prijenosnu funkciju.

GX Y

Slika 4.6. Blok dijagram jednog elementa ili sustava

Važno svojstvo strukturnih blok dijagrama jest mogućnost spajanja blokova. Na taj način od jednostavnih modela sustava lako se grade složeni. Model složenog sustava, ili pojednostavljenje njegovog dijagrama može se dobiti poštujući pravila algebre blokova. Važno je uočiti da operacije algebre blokova vrijede za sustave dane prijenosnim funkcijama, odnosno sustave u području kompleksne varijable s. Kada bi blokovi predstavljali sustav u vremenskom području, operacije među njima bilo bi vrlo složeno i nepraktično (obuhvaćalo bi integral konvolucije).

Prije prikaza osnovnih pravila algebre blokova, potrebno je upoznati način na koji signal putuje među blokovima, i tu postoje dva načina prikazana u dvije točke: točka račvanja i točka zbrajanja (slika 4.7). Napominje se da je to već prikazano u tablici 3.1, a ovdje se ponavlja.

37

X3

X2

X1

X1

X2

X3

b)

a)

Slika 4.7 a) Točka račvanja i b) Točka zbrajanja

Za točku račvanja vrijedi: X1 = X2 = X3

Za točku zbrajanja vrijedi: X3 = X1 + X2

Algebra blokova

Tri su osnovne veze između dva bloka, kojima se mogu riješiti ili pojednostavniti veze među svim složenim sustavima. To su serijska, paralelna i povratna veza.

Serijska veza dana je na slici 4.8. Ukupna prijenosna funkcija serijske veze (ona koja zamjenjuje obje pojedinačne) dana je slijedećim izrazom:

21)()(

)( GGsX

sYsG ⋅== (4.29)

X G1 G2Y

Slika 4.8. Serijska veza

Paralelna veza dana je na slici 4.9. Ukupna prijenosna funkcija paralelne veze dana je sa:

21)()(

)( GGsX

sYsG +== (4.30)


38

X

G1

G2

Y

Slika 4.9. Paralelna veza

Povratna veza dana je na slici 4.10. Ukupna prijenosna funkcija negativne povratne veze dana je sa:

21

1

1)()(

)(GG

G

sX

sYsG

⋅+== (4.31)

XG1

G2

Y

-

Slika 4.10 Negativna povratna veza

Poseban slučaj povratne veze je jedinična negativna povratna veza (G2 = 1), dane na slici 4.11, može se izraziti slijedećim:

1

1

1)()(

)(G

G

sX

sYsG

+== (4.32)

XG1

Y

-

Slika 4.11. Jedinična negativna povratna veza

39

Postoje još nekoliko pravila algebre blokova koja olakšavaju rješavanje složenijih dijagrama, što je prikazano npr. u [27]. Ipak, rješavanje složenih blok dijagrama nije jednostavno i može biti podložno pogreškama. Jednostavnije rješavanje složenijih problema algebre blokova moguće je koristeći takozvano Masonovo pravilo primijenjeno na dijagrame toka signala, što je dano u [40, prilog B].

Slijedeći izračun pokazati će kako se postepeno može dobiti ukupna prijenosna funkcija negativne povratne veze iz (4.31). Primjer dan na slici 4.10 ponovno je dan na slici 4.12, ali s dodatnim signalima radi jasnoće izvoda.

X G1

G2

YE

YPV

Slika 4.12. Negativna povratna veza

Regulacijska pogreška E(s) sa slike 4.12 razlika je signala X(s) i YPV(s):

)()()( sYsXsE PV−= (4.33)

gdje je:

)()( 21 sEGGsYPV ⋅⋅= (4.34)

Uvrštavanjem (4.34) u (4.33) dobiva se:

)()()( 21 sEGGsXsE ⋅⋅−= (4.35)

Ako je izlazni signal Y(s) dan slijedećim izrazom:

)()( 1 sEGsY ⋅=

onda uvrštavajući izraz za E(s) iz (4.35) u (4.34), može se dobiti slijedeće:

)()()(1

1

21

1sY

G

GGsXsY

G

⋅−= (4.36)

Sređivanjem jednadžbe (4.36) dobiva se veza između Y(s) i X(s), odnosno ukupna prijenosna funkcija negativne povratne veze kao u (4.31):


40

)(1

)(21

1 sXGG

GsY

⋅+=

21

11)(

)()(

GG

G

sX

sYsG

⋅+== (4.37)

Iz prethodnog izvoda može se vidjeti da bi u slučaju pozitivne povratne veze u nazivniku izraza (4.37) bio minus umjesto plusa (dakle 1 – G1·G2).

4.8 Primjeri prijenosne funkcije Mehanički sustav

Na matematičkom modelu mehaničkog sustava iz poglavlja 4.5 vidjeti će se primjer dobivanja prijenosne funkcije.

Mehanički sustav dan je jednadžbama (4.6) i (4.7):

))()(()( txtxKtf BA −= (4.38)

dt

tdxD

dt

txdMtf BB )()(

)( 2

2+= (4.39)

Transformacijom iz (4.19), gornje jednadžbe postaju:

))()(()( sXsXKsF BA −= (4.40)

)()()( 2 sXsDsXsMsF BB += (4.41)

Iz (4.40) može se izlučiti izraz za XB i uvrstiti u (4.41), pa se sređivanjem dobiva veza između sile F(s) kao ulazne varijable i XA(s) kao izlazne:

)()()()(1 22 sXsDsMsFKsDsMK

A+=++ (4.42)

U (4.41) izražena je veza između F(s) kao ulazne varijable i XB(s) kao izlazne:

)()()( 2 sXsDsMsF B+= (4.43)

Nameće se još traženje veze između gibanja u čvoru A kao ulaza (pobude) i gibanja u čvoru B kao izlaza (posljedice). Ta veza lako se dobije izjednačavanjem (4.40) i (4.41):

)()()( 2 sXKsDsMsXK BA ++= (4.44)

Iz (4.42) može se napisati prijenosna funkcija G1(s) koja povezuje ulaz F(s) i izlaz XA(s). Iz (4.44) dobiti će se prijenosna funkcija G2(s) između ulaza XA(s) i izlaza XB(s). Još se može povezati ulaz F(s) i izlaz XB(s) pomoću (4.43), što će biti prijenosna funkcija označena sa G(s):

41

KsDsM

KsDsM

sF

sXsG A

)()()(

)( 2

2

1+

++== (4.45)

KsDsM

K

sX

sXsG

A

B

++== 22 )(

)()( (4.46)

sDsMsF

sXsG B

+== 2

1)()(

)( (4.47)

Gornje prijenosne jednadžbe mogu se nacrtati pomoću blok dijagrama (slika 4.13).

FG1 G2

XBXA

FG

XB

Slika 4.13. Blok dijagram primjera mehaničkog sustava

Umnožak G1(s) i G2(s) iz (4.45) i (4.46) daje G(s) iz (4.47), što potvrđuje pravilo serijske veze iz algebre blokova (poglavlje 4.7).

Električni i elektromehanički sustav

Matematički model električnog RLC kruga dan je u poglavlju 4.5 (jednadžba (4.13)):

)()()()(

02

2tutu

dt

tduCR

dt

tudCL C

CC =++ (4.48)

Transformacijom pomoću operatora s iz (4.19), može se dobiti prijenosna funkcija koja povezuje napon izvora u0 kao ulaznu varijablu i pad napona na kondenzatoru uC kao izlaznu varijablu:

)()()()( 02 sUsUsUsRCsUsLC CCC =++ (4.49)

1

1)()(

)( 20 ++

==sRCsLCsU

sUsG C (4.50)


42

Istosmjerni elektromotor, kao primjer elektromehaničkog sustava, dan je matematičkim modelom iz poglavlja 4.5 (jednadžbe (4.16) i (4.17)):

)()()( tiKtDtJ =+ θθ &&& (4.51)

)()()()(

0 tKtutiRdt

tdiL θ&−=+ (4.52)

Transformacijom pomoću operatora s iz (4.19), gornji izrazi postaju:

)()()(2 sIKssDssJ =+ θθ (4.53)

)()()()( 0 ssKsUsIsRsIsL θ−=+ (4.54)

Nakon uvrštavanja I(s) dobivenog iz (4.53) u (4.54), te ponešto sređivanja, dobiva se slijedeći izraz:

)()()(1

)(11

0223 sUssKRD

KsRJLD

KsLJ

K=

++++ θ (4.55)

Odatle se može napisati prijenosna funkcija između napona izvora kao ulazne varijable i zakreta osovine motora kao izlazne varijable:

))()(()()(

)( 220 KDRsJRDLsJLs

K

sU

ssG

++++==

θ (4.56)

4.9 Metoda prostora stanja Metoda prostora stanja način je prikaza i analize matematičkog modela sustava u vremenskom području. Prethodno opisana prijenosna funkcija iz poglavlja 4.6, ili njen grafički prikaz pomoću strukturnog blok dijagrama, nalazi se u području kompleksne varijable, odnosno kompleksne frekvencije. Brojna ograničenja koja se tamo pojavljuju uslijed neizravne analize diferencijalnih jednadžbi moguće je prevladati metodom prostora stanja. Sustavi koji imaju više ulaza i izlaza, tzv. multivarijabilni sustavi, lako se prikazuju i obrađuju ovom metodom. Također se dadu prikazati nelinearni sustavi ili oni sa vremenski promjenljivim parametrima. Optimalne metode odabira parametara regulatora prikladne su opisu sustava metodom prostora stanja.

Metoda prostora stanja koristi zapis diferencijalne jednadžbe n-tog reda kao n diferencijalnih jednadžbi 1. reda, odnosno pišu se kao takozvani normalni sustavi prvog reda. Isto tako ako postoji simultane diferencijalne jednadžbe koje su ukupno n-tog reda, zapisuju se kao n diferencijalnih jednadžbi 1. reda. Pri tome se koristi standardni oblik upisivanja parametara u matrice, te se s njima računa pravilima matričnog računa. To je razlog što je razvoj i primjena metode prostora stanja naročito potaknuta sve širom uporabom računala u drugom dijelu prošlog stoljeća, pa se uz tu metodu često vezuje

43

pridjev moderna, iako i njena teorijska osnova potječe iz 19. stoljeća. Dodaje se da upoznavanje sa metodom prostora stanja zahtijeva poznavanje osnovnih operacija matričnog računa (zbrajanje i množenje matrica), što je dano npr. u [27].

Opis sustava metodom prostora stanja

Dinamika sustava opisana je matematičkim modelom, odnosno diferencijalnom jednadžbom n-tog reda ili simultanim diferencijalnim jednadžbama ukupno n-tog reda. Odabirom takozvanih varijabli stanja, kojih ima n, model se pretvara u n diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Varijable stanja upisuju se u vektor stanja x, ulazne varijable upisuju se u vektor ulaza u, dok se izlazne varijable upisuju u vektor izlaza y. Matrice koeficijenata sustava, ulaza, izlaza i prijenosa, koje se označavaju sa A, B, C i D povezuju navedene vektore i tvore zapis matematičkog modela u obliku prostora stanja.

Matematički model u obliku prostora stanja dan je slijedećim:

)()()()()()(

ttt

ttt

uDxCy

uBxAx

+=+=&

(4.57)

gdje su:

x(t) – vektor stanja, dimenzija [n]

u(t) – vektor ulaza, dimenzija [m]

y(t) – vektor izlaza, dimenzija [p]

A – matrica sustava, dimenzija [n x n]

B – matrica ulaza, dimenzija [n x m]

C – matrica izlaza, dimenzija [p x n]

D – matrica prijenosa, dimenzija [p x m]

Izraz iz (4.57) predstavlja sustav pomoću metode prostora stanja. Oblik je za svaki sustav isti, međutim razlikovati će se prije svega u dimenzijama vektora, te po koeficijentima sadržanim u matricama. Zbog pravila matričnog računa, dimenzije moraju biti odgovarajuće. Prijenosna funkcija povezuje samo jedan ulaz i izlaz sustava. Ako se želi promatrati utjecaj neke druge ulazne varijable na neku drugu izlazna varijablu, to postaje nova prijenosna funkcija. Ovdje se uočava da može biti više ulaznih i izlaznih varijabli, tako da isti opis u obliku prostora stanja vrijedi za moguću analizu više kombinacija ulaza i izlaza.

Blok dijagram koji predstavlja izraz (4.57) dan je na slici 4.14.


44

Slika 4.14. Matrični blok dijagram metode prostora stanja

Veze između blokova su dane širokom linijom zbog toga što predstavljaju vektore. Uočava se uloga matrice prijenosa D, koja direktno povezuje ulazne i izlazne varijable, odnosno povezuje ih bez kašnjenja, koje predstavlja integrator. U većini primjera matrica D će biti nul-matrica, dakle nema direktne veze ulaza i izlaza. Primjer kada postoji neki koeficijent unutar D matrice različit od nule, jest primjer čistog pojačanja (bez kašnjenja), odnosno P0

dinamičkog člana (vidjeti poglavlje 5).

Pojmovi i definicije metode prostora stanja

Nekoliko je važnih pojmova vezanih uz metodu prostora stanja:

Stanje sustava - predstavlja matematički oblik koji sadržava skup od n varijabli x1(t), x2(t), ..., xi(t),...,xn(t), nazvanih varijable stanja, a taj oblik je takav da su početne vrijednosti xi(t0) toga skupa uz varijable ulaza uj(t) dovoljni da jednoznačno opišu odziv sustava u nekom budućem trenutku t > t0.

Vektor stanja – skup varijabli stanja xi(t) predstavlja n-dimenzionalni vektor stanja x(t).

Prostor stanja – jest n – dimenzionalni prostor gdje varijable stanja predstavljaju njegove koordinatne osi.

Trajektorija stanja – definirana je kao putanja u prostoru stanja proizvedena od vektora stanja x(t) kako se on mijenja sa vremenom.

Varijable stanja – one mogu imati neko fizikalno značenje, ali mogu biti i apstraktne matematičke veličine bez nekog određenog fizikalnog značenja. Odabir varijabli stanja obično je prvi korak u opisivanju sustava metodom varijabli stanja.

Tri su vrste varijabli stanja: fizikalne, fazne i kanonske.

Fizikalne varijable stanja odabiru se jednostavno svojim fizikalnim značenjem u modelu, kao npr. put, brzina, napon, sila, tlak, protok, temperatura, itd.

45

Fazne varijable stanja odabiru se tako da matrica sustava A čini tzv. Frobeniusovu matricu, koja ima jedinice iznad glavne dijagonale, a koeficijenti nazivnika prijenosne funkcije su elementi posljednjeg reda. U tom slučaju može se razviti blok dijagram sustava razmjerno lako, metodički, što se često koristi prilikom formiranja modela u Matlab/Simulinku (vidjeti poglavlje 4.11). Primjer je mehanički sustav drugog reda, gdje su varijable stanja put i brzina, a trajektorija stanja može se promatrati u tzv. faznoj ravnini koja predstavlja dvodimenzionalni prostor stanja. U tom slučaju fazne varijable stanja istovremeno imaju i fizikalno značenje.

Prilikom odabira kanonskih varijabli stanja matrica sustava A postaje dijagonalna (označava se sa Λ), gdje su u glavnoj dijagonali korijeni karakteristične jednadžbe, to jest vlastite vrijednosti matrice. Karakteristika takvog odabira varijabli stanja jest da je sustav raspregnut, bez međusobnih utjecaja varijabli stanja. To bi teoretski trebalo olakšati analizu sustava i sintezu njegovog upravljanja, no treba voditi računa da takve varijable ne moraju imati fizikalno značenje. Dakle, mogućim pretvaranjem kanonskih varijabli u one sa stvarnim fizikalnim značenjem, stvar se naknadno otežava.

Važno je uočiti da odabir varijabli stanja ne mora biti uvijek jednoznačan. Također, varijable stanja mogu se matričnim operacijama transformirati iz jednog oblika u drugi. To se može vidjeti vrlo detaljno opisano u [41].

4.10 Primjeri metode prostora stanja

Mehanički sustav

Na matematičkom modelu mehaničkog sustava iz poglavlja 4.5 vidjeti će se primjer dobivanja prikaza modela metodom prostora stanja.

Mehanički sustav dan je jednadžbama (4.6) i (4.7):

))()(()( txtxKtf BA −= (4.58)

dt

tdxD

dt

txdMtf BB )()(

)( 2

2+= (4.59)

Prvi korak jest odabir varijabli stanja. Ako se želi prikazati jednadžba (4.59) u prostoru stanja, ulazna varijabla u(t) je pobudna sila f(t). Kao varijable stanja, logično se nameću pomak i brzina u čvoru B (dakle xB(t) i dxB(t)/dt). Varijable stanja označiti će se sa x1(t) i x2(t), dok će se za izlaznu varijablu y(t) odabrati pomak mehaničkog sustava u čvoru B (dakle xB(t)). To znači da je prva varijabla stanja ujedno i izlazna varijabla:


46

)()()()()(

)()()()()(

)()(

1

2

12

1

txtxty

txtx

txtxtx

txtx

tftu

B

B

B

B

===

===

=

&&&

&& (4.60)

Da bi se gornji izrazi stavili u matrični oblik standardan za prostor stanja (poglavlje 4.9), potrebno je iz (4.59) izraziti Bx&& (t) (odnosno 2x& (t)):

)(1

)()( tfM

txM

Dtx BB +−= &&& (4.61)

U nazivlju prostora stanja to je:

)(1

)()( 12 tuM

txM

Dtx +−= && (4.62)

Jednadžbe modela u prostoru stanja su:

)()()()()()(

ttt

ttt

uDxCy

uBxAx

+=+=&

(4.63)

Upisivanjem izraza iz (4.60) i (4.62) u matrični oblik iz (4.63) dobiva se:

[ ] ux

xy

uMx

x

MDx

x

⋅+

=

+

−=

001

/10

/010

2

1

2

1

2

1&

&

(4.64)

Gornji izraz predstavlja mehanički sustav u obliku prostora stanja.

Odabirom pomaka xA(t) kao ulazne varijable u(t), što se može se dobiti eliminiranjem f(t) iz (4.58) i (4.59), matrice A i B bi se ponešto promijenile:

[ ] ux

xy

uMKx

x

MDMKx

x

⋅+

=

+

−−=

001

/0

//10

2

1

2

1

2

1&

&

(4.65)

Električni sustav

Matematički model električnog RLC kruga dan je u poglavlju 4.5 (jednadžba (4.13)):

)()()()(

02

2tutu

dt

tduCR

dt

tudCL C

CC =++ (4.66)

47

Nameće se slijedeći odabir varijabli ulaza, stanja i izlaza:

)()()()()(

)()()()()(

)()(

1

2

12

1

0

txtuty

tutx

txtutx

tutx

tutu

C

C

C

C

===

===

=

&&&

&& (4.77)

Druga derivacija pada napona na kondenzatoru iz (4.66) jest:

)(1

)(1

)()( 0 tuLC

tuLC

tuL

Rtu CCC +−−= &&& (4.78)

Upisivanjem izraza iz (4.77) i (4.78) u matrični oblik metode prostora stanja dobiva se model električnog RLC kruga u obliku metode prostora stanja:

[ ] ux

xy

uLCx

x

LRLCx

x

⋅+

=

+

−−=

001

/10

//110

2

1

2

1

2

1&

&

(4.79)

Elektromehanički sustav

Istosmjerni elektromotor dan je matematičkim modelom u poglavlju 4.5 (jednadžbe (4.16) i (4.17)):

)()()( tiKtDtJ =+ θθ &&& (4.80)

)()()()(

0 tKtutiRdt

tdiL θ&−=+ (4.81)

Kako je ukupan red modela tri, biti će i tri varijable stanja. Odabir varijabli ulaza, stanja i izlaza je slijedeći:

)()()(/)()(

)()()()(

)()()(

)()()()(

1

3

3

2

12

1

0

txtuty

dttditx

titx

ttx

txttx

ttx

tutu

C =====

==

==

&

&&&

&&

θ

θθ

(4.82)

Da bi se model mogao upisati u matrični oblik metode prostora stanja, potrebno je izraziti drugu derivaciju zakreta (kutno ubrzanje) iz (4.80), te prvu derivaciju struje po vremenu iz (4.81):


48

)(1

)()()(

)()()(

0 tuL

tL

Kti

L

R

dt

tdi

tiJ

Kt

J

Dt

+−−=

+−=

θ

θθ

&

&&&

(4.83)

Jednadžbe (4.82) i (4.83) upisuju se u oblik metode prostora stanja poštujući pravila matričnog množenja i zbrajanja, pa model istosmjernog elektromotora u prostoru stanja izgleda na slijedeći način:

[ ] u

x

x

x

y

u

Lx

x

x

LRLK

JKJD

x

x

x

⋅+

=

+

−−−=

0001

/100

//0//0010

3

2

1

3

2

1

3

2

1

&

&

&

(4.84)

4.11 Matemati čki model u Matlab/Simulinku ® Matematički model prikazan grafički koristeći Matlab/Simulink program lako se stvara koristeći načela dana u prethodnim primjerima. Naime, kao osnova grafičkog modela u Matlab/Simulinku može se koristiti izražavanje najviše derivacije, što također vrijedi i za modele dane metodom prostora stanja sa faznim varijablama stanja. Ista metoda koristila se u prošlosti i kod simulacija analognim računalima, pod nazivom direktno programiranje.

Na primjeru mehaničkog sustava iz poglavlja 4.5, odnosno 4.10, izražavanje najviše derivacije dano je u jednadžbi (4.61):

)(1

)()( tfM

txM

Dtx BB +−= &&& (4.85)

Izgled modela iz (4.85) u Matlab/Simulinku dan je na slici 4.15. Blok 1/s predstavlja integrator, trokutasti blok predstavlja pojačanje, odnosno množenje sa skalarnom vrijednosti. Sa xB_dotdot označeno je ubrzanje, a sa xB_dot brzina xB. Radi sustavnosti pristupa, crtanje sheme najbolje je započeti upravo linijom sa najvišom derivacijom, i dalje dodavati sve potrebno.

49

fxB_dotdot xB_dot xB

1/M

Pojacanje1

D/M

Pojacanje

Odziv

Odskocna fkc.

1s

Integrator1

1s

Integrator

Slika 4.15. Mehanički sustav u Matlab/Simulinku

U primjer elektromehaničkog sustava iz poglavlja 4.5, ili poglavlja 4.10, također se može krenuti od izraza najviših derivacija danih u (4.83):

)(1

)()()(

)()()(

0 tuL

tL

Kti

L

R

dt

tdi

tiJ

Kt

J

Dt

+−−=

+−=

θ

θθ

&

&&&

(4.86)

Izgled modela iz (4.86) u Matlab/Simulinku dan je na slici 4.16.

theta_dotdot theta_dot theta

i_dotu0 i

i

K/L

Pojacanje4

1/L

Pojacanje3

R/L

Pojacanje2

K/J

Pojacanje1

D/J

Pojacanje

Odziv

Odskocna fkc.

1s

Integrator2

1s

Integrator1

1s

Integrator

Slika 4.16. Elektromehanički sustav u Matlab/Simulinku


50

Daljnje dodavanje drugih blokova koji predstavljaju razne nelinearnosti i sl. razmjerno je jednostavno korištenjem Matlab/Simulink biblioteka.

4.12 Linearizacija U ovom poglavlju razmotrene su teme linearizacije, te dobivanja matematičkog modela sustava iz eksperimentalnih podataka. Te dvije teme nisu neosredno povezane, ali su važne za uvodnu predodžbu o automatizaciji.

Većina definicija i metoda koji su dani u ovom udžbeniku vrijedi za linearne, vremenski invarijantne sustave, koje opisuju linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima. Za takve sustave razvijene su brojne metode analize i sinteze regulacije, koje imaju dugu povijest istraživanja i primjene. Naime, ključna stvar kod svojstva linearnosti jest da se odziv linearnog sustava može predvidjeti za raznolike pobude, na temelju analize odziva sustava na nekoliko specifičnih pobuda. S druge strane gotovo svi sustavi su u stvarnosti nelinearni, ili je neki element regulacijskog kruga nelinearan, što čitav sustav čini nelinearnim. Načelno, dva su moguća pristupa analizi i sintezi nelinearnih sustava. Jedan je pristup korištenjem metoda namijenjenih upravo nelinearnim sustavima, koje se dosta istražuju i razvijaju u posljdnje vrijeme. Druga mogućnost je linearizacija. Naime, često se ponašanje nekog sustava može opisati dovoljno točno sa linearnim modelom za mala odstupanja od odabrane točke.

Linearizacijom se matematički opisuje zamisao da će se nelinearni sustav ponašati približno kao njegova linearna aproksimacija u okolnom području svoga ravnotežnog stanja. Sustav obično radi u okolini nekog od svojih ravnotežnih stanja (ili nul-točaka). U tim točkama odziv sustava je bez promjene, odnosno stacionaran, pa se takve točke mogu i nazvati radnim. Traženje ravnotežnih stanja sustava, te pitanja stabilnosti sustava (asimptotska ili eksponencijalna, lokalna ili globalna) vezano je uz Lyapunovu teoriju stabilnosti, a dobro je opisano npr. u [42]. Linearizacija se može provesti razvojem funkcije u Taylorov red u okolini radne točke, te odbacivanjem članova čiji red je viši od dva.

Nehomogeni sustav (pobuda ≠ 0) dan je nelinearnom diferencijalnom jednadžbom:

),( xyfdt

dy= (4.87)

gdje je y je izlazna varijabla, a x ulazna. Razvojem funkcije u Taylorov red dobiva se:

L+−∂∂

+−

∂∂

+≅!1!1

),(xx

x

fyy

y

fxyf

dt

dy

RTRT

(4.88)

gdje y i x predstavljaju vrijednosti y i x u ravnotežnoj točki (RT).

51

Članovi čiji red je viši od dva se odbacuju. Uz pretpostavku da je u ravnotežnoj točki 0),( =xyf (po definiciji), zatim uz uvođenje novih varijabli y' i x' koje predstavljaju male

pomake oko nul točke ( yyy −=' i xxx −=' ), te zamjenjujući dy/dt sa dy'/dt, dobiva se

linearni izraz za (4.87):

'''

xx

fy

y

f

dt

dy

RTRT∂∂

+∂∂

= (4.89)

Parcijalne derivacije iz (4.89) su različiti koeficijenti, koji predstavljaju nagibe funkcija u ravnotežnoj točki.

Općenito se za funkcije više veličina za linearizaciju koristi Jacobianova matrica, što je detaljnije dano npr. u [42] ili [43].

Linearizacija se često provodi i implicitno, na taj način da se prilikom formiranja modela zanemare nelinearni izrazi. No, uvijek je važna dobra procjena koliko se zanemarivanjem izgubilo na preciznosti i općenitosti rješenja, te da li će takav model zadovoljiti potrebe kojima je namijenjen.

4.13 Dobivanje matemati čkog modela iz eksperimenta Matematički modeli kad god je moguće grade se teoretskim, analitičkim putem, jer se dobiva dobro saznanje o dinamičkim pojavama sustava, što se dade iskoristiti u analizi i sintezi upravljanja. Unatoč tome, eksperimentalni način dobivanja modela je vrlo značajan, i vrlo često nadopunjava teoretski način dobivanja. Općenito je važno pomoću eksperimenata potvrditi vjernost opisa stvarnog sustava modelom, što osigurava povjerenje u rezultate simulacijskih analiza i sinteze upravljanja.

Za dobar dio dinamičkih sustava na koje se mogu primjeniti uobičajeni regulatori, matematički model moguće je dobiti eksperimentalno, promatrajući odziv na osnovne pobude. To je razmjerno jednostavan pristup, kojim se mogu dobiti upotrebljivi linearni, vremenski invarijantni modeli. Tako dobiveni modeli procesa korisni su za određivanje parametara standardnih regulatora, poput P, PI, PID, itd. koji se mogu primijeniti na takvim procesima ([31]). Iz odziva određuju se dva ili više parametara, koja se stavljaju u poznatu matematičku formu. Što je više parametara, model će vjernije prikazati stvarni sustav. Najjednostavniji je model s dva parametra, gdje se jedan parametar odnosi na pojačanje odziva (K), a drugi na vrijeme odziva (τ′). Takav model za procese sa izjednačenjem je slijedeći:

s

KsG

τ ′+=

1)( (4.90)

Alternativni model s dva parametra predstavlja integrator s mrtvim vremenom τm:


52

s

m

mes

asG τ

τ−=)(1 (4.91)

Iz odziva na pobudu u obliku odskočne funkcije mogu se dobiti parametri potrebni za pisanje modela (x.x) ili (x.x), što se vidi na slici X.1.

Slika 4.17. Grafičko određivanje modela sa dva parametra

Parametri a i τm modela iz prijenosne funkcije (4.91) lako se odrede direktno iz odziva. Pojačanje K iz modela danog prijenosnom funkcijom (4.90) također se određuje direktno, dok se τ′ dobiva iz slijedećeg izraza:

KA/=′τ (4.92)

Gdje je površina A (osjenčana na slici) dana sa:

∫∞

−∞=0

))()(( dttssA (4.93)

Model iz (4.90) daje razmjerno dobru aproksimaciju za duži t (kada se odziv približi svojoj stacionarnoj vrijednosti), dok za kraći t (prijelazni dio odziva) bolju aproksimaciju pruža model iz (4.91). U svakom slučaju, dvoparametarski model u bilo kojem obliku je jednostavan, međutim ne može dati dobru sliku stvarnosti, osim ako proces nije čisti P1 član, ili čisti I0 član.

Bolju aproksimaciju moguće je dobiti povećanjem broja parametara modela na tri:

smes

KsG τ

τ−

+=

1)( (4.94)

Model, odnosno prijenosna funkcija iz (4.94), očito je kombinacija prethodnih modela iz (4.90) i (4.91), sa sposobnošću da razmjerno dobro opiše i prijelazni dio odziva koji može

53

uključivati mrtvo vrijeme, te ustaljeni dio odziva (stacionarno stanje). Pri tome τ iz (4.94) predstavlja vremensku konstantu sustava (vidjeti sliku 4.18).

Slika 4.18. Grafičko određivanje modela sa tri parametra

Omjer

τττ

+=

m

mnmv (4.95)

naziva se normalizirano mrtvo vrijeme, a ponegdje i controllability ratio ([31], što se može prevesti kao omjer sposobnosti vođenja ili omjer upravljivosti). Načelno, što je taj omjer manji, proces je lakši za vođenje. S porastom tog omjera proces se teže vodi, jer dugo mrtvo vrijeme otežava vođenje sustava.

Model (4.94) najčešće se može pronaći u primjerima projektiranja i podešavanja PID regulatora (ili njegovih inačica) (prema [31]). To nije iznenađujuće, obzirom na razmjernu jednostavnost takvog modela, a pri tome je ipak sposoban dovoljno vjerno opisati dinamiku mnogih sustava. Ipak, takav model ne može dati karakterističan „S“- oblik krivulje, pa se stoga može koristi alternativan model sa tri parametra:

smes

KsG τ

τ−

+= 2)1(

)( (4.96)

Model dan izrazom (4.96) najčešće daje bolju aproksimaciju odziva od modela iz (4.94). Mrtvo vrijeme τm i pojačanje K određuju se na isti način (vidjeti sliku 4.18), međutim vremenska konstanta τ zahtijeva preciznije određivanje. U tu svrhu može se koristiti jednadžba odziva na odskočnu funkciju, odakle se uvrštavanjem poznatih parametara (K, τm, u(t)) i numeričkim rješenjem određuje najbolji τ:

−+−= −− ττ

ττ /)(11)( mtm e

tKtu (4.97)


54

Također, još bolju aproksimaciju može dati model s četiri parametra:

smess

KsG τ

ττ−

++=

)1()1()(

21 (4.98)

Mrtvo vrijeme τm i pojačanje K određuju se kao i kod prethodnog modela (danog u (4.96), no τ1 i τ2 koji su različiti, određuju se iz nešto složenije jednadžbe odziva na odskočnu funkciju nego što je ona dana u (4.97):

−−+=

−−−−

21

/)(1

/)(2

121)(

ττττ ττττ mm tt ee

Ktu (4.99)

Nešto drugačiji modeli dobivaju se za procese bez izjednačenja, odnosno za procese koji imaju integralno djelovanje, te njihov odziv na odskočnu funkciju monotono raste. Međutim, odziv takvih sustava na primjenjenu impulsnu funkciju se stacionira, pa se takva funkcija može iskoristiti kao pobuda, a kao model se može iskoristiti neka od prethodnih prijenosnih funkcija pomnoženih sa 1/s.

Prijenosna funkcija sa tri parametra u slučaju procesa bez izjednačenja dana je sa:

smess

KsG τ

τ−

+=

)1()( (4.100)

Jednadžba odziva na odskočnu funkciju za model iz (4.100) jest slijedeća:

( )( )ττττ /)(1)( mtm etKtu −−−−−= (4.101)

Vremenska konstanta τ i mrtvo vrijeme τm mogu se odrediti tako da se neka točka uvrsti u odziv iz (x.101). Pogodna točka je u(τm+ τ)=K τe-1, što daje slijedeću vremensku konstantu:

eK

u m )( τττ += (4.102)

Također parametri iz (x.102) mogu biti određeni i grafički, iz odziva sustava bez izjednačenja na pobudu u obliku odskočne funkcije. To se može vidjeti na slici 4.19.

55

Slika 4.19. Grafičko određivanje modela sa tri parametra za sustav bez izjednačenja

Procesi čiji odziv je oscilirajući (titrajući), ne mogu se pogodno opisati s prethodnim modelima. Međutim, model koji može prikazati i titranja procesa također ima tri parametra ((statičko) pojačanje K, vlastita frekvencija titranja ωn, stupanj prigušenja ζ):

22 2)(

nn

n

ss

KsG

ωωζω

++= (4.103)

Iz slike 4.20 može se očitati pojačanje K, period oscilacija Tp, te stupanj opadanja titraja d. Odatle se dade izračunati stupanj prigušenja i vlastita frekvencija titranja prema slijedećem:

2

2

1

2

)log/2(1

1

ζ

πω

πζ

−=

+=

p

nT

d (4.104)


56

Slika 4.20. Grafičko određivanje modela sa tri parametra za sustav sa oscilacijama

Većina određivanja parametara pomoću odskočne funkcije, što je prethodno opisano, koristi procjene i izračune (kada su potrebni) bazirane na jednoj točki iz odziva. Kako su mjereni podaci podložni šumu, to može predstavljati problem. Stoga se mogu koristiti metode koje se zasnivaju na integriranju odziva na odskočnu funkciju. Detaljnije o tome može se pogledati npr. u [31, pogl. 2.5].

57

5. Analiza sustava u vremenskom podru čju

Dinamički sustavi analizom se razvrstavaju u neke prepoznatljive vrste koje su slične po ponašanju i nekim svojstvima. Na taj način sustavno se može pristupiti i njihovom vođenju. Analiza dinamičkih sustava kao funkcije nezavisne varijable vremena t najbliža je čovjekovom poimanju događaja. Analiza u vremenskom području najčešće podrazumijeva riješavanje diferencijalnih jednadžbi koje opisuje sustav, ili promatranje odziva sustava na narinute standardne pobudne funkcije na njegovom ulazu. Do eksplicitnog rješenja diferencijalnih jednadžbi koje opisuju dinamički sustav može se doći numeričkim metodama, te egzaktnim analitičkim metodama, što je obično teško, a ponekad i nemoguće. Ipak, uvid u analitičku metodu rješavanja diferencijalne jednadžbe približava apstraktan matematički svijet stvarnim zadacima upravljanja dinamičkim sustavima u tehnici. Stoga je rješavanje diferencijalnih jednadžbi prikazano u poglavlju 5.2. Standardne pobudne funkcije koje se koriste u analizi u vremenskom području dane su u poglavlju 5.1. Neka osnovna svojstva dinamičkog sustava dana su u poglavlju 5.3, dok je razvrstavanje osnovnih sustava, odnosno članova, dano u poglavlju 5.4. Zahtjevi kod vremenskog odziva, prema kojima se može kvantitativno odrediti ponašanje sustava, definirani su u poglavlju 5.5. Utjecaj nula, te dodatnih polova na odzive dinamičkog sustava analizirani su u poglavlju 5.6.

5.1 Standardne pobudne funkcije Za potrebe analize sustava važno je imati osnovicu za usporedbu različitih sustava. Jedan vrlo prihvaćen način usporedbe je promatranje odziva dinamičkih sustava na ulazne pobude, koje su standardne. Standardne pobudne funkcije su odskočna funkcija, nagibna funkcija, parabolna funkcija i impulsna funkcija. Iako su standardne pobudne funkcije nekontinuirane u ishodištu, pa stoga nisu analitičke funkcije, ipak se s njima formalno izvode sve matematičke operacije kao i s analitičkim funkcijama. Još se i nazivaju singularne funkcije (singularity functions), a povezane su jedna sa drugom uzastopnim derivacijama ili integracijama. Na primjer derivacija parabolne funkcije je nagibna, derivacija nagibne je odskočna, a njena pak derivacija je impulsna.

Kao standardne pobudne funkcije u širem smislu, općenito se može navesti red potencija, koji se koristi ponekad za analitički izračun nekih odziva, te sinusna funkcija koja se kao


58

pobuda koristi za analizu u frekvencijskom području. Još postoji niz drugih funkcija koje se mogu koristiti kao pobude, ali su prisutnije u drugim područjima, poput npr. teorije signala, pa se ovdje posebno ne spominju.

Odskočna funkcija

Odskočna funkcija (step function) ili jedinični odskok (unit step function) standardna je pobudna funkcija u vremenskom području, a prikazana je na slici 5.1. Funkcija se najčešće označava sa u(t), a prema O. Heavisideu koji ju je često koristio, naziva se još i Heavisideova funkcija. Vrijednost odskočne funkcije se u trenutku skokovito mijenja sa 0 na 1:

u(t)

t0

1

Slika 5.1. Odskočna funkcija

≥<

≡=0za10za0

)()(t

ttutf (5.1)

Laplaceova transformacija odskočne funkcije odgovara transformaciji integracije (vidjeti transformacije u jednadžbi (4.19) u poglavlju 4.6):

L { } )(1

)( sUs

tu = (5.2)

Laplaceov transformat odskočne funkcije koristi se u analitičkim izračunima odziva u području kompleksne varijable s.

Odziv sustava na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije zove se prijelazna funkcija, a često se označava sa h(t).

Napominje se da kod praktične, eksperimentalne primjene odskočne funkcije, nije moguće ostvariti njen idealni, teoretski oblik. No, važno je da skok bude dovoljno brz, što znači da je skok funkcije znatno kraći od promjena sustava na koji se odskočna funkcija primjenjuje. Mjera brzine promjene nekog sustava jest njegova vremenska konstanta (ili vremenske konstante), koja je definirana u poglavlju 5.3. Odskočna funkcija bi trebala dostići jediničnu vrijednost u vremenu barem pet puta kraćem od vremenske konstante ispitivanog sustava. Ista napomena važi i za eksperimentalnu primjenu impulsne funkcije.

59

Nagibna funkcija

Nagibna funkcija (ramp function) dana je na slici 5.2. Kako nagibna funkcija predstavlja umnožak varijable vremena t i jedinične odskočne funkcije u(t) može se nazvati i jediničnim nagibom: t u(t)

f(t)

t0

1

45°

Slika 5.2. Nagibna funkcija

≥<

≡0za0za0

)(tt

ttf (5.3)

Laplaceova transformacija nagibne funkcije iznosi:

L { } )(1

)( 2 sFs

tf = (5.4)

Iz Laplaceove transformacije, ali i promatrajući funkcije, uočava se da je jedinična nagibna funkcija dobivena integriranjem jedinične odskočne funkcije, odnosno odskočna funkcija je derivacija nagibne.

Parabolna funkcija

Parabolna funkcija, ili jedinična parabola, dana je umnoškom nagibne funkcije i vremenske varijable: t2u(t). Prikazana je na slici 313-1.

f(t)

t0

Slika 5.3. Parabolna funkcija


60

≥

<≡

0za

0za0)( 2 tt

ttf (5.5)

Laplaceova transformacija parabolne funkcije iznosi:

L { } )(1

)( 3 sFs

tf = (5.6)

Jedinična parabolna funkcija dobiva se integriranjem jedinične nagibne funkcije, odnosno jedinična nagibna funkcija dobiva se deriviranjem jedinične parabolne funkcije.

Impulsna funkcija

Derivacijom odskočne funkcije dobiva se impulsna funkcija (impulse function), koja prema tome ima vrijednost 0 u svakom trenutku, osim u trenutku t = 0, kada je njena amplituda beskonačna. Impulsna funkcija ili jedinični impuls još se naziva Diracova delta funkcija, prema P. Diracu koji je uveo u teorijsku fiziku, a označava se sa δ(t). Impulsna funkcija, makar njen teoretski izgled, dan je na slici 5.4.

t0

( )tδ

Slika 5.4. Impulsna funkcija

⟩

=∞⟨

≡=0za00

0za0)()(

t

tza

t

ttf δ (5.7)

U definiciju impulsne funkcije δ(t) uključen je podatak da impuls zatvara jediničnu površinu, što se može pokazati krećući iz izraza za derivaciju odskočne funkcije u(t):

dt

tdut

)()( =δ (5.8)

Iz (5.8) slijedi:

61

101)()()( =−===−−

∞

∞−∫∫

ε

ε

ε

εδ tutdudtt (5.9)

Impulsna funkcija δ(t) može se definirati i na druge načine. Praktičnije definiranje impulsne funkcije jest da ona nastaje kao razlika dviju odskočnih funkcija u(t) koje imaju amplitudu 1/a (dakle, nisu jedinične), od kojih druga kasni za vremenski interval a. Kako a teži k nuli, tako i navedena razlika dviju odskočnih funkcija postaje impulsna funkcija:

),(lim)(

)(1

)(1

),(

0taut

atua

tua

tau

a→=

−−=

δ (5.10)

Takva impulsna funkcija prikazana je na slici 5.5.

t0

u(a,t)u(t)

u(a,t)

u(t-a)1/a

Slika 5.5. Impulsna funkcija kao razlika dvije odskočne

Impulsna funkcija sa slike 5.5 može se praktično primijeniti, vodeći računa da je a dovoljno kratak u odnosu na vremenske konstante sustava na koji se primjenjuje kao pobuda.

Impulsna funkcija nalazi veliku primjenu u analizi raznih sustava. Kako je primijenjeni impuls vrlo kratak, dobiveni odzivi praktički odgovaraju odzivima na pohranjenu unutarnju energiju u sustavu (dakle, samo na početne uvjete).

Laplaceova transformacija impulsne funkcije iznosi jedan:

L { } )(1)( st ∆⋅=δ (5.11)

Imajući na umu definiciju prijenosne funkcije iz (4.25) (poglavlje 4.6), odakle slijedi da je odziv u području kompleksne varijable Y(s) = G(s)·X(s). Kako je u slučaju impulsne funkcije kao pobude, X(s) = 1, može se zaključiti da odziv na pobudu u obliku impulsne funkcije u vremenskom području, odgovara prijenosnoj funkciji u području kompleksne varijable s.

Odziv na pobudu u obliku impulsne funkcije naziva se težinska funkcija, i obično se označava sa g(t). Ona na neki način određuje težinu kojom pojedini impuls pridonosi vrijednosti odziva.


62

5.2 Rješenje diferencijalne jednadžbe Diferencijalne jednadžbe dobivene modeliranjem opisuju dinamički sustav. No odnosi ulaza i izlaza sustava tada su opisani implicitno, to jest ulaz i izlaz međusobno su povezani diferencijalnom jednadžbom. Analiza jednog sustava u pravilu traži njeno eksplicitno rješenje, odnosno da varijabla izlaza bude izražena samo kao funkcija ulazne i vremenske varijable. To znači da diferencijalnu jednadžbu na neki način treba riješiti. One se rješavaju egzaktnim analitičkim metodama, ili numeričkim metodama.

Prikaz i analiza modela sustava pomoću prijenosne funkcije posrednim rješavanjem (služeći se tablicama transformacija) olakšava problem za primjere s ograničenjima kojima se prijenosna funkcija pokorava. Za većinu problema koje zahtijevaju rješavanje diferencijalnih jednadžbi koriste se računarski alati, poput popularnog Matlab/Simulinka, koji koristi različite numeričke metode (npr. Adams, Euler, Runge-Kutta, i niz drugih), a zahtijeva točno određeni oblik zapisa modela sustava (poput prijenosne funkcije, metode prostora stanja, ili algebre blokova u Simulink sintaksi).

Poznavanje egzaktnih analitičkih metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi u pravilu nije nužno za rješavanje tehničkih problema u automatizaciji. Međutim, važno je za dublje razumijevanje analize i sinteze dinamičkih sustava koje se različitim metodama rabe u automatizaciji, jer to je usko povezano sa ključnim pojmovima u automatizaciji. Također, ponašanje različitih fizikalnih sustava prikazuje se unutar univerzalnog matematičkog okvira. Stoga se u ovom poglavlju ukratko razmatra klasično rješenje diferencijalne jednadžbe, a kasnije je takvo rješenje dano na primjeru mehaničkog sustava sa masom, prigušenjem i oprugom.

Klasično rješenje

Klasično rješenje obične linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima sastoji se od komplementarne funkcije i partikularnog integrala.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe uz pobudu jednaku nuli naziva se komplementarna funkcija.

Općenito diferencijalna jednadžba dana je u obliku:

)()()(

...)()(

011

1

1 txtyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n =++++ −

−

− (5.12)

gdje u okvirima automatizacije značenje y(t) jest odziv sustava ili izlaz, a x(t) pobuda ili ulaz.

Ako se uvede operator diferenciranja D, a pobuda x(t) je jednaka nuli, dobiva se homogena jednadžba:

0)()...( 011

1 =++++ −− tyaDaDaDa n

nn

n (5.13)

Do konačnog rješenja dolazi se pretpostavkom rješenja (5.13) u obliku eksponencijalne funkcije:

63

treKty =)( (5.14)

Izraz za y(t) iz (5.14) uvrštava se u (5.13). Kako eksponencijalna funkcija nije nula čitavo vrijeme (osim u trivijalnom slučaju), da bi se zadovoljila jednadžba iz (5.13), slijedi da je njen polinom jednak nuli:

0... 011

1 =++++ −− ararara n

nn

n (5.15)

Algebarska jednadžba (5.15) naziva se karakteristična jednadžba, a njeno rješenje su korijeni sustava ri , ili vlastite vrijednosti. Tako se opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe,

odnosno komplementarna funkcija sastoji od n izraza tri

ieK ako su korijeni realni i različiti. Također, korijeni se mogu ponavljati ili mogu biti kompleksni brojevi.

Komplementarna funkcija nekada se naziva i prijelaznim odzivom (transient response) diferencijalne jednadžbe. Ovisi samo o sustavu samome, a ne i o pobudi (pobuda = 0). To će se moći povezati s analizom stabilnosti linearnog sustava, koja se odnosi također na sami sustav, ne vodeći računa o pobudi.

Partikularni integral je posebno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe (dakle, pobuda ≠ 0). Ono predstavlja bilo koje rješenje koje zadovoljava kompletnu diferencijalnu jednadžbu, a nije sadržano u komplementarnoj funkciji. Dok za komplementarnu funkciju postoje razrađene metode, to nije tako za partikularni integral, koji ovisi i o pobudnoj funkciji koje mogu poprimiti mnogo različitih oblika. Postoje metode za rješavanje nehomogene diferencijalne jednadžbe poput Cauchyevom metodom ili metodom varijacije konstanti, te operatorske metode.

Partikularni integral naziva se i stacionarnim rješenjem (steady state) diferencijalne jednadžbe, koje ovisi i o pobudi i o sustavu. Analiza točnosti sustava, odnosno analiza stacionarne pogreške, također propituje i pobudu i sustav.

Primjer klasičnog rješenja

Na primjeru jednostavnog mehaničkog sustava iz poglavlja 4.5 pokazati će se klasično rješenje diferencijalne jednadžbe, koje je razmotreno prethodno. Primjer je dan na slici 5.6.

MA B

DK

xA(t)xB(t)

f(t)

Slika 5.6. Mehanički sustav s masom, prigušenjem i oprugom


64

Gibanje je opisano jednadžbama (4.6) i (4.7). Njihovim izjednačavanjem dobiva se veza izmađu gibanja xA u točki A kao pobude, te gibanje xB u točki B kao izlaza:

ABBB xKxK

dt

dxD

dt

xdM =++2

2 (5.16)

Potrebno je izračunati gibanje xB(t), ako je pobuda (gibanje xA(t)) u obliku jedinične odkočne funkcije u(t) (definirane u poglavlju 5.1).

Rješenje se sastoji od komplementarne funkcije koje određuje prijelazni odziv i partikularnog integrala koje određuje stacionarno stanje:

piBkfBB xxx ,, += (5.17)

Najprije se može odrediti rješenje koje će se odnositi na stacionarno stanje. Pošto je pobuda konstanta, odziv xB će dostići neku fiksnu stacionarnu vrijednost (za stabilan sustav). Ako je xB konstanta, onda će brzina i ubrzanje biti jednaki nuli. Uvrštavajući ubrzanje i brzinu nula u jednadžbu (322.1), slijedi da je partikularni integral:

1, ===⇒= uxxxKxK ApiBAB (5.18)

Prijelazni odziv rješava se ako se pretpostavi rješenje homogene jednadžbe u obliku eksponencijalne funkcije (jednadžba (5.14)). Karakteristična jednadžba tada poprima slijedeći izgled:

02 =++ KrDrM (5.19)

Radi jasnijeg prikaza, koeficijenti iz kvadratne jednadžba (5.19) često se pišu izraženi pomoću neprigušene vlastite frekvencije ωn i stupnja prigušenja ζ, pa kvadratna jednadžba postaje:

02 22 =++ nn rr ωωζ (5.20)

Objašnjenje neprigušene vlastite frekvencije ωn i stupnja prigušenja ζ, te njihova veza sa masom M, prigušenjem D i opružnim djelovanjem K dana je kasnije.

Korijeni r1 i r2 sustava dobivaju se rješavanjem kvadratne jednadžbe:

122,1 −±−= ζωωζ nnr (5.21)

Prijelazni odziv ovisi o tome da li je stupanj prigušenja ζ veći od 1 (slučaj a), jednak 1 (slučaj b), ili manji od 1 (slučaj c). Ovisno o tome korijeni r1,2 su realni ili kompleksni brojevi.

a) ζ > 1, korijeni su realni i različiti:

trtrkfB eKeKx 21

21,−− += (5.22)

65

b) ζ =1, korijeni su realni i jednaki (r1 = r2 = - ζ ωn):

ttkfB

nn etKeKx ζωζω −− += 21, (5.23)

c) ζ < 1, korijeni su konjugirano-kompleksni par:

)1sin( 22

1, KteKx nt

kfBn +−= − ζωζω (5.24)

Kako je prigušena vlastita frekvencija 21 ζωω −= nd , a konstanta integracije K2 u stvari

predstavlja fazni pomak, izraz (5.24) preglednije se može napisati kao:

)sin(1, φωζω += − teKx dt

kfBn (5.25)

Ukupno rješenje suma je komplementarne funkcije i partikularnog integrala (5.18). Kako je partikularni integral jednak jedinici, rješenje je:

kfBB xx ,1 += (5.26)

gdje komplementarna funkcija poprima jedan od oblika danih u slučajevima a), b) ili c).

Za jednoznačno rješenje potrebno je, osim pobude, poznavati i trenutačno stanje sustava, odnosno početne uvjete. Konstante integracije K1 i K2 (odnosno φ ) određuju se iz početnih

uvjeta, i to tako da se početni pomak xB (t = 0) uvrsti u (5.26), odnosno početna brzina dxB/dt (t = 0) se uvrsti u derivaciju izraza (5.26).

Primjer cjelokupnog rješenja za slučaj c), kada je ζ < 1, jest slijedeći:

)cos1sin(1

1 122

ζζωζ

ζω−

−+−

−−= t

ex n

t

B

n

(5.27)

Uvrštavanjem brojčanih podataka za neprigušenu vlastitu frekvenciju ωn i stupanj prigušenja ζ može se odrediti pomak xB točke B u svakom trenutku t.


66

5.3 Značajke dinami čkog sustava Nekoliko je važnih pojmova koji su vezani uz dinamički sustav, a ukazuju na njegove osobine. Neprigušena vlastita frekvencija ωn i stupanj prigušenja ζ značajke su koje se često susreću. Uvedene su u prethodnom poglavlju, gdje se na primjeru mehaničkog sustava sa masom, prigušenjem i oprugom pokazalo klasično rješenje diferencijalne jednadžbe. Neprigušena vlastita frekvencija i stupanj prigušenja upravo su svojstvene sustavima sa dva (ili više) spremnika energije, i one pokazuju na međusobne odnose spremnika i potrošača energije. Time se i odzivi sustava razlikuju, pa će biti brži ili sporiji, te prigušeni ili oscilacijski. Vremenska konstanta još je jedan važan pojam koji ukazuje na brzinu odziva sustava. Kvantitativne mjere odziva sustava također su prikazane u ovom poglavlju, dok je svrstavanje dinamičkih sustava u odnosu na broj spremnika energije i u odnosu na djelovanje na pobudu dano kasnije, u poglavlju 5.4. Stupanj prigušenja i neprigušena vlastita frekvencija, vremenska konstanta, te prikaz navedenih značajki u Gaussovoj ravnini dani su u ovom poglavlju.

Stupanj prigušenja

Definiranje stupnja prigušenja i neprigušene vlastite frekvencije, može se vidjeti na prethodno danom primjeru mehaničkog sustava sa masom, prigušenjem i oprugom, čija karakteristična jednadžba je dana sa (5.19):

02 =++ KrDrM (5.28)

Na primjeru mehaničkog sustava, M, D i K imaju značenje mase, konstante viskoznog prigušenja i krutosti opruge, no također mogu se smatrati općim koeficijentima kvadratne jednadžbe za slične fizikalne primjere (poput električnog RLC sustava).

Rješenje karakteristične jednadžbe može biti konjugirano-kompleksni par:

djM

DMKj

M

Dr ωσ ±=−±−= 2

2

2,14

42

(5.29)

Prijelazni odziv u slučaju rješenja sa konjugirano-kompleksnim parom jest oscilacijski. Dan je izrazom (5.25), a prikazan je na slici 5.7.

)sin(1, φωσ += teKx dt

kfB (5.30)

67

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tK eσ⋅

sin( )tdK e tσ ω ϕ⋅ ⋅ +

Slika 5.7. Oscilacijski prijelazni odziv

Realni dio dan je sa σ (sigma) i predstavlja eksponent od e. Vlastita prigušena frekvencija ωd (omega-d, damped natural frequency) frekvencija je oscilatornog dijela koji proizlazi iz konjugirano-kompleksnog para.

D predstavlja konstantu prigušenja (viskoznog) u sustavu. U slučaju kada je brojnik pod korijenom u jednadžbi (5.29) jednak nuli, dva rješenja karakteristične jednadžbe r1 i r2 su jednaka. U tom slučaju kaže se da konstanta prigušenja ima kritičnu vrijednost Dkr:

KMDkr 2= (5.31)

Stupanj prigušenja ζ (zeta, damping ratio) definiran je kao omjer aktualne i kritične konstante prigušenja:

KM

D

D

D

kr 2==ζ (5.32)

Prijelazni odzivi prema stupnju prigušenja mogu se podijeliti na:

� 0 < ζ < 1 korijeni su konjugirano-kompleksni parovi, odziv je prigušeno oscilacijski, tj. odziv je prigušena sinusoida (underdamped)

� ζ > 1 korijeni su realni, odziv je aperiodski (overdamped)

� ζ = 1 korijeni su jednaki i realni, odziv je granično aperiodski

� ζ = 0 odziv su neprigušene oscilacije


68

� ζ < 0 odziv su raspirene oscilacije (sustav je nestabilan)

Prikazi nekoliko normaliziranih odziva (kao funkcija ωnt) na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije za različite stupnjeve prigušenja dani su na slici 5.8.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

XB

n tω ⋅

ς = 0.23ς = 0.5ς = 0.75ς = 1ς = 2

ς = 0

Slika 5.8. Odzivi na odskočnu funkciju za različite ζ

Neprigušena vlastita frekvencija

Karakteristična jednadžba dana u (5.19) može se podijeliti sa koeficijentom K, a zatim napisati u takozvanom standardnom obliku kvadratne jednadžbe pomoću ωn i ζ umjesto koeficijenata označenih sa npr. M, K i D:

2222

2 2121

1 nnnn

rrrrrK

Dr

K

M ωωζω

ζω

++=++=++ (5.33)

Neprigušena vlastita frekvencija ωn (omega-n, undamped natural frequency) definirana je kao frekvencija kontinuiranih oscilacija odziva ako je konstanta prigušenja D jednaka nuli:

M

Kn =ω (5.34)

69

Slučaj kada je D = 0, odnosno stupanj prigušenja ζ = 0, znači da prijelazni odziv trajno oscilira. To je sinusoida konstantne amplitude, što se može vidjeti na slici 5.8.

Rješenja karakteristične jednadžbe (5.33) mogu se napisati kao:

22,1 1 ζωζωωσ −±−=±= nnd jjr (5.35)

Prijelazni odziv za prigušeno oscilacijski slučaj dan pomoću ωn i ζ postaje:

)1sin()sin( 211 φζωφω ζωσ +−=+ − teKteK n

td

t n (5.36)

Iz gornjeg izraza može se uočiti da povećanje umnoška ωn i ζ (tj. σ) ubrzava smirivanje oscilacija.

Prikaz utjecaja smještaja korijena sustava na odzive dan je kasnije.

Vremenska konstanta

Neki dinamički sustav s jednim spremnikom energije, dakle prvog reda, čija pobuda je jednaka nuli, opisan je homogenom diferencijalnom jednadžbom prvog reda:

0)()(

=+ tydt

tdyτ (5.37)

Koeficijent τ u ovom slučaju može se nazvati vremenskom konstantom, a imati će jedinicu vremena (npr. sekunde). Klasično rješenje diferencijalne jednadžbe opisano je u poglavlju 5.2. Korijen karakteristične jednadžbe je r = -1/τ , a prijelazni odziv (5.37) u obliku je eksponencijalne funkcije:

teKty τ

1

)(−

= (5.38)

Prijelazni odziv sustava (5.37) prikazan je na slici 5.9, uz početnu vrijednost K koja je u ovom slučaju jednaka 1.


70

τ τ2 τ3

1

0,368

y(t)

t

Im

Re

τ1−=r

Slika 5.9 Vremenska konstanta

Za vrijeme jednog intervala vremenske konstante τ, odziv se smanjuje na 0.368 puta manju vrijednost od početne, pošto je e-1 = 0.368. Tako bi se, na primjer, za pet vremenskih konstanti odziv smanjio na 0.3685 svoje početne vrijednosti, odnosno imao bi 0.68% početne vrijednosti. Bio bi dakle, praktički nula (stoga se često uzima pet vremenskih konstanti kao mjera dovoljno bržeg, odnosno dovoljno sporijeg sustava kada je to potrebno). Teoretski, odziv nikada neće dostići nulu, no to nema praktične važnosti.

Može se i drugim rječima definirati, vrijednost vremena kada se eksponent iznad e izjednači sa –1 zove se vremenska konstanta sustava.

Važno je napomenuti da, u slučaju kada se promatra odziv na jediničnu odskočnu funkciju, tada je vremenska konstanta vrijeme potrebno da odziv sustava poprimi 0.632 puta konačne vrijednosti (ta vrijednost dobiva se iz 1 - e-1).

U slučaju prigušeno oscilacijskog slučaja odziva, vremenska konstanta odgovara realnom dijelu odziva σ, odnosno umnošku ωn i ζ:

nωζστ 11 == (5.39)

Važno je uočiti, što je korijen (pol) udaljeniji od ishodišta, to je vremenska konstanta kraća, a odziv sustava je brži.

Značajke sustava prikazane u Gaussovoj ravnini

Prethodno definirani stupanj prigušenja ζ i neprigušena vlastita frekvencija ωn značajke su koje određuju ponašanje nekog dinamičkog sustava. Te se značajke mogu pokazati u Gaussovoj ravnini (kompleksna ravnina) na slici 5.10. Točke u ravnini predstavljaju korijene

71

karakteristične jednadžbe, odnosno polove prijenosne funkcije, pa se kompleksna ravnina još naziva s-ravnina (po operatoru s)

Slika 5.10. Stupanj prigušenja i neprigušena vlastita frekvencija u Gaussovoj ravnini

Odzivi na jediničnu odskočnu funkciju u odnosu na različiti smještaj korijena, odnosno polova, za sustave sa jednim korijenom (sustave 1. reda) i sustave sa dva korijena (sustav 2. reda) dani su na slici 5.11.

Slika 5.11. Odzivi sustava 1. i 2. reda na pobudu u obliku odskočne funkcije u ovisnosti o smještaju korijena (prilagođena slika iz [40])


72

Utjecaj smještaja korijena na brzinu i prirodu odziva može se lako uočiti. Gaussova ravnina podijeljena je na dvije poluravnine, u odnosu na imaginarnu os. U lijevoj poluravnini realni dijelovi polova su negativni, dok su u desnoj poluravnini oni pozitivni.

Sustavi sa pozitivnim realnim dijelom korijena (koji imaju pol u desnoj poluravnini) nestabilni su, što se posebno obrađuje u poglavlju o stabilnosti. Nestabilnim sustavima odziv poprima neograničene iznose, iako je pobuda ograničena (odskočna funkcija).

Sustavi koji imaju pol smješten na realnoj osi (dakle kompleksni dio pola je jednak nuli), odnose se na sustave prvog reda. Očito je da, što je pol dalji od ishodišta), njegov odziv je brži. Dakle, vremenska konstanta je kraća.

Sustavi čiji je kompleksni dio različit od nule, prikazani su na slici 5.11 također s jednim polom, međutim oni dolaze kao konjugirano kompleksni parovi, čiji par ima negativan kompleksan dio, koji nije prikazan, iako postoji (radi preglednosti). Tu se također može vidjeti, polovi udaljeniji od ishodišta odgovaraju „bržim“ sustavima (osciliraju višom frekvencijom). Što su polovi „zatvoreniji“, dakle bliže imaginarnoj osi, sustav ima prigušenije odzive. To je logično, jer ima veći stupanj prigušenja.

Dinamički sustavi često se prikazuju pomoću takozvane mape polova i nula (pole-zero map), gdje su osim polova prikazane i nule sustava, što daje dobru sliku ponašanja linearnog sustava.

5.4 Osnovni dinami čki članovi Složeniji dinamički sustavi u pravilu se dadu rastaviti na jednostavnije elemente, odnosno članove, što olakšava njihovo proučavanje. Osnovni dinamički članovi svrstavaju se prema tome kako pobuda djeluje na njih, pa postoje proporcionalni, integralni i derivacijski članovi, i označavaju se kao P, I i D. Osim toga, članovi se dijele i prema kašnjenju, odnosno broju integracija koje treba provesti da bi se dobila izlazna veličina. To odgovara broju spremnika energije, pa su osnovni članovi nultog, prvog ili drugog reda, pa se tako za npr. proporcionalni član piše P0, P1 ili P2 član. Uz to se pojavljuje član sa mrtvim vremenom, koji se ne može svrstati po prethodnim kriterijima. Taj član naziva se transportnim. Složeniji članovi, ili oni višeg reda, mogu se prikazati kao kombinacije osnovnih članova. Dodaje se da je svrstavanje po članovim na ovaj način svojstvenije njemačkoj literaturi, uz nešto drugačije označavanje (npr. P1 označava se sa PT1 gleid).

U slijedećim poglavljima dani su proporcionalni član nultog reda, proporcionalni član prvog reda, proporcionalni član drugog reda, integralni, derivacijski i transportni član. Pregledan prikaz svih članova dan je na kraju tablicom 5.1.

Proporcionalni član nultog reda

Označava se kao P0 član. Najbolje se može predočiti mehaničkom polugom, prikazanoj na slici 5.12.

73

x(t) a

b

y(t)

Slika 5.12. P0 član, poluga

Jednadžba, u ovom slučaju algebarska, koja povezuje pomak x(t) kao ulaz (pobuda) i pomak y(t) kao odziv je slijedeća:

)()()( txKtxa

bty P== (5.40)

Iz izraza (5.40) može se uočiti da je odziv proporcionalan pobudi, koja se množi pojačanjem KP, stoga je to proporcionalan član. Veza odziva i pobude je bez kašnjenja, odvija se trenutno, pa je zato nultog reda. Prijenosna funkcija P0 člana bila bi:

PKsX

sYsG ==

)()(

)( (5.41)

Odziv P0 člana na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije prikazan je na slici 5.13.

x(t), y(t)

t0

1 x

yKp

Slika 5.13. Odziv P0 člana na jediničnu odskočnu funkciju

Uz mehaničku polugu (zanemarene elastičnosti), primjer P0 člana je električni potenciometar, čiji izlazni napon odgovara ulaznom pomnoženom sa omjerom električnih otpora.

Proporcionalni član prvog reda

Označave se kao P1 član. Primjer može biti mehanički, sa oprugom i prigušenjem, prikazan na slici 5.14.


74

A B

DK

xA(t) xB(t)

f(t)

Slika 5.14. P1 član, mehanički sa oprugom i prigušenjem

Uz pretpostavku da je pomak xA(t) pobuda, a pomak xB(t) odziv, povezuje ih diferencijalna jednadžba 1. reda:

)()()(

txtxdt

tdx

K

DAB

B =+ (5.42)

gdje je K konstanta krutosti opruge, a D konstanta viskoznog prigušenja.

Prema definiciji vremenske konstante dane u poglavlju 5.3, omjer D/K predstavlja vremensku konstantu sustava.

Imajući na umu klasično rješenje diferencijalne jednadžbe dano u poglavlju 5.2, te uz pretpostavku da su početni uvjeti jednaki nuli, odziv na odskočnu funkciju biti će:

)1)(()( )/( tDKAB etxtx −−= (5.43)

Odziv na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije dan je na slici 5.15.

75

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.5

1

1.5

t

Xa(t), Xb(t)

D/K

0.632 Xb

Xa


Odziv P1 člana ne može imati oscilacije, pošto nema izmjena energije među spremnicima, kojih ima samo jedan. U ovom primjeru to je opruga. Sa slike se vidi da odziv kasni, a kašnjenje ovisi o karakteristici opruge, te o otporu koji pruža prigušenje.

Prijenosna funkcija P1 člana općenito se može dati sa:

1)()(

)(+

==s

K

sX

sYsG P

τ (5.44)

gdje τ ima značenje vremenske konstante, a KP je pojačanje. Odnosno, to je proporcionalno pojačanje (ili slabljenje) pobude.

Primjeri P1 člana su električni krug sa serijski spojenim otpornikom i kondenzatorom (RC), zatim jednostavan sustav prijelaza topline sa usredotočenim parametrima.

Proporcionalni član drugog reda

Označava se kao P2 član. Očigledni primjeri su mehanički sa masom, prigušenjem i oprugom, te električni sa otpornikom, svitkom i kondenzatorom (RLC), koji su prikazani u poglavlju 4.5.

Sustavi su opisani diferencijalnom jednadžbom 2. reda. Odzivi takvog sustava mogu biti oscilacijski ili aperiodski, ovisno o stupnju prigušenja sustava. To je detaljnije dano u poglavlju 5.2 i 5.3. Tamo su prikazani odzivi na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije, dani također na slici 5.16.


76

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

XB

n tω ⋅

ς = 0 .2 3ς = 0 .5 ς = 0 .7 5ς = 1 ς = 2

ς = 0


Stupanj prigušenja ζ i neprigušena vlastita frekvencija ωn ovise o omjerima parametara sustava. Primjer klasičnog rješenja diferencijalne jednadžbe takvog sustava dan je u poglavlju 5.2.

Prijenosna funkcija P2 člana općenito ae može napisati kao:

22 2)()(

)(nn

P

ss

K

sX

sYsG

ωωζ ++== (5.45)

Integralni član

Kod integralnog člana odziv sustava ovisi o integralu pobude, a označava se kao I član. Može biti nultog reda (bez kašnjenja), dakle I0, ali može imati kašnjenje prvog reda, drugog reda, itd. Tada se označava sa I1, I2, ..

Primjer integralnog člana jest istosmjerni elektromotor sa kutnim pomakom osovine kao izlaznom varijablom. Njegov model detaljnije je prikazan u poglavlju 4.5.

Ako se pretpostavi da je struja armature konstanta, onda je kutna brzina θ& osovine elektromotora proporcionalna naponu izvora u0 (uz konstantni pomak za iznos R i/K).

Ako je kutni pomak (zakret) θ osovine izlazna varijabla, onda je veza sa naponom izvora kao ulaznom varijablom dana putem njegovog integrala:

77

∫= dttuKt i )()( 0θ (5.46)

gdje je Ki konstanta integracije, ovisna o parametrima sustava. Izraz (5.46) predstavlja I0 član, koji je isključivanjem kašnjenja pretpostavljen kao idealan. I1 član uključuje kašnjenje zbog momenta tromosti rotora i induktiviteta, a može se napisati kao:

∫=+ dttuKtdt

tdi )()(

)(0θθτ (5.47)

gdje je τ vremenska konstanta.

Odzivi I0 i I1 člana na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije dani su na slici 5.17.

1

1

Ki

τ

uo

0, Iθ1, Iθ( ) ( )ttu θ,0

t

Slika 5.17. Odziv I0 i I1 člana na jediničnu odskočnu funkciju

Prijenosne funkcije I0 i I1 člana mogu se dobiti uvođenjem operatora s i provođenjem transformacija iz izraza (4.19) (poglavlje 4.6) nad gornjim izrazima, pa se dobiva:

s

K

sX

sYsG i

I ==)()(

)(0 (5.48)

)1()()(

)(1 +==

ss

K

sX

sYsG i

I τ (5.49)

Integralni član ima svojstvo da njegov izlaz zadržava posljednju vrijednost, sve dok je vrijednost na ulazu u integrator jednaka nuli (na primjeru cilindra sa slike 4.2: dok je Q = 0, tada se klipnjača ne pomiče → x = konst.).


78

Derivacijski član

Kod derivacijskog člana odziv sustava ovisi o derivaciji pobude, a označava se kao D član. Kao i I član, može biti nultog reda (bez kašnjenja), što se označava sa D0. Može imati kašnjenje prvog reda, drugog reda, itd., a tada se označava sa D1, D2, ..

Primjer derivacijskog člana može biti generator istosmjerne struje. To je preslikani problem istosmjernog elektromotora, koji je dan kao primjer integralnog člana prethodno. Dakle, vrtnjom osovine generatora inducira se napon u električnom krugu. Ako se pretpostavi da je struja magnetiziranja konstanta, inducirani napon biti će proporcionalan broju okretaja, odnosno kutnoj brzini osovine. , Ako je inducirani napon u izlazna varijabla, a ako se kao pobuda (ulazna varijabla) promatra zakret osovine θ, međusobna veza je operacija derivacije:

dt

tdKtu d

)()(

θ= (5.50)

gdje je Kd konstanta koja ovisi o parametrima sustava. Izraz (5.50) predstavlja D0 član, koji predstavlja idealan derivacijski član zanemarivanjem kašnjenja uslijed momenta tromosti rotora i induktiviteta. D1 član uključuje kašnjenje, i dan je slijedećim izrazom:

dt

tdKtu

dt

tdud

)()(

)( θτ =+ (5.51)

gdje je τ vremenska konstanta.

Odziv D0 i D1 člana na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije dan je na slici 5.18.

1

τ

θ

1,Du

( ) ( )ttu θ,

t

τdK

0,Du

Slika 5.18. Odziv D0 i D1 člana na jediničnu odskočnu funkciju

Prijenosne funkcije D0 i D1 člana mogu se dobiti uvođenjem operatora s i provođenjem transformacija iz izraza (4.19) (poglavlje 4.6) nad izrazima (5.50) i (5.51):

79

sKsX

sYsG dD ==

)()(

)(0 (5.52)

1)()(

)(1 +==

s

sK

sX

sYsG d

D τ (5.53)

Derivacijski član je suprotan integratoru – njegova izlazna veličina mijenja se tek onda ako se mijenja ulazna veličina. Na primjeru cilindra sa slike 4.2: ako je pomak klipnjače x ulaz u proces, nekakav protok Q (izlaz) dobiti će se samo onda ako se x mijenja, dakle ako se klipnjača pomiče.

Član s mrtvim vremenom

Član s mrtvim vremenom pojavljuje se kada se materijal ili energija fizički premještaju, stoga se koristi i drugi naziv, transportni član, a označava se sa Tm. Primjer člana s mrtvim vremenom jest transportna traka za neki rasuti materijal. Od trenutka utovara do trenutka istovara određene cjeline materijala proći će neko vrijeme, koje se naziva mrtvim vremenom (dead time, transportation lag), a označava se τm. Ono ovisi o brzini gibanja materijala i dužini transportnog sredstva. Ilustracija toga dana je na slici 5.19.

l

m

lv τ=

Slika 5.19. Član s mrtvim vremenom, transportna traka

Veza izlazne varijable y i ulazne x člana s mrtvim vremenom može se izraziti slijedećim:

)()( mtxty τ−= (5.54)

Odziv člana s mrtvim vremenom na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije dana je na slici 5.20.


80

x(t), y(t)

t0

y(t)

x(t)1

mτ

Slika 5.20. Odziv člana s mrtvim vremenom na odskočnu funkciju

Prema teoremu pomaka Laplaceove transformacije (teoreme Laplaceove transformacije mogu se naći detaljno npr. u [27]), transformacija neke vremenske funkcije pomaknute za

vrijeme τm jest sme τ− , stoga je prijenosna funkcija člana s mrtvim vremenom iz (5.54) slijedeća:

smesX

sYsG τ−==

)()(

)( (5.55)

Često procesi prijenosa materijala ili energije sadrže i obično kašnjenje prvog reda sa vremenskom konstantom τ, pa se općenitije mogu izraziti prijenosnom funkcijom člana s mrtvim vremenom i kašnjenjem prvog reda:

1)()(

)(+

−==

s

sme

sX

sYsG

τ

τ (5.56)

Odziv člana opisanog prijenosnom funkcijom (5.56) na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije dan je na slici 5.21.

x(t), y(t)

t0

y(t)

x(t)1

mτ

0,632

τ

Slika 5.21. Odziv člana s mrtvim vremenom i kašnjenjem 1. reda na odskočnu funkciju

Primjeri člana s mrtvim vremenom dosta su česti u procesnoj industriji. Takav član neugodan je za regulaciju, pošto se njome reagira na neki događaj sa znatnim kašnjenjem, definiranim mrtvim vremenom. Stoga se metodama regulacije predviđa događaj na temelju matematičkog modela procesa, da bi se na taj način nadoknadilo kašnjenje uslijed mrtvog

81

vremena. Najpoznatija takva metoda jest takozvani Smithov prediktor (detaljnije vidjeti npr. u [44, poglavlje 18]).

Tablica osnovnih dinamičkih članova

Radi preglednosti osnovni dinamički članovi dani su u tablici, sa prijenosnim funkcijama koje ih opisuju i svojim odzivima na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije.

K predstavlja pojačanje, τ vremensku konstantu, τm mrtvo vrijeme, ωn neprigušenu vlastitu frekvenciju, a ζ stupanj prigušenja.

Član Prijenosna funkcija Odziv na odskočnu funkciju

P0 KsG =)(

K

t P1

1)(

+=

s

KsG

τ

K

0,632

τ t P2

22 2)(

nn ss

KsG

ωωζ ++=

K

1=ζ

7,0=ζ

5,0=ζ

t I0

s

KsG =)(

K

1 t


82

I1 )1(

)(+

=ss

KsG

τ

K

τ 1 t D0 sKsG d=)(

t D1

1)(

+=

s

sKsG

τ

τ

τK

Tm smesG τ−=)(

1

mτt

Tm+1

1)(

+

−=

s

smesG

τ

τ

1

0,632

τmτ t Tablica 5.1. Osnovni dinamički članovi

83

5.5 Zahtjevi kod vremenskog odziva

Uspješna sinteza sustava upravljanja zahtijeva određene podatke kojima se može precizno definirati svojstva dinamičkog sustava koja se žele time postići. Zbog toga se koriste podaci poput vremena porasta, vremena smirivanja, ili postotnog prebačaja, kojima se kvantitativno definiraju svojstva dinamičkog sustava. Ta svojstva definirana su vremenskim odzivom, međutim oni se lako dadu povezati i definirati također sa smještajem polova.

Osnovna svojstva odziva na odskočnu funkciju

Da bi se odredili zahtjevi kod vremenskog odziva, može se koristiti pobuda u obliku odskočne funkcije. To nije univerzalno pravilo, ali zahtjevi se najčešće definiraju upravo kao svojstva odziva na takvu pobudu.

Na slici 5.22 dan je odziv P2 člana na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije. Na tom primjeru definirati će se svojstva odziva.

190%

10%

Mp

%1±

tr tpts

t

h(t)e0

Slika 5.22. Svojstva odziva na primjeru P2 člana

Gdje su:

─ tr vrijeme porasta (rise time) – najčešće označava vrijeme potrebno da odziv sustava poraste od 10% do 90% svoje konačne vrijednosti.

─ ts vrijeme smirivanja (settling time) – označava vrijeme potrebno da se prijelazni dio odziva smanji na neku malu vrijednost, tako da odziv poprimi gotovo ustaljenu vrijednost u stacionarnom stanju. Neka mala vrijednost može biti različito pretpostavljena, ovdje je ± 1% (može biti i do ± 5%).

─ tp vrijeme maksimalnog prebačaja (peak magnitude time) – označava vrijeme maksimalnog prebačaja.

─ Mp maksimalni prebačaj (peak magnitude) – označava prebačaj odziva u postocima.


84

─ e0 trajno regulacijsko odstupanje (steady-state error) – predstavlja regulacijsku pogrešku u stacionarnom stanju.

Vremena imaju vremenske jedinice, dok su Mp i e0 dani najčešće u postocima. Uz navedena svojstva može se dodati i mrtvo vrijeme sustava τm, svojstveno sustavima reda višeg od dva.

Napominje se da zahtjevi mogu biti i drugačije definirani, pa je prilikom određivanja svojstava dinamičkog sustava potrebno obratiti pažnju i na definiranje samih svojstava.

Utjecaj parametara PID regulatora na navedena svojstva odziva dan je kasnije.

Slijedeće podpoglavlje povezuje navedena svojstva vremenskog odziva sa položajem polova P2 člana.

Svojstva odziva dana položajem polova

Prethodno su dana svojstva kojima se može definirati odziv sustava. Ovdje će se ta svojstva povezati sa položajem polova sustava u Gaussovoj ravnini, odnosno preko neprigušene vlastite frekvencije ωn i stupnja prigušenja ζ (definirani su u poglavlju 5.3). Valja napomenuti da dane veze vrijede samo ograničeno (sustav sa konjugirano-kompleksnim parom polova i bez konačih nula), no ipak općenito daju dobar uvid o povezanosti vremenskog odziva i položaja polova sustava. Približne veze vremena porasta tr, vremena smirivanja ts i maksimalnog prebačaja Mp sa ωn i ζ dane su slijedećim izrazima:

6.006.0

1

6.4

8.1

≤≤−≈

≈

≈

ζζωζ

ω

zaM

t

t

p

ns

nr

(5.57)

Ako su zadana svojstva odziva, pomoću (5.57) dade se izraziti gdje trebaju biti smješteni polovi sustava da bi se tražena svojstva postigla (ili nadmašila):

)1(6.0

6.4

8.1

p

sn

rn

M

t

t

−≥

≥=

≥

ζ

ωζσ

ω

(5.58)

Vremenske jedinice su sekunde, a vrijednosti ωn i σ su rad/s.

Nejednadžbe iz (5.58) mogu se nacrtati u Gaussovoj ravnini, danoj na slici 5.23. Presjek sva tri uvjeta (osjenčano sivom) predstavlja rješenje. Naime, polovi smješteni u sivoj zoni predstavljali bi sustav koji bi imao svojstva odziva prema zahtjevima, ili čak bolje od njih.

85

nω

Re

Im

σ

ζ1sin−

Slika 5.23. Svojstva odziva dana položajem polova

Izraz za maksimalni prebačaj Mp u (5.57) linearan je, ali približan. Precizniji, nelinearan izraz za Mp (u postocima) dan je jednadžbom (5.59), a povezanost maksimalnog prebačaja i stupnja prigušenja ζ dana je dijagramom na slici 5.24.

10021/ ⋅= −− ζπζeMp (5.59)

100%

80%

60%

40%

20%

00,2 0,4 0,6 0,8 1,0

[ ]%pM

ζ

Slika 5.24. Veza maksimalnog prebačaja Mp i stupnja prigušenja ζ

Prethodni izrazi mogu se dobiti pronalaskom točke infleksije i pripadajućih frekvencija kod izraza za amplitudu sinusne prijenosne funkcije P2 člana. Sinusna prijenosna funkcija definirana je kasnije, u poglavlju o frekvencijskoj analizi. Detaljniji izvod gornjih izraza koji povezuju vremensko i frekvencijsko područje može se pronaći npr. u [27].


86

5.6. Utjecaj nula i dodatnih polova na odzive

Utjecaji nula sustava, odnosno položaja nula na odzive sustava objašnjeni su u ovom poglavlju. Promjene koje unosi dodavanje P1 člana P2 članu može se promatrati utjecajem dodanog pola. Time se promatra razlika ponašanja članova višeg reda (sada je to P3) u odnosu na osnovne članove, poput P2 člana.

Utjecaj nula na odzive

Nule prijenosne funkcije definirane su u poglavlju 4.6. To su vrijednosti s = ni za koje je polinom brojnika prijenosne funkcije jednak nuli. Prethodno su razmatrani odzivi raznih dinamičkih članova, međutim utjecaj polova je određivao odziv. Nule sustava također imaju utjecaj na prijelazni odziv. Općenito, što je nula bliže ishodištu Gaussove ravnine, njen utjecaj na odzive je značajniji, i to tako da povećava maksimalni prebačaj Mp, a da pri tom bitno ne utječe na vrijeme smirivanja ts. Vrlo značajan utjecaj imaju nule čije vrijednosti su manje od realnog dijela odziva polova (σ = ζ ωn). Ako je vrijednost nule nekoliko puta veća od σ (do četiri puta), još uvijek se zamjećuje povećanje maksimalnog prebačaja, posebno za slabije prigušene članove.

Na primjeru dinamičkog člana sa dva konjugirano-kompleksna pola, te sa jednom nulom, razmotriti će se utjecaj nule na odzive. Sustav je dan prijenosnom funkcijom:

121

11

)(2

2 ++

+=

ss

s

sG

nn

n

ωζ

ω

ωζα (5.60)

Dakle, položaj nule jest n = - α ζ ωn , odnosno n = - α σ. Prijelazni odzivi h(t) (odzivi na pobudu u obliku odskočne funkcije) dani su na slici 5.25 za različite vrijednosti α.

87

1

0,7nω

ζ=

=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t

h(t) α = 1 0 0 α = 4 α = 2 α = 1 α = 0 .5

Slika 5.25. Prijelazni odzivi za različite vrijednosti α

Da bi se objasnio utjecaj nula na odzive, izraz (5.60) se može preurediti uvodeći normaliziranu frekvenciju, odnosno zamjenjujući s/ωn sa s (tada je odziv u normaliziranom vremenu τ = ωn t). Osim toga, prijenosna funkcija može se rastaviti na dva dijela, gdje onaj desni predstavlja derivaciju onog originalnog, lijevog dijela (jer je s X(s) ≡ dx(τ) / dτ):

12

1

12

1

12

1)/1()( 222 ++

+++

=+++

=ss

s

ssss

ssG

ζζαζζζα

(5.61)

Odziv (5.61) na pobudu u obliku odskočne funkcije prikazan je na slici 5.26 kao zbroj dvaju odziva. Očito je, što je manji α, odnosno što je nula bliže ishodištu u Gaussovoj ravnini, njen utjecaj na maksimalni prebačaj je veći.


88

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

n tω ⋅

y(t)

dhh

dτ+

dhdτ

h

1

1nω

α=

= +

Slika 5.26. Prijelazni odziv sustava danog sa (353.2)

Fazno neminimalni sustav

Kao posebni slučaj može se razmotriti sustav dan sa prijenosnom funkcijom (5.61) iz prethodnog podpoglavlja, ali čija nula je smještena u desnom dijelu Gaussove ravnine (može se reći da sustav ima pozitivnu nulu). Takvi sustavi nazivaju se fazno neminimalni. Varijanta prijenosne funkcije (5.61) sada je:

12

1

12

1)( 22 ++

−++

=ss

s

sssG

ζζαζ (5.62)

Sada se ukupni odziv dobiva tako da se derivacija originala oduzima. Prijelazni odziv (5.62) dan je na slici 5.27. Maksimalni prebačaj u ovom slučaju je potisnut, a također se može vidjeti da ukupan odziv na samom početku gibanja poprima suprotan smjer od očekivanog. Primjer toga je upravljanje biciklom. Ako se naglo zakrene upravljač, počinje se padati u suprotnom smjeru od zakreta. To se na kinematičkom modelu bicikla dade uočiti upravo navedenim položajem nule. Drugi primjer je upravljanje automobilom unazad. Okretanje upravljača najprije zakreće prednji dio automobila u smjeru suprotnom od željenoga skretanja.

89

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n tω ⋅

y(t)

dhh

dτ+

dhdτ

h

1

1nω

α=

= −

Slika 5.27. Prijelazni odziv fazno neminimalnog sustava

Utjecaj dodatnih polova na odzive

U svjetlu razmatranja utjecaja nula na odzive P2 člana u prethodna dva podpoglavlja, može se ispitati i utjecaj dodatnog pola. Dakle, P2 članu dodati će se jedan P1 član, što čini u stvari jedan P3 član:

++

+

=

121

11

1)(

22 sss

sG

nnn ωζ

ωωζα

(5.63)

Prijelazni odzivi sustava danog prijenosnom funkcijom za različite polova iznose α, što znači za različite položaje dodatnog pola. Dodatni pol je p = - α ζ ωn, odnosno p = - α σ. Dakle, što je α veći, to je pol udaljeniji od ishodišta Gaussove revnine. Za α = 1, dodatni pol ima iznos realnog dijela P2 člana σ. Za α > 1, dodatni pol dalji je od σ, a za α < 1 dodatni pol bliži je ishodištu od σ. Na slici 5.28 može se videti da što je dodatni pol dalji od ishodišta (što je α veći), to je utjecaj na odzive manji. Što je dodatni pol bliži, povećava se vrijeme porasta tr odziva sustava u odnosu na sustav bez dodatnog pola (P2 član). Ako je vrijednost dodatnog pola unutar 4 σ, vrijeme porasta se zamjetno povećava. Uz to smanjuje se maksimalni prebačaj.


90

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 0

2

4

6

8

10

h(t) α = 0 ,1 0 .1α = 1 α = 5 α = 1 0

1

0,5nω

ζ=

=

Slika 5.28. Prijelazni odziv sustava sa dodatnim polom

91

6. Osnovna na čela povratne veze

Pojam koji vjerojatno najviše obilježava automatizaciju upravo je povratna veza. Povratna veza povezuje se s izrazom regulacija (njem. regelung, engl. feedback control ili closed-loop control). Koristi se također izraz upravljanje u zatvorenoj petlji ili zatvorenom krugu, što jasno predočava fizičku realizaciju regulacije nekog sustava. Regulirana veličina sustava mjeri se i uspoređuje sa željenom vrijednošću, te se na temelju te razlike sustav prisiljava da promijeni svoje stanje, kako bi regulirana veličina poprimila željeni iznos. Važno je dodati da je povratna veza u pravilu negativna. Time se sustav prisiljava da promijeni svoje stanje u „dobrom“ smjeru. U protivnom rezultat bi bio još gori (osim iznimno).

Sama ideja djelovanja povratne veze prikazana je u podpoglavlju 6.1, kako bi se približila, i kako bi se ukazalo na dobrobiti koje donosi. Upravljanje u zatvorenom krugu najbolje se prepoznaje njegovim regulacijskim djelovanjima, koja su opisana u podpoglavlju 6.2. Zasebno podpoglavlje 6.3 bavi se regulacijom kod metode prostora stanja. Potrebno je dodati, regulacijski sustav sastoji se od više elemenata, a osim regulatora sa svojim regulacijskim djelovanjem, tu su i izvršni i mjerni uređaji, sustavi obrade i prijenosa signala, te sami regulacijski sustav. Svi elementi pridonose krajnjem rezultatu upravljanja u zatvorenom krugu.

U podpoglavlju 6.4 razmatraju se svojstva stabilnosti i točnosti sustava. Ta svojstva nisu povezana isključivo sa sustavima upravljanim u zatvorenom krugu, no kako se povratnom vezom stabilnost mora ostvariti, a određena točnost želi postići, ona su razmotrena upravo u ovom dijelu udžbenika. Uz robusnost, te brzinu odziva (ili općenitije rečeno kvalitetu odziva), stabilnost i točnost sustava temeljni su zahtjevi automatizacije.

6.1 Djelovanje povratne veze

Dodavanjem povratne veze nekom dinamičkom sustavu kojeg želimo upravljati, taj sustav se mijenja. On postaje neki drugi dinamički član s nekim drugim svojstvima.

Takav primjer zatvaranja kruga opisan je u nastavku. Važno svojstvo osjetljivosti na promjene parametara sustava, koje se smanjuje povratnom vezom, objašnjeno je također


92

nešto kasnije. Zamisao idealnog regulatora pokazati će da, makar teoretski, povratna veza i nije nužna za dobro vođenje, a također služi kao uvod u pojam unaprijedne veze (feedforward).

Primjer zatvaranja regulacijskog kruga

Na slici 6.1 prikazan je mehanički sustav mase M koji se giba na ravnoj podlozi pogonjen silom f(t) (ulazna veličina). Regulirana veličina (izlaz) u ovom primjeru biti će pozicija (pomak) mase (dakle x(t)). Trenje o podlogu i ostali otpori su zanemareni.

M

x(t)

f(t)

Slika 6.1. Jedan primjer mehaničkog sustava

Gibanje sustava sa slike 6.1 može se izraziti slijedećim:

)()(

2

2tf

dt

txdM = (6.1)

Prijenosna funkcija gornjeg sustava dobiva se transformacijom (6.1), a označiti će se kao G(s):

22 1

)()()(sM

sGsFsXsM =⇒= (6.2)

Prijelazni odziv (odziv na pobudu u obliku odskočne funkcije) sustava opisanog (6.1) dan je na slici 6.2. Pobuda je označena punom plavom linijom, brzina gibanja je dana isprekidanom crvenom linijom, dok je izlaz, pozicija, dana punom zelenom linijom.

93

0 0.5 1 1.5 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t

x(t)

x&

x

Slika 6.2. Prijelazni odziv sustava

Sada se može zatvoriti povratna veza, te će se u zatvoreni krug dodati regulacijsko djelovanje sa proporcionalnim plus derivacijskim članom (PD). To znači da se na regulacijsku pogrešku E(s) djeluje proporcionalno pojačanjem koje se može označiti sa K, odnosno da se derivacija regulacijske pogreške množi sa pojačanjem koje se može označiti sa D. Blok shema zatvorenog regulacijskog kruga sa PD regulacijskim djelovanjem dana je na slici 6.3. Regulacijska djelovanja opisana su detaljnije u poglavlju 6.2.

D s

K XG

X

E

GR

Xz

Slika 6.3. Blok shema zatvorenog kruga sa PD regulacijskim djelovanjem

Pravilima algebre blokova danim u poglavlju 4.7 napisati će se prvo prijenosna funkcija PD regulacijskog djelovanja GR(s), zatim prijenosna funkcija otvorenog kruga GO(s), koju čini


94

serijski spoj regulacijskog djelovanja i objekta regulacije. Na kraju će se dobiti prijenosna funkcija zatvorenog kruga GZ(s):

sDKsGR +=)(

)()()( sGsGsG RO ⋅=

KsDsM

KsD

sMsDK

sMsDK

sG

sGsG

O

OZ

+++

=++

+=

+=

2

2

2

1)(1

1)(

)(1)(

)( (6.3)

Prijenosna funkcija zatvorenog kruga iz (6.3) može se napisati pomoću neprigušene vlastite frekvencije ωn i stupnja prigušenja ζ (to je opisano u poglavlju 5.3):

121

12

)(2

2 ++

+=

ss

s

sG

nn

nZ

ωζ

ω

ωζ

(6.4)

gdje je neprigušena vlastita frekvencija dana sa MKn /=ω , a stupanj prigušenja

je KMD 2/=ζ .

Odziv sustava u zatvorenom krugu sada ovisi o veličinama ωn i ζ, odnosno o masi sustava M, i o iznosima pojačanja regulatora K i D. Stoga prijelazni odziv sustava u zatvorenom krugu uz normaliziranu frekvenciju (odnosno zamjenjujući s/ωn sa s, pa je odziv u normaliziranom vremenu ωn t) može izgledati kao na slici 6.4.

95

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ω ⋅n t0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X(t) ς = 0 .2 3 ς = 0 .5 ς = 0 .7 5 ς = 1

Slika 6.4. Prijelazni odziv sustava u zatvorenom krugu

Prijelazni odzivi samog mehaničkog sustava sa slike 6.2, i sustava u zatvorenom krugu sa slike 6.4, mogu se usporediti. Razlike odziva su bitne, pa se može ukazati na nekoliko zaključaka:

─ Uvođenjem povratne veze sa određenim regulacijskim djelovanjem originalni sustav može potpuno promijeniti svoju dinamičku narav. Od originalnog sustava kojeg su mogla predstaviti dva serijski spojena I0 člana, došlo se do P2 člana sa dodanom nulom.

─ Regulacijsko djelovanje u ovom slučaju oponaša oprugu i prigušenje. Dakle, nekakvi aktuator (npr. električni motor koji pogoni kotače, čije postojanje i dinamika u ovom slučaju je zanemarena radi pojednostavljenja) svojim djelovanjem glumi djelovanje opruge i viskoznog prigušivača, kojih fizički uopće nema.

─ Samo ponašanje sustava u zatvorenom krugu ovisi o parametrima regulatora (ovdje pojačanjima K i D), koji se kod modernih elektroničkih uređaja (mikroračunala) vrlo lako mogu podesiti. Kod stvarnih opruga i prigušivača parametri se, jednom zadani, teško dadu mijenjati.

Realizacija zatvorenog kruga sa slike 6.3 zahtijevala bi mjerenje pomaka danog mehaničkog sustava, npr. nekog vozila. Taj signal bi se u svakom trenutku u upravljačkoj jedinici uspoređivao sa željenim pomakom, razlika bi se množila sa pojačanjem K, dok bi se derivacija pomaka, tj. brzina vozila, množila sa pojačanjem D. Zbroj ta dva dobivena signala bio bi naredba nekom aktuatoru (npr. elektromotoru) da sa više ili manje momenta u tom


96

trenutku pogura vozilo, i na taj način osigura da stvarni pomak vozila bude jednak onom željenom.

Zamisao idealnog „regulatora“

Zamisao idealanog „regulatora“, odnosno upravljačkog uređaja, jednostavna je, i objasniti će se blok shemom na slici 6.5.

XGR Go

Y

Slika 6.5. Zamisao idealnog „regulatora“

Kako se može vidjeti sa slike 6.5, uopće nema povratne veze, tako da se GR niti ne može predstavljati kao regulator. Međutim, koncept idealnog vođenja može se pojasniti. Zamišljeni idealni sustav trebao bi imati u svakom trenutku izlaznu veličinu Y(s) jednaku ulaznoj veličini X(s). To naime znači da ako ulaz X(s) predstavlja neku željenu vrijednost izlaza Y(s) koja se želi postići, izlaz će u svakom trenutku biti jednak željenom. Dakle, može se pisati:

)()()()(

)( sGsGsX

sYsG OR ⋅== (6.5)

Ako je Y(s) = X(s) slijedi da je G(s) = 1, a tada važi da je idealni regulator jednak inverziji objekta regulacije GO(s):

)(1

)(sG

sGO

R = (6.6)

Dakle, moglo bi se zaključiti da povratna veza uopće nije potrebna za vođenje, kada se u otvorenom krugu mogu postići idealna svojstva, odnosno da izlazna veličina bude jednaka željenoj u svakom trenutku. No praktična realizacija idealnog regulatora sporna je iz više razloga:

─ Ako GO sadrži kašnjenja (dakle s-ove), njezina inverzija sadržavala bi odgovarajući broj derivacija. To znači da bi u mnogo slučajeva zahtjevi koje regulator daje aktuatoru njemu bili neostvarivi, zbog naglih skokova i vršnih vrijednosti signala.

─ GO bi trebao sasvim precizno matematički opisivati stvarni sustav, što je u praksi rijetko kada ostvarivo.

─ U slučaju kada je GO fazno neminimalni sustav (definiran u poglavlju 5.6), njegova inverzija bila bi nestabilna (teoretski, da 1/GR daje savršenu inverziju stvarnog sustava to bi se dalo zanemariti).

97

U slijedećem podpoglavlju pokazuje se kako povratna veza upravo smanjuje osjetljivost vođenja na pogreške matematičkog modela. No koncept idealnog regulatora ipak je značajan i ima praktičnu primjenu, i to u takozvanoj unaprijednoj vezi (feedforward). To se razmatra kasnije.

Osjetljivost na promjene parametara sustava

Upravo analiza osjetljivosti na promjene parametara sustava koji se želi voditi, može pokazati prednosti regulacije, odnosno povratne veze u usporedbi sa upravljanjem u otvorenom krugu.

Osjetljivost predstavlja omjer postotne promjene neke mjere svojstava sustava (što može biti odziv Y(s)) i postotne promjene nekog parametra sustava ai. Za male promjene koeficijenta ∆ai od početne vrijednosti a0 može se pisati da je osjetljivost S:

0

0

/)(/)(

aa

sYsY

i

YaS

∆∆

≅ (6.7)

Što se odziv manje mijenja kao posljedica promjene koeficijenata sustava, to je manje osjetljiv. Prilikom vođenja, poželjno je da odziv bude što manje osjetljiv na promjene.

Osjetljivost odziva na promjene prijenosne funkcije (odnosno njenih koeficijenata) kod otvorenog kruga, te kod jedinične povratne veze može se dati slijedećim:

Otvoreni krug : 1=SYG

Jedinična negativna povratna veza: )(1

1sG

SYG +

=

Kod otvorenog kruga odziv se mijenja proporcionalno promjenama parametara sustava. Kod zatvorenog kruga, odziv ovisi o G(s). Ako je G(s) P0 član sa pojačanjem K, što je veće pojačanje osjetljivost je manja. Odziv nekog sustava sa beskonačno velikim pojačanjem u zatvorenom krugu bio bi potpuno neosjetljiv na bilo kakvu promjenu parametara.

Može se zaključiti da regulacija, tj. vođenje sustava korištenjem povratne veze, čini odzive takvog sustava znatno manje osjetljivim na promjene parametara sustava ili na manjkavosti modela kojim se opisuje stvarni sustav.

Osnovna obilježja povratne veze

Na jednostavnoj usporedbi otvorenog i zatvorenog kruga dati će se neka osnovna obilježja vezana uz vođenje. Na slici 6.6 prikazan je otvoreni i zatvoreni krug, sa prijenosnim funkcijama objekta upravljanja GO(s) i upravljačkog djelovanja ili regulatora GR(s). Y(s) predstavlja odziv, dok je ulazna veličina označena sa R(s), pošto je to referencija koju odziv treba pratiti.


98

RGR Go

Y

R GR GoY

-

a)

b)

Slika 6.6. a) Otvoreni i b) zatvoreni krug

Odzivi otvorenog (a) i zatvorenog kruga (b), prema pravilima o algebri blokova iz poglavlja 4.7, su slijedeći:

)()()()( sRsGsGsY ORa = (6.8)

)()()(1

)()()( sR

sGsG

sGsGsY

OR

ORb +

= (6.9)

Očito je da će promjene objekta upravljanja GO(s) u otvorenom krugu proporcionalno mijenjati odziv i time uzrokovati pogrešku. Kod zatvorenog kruga promjene na objektu upravljanja GO(s) će se manje odraziti na odziv (ako je |GOGR| > 1). Odnosno što je |GOGR| veći, odziv će biti manje osjetljiv na promjene parametara sustava. Na to je već ukazano u prethodnom podpoglavlju o osjetljivosti, i tu je očita prednost povratne veze.

Razmatranje obilježja povratne veze može se upotpuniti dodavanjem poremećaja D(s) u sustavu, te mjernog šuma V(s), koji pogrešku dodanu mjernom signalu kod povratne veze. To je prikazano blok shemom na slici 6.7. Napominje se da su poremećaj i šum za ovo razmatranje prikazani kao aditivni (zbrajaju se), no oni mogu imati i drugačiji karakter (npr. multiplikativni).

99

RGR Go

Y

R GR GoY

-

a)

b)

D

D

V

Slika 6.7. a) Otvoreni i b) zatvoreni krug s uključenim poremećajnim veličinama

Odzivi otvorenog (a) i zatvorenog (b) kruga na neki poremećaj dani su slijedećim izrazima:

)()()( sDsGsY Oa = (6.10)

)()()(1

)()( sD

sGsG

sGsY

OR

Ob +

= (6.11)

Iz (6.10) može se uočiti da se upravljačkim djelovanjem GR(s) ne može utjecati na poremećaj. No, kod povratne veze mehanizam smanjivanja djelovanja poremećaja na odziv jednak je kao kod smanjivanja utjecaja promjena na objektu upravljanja. Dakle povećanjem |GOGR|, smanjuje se utjecaj poremećaja. To znači da je i u slučaju otklanjanja poremećaja očita prednost zatvorenog kruga nad otvorenim.

Ipak, potrebno je razmotriti i utjecaj mjernog šuma kod povratne veze. Toga nema kod otvorenog kruga, naprosto zato što se pretpostavlja da se ništa ne mjeri, što je svojstveno otvorenom krugu (mada ne mora značiti da je uvijek tako). Utjecaj šuma jest:

( ))()()()(1

)()()( sVsR

sGsG

sGsGsY

OR

ORb −⋅

+= (6.12)

Dakle, mjerni šum pojavljuje se na odzivu preko iste prijenosne funkcije kao i ulazna veličina. Stoga će se smanjenje utjecaja šuma odraziti i na ulazni signal istim mehanizmom. Kako mjerni signal nikada u praksi nije idealan, pojačanje regulatora, ako ničim drugim, uvijek je ograničeno kvalitetom mjernog signala.


100

U ovom poglavlju slijedeći su naglasci glede povratne veze:

─ Odziv u zatvorenom krugu manje je osjetljiv na promjene parametara sustava od odziva otvorenog kruga. Što je veće pojačanje regulatora, osjetljivost je manja.

─ U zatvorenom krugu može se utjecati na djelovanje poremećaja, za razliku od otvorenog kruga. Što je veće pojačanje regulatora, djelovanje poremećaja se smanjuje.

─ Kvaliteta mjernog signala (ali ne samo ona) ograničava pojačanja regulatora.

U idealnom slučaju, neki regulator bi trebao zadovoljiti slijedeće zahtjeve:

1. Zatvoreni krug mora biti stabilan.

2. Utjecaj poremećaja treba biti minimalan.

3. Odziv na promjene vodeće veličine treba biti brz i ravnomjeran.

4. Odziv u stacionarnom stanju treba biti točan.

5. Potrebno je izbjeći pretjeranu aktivnost izvršnih organa.

6. Sustav vođenja treba biti što je moguće manje osjetljiv na promjene unutar kruga, te na nepreciznosti modela.

Smještaj regulatora unutar zatvorenog kruga

Načelno, regulatori se mogu smjestiti unutar zatvorenog kruga na više mjesta. Ovdje su dane tri mogućnosti, a to su smještaj regulatora u direktnoj vezi (a), smještaj regulatora u povratnoj vezi (b), te krug sa unutarnjom povratnom vezom (c), čije blok sheme su dane na slici 6.8. Potrebno je napomeniti da nazivlje prikazanih tipova regulacije može ponešto zbunjivati. Za smještaj regulatora u direktnoj vezi (a) negdje se koristi naziv servo-regulator, a negdje kaskadni regulator. Regulacija sa unutarnjom povratnom vezom (c) u pravilu se naziva kaskadna regulacija, što će se koristiti i u ovom udžbeniku, dok se za regulator u direktnoj vezi ovdje neće koristiti izraz kaskadni.

101

R GR GoY

-

a)

b)

R GR

Go

Y-

R1 Go2Y1

-

c)

GR2 Go1GR1-Y2R2

Slika 6.8. Smještaj regulatora u zatvorenom krugu

Ako se razmotre prijenosne funkcije zatvorenih krugova, mogu se uočiti određene razlike:

)()()()(

)()(

)()(1)()(

)(sGsGsGsG

sGsG

sGsG

sGsGsG

brObrRnaOnaR

brObrR

OR

ORa +

=+

= (6.13)

)()()()(

)()(

)()(1)(

)(sGsGsGsG

sGsG

sGsG

sGsG

brObrRnaOnaR

brOnaR

OR

Ob +

=+

= (6.14)

Indeksi br i na predstavljaju brojnik i nazivnik pripadajuće prijenosne funkcije.

Razlike se mogu uočiti na brojnicima prijenosne funkcije zatvorenog kruga.

Teško se mogu dati neka opća načela glede pitanja smještaja regulatora, odnosno kada koji koristiti. To može ovisiti o vrsti upravljačkog sustava (da li je mehanički, hidraulički ili električni), o pitanjima upravljačkih uređaja i senzora koje se koriste, te o prethodnim iskustvima. Za razna razmatranja u ovom udžbeniku, uglavnom se koristi smještaj regulatora u direktnoj vezi.

Kaskadni regulator (c) ima vanjsku petlju sa regulatorom GR1 (master) koji daje nazivnu vrijednost unutarnjoj petlji sa ragulatorom GR2 (slave). Takva regulacija može se koristiti kada ima više mjernih signala, a samo je jedna regulirana veličina. Korisno je upotrijebiti kada postoje velika kašnjenja ili duga mrtva vremena između raznih varijabli unutar


102

procesa i regulirane veličine. Takva regulacija koristi se kada treba izolirati dinamiku jednog dijela upravljačkog sustava od drugog dijela cjelokupnog sustava. Naime, na taj način se može djelovati na neku promjenu u sustavu prije nego bi se djelovalo ako te interne petlje ne bi bilo, i tako se poboljšavaju svojstva upravljanog sustava. To je određena alternativa unaprijednom vođenju, ali tada treba poznavati, odnosno mjeriti poremećajne veličine. Kaskadni regulator često se primjenjuje, primjer su električni servomotor koji ima internu strujnu petlju (vidjeti primjere npr. u [45, poglavlje 15]), a kod primjene proporcionalnih ventila u hidraulici često postoji interni krug regulacije struje proporcionalnog elektromagneta. Niz je primjena također u regulaciji u procesnoj industriji i energetici.

416 Unaprijedna veza

Unaprijedna veza (feedforward) može se povezati sa vođenjem u otvorenom krugu (feedforward control). Njeni nedostaci u odnosu na povratnu vezu sagledani su prethodno. Ipak, značaj i mogućnosti unaprijedne veze najbolje se mogu sagledati razmatranjem zamisli idealnog regulatora.

U slučajevima kada je moguće mjeriti (ili poznavati) poremećajnu veličinu, njen utjecaj dade se učinkovito poništiti djelovanjem unaprijedne veze. Primjer kojim se to može pokazati dan je blok shemom na slici 6.9. Djelovanje poremećajne veličine dano je preko prijenosne funkcije GD(s), dok je unaprijedna veza izražena sa GFF(s). GO(s) i GR(s) predstavljaju objekt regulacije i regulator u povratnoj vezi.

R GR GoY

-

GFF GD

D

Slika 6.9. Blok shema sustava sa unaprijednom i povratnom vezom

Prijenosna funkcija između poremećaja D(s) kao ulaza i izlaza sustava Y(s) iznosi:

)()(1)()()(

)()(

sGsG

sGsGsG

sD

sY

OR

OFFD

++

= (6.15)

103

U idealnom slučaju potrebno bi bilo da izlaz Y(s) bude jednak željenoj vrijednosti R(s). Ako je R(s) = 0, zadatak upravljanja je uklanjanje poremećaja, pa se želi da Y(s) = 0 unatoč tome što je D(s) ≠ 0. U tom slučaju iz jednadžbe (6.15) slijedi:

0)()()( =+ sGsGsG OFFD

odnosno, unaprijedna veza trebala bi biti:

)()(

)(sG

sGsG

O

DFF −= (6.16)

Dakle, da bi se moglo uspješno ukloniti djelovanje poremećaja, potrebno je:

─ Mjeriti poremećajne veličine.

─ Kvaliteta vođenja unaprijednom vezom ovisi o kvaliteti modela sustava. Štoviše, potrebno je poznavati također kako se sustav odazivlje na promjene poremećajnih veličina (u primjeru dano sa GD(s)).

Gore navedeno svakako predstavlja nedostatke unaprijedne veze.

No, i povratna veza ima nedostataka:

─ Radnja ispravljanja pogreške ne događa se prije nego se pogreška u izlaznoj varijabli dogodi. Stoga nije moguće idealno vođenje, u kojem uopće ne bi bilo razlike između izlazne varijable i željene vrijednosti.

─ Za velike regulacijske pogreške, veliki su zahtjevi izvršnom uređaju. Unaprijedna veza može preduhitriti velike regulacijske pogreške.

─ Regulacija sustava sa dugim vremenskim konstantama ili mrtvim vremenom može dati nezadovoljavajuće rezultate.

─ Ako se izlazna varijabla ne može mjeriti, regulacija se ne može primijeniti (za ovu tvrdnju zanemaruje se pojam estimatora kod sustava sa više varijabli).

Stoga uspješno vođenje vrlo često objedinjava unaprijednu i povratnu vezu.

Kod mehaničkih sustava, kao npr. robota, gibanje se najčešće unaprijed zadaje, na primjer preko profila brzina. Tu razne inercijske sile predstavljaju poremećajne veličine. Pošto se gibanje zadaje unaprijed, poznavajući model, poznaju se i ti poremećaji, pa ih se unaprijednom vezom može kompenzirati. U robotici, ili općenito upravljanju mehaničkim sustavima često se primjenjuje načelo inverzne dinamike, koje predstavlja upravo to. Dobar pregled različitih strategija vođenja dan je u [46].

6.2 Regulatori U ovom poglavlju dani su osnovni regulatori kojima se djeluje na regulacijsku pogrešku. Riječ je o proporcionalnom (P), integralnom (I) i derivacijskom (D) regulatoru, gdje se I ili D


104

regulator rijetko susreću samostalno, ali svojom kombinacijom tvore svugdje prisutni proporcionalno-integralno-derivacijski (PID) regulator. Česte su i kombinacije proporcionalno-integralnog (PI) i proporcionalno-derivacijskog (PD) regulatora. Regulatori mogu biti sastavljenih od nekoliko umreženih elektroničkih (čak i pneumatskih ili mehaničkih) elemenata, koji aproksimiraju PD, PI ili PID djelovanje, a tada je često svojstven naziv lead (predvodeći), lag (zaostajući), odnosno lead-lag (predvodeći-zaostajući) regulator. Ti nazivi ukazuju na prirodu regulacijskih djelovanja, gdje se derivacijskim dijelom regulatora odgovara na tendenciju, trend regulacijske pogreške. Integralnim dijelom odgovara se na kumulativnu (zaostalu) vrijednost pogreške tijekom nekog vremena.

Opis proporcionalnog, derivacijskog i integralnog djelovanja regulatora dan je u slijedećem poglavlju. PID, PI i PD regulator prikazan je kasnije, u odvojenom podpoglavlju. Načela podešavanja parametara PID regulatora također su opisana, a dana je i metoda podešavanja prema Ziegler-Nicholsu.

Proporcionalno, derivacijsko i integralno djelovanje regulatora

Djelovanja regulatora razmatrati će se na zatvorenom krugu danom blok shemom na slici 6.10.

R GR GoY

-E U

Slika 6.10. Blok shema zatvorenog kruga

Proporcionalno, derivacijsko i integralno djelovanje regulatora na regulacijsku pogrešku dano je slijedećim izrazima:

∫=

=

=

t

ti

p

dp

p

dtteT

Ktu

dt

tdeTKtu

teKtu

0

)()(

)()(

)()(

(6.17)

gdje je e(t) regulacijska pogreška, u(t) izlaz iz regulatora, Kp pojačanje proporcionalnog djelovanja, Td derivacijsko vrijeme ili vremenska konstanta derivacije, a Ti integralno vrijeme ili vremenska konstanta integracije. Umnožak KpTd može se označiti sa Kd (pojačanje derivacijskog djelovanja), odnosno Kp/Ti može se označiti sa Ki (pojačanje integralnog djelovanja).

Regulacijska djelovanja iz (6.17) dana su pomoću prijenosnih funkcija:

105

sT

KG

sTKG

KG

i

pIR

dpDR

pPR

=

=

=

_

_

_

(6.18)

Pojačanjem proporcionalnog djelovanja Kp ubrzava se odziv zatvorenog kruga (smanjuje vrijeme porasta tr), no pri tom se smanjuje stupanj prigušenja ζ (za sustave drugog ili višeg reda) i tako povećava maksimalni prebačaj odziva. Za sustave trećeg ili višeg reda velike vrijednosti Kp mogu često dovesti do nestabilnosti zatvorenog kruga. Dakle, da bi se dobio stabilan odziv bez pretjeranog prebačaja, u pravilu Kp ima neku gornju granicu. Uz to treba dodati da proporcionalno djelovanje regulatora smanjuje trajnu regulacijsku pogrešku, što se može vidjeti u poglavlju o točnosti. Naime, što je Kp veći, to je trajna regulacijska pogreška manja (dakako, pod uvjetom da je zatvoreni krug stabilan).

Derivacijsko regulacijsko djelovanje reagira na tendenciju kretanja regulacijske pogreške, odnosno njen trend, te time općenito poboljšava stabilnost zatvorenog sustava. U kombinaciji sa proporcionalnim, odnosno proporcionalno-integralnim djelovanjem smanjuje maksimalni prebačaj i skraćuje vrijeme smirivanja odziva ts.

Glavna svrha integralnog regulacijskog djelovanja je poboljšanje točnosti zatvorenog kruga, to jest potpuno uklanjanje ili barem smanjivanje trajne regulacijske pogreške. Ipak, to ide na teret ugrožavanja stabilnosti sustava, odnosno povećanja prebačaja, te dužeg vremena smirivanja odziva zatvorenog sustava.

Dvopoložajni (on-off) regulator

Najjednostavniji regulator koji se primjenjuje u tehničkim sustavima jest dvopoložajni ili „on-off“ regulator. Upravo zbog jednostavnosti namještanja, šire je prisutan onda kada zahtjevi regulacije nisu veliki. Regulacijski zakon dvopoložajnog regulatora je slijedeći:

<>

=0za0za

min

max

eu

euu (6.19)

Može se uočiti da je za e = 0 veličina u nedefinirana. Zbog problema s mjernim šumom, te smanjenja habanja aktuatora uvodi se zona neosjetljivosti (ili mrtva zona) u regulacijski zakon (tada to postaje tropoložajni regulator) ili histereza, što se vidi na slici 6.11.


106

Slika 6.11. Dvopoložajni regulator: a) obični, b) sa zonom neosjetljivosti, i c) s histerezom

PID regulatori

Proporcionalno-integralno-derivacijski (PID) regulator, ili njegove reducirane inačice poput proporcionalno-derivacijski (PD) ili proporcionalno-integralnog (PI) regulatora, svugdje su prisutne u svijetu automatizacije. Čak i vrlo složeni, napredni upravljački algoritmi, u pravilu sadrže osnovne elemente djelovanja PID regulatora. Ova kombinacija regulacijskih djelovanja svojim kompromisom često može dati prihvatljivu kvalitetu odziva. To jest, odziv će biti dovoljno brz i točan, sa dopustivim oscilacijama (prebačajem). Pojedinačno razmatranje regulacijskih djelovanja prikazano je prethodno, dok su načela podešavanja PID regulatora dana kasnije.

Regulator sa PID djelovanjem može se formirati na više načina. Najjednostavnija za uvodno razmatranje je paralelna struktura, koja će biti prikazana u nastavku. Osim te, može se susresti i PID regulator serijske (iteraktivne) strukture, te druge inačice koje koriste npr za smajnjenje uticaja iznenadne promjene referentne veličine (npr I-PD ili PI-D strukture). Za detaljniji opis upućuje se npr. na [26] ili [31].

Paralelni PID regulator zbroj je proporcionalnog, integralnog i derivacijskog djelovanja:

dt

tdeTKdtte

T

KteKtu dp

t

ti

pP

)()()()(

0

++= ∫ (6.20)

Kp je pojačanje proporcionalnog djelovanja, Td derivacijsko vrijeme ili vremenska konstanta derivacije, a Ti integralno vrijeme ili vremenska konstanta integracije. Umnožak KpTd ponegdje se označava sa Kd (pojačanje derivacijskog djelovanja), odnosno Kp/Ti sa Ki (pojačanje integralnog djelovanja).

Blok shema paralelnog PID regulatora dana je na slici 6.12, dok je njegova prijenosna funkcija slijedeća:

++= sT

sTKG d

iPPIDR

11_ (6.21)

107

E KPU

sTi ⋅1

⋅dT s

Slika 6.12. Blok shema paralelnog PID regulatora

Primjer implementacije PID regulatora iz (6.20) na digitalnom računalu dan je u nastavku, radi bolje ilustracije djelovanja regulacijskog algoritma. Digitalni ekvivalent integracije i derivacije dan je slijedećim aproksimacijama:

t

ee

dt

de

tedtte

nn

t

t

n

kk

∆−

≈

∆≈

−

=∫ ∑

1

10

)(

(6.22)

gdje indeks n označava trenutak uzorkovanja signala (n = 1, 2, 3, ...), a ∆t je vrijeme uzorkovanja. Stoga je jedan mogući oblik PID implementacije:

−

∆+

∆++= ∑

=−

n

knn

dk

inPn ee

t

Te

T

teKuu

11 )( (6.23)

gdje u označava nominalnu vrijednost izlaza iz regulatora u.

Načela namještanja parametara PID regulatora dana su u slijedećem podpoglavlju, dok je eksperimentalna metoda namještanja parametara prema Ziegler-Nicholsu dana kasnije. Složenije metode sinteze raznih regulatora koje su temeljene na modelu sustava, poput metode lokusa korijena (root-locus) nisu dane u ovom udžbeniku. Za njeno proučavanje, ili detalje o digitalnoj primjeni, upućuje se na literaturu [40], [43] ili [44].

Ilustracija djelovanja PID regulatora na primjeru klackalice

Radi slikovitijeg i jasnijeg objašnjenja PID regulatora, a bez bilo kakve matematičke analize, njegovo djelovanje je prikazano na primjeru klackalice na kojoj se djeca ljuljaju u parku. Takvo pojašnjenje zahtijeva malo mašte čitaoca. Objašnjenje PID regulatora klackalicom izvorno je dano u [47], a ovdje je prenesena ljubaznošću autora, g. Stevea Skinnera (Eaton Hydraulics). Objašnjenje je u ovom udžbeniku ponešto promijenjeno (integrator) i


108

nadopunjeno (koncept unapijedne veze) u odnosu na original, kako bi se bolje prilagodilo studentima kojima je ovaj udžbenik namijenjen.

Ako se klackalica dana na slici 6.13 promatra kao objekt regulacije, potrebno je da ona bude potpuno u ravnoteži, odnosno da se željena vrijednost r i izlaz y podudaraju. Ako je dobro uravnotežena i podešena, onda je moguće da željena vrijednost bude jednaka izlaznoj, što je uobičajeni cilj nekog upravljanja ili regulacije. Međutim, utjecaj bilo kakvog poremećaja, poput težine ptice na slici 6.14, poremetiti će ravnotežu klackalice. Tada će izlazna, ili stvarna vrijednost y biti različita od željene vrijednosti r, te će postojati neka pogreška e.

ry

Slika 6.13. Klackalica u ravnoteži

r

y

e

Slika 6.14. Poremećaj uzrokuje neravnotežu klackalice

r

y

Slika 6.15. Kompenzacija poremećaja dodanim teretom – unaprijedna veza

Odmah se nameće rješenje da se na drugu stranu klackalice postavi jednaki teret, koji će kompenzirati poremećaj. To je prikazano na slici 6.15. Takvo rješenje najbliže je usporedbi s unaprijednom vezi, opisanoj prethodno. To rješenje može biti dobro kada se unaprijed precizno pozna ili se može mjeriti poremećajna veličina.

109

Drugo rješenje moglo bi se usporediti s povratnom vezom. Dodavanje povratne veze s proporcionalnim djelovanjem (P regulator) u ovoj ilustraciji odgovara dodatku opruge na klackalici prema slici 6.16. Iznos sile kojom opruga vraća klackalicu u ravnotežu proporcionalan je njenom otklonu od ravnotežnog položaja (regulacijska pogreška e). Što je opruga kruća, sila kojom opruga vraća klackalicu u ravnotežni položaj je veća (za isti otklon od ravnotežnog položaja). Stoga se krutost opruge K u ovom slučaju može smatrati proporcionalnim pojačanjem regulatora. Jedinica K je N/m.

Opruga u sustavu može unijeti neželjene oscilacije. Da bi se taj problem riješio, može biti neophodno dodati viskozni prigušivač, odnosno amortizer, što je prikazano na slici 6.17. Viskozni prigušivač ne djeluje na sami otklon klackalice već na brzinu promjene otklona, i na taj način predstavlja derivacijsko djelovanje (D regulator). Dakle, viskozni prigušivač nema utjecaja kada klackalica miruje u bilo kojem položaju, ali on djeluje kada se klackalica giba na način da stvara silu otpora proporcionalnu brzini gibanja. Veličina sile otpora gibanju dana je koeficijentom viskoznog prigušenja D, čija jedinica je N·s/m (ako se pretpostavi da je to linearni prigušivač).

ry

K

Slika 6.16. Klackalica s oprugom – P regulator

r

y

K D

Slika 6.17. Klackalica s oprugom i viskoznim prigušivačem – PD regulator

Sa slike 6.18 može se uočiti da opruga i viskozni prigušivač, odnosno PD regulator, neće uspjeti sasvim eliminirati trajnu regulacijsku pogrešku e0. Naime, viskozni prigušivač uopće ne djeluje na neko trajno odstupanje. Da bi se uspostavila sila kojom opruga vraća klackalicu u ravnotežu, potreban je otklon od ravnoteže. Može se također uočiti da će trajna regulacijska pogreška biti manja što je krutost opruge K veća, odnosno što je proporcionalno pojačanje regulatora veće. To se pokazuje i u kasnijem poglavlju o točnosti.

Da bi se uspješno eliminirala trajna regulacijska pogreška potrebno je uvesti djelovanje s integralnim karakterom. Ilustracija takvog djelovanja prikazana je na slici 6.19. Otklon klackalice od ravnoteže otvara ventil V1 preko kojeg se puni spremnik s vodom. Što je dulje nagib klackalice prisutan, više će se vode napuniti, i na taj način neutralizira se težina na desnoj strani klackalice. Osim duljine trajanja nagiba klackalice koje predstavlja integralni


110

karakter regulatora, na punjenje spremnika utječe i veličina nagiba (regulacijska pogreška), te omjer krakova poluge a/b, koji u ovom slučaju možemo smatrati integralnim pojačanjem regulatora. Što je omjer a/b veći, ventil se više otvori, pa se spremnik brže puni za isti iznos regulacijske pogreške. U slučaju nagiba klackalice u suprotnom smjeru, otvara se ventil V2 preko kojeg se posuda prazni. Prilikom punjenja i pražnjenja spremnika za ovaj prikaz pretpostavljeno je da protok kroz ventil ovisi samo o površini otvora ventila, a ne i o razlici tlakova vode ispred i iza ventila. U slučaju slobodnog istjecanja vode iz spremnika ta pretpostavka svakako ne bi bila korektna. Međutim radi pojednostavljenja ilustracije djelovanja regulatora ovdje će se uzeti takva, fizikalno nekorektna pretpostavka.

K y

re0

D

M

Slika 6.18. Nazočnost trajne regulacijske pogreške

K y

r

e0

D

M

a

b

Mv

V1

a

b

V2

K y

r

e0

D

M

a

b

Mv

V1

a

b

V2

Slika 6.19. Klackalica s oprugom, viskoznim prigušivačem i mehanizmom za punjenje i pražnjenje spremnika - PID regulator

Može se zaključiti slijedeće:

─ Povećanjem proporcionalnog (P) pojačanja regulatora, odnosno krućom oprugom, može se dobiti brži sustav, koji će uz to imati manje trajno regulacijsko odstupanje. No, pri tom sustav postaje skloniji oscilacijama.

111

─ Povećanjem derivacijskog (D) pojačanja regulatora, odnosno većim viskoznim prigušenjem, oscilacije u sustavu će se smanjivati, ali prevelikim prigušenjem može se usporiti odziv.

─ Uvođenjem integralnog (I) djelovanja eliminira se trajno regulacijsko odstupanje. Ipak, takvo djelovanje, posebno ako je pojačanje integralnog djelovanja značajno može loše utjecati na stabilnost sustava. Razmatranje o tome dano je u slijedećem podpoglavlju.

Prethodno navedeni zaključci u skladu su s razmatranjima o načelima podešavanja PID regulatora, koje će se dati kasnije.

Odzivi klackalice

U ovom poglavlju prikazana je simulacija gibanja klackalice u različitim slučajevima, što opisuje učinak različitih regulacijskih djelovanja.

Klackalica je prikazana na slici 6.20, s jednakim krakovima, uz masu i trenje u zglobu koje je u simulaciji pretpostavljeno da je jednako nuli. Pretpostavljeno je da opruga i prigušivač djeluju okomito na klackalicu, uz hvatište u istoj točki čija udaljenost je 1 m od središta rotacije klackalice. Uteg i spremnik tekućine (čiju masu predstavlja jedino tekućina kojom je ispunjen) pretpostavljeni su kao točkaste mase, čije udaljenosti od središta rotacije su također 1 m. Uz razmjerno male zakrete klackalice, vrijedi da je hod vrhova klackalice x [m] približno jednak kutu zakreta klackalice θ [rad]. Maseni protok vode u i iz spremnika ovisi o konstanti integralnog djelovanja, odnosno o integralnom vremenu.

Radi lakšeg snalaženja i usporedbe parametara klackalice s različitim regulacijskim djelovanjima, izraz (6.17) koji izražava regulacijska djelovanja je ponovo dan u slijedećoj jednadžbi:

∫=

=

=

t

ti

p

dp

p

dtteT

Ktu

dt

tdeTKtu

teKtu

0

)()(

)()(

)()(

(6.24)

gdje je e(t) regulacijska pogreška, u(t) izlaz iz regulatora, Kp pojačanje proporcionalnog djelovanja (u ovom primjeru to odgovara krutosti opruge K), Td derivacijsko vrijeme ili vremenska konstanta derivacije, a Ti integralno vrijeme ili vremenska konstanta integracije. Umnožak KpTd može se označiti sa Kd (pojačanje derivacijskog djelovanja, što u ovom primjeru odgovara viskoznom prigušenju D), odnosno Kp/Ti može se označiti sa Ki (pojačanje integralnog djelovanja).

Na slici 6.21 prikazan je pomak x klackalice u slučaju kada nema integralnog djelovanja (MV=0). Prikazani odzivi su za dva različita viskozna prigušenja D, dok je krutost opruge K jednaka u oba slučaja i iznosi 10 N/m. Viskozna prigušenja su D = 1 N·s/m, odnosno D = 50 N·s/m. To odgovara derivacijskom vremenu Td od 0.1 s, odnosno 5 s, što se može izračunati


112

koristeći jednadžbu (6.24), odakle je derivacijsko vrijeme Td = D/K. Odzivi su dani za slučaj kada je uteg mase M = 1 kg postavljen na klackalicu u trenutku t = 0 s, te kada je uklonjen nakon 150 s. Uočavaju se znatnije osilacije klackalice kod slabijeg viskoznog prigušenja. Kod većeg viskoznog prigušenja nema oscilacija, no odziv je usporen djelovanjem prigušivača. U oba slučaja vidljiv je otklon klackalice za 0.1 m za vrijeme dok je postavljen uteg, što predstavlja trajno regulacijsko odstupanje.

Regulacijsko odstupanje uklonjeno je integralnim djelovanjem. Punjenje i pražnjenje spremnika vodom (MV), te uklanjanje regulacijskog odstupanja tijekom vremena može se vidjeti na slici 6.22. U ovom primjeru krutost opruge K je 10 N/m, derivacijsko vrijeme Td = 0.1 s, dok je integralno vrijeme Ti = 25 s. Integralno vrijeme dano je u jednadžbi (426.1), a ono je obrnuto proporcionalno integralnom pojačanju. Integralno pojačanje Ki prema tome odgovaralo bi omjeru K/Ti, gdje je K krutost opruge. Naime, ako se za istu regulacijsku pogrešku e spremnik brže puni vodom, znači da je veće integralno pojačanje, odnosno da je kraće integralno vrijeme.

K x

r

D

M

Mv

θ e

Slika 6.20. Klackalica korištena u simulacijama

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

M [

kg]

0 50 100 150 200 250 300-0.05

0

0.05

0.1

0.15

t [s]

x [m

]

Td = 0.1sTd = 5s

Slika 6.21. Odzivi klackalice s oprugom i prigušivačem (s PD regulatorom)

113

0 50 100 150 200 250 300-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

t [s]

x [m

]

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

t [s]

M [

kg]

M

v [k

g]

M (masa utega)Mv (masa vode)

Slika 6.22. Odzivi klackalice s uključenim integralnim djelovanjem

Prekomjerno djelovanje regulatora

Aktuatori koji izvršavaju naredbe regulatora redovito imaju ograničene mogućnosti. Npr. elektromotori imaju svoju maksimalnu brzinu i moment, ventili imaju maksimalan protok, kormilo broda, upravljačke površine na zrakoplovu, ili upravljač vozila imaju svoje maksimalne kuteve otklona. U slučaju primjene integralnog regulatora, djelovanje aktuatora u području zasićenja (actuator saturation) može uzrokovati prevelike oscilacije odziva, i o tome je potrebno voditi računa. Opasnost prevelikih oscilacija naročito je velika kada je integralno pojačanje regulatora jako, odnosno kad je integralno vrijeme kratko. Naime, ako je pobuda takva da uzrokuje velike vijednosti izvršne veličine, aktuator može ući u zasićenje. Obzirom da regulacijska pogreška ostaje, integralno djelovanje regulatora integrira pogrešku i izvršna veličina raste. Zbog zasićenja aktuator ne može djelovati jače nego što već djeluje, pa regulacijska pogreška ostaje. Stoga ako vrijeme u kojem se aktuator nalazi u zasićenju potraje, izlaz iz integratora može biti jako velik, te je potreban dodatan napor i vrijeme da se izvršna veličina dovede u normalne vrijednosti, što pak može uzrokovati neprihvatljive oscilacije odziva, odnosno nestabilnost. Takva pojava naziva se integrator windup, što bi slobodno prevodeći značilo navijanje integralnog djelovanja regulatora. U svakom slučaju radi se o prekomjernom djelovanju regulatora.

Ta pojava eliminira se smanjenjem integralnog djelovanja onda kada aktuator uđe u područje zasićenja. To se naziva antiwindup integrator, a sama realizacija algoritma je razmjerno jednostavna kod današnje digitalne implementacije regulacijskih algoritama. Primjer PID regulatora s dodatkom protiv prekomjernog djelovanja integratora (antiwindup integrator) dan je na shemi na slici 6.23. Naime, kada je aktuator u području zasićenja, onda se neograničeni izvršni signal uBO množi s nekim pojačanjem K, koje je približno jednako


114

integralnom pojačanju i koje na taj način značajno smanjuje ili potpuno eliminira integralno djelovanje:

ii

pK

T

KK =≈ (6.25)

Prethodno dane simulacije odziva na primjeru klackalice poslužiti će da bi se ukazalo na pojavu prekomjernog djelovanja regulatora, i na eliminaciju ili smanjenje navedene pojave. Na slici 6.24 dani su odzivi za slučaj kada je uteg mase M = 1 kg postavljen na klackalicu u trenutku t = 0 s, te kada je uklonjen nakon 150 s. U simulacijama je ograničeno ukupno djelovanje opruge, viskoznog prigušivača i mase tekućine u spremniku na ±1.1 N (to jest ±1.1 Nm pošto opruga, prigušivač, masa tekućine, te masa tereta na suprotnoj strani djeluju na kraku od 1 m). To ograničenje igra ulogu zasićenja aktuatora u nekom uobičajenom regulacijskom sustavu, pošto opruga, prigušivač i masa tekućine glume djelovanje aktuatora. Prikazani odzivi su za slučajeve bez i s ograničenjem integralnog djelovanja regulatora. To znači da u slučaju s ograničenim djelovanjem I regulatora, integralno djelovanje nestaje (odnosno postaje približno jednako nuli) u trenutku kada ukupno regulacijsko djelovanje prelazi ±1.1 N, odnosno kada aktuator ulazi u zasićenje. Parametri su slijedeći: krutost opruge K iznosi 10 N/m (proporcionalno pojačanje); derivacijsko vrijeme Td iznosi 0.15 s (što odgovara viskoznom prigušenju D = 1.5 N·s/m, vidjeti jednadžbu (6.24)); integralno vrijeme Ti je 3.2 s (što odgovara pojačanju integralnog djelovanja Ki od 3.1 N/ms). Na slici 6.24 mogu se vidjeti velike oscilacije u slučaju kada nema ograničenja I djelovanja, dok su s ograničenjem oscilacije odziva znatno manje, te je smirivanje znatno kraće. Na gornjem dijelu slike vidi se kretanje mase tekućine MV, koje uzrokuje navedene oscilacije odziva. Napominje se da uz tek nešto veće integralno pojačanje (odnosno još kraće integralno vrijeme) odziv odlazi u beskonačnost, odnosno sustav postaje nestabilan.

E UKp

1

iT s⋅

dT s⋅

Umin

UmaxK

K

Umin

Umax

PID

UBO

Zasicenje aktuatora

Dodatak protiv pretjeranogdjelovanja aktuatora

Slika 6.23. PID regulator s dodatkom protiv prekomjernog djelovanja integratora

115

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

t [s]

M [

kg]

M

v [k

g]

M (masa utega)Mv (bez ogranicenja I djelovanja)Mv (s ogranicenjem I djelovanja)

0 50 100 150 200 250 300

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t [s]

x [m

]

x (bez ogranicenja I djelovanja)x (s ogranicenjem I djelovanja)

Slika 6.24. Odzivi klackalice bez i s ograničenim I djelovanjem

Načela podešavanja parametara PID regulatora

Jednostavna načela podešavanja parametara PID regulatora dana su u tablici 6.1 (prema uputama iz Matlabovog Control Toolbox-a, koji je napisan prema [40]). PID regulator dan je svojom prijenosnom funkcijom:

++= sT

sTKG d

iPPIDR

11_

gdje je Kp pojačanje proporcionalnog djelovanja, Td derivacijsko vrijeme ili vremenska konstanta derivacije, a Ti integralno vrijeme ili vremenska konstanta integracije. Njihov utjecaj na odziv prikazan je u tablici, i to tako da se pokazuje kako djeluje povećanje pojedinih regulacijskih djelovanja. Napominje se da se u tablici uzima obrnuto proporcionalna vrijednost integralnog vremena Ti (dakle Ti treba biti manji da bi integralni utjecaj bio veći). Svojstva odziva (vrijeme porasta, itd.) definirana su u poglavlju 5.5.

Regulacijsko djelovanje

Vrijeme porasta

tr

Maksimalni prebačaj Mp

Vrijeme smirivanja ts

Trajno reg. odstupanje e0

KP smanjuje se povećava se mali utjecaj smanjuje se

1/ Ti smanjuje se povećava se povećava se uklanja se

Td mali utjecaj smanjuje se smanjuje se mali utjecaj


116

Tablica 6.1. Utjecaj parametara PID regulatora na odziv

Za simulaciju jednostavnijih slučajeva mogu se slijediti ove smjernice:

1. Iz odziva u otvorenom krugu odrediti što se treba popraviti.

2. Dodaje se P djelovanje radi poboljšanja brzine odziva (vremena porasta).

3. Dodaje se D djelovanje radi smanjenja oscilacija odziva (maks. prebačaja).

4. Dodaje se I dio radi uklanjanja trajnog regulacijskog odstupanja.

5. Podešavaju se parametri regulatora dok se ne dobije željeni odziv zatvorenog kruga.

Važno je naglasiti da se poboljšanjem nekog svojstva odziva promjenama pojedinog djelovanja regulatora istovremeno utječe na druga svojstva odziva, te je često potrebno puno iteracija da bi se došlo do zadovoljavajuće podešenosti regulatora.

Tipične upute praktičnog podešavanja PID regulatora su slijedeće:

1. Uklanja se D i I djelovanje postavljanjem Td na minimalnu, a Ti na maksimalnu moguću vrijednost.

2. Kp se postavlja na neku malu vrijednost, a zatim se postupno povećava malim korakom do trenutka kada se pojavi odziv ravnomjernih oscilacija konstantne amplitude.

3. Kp treba smanjiti na polovinu vrijednosti.

4. Ti se smanjuje malim koracima dok se ponovno ne pojavi odziv ravnomjernih oscilacija konstantne amplitude.

5. Ti se postavlja na tri puta veću vrijednost.

6. Td se povećava malim koracima dok se ne pojavi odziv ravnomjernih oscilacija konstantne amplitude.

7. Td se postavlja na jednu trećinu te vrijednosti.

Na osnovi gornjih načela razvijene su metode sa određenijim uputama podešavanja, poput popularne metode Ziegler-Nichols, koja je opisana u slijedećem podpoglavlju.

Metoda podešavanja Ziegler-Nichols

Metoda je nastala četrdesetih godina 20. stoljeća, sa svrhom lakšeg podešavanja parametara regulatora, i postala je vjerojatno najpoznatija metoda podešavanja PID regulatora. Povijest nastanka metode je prilično zanimljiva (vidjeti [48]). Autori metode zapazili su da odziv sustava višeg reda na odskočnu općenito je S oblika, a prikazan je na slici 6.25.

117

u(t)

t0

K

mτ τ

Nagib:τK

R =

Slika 6.25 Odziv sustava višeg reda na odskočnu pobudu

Odziv sustava višeg reda sa slike 424-1 može se aproksimirati slijedećom prijenosnom funkcijom:

1)(

+=

−

s

eKsG

sm

τ

τ (6.26)

gdje K predstavlja pojačanje, τm predstavlja mrtvo vrijeme, a τ vremensku konstantu. Tangenta nagiba odziva crta se na njenoj točki infleksije, a nagib tangente može se označiti sa R.

Ziegler-Nichols metoda ima dvije inačice. Za prvu inačicu, namještanje parametara P, PI i PID regulatora dana su u Tablici 6.2. Dani parametri odgovaraju stupnju prigušenja zatvorenog sustava ζ ≈ 0.2, što je kompromis između brzog, ali oscilirajućeg odziva.

Regulator KP Ti Td

P KP = 1 / (R τm)

PI KP = 0.9 / (R τm) Ti = τm / 0.3

PID KP = 1.2 / (R τm) Ti = 2 τm Td = 0.5 τm

Tablica 6.2. Parametri regulatora za prvu inačicu Ziegler-Nichols metode

U druga inačici Ziegler-Nichols metode, zatvoreni sustav povećanjem pojačanja regulatora KP dovodi se do granica stabilnosti. To, granično pojačanje regulatora označeno sa Ku (ultimate gain) i pripadajući period oscilacija Pu (ultimate period, Pu = 2/ω) postaju parametri prema kojima podešavamo regulator. Njihovo određivanje iz oscilirajućih odziva dano je na slici 6.26.


118

Pu

t

u(t)

Kp=KuKp>KuKp<Ku

Slika 6.26. Određivanje Ku i Pu

Parametri regulatora u odnosu na Ku i Pu dani su u tablici 6.3. Odzivi su oscilirajući, sa prebačajem, kao i u prvoj inačici metode. Dodan je redak u kojem su dani modificirani parametri PID regulatora, koji daju odziv bez prebačaja (ζ = 1, granični aperiodski).

Regulator KP Ti Td

P KP = 0.5Ku

PI KP = 0.45Ku Ti = 0.83Pu

PID KP = 0.6Ku Ti = 0.5Pu Td = 0.125Pu

PID (ζ = 1) KP = 0.2Ku Ti = 0.5Pu Td = 0.33Pu

Tablica 6.3. Parametri regulatora za drugu inačicu Ziegler-Nichols metode

Namještanje parametara PID regulatora prema Ziegler-Nichols metodi daje dobre rezultate za mnoštvo sustava. Ipak, njeni nedostaci su slijedeći:

─ Zahtijeva velik broj pokušaja pa može biti dugotrajna.

─ Pokušaji za vrijeme namještanja mogu biti neprihvatljivi (ili barem skupi), jer neki procesi se ne smiju dovoditi do granice stabilnosti.

─ U pravilu nije primjenljivo na objekte koji su nestabilni u otvorenom krugu, jer su najčešće nestabilni i za male, i za velike Kp.

─ Za jednostavne sustave (npr. 1 reda) nije prikladna (nema mrtvog vremena, nema oscilacija).

119

Metode sinteze i podešavanja regulatora, koje su temeljene na matematičkim modelima sustava izbjegavaju navedene nedostatke. No one zahtijevaju razmjerno dobar model sustava. Nekoliko takvih metoda temelji se na kriteriju integrala pogreške, što je opisano u slijedećem podpoglavlju.

Kriterij integrala pogreške

Da bi se izbjegli nedostaci metoda podešavanja regulatora temeljenih na eksperimentalnim odzivima, mogu se koristiti metode podešavanja parametara regulatora temeljene na modelu sustava. Umjesto više kriterija ponašanja zatvorenog sustava, moguće je zadati samo jedan kriterij u vremenskom području, koji se naziva indeks ponašanja (performance index), a projektirani regulator treba indeks ponašanja načiniti minimalnim.

Indeks ponašanja koji se nameće jest integral regulacijske pogreške e(t). Dakle, projektirani regulator (ili namješteni parametri PID regulatora) po tom kriteriju treba regulacijsku pogrešku u vremenu načiniti minimalnom:

min)(0

→∫∞

dtte (6.27)

Pošto integral iz (6.27) razlikuje negativnu ili pozitivnu pogrešku, koje bi se mogle poništavati, navedeni kriterij dao bi loše rezultate za oscilirajuće odzive. Stoga se integrala pogreške iz (6.27) modificira, tako da se ostali indeksi ponašanja temelje na njemu. Po redu su dani indeksi ponašanja IAE (Integral of absolute value of the error), ISE (Integral of the squared error) i ITAE (Integral of the time-weighted absolute error):

min)(0

→= ∫∞

dtteIAE

[ ] min)(0

2 →= ∫∞

dtteISE (6.28)

min)(0

→= ∫∞

dttetITAE

IAE kriterij podjednako potiskuje brze oscilatorne sustave i spore sa velikim prigušenjem. ITAE jače potiskuje sustave sa dugotrajnom pogreškom. ISE više kažnjava velike pogreške nego prethodna dva kriterija.

Analitičko rješavanje ovih integrala može biti složeno, no koriste se i tablice sa izračunatim vrijednostima namještanja parametara regulatora. U tablicama se razlikuju namještanja za promjene vodeće veličine, te za otklanjanje poremećaja (slijedna ili čvrsta regulacija).


120

6.3. Regulacija kod metode postora stanja Načela regulacije ne mijenjaju se obzirom na način na koji se sustav opisuje ili analizira. Različita metoda opisa i analize sustava ne mijenja narav sustava, nego prije točku promatranja. Ipak, zbog posebnosti opisa sustava metodom prostora stanja, zatvaranje povratne veze posebno će se razmotriti u ovom podpoglavlju.

U prethodnom podpoglavlju, kao i uglavnom u cijelom udžbeniku, tema proučavanja su sustavi sa jednim ulazom i jednim izlazom (jednovarijabilni). Opis takvih sustava svojstven je upravo prijenosnoj funkciji, koja daje vezu između izlaza i ulaza sustava. Metoda prostora stanja (poglavlje 4.9) uvodi stanje sustava koje opisuje njegovu dinamiku. Metoda je prikladna za sustave s više ulaza i/ili izlaza (multivarijabilni sustavi). Dakako da se i jednovarijabilni sustavi ovom metodom dobro dadu opisati. Ovdje se uvodi pojam regulacije po stanju. Problem često nastaje jer sve varijable stanja nisu dostupne mjerenjima. Tada su moguća rješenja regulacija po izlazu (ili izlazima), te takozvana estimacija stanja. Regulacija po izlazu kod sustava opisanog metodom prostora stanja dana je kasnije u ovom podpoglavlju. Pojam estimacije varijabli stanja iz mjerenja dostupnih izlaznih veličina, te pojam estimatora također je dan kasnije u podpoglavlju. Dodavanje integralnog djelovanja regulatoru po stanjima također je opisano.

Regulacija po stanju

Metoda prostora stanja uvodi pojam stanja sustava, koje predstavlja matematički oblik koji opisuje dinamičko ponašanje sustava. Pojmovi i definicije vezane uz to dane su u poglavlju 4.9. Matematički opis u prostoru stanja dan je slijedećim izrazima:

)()()()()()(

ttt

ttt

uDxCy

uBxAx

+=+=&

(6.29)

gdje su:

x(t) – vektor stanja, dimenzija [n]

u(t) – vektor ulaza, dimenzija [m]

y(t) – vektor izlaza, dimenzija [p]

A – matrica sustava, dimenzija [n x n]

B – matrica ulaza, dimenzija [n x m]

C – matrica izlaza, dimenzija [p x n]

D – matrica prijenosa, dimenzija [p x m]

Blok shema sustava danog izrazima iz (6.29) pomoću metode prostora stanja, te sa zatvorenom povratnom vezom po stanju sustava, prikazana je na slici 6.27.

121

u yXA

A

D

∫ dt

x

K

-

r x&B C

Slika 6.27. Blok shema sustava sa regulatorom po stanju

Matrica K je matrica regulatora po stanju dimenzija [m x n], gdje je n broj stanja, a m broj ulaza. Vektor r(t) je vektor vodećih veličina dimenzija [m].

Opis povratne veze sustava sa slike 431-1 dan je slijedećom jednadžbom:

)()()( ttt xKru −= (6.30)

Model sustava sa regulatorom po stanju uvođenjem izraza iz (6.30) postaje:

)()()()()()()()(ttt

ttt

DrxDKCy

BrxBKAx

+−=+−=&

(6.31)

Dakle matrica sustava sa regulatorom po stanju postaje (A - BK). Karakteristična jednadžba takvog sustava, čija rješenja su vlastite vrijednosti (korijeni zatvorenog sustava, ili polovi), dana je slijedećim izrazom:

[ ] 0)(det =−− BKAIλ (6.32)

n korijena λ treba biti smješten u kompleksnoj ravnini tako da zatvoreni sustav bude stabilan i da ima zadovoljavajući odziv. Zbog bogatstva mogućnosti, prethodne preporuke podešavanja regulatora ne bi bile djelotvorne. Stoga se koriste matematički alati koji pomažu odabrati takve parametre pojačanja matrice regulatora K da se dobije smještaj polova zatvorenog sustava po želji (npr. korištenjem Ackermannove formule (vidjeti npr. [41] ili [49]), ili da odabirom K neki zadani indeks ponašanja bude optimalan. Indeks ponašanja najčešće obuhvaća minimiziranje kvadrata promjene vektora stanja x(t) i minimiziranje kvadrata ulaza (upravljačkih veličina) u(t) pa je dobiveni optimalni regulator tzv. linearni kvadratni (LQR). Korištenjem programskih alata poput MATLAB-a, projektiranje regulatora može se svesti na pridavanje težina pojedinim promjenama vektora stanja x(t) pomoću dijagonalne matrice Q, odnosno pridavanje težina promjenama vektora ulaza u(t) pomoću dijagonalne matrice R. Za početak matrica R može se postaviti kao jedinična, a da matrica težina Q ima slijedeći iznos: Q = C'C. Nakon analize polova zatvorenog sustava i odziva, mijenjanjem veličina po dijagonali matrice Q, utječe se na ponašanje sustava u zatvorenom krugu.


122

Pitanje je mogu li se polovi zatvorenog sustava smjestiti po želji uz upravljačke veličine (ulaze) u(t) koje su na raspolaganju? Uz to se vezuje pojam mjerljivosti (controllability).

Prethodno navedeni pojmovi i metode zadiru znatno dublje u teoriju automatizacije nego što je to cilj ovog udžbenika, pa se upućuje na drugu literaturu, poput npr. [41], [49] ili [50].

Napominje se da nije nužno matricu regulatora K smjestiti u povratnu vezu kao na slici 6.27. K može biti i u direktnoj vezi, no u tom slučaju dimenzija vektora r(t) je [n], a u jednadžbi (6.31) izrazi Br(t) i Dr(t) postaju BKr(t), odnosno DKr(t).

Regulacija po izlazu

U prethodnom dijelu teksta opisana je regulacija po stanju sustava, čija osnovna pretpostavka jest da su sve varijable stanja poznate u svakom trenutku. To vrlo često nije tako, a alternativa je uvođenje estimatora stanja, ili observera, koji na temelju modela i mjerenja izlaznih veličina izračunava stanja sustava. To je opisano malo kasnije u tekstu. Druga mogućnost jest regulacija po izlazu, čija blok shema je dana na slici 6.28.

u yXA

A

D

∫ dtx

K

-

r x&B C

Slika 6.28. Blok shema sustava sa regulatorom po izlazu

U ovom slučaju matrica regulatora po izlazu K ima dimenzije [m x p], gdje je p broj izlaznih varijabli, a m broj ulaznih varijabli. Vektor r(t) je vektor vodećih veličina dimenzija [m].

Opis povratne veze sustava sa slike 6.28 u ovom slučaju dan je slijedećim izrazom:

)()()( ttt yKru −= (6.33)

Model sustava dan metodom prostora stanja (npr. u 6.29), sa regulatorom po izlazu, gdje je u(t) dan u jednadžbi (6.33), sada će biti slijedeći:

)()()()()()()()(ttt

ttt

DrxDKCCy

BrxBKCAx

+−=+−=&

(6.34)

U ovom slučaju matrica sustava sa regulatorom po izlazu postaje (A - BKC). Praktična i teoretska pitanja smještaja polova u zatvorenom krugu kod ovog slučaja mogu postati dosta

123

složenija nego u regulaciji po stanjima, tako da je dobar dio istraživanja na tu temu razmjerno nov, iz posljednje četvrtine dvadesetog stoljeća. Ako cjelokupni vektor stanja sustava nije dostupan mjerenju, djelotvorna alternativa regulatoru po izlazu je estimacija stanja estimatorom, što je opisano u nastavku.

Estimacija stanja sustava

Da bi se mogla ostvariti regulacija po stanjima u slučajevima kada potpuni vektor stanja nije dostupan mjerenju, potrebno ga je estimirati. Estimacija vektora stanja je njegovo računanje na temelju poznavanja matematičkog modela i vektora ulaza, te na temelju mjerenja vektora izlaza. Estimacija je dobra zamjena i tada kada se neka varijabla može mjeriti, ali je to skupo, ili problematično iz nekog drugog razloga, što u praksi nije rijedak slučaj. Estimacija se vrši estimatorom, koji se ponekad naziva i observer.

Sama ideja estimatora nije složena. Ako su poznati početni uvjeti vektora stanja x(t=0), ako je poznat vektor ulaza u(t), uz poznavanje matematičkog modela, što znači matrica A, B, C i D, lako se procijeni ili rekonstruira vektor stanja, tako da nam je poznat x za bilo koje t > 0. Ipak, taj način mogao bi biti djelotvoran samo u ograničenim slučajevima. Potrebno bi bilo precizno poznavati početna stanja, te model. Osim toga, matrica stanja A morala bi biti stabilna da bi estimacijska pogreška, odnosno razlika između stvarne i estimirane vrijednosti, konvergirala ka nuli. Estimacijska pogreška konvergirala bi brzinom kojom i sustav sam konvergira ka nuli, dakle ako bi to bilo zadovoljavajuće, vjerojatno je da nikakva regulacija ne bi bila niti potrebna. Stoga ova razmatranja navode na potrebu mjerenja izlaznih veličina, te njihovu usporedbu sa estimiranim izlazima. Ta razlika u povratnoj vezi ispravlja estimirane vrijednosti. Blok shema nekog sustava s estimatorom vektora stanja dana je na slici 6.29.


124

u y

XA

A

D

∫ dt

x

L

x&

A

∫dt

Destimator

-x& x y

B

B C

C

Slika 6.29 Blok shema sustava s estimatorom stanja

Iz blok sheme može se vidjeti da estimator stanja preslikava sustav, uz dodatak matrice pojačanja estimatora L, koja igra ulogu regulatora po stanju K iz podpoglavlja o regulaciji po stanjima. Estimirane, odnosno procijenjene vrijednosti vektora stanja označene su x . Matematički model estimatora iz blok sheme jest slijedeći:

)()(ˆ)(ˆ))(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ

ttt

ttttt

uDxCy

yyLuBxAx

+=−++=&

(6.35)

Daljnjim preuređivanjem može se dobiti:

)()()()(ˆ)(ˆ ttt LyuDLBxCLAx +−+−=& (6.36)

Matrica L dimenzija je [n x p]. Vlastite vrijednosti (A-LC) u pravilu trebaju biti takve da bude brže od (A-KC), gdje je K matrica pojačanja regulatora po stanjima. Dakle, estimirane vrijednosti vektora stanja trebale bi što brže konvergirati ka stvarnima. Pojačanja estimatora L, o kojima će ovisiti brzina konvergencije, ipak su ograničena mjernim šumom. Stoga su neke načelne preporuke da vlastite vrijednosti (A-LC) budu dva do šest puta veće (odnosno brže) od vlastitih vrijednosti (A-KC), ovisno o mjernom šumu. Može se uočiti da je ukupan red sustava, zajedno s estimatorom, 2n. U slučaju da se neke varijable stanja sustava mogu direktno mjeriti, može se koristiti i estimator reduciranog reda (reduced-order). Onaj prethodno opisani zove se estimator punog reda (full-order). Tada je ukupan sustav manjeg reda i manje složenosti. Ipak, estimator punog reda osim estimacije varijabli stanja dodatno filtrira mjerni šum, pa u slučajevima značajnog šuma može imati prednost.

125

Potrebno je dodati da je uvjet primjene estimatora svojstvo mjerljivosti (observability), koje kaže može li se iz dostupnih mjerenja izračunati cjelokupni vektor stanja sustava.

Integralno djelovanje

Integralnim regulacijskim djelovanjem kod regulatora po stanju povećava se red sustava, originalno označen sa n. Naime, red sustava predstavlja broj integratora u sustavu. Uvođenjem dodatnih integratora zbog regulacijskog djelovanja, uvode se nove varijable stanja, a time se povećava red sustava. Dodane varijable stanja uslijed integralnog djelovanja označiti će se sa z(t), dimenzija [k] (dakle ima k integralnih djelovanja). Vektor z(t) sadržava varijable stanja iz vektora stanja x(t) na koje se želi integralno djelovati. Može se napisati slijedeće:

)()( tt xEz i= (6.37)

gdje matrica Ei dimenzija [k x n] određuje na koje od varijabli stanja iz vektora stanja će se integralno djelovati.

Cjelokupan sustav može se napisati na slijedeći način:

[ ] )()()(

)(

)()()(

)()(

tt

tt

tt

t

t

t

Duz

x0Cy

u0

B

z

x

0E

0A

z

x

i

+

=

+

=

&

&

(6.38)

Dakle, red „novog“ sustava iz izraza (6.38) je n+k. Prema svojstvu upravljivosti, broj integratora ne smije biti veći od broja varijabli ulaza.

Regulacijsko djelovanje može se napisati kao:

∫+=+= dtttttt )()()()()( xEKxKzKxKu i2121 (6.39)

Regulacijsko djelovanje očito je proporcionalno plus integralno. Matrica pojačanja K1 dimenzija je [m x n], a K2 [m x k].

Matrica proširenog sustava Ap kada se regulacijski krug zatvori jest:

+=

0E

BKBKAA

i

21p (6.40)

Matrica Ap sa svojim vlastitim vrijednostima treba zadovoljiti potrebna svojstva koja se žele postići zatvorenim krugom, pa su važeće naznake dane prethodno.


126

6.4 Stabilnost i to čnost Za stabilnost sustava može se reći da je njegovo najvažnije svojstvo. Naime, ono je preduvjet ostalih važnih svojstava, poput točnosti ili brzine odziva, jer bez stabilnosti ostala pitanja postaju bespredmetna. Svojstvo stabilnosti nije svojstveno samo sustavima sa povratnom vezom. I sami objekt upravljanja može biti sam po sebi stabilan ili nestabilan. To pitanje dotaknuto je već u poglavlju 4, gdje se razmatralo rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Ipak, povratna veza ima vrlo značajan utjecaj na dinamičko ponašanje sustava, koji se pažljivim projektiranjem usmjerava u našu korist. S druge strane, sustavima u povratnoj vezi svojstveni su oscilacijski odzivi, koji mogu postati neprigušeni i potpuno nestabilni. Dovoljno je napomenuti da će većina sustava u zatvorenom krugu postati nestabilna ako se umjesto negativne povratne veze postavi pozitivna.

Razmatranje stabilnosti u ovom poglavlju odnosi se na linearne sustave. U ovom podpoglavlju dana je definicija stabilnosti za linearne sustave. Također, prikazani su primjeri stabilnog i uvjetno stabilnog sustava, te primjeri ograničene i neograničene pobude koji se pojavljuju pri definiranju stabilnosti. Tijekom prošlosti bili su dosta korišteni analitički kriteriji utvrđivanja stabilnosti linearnih sustava temeljeni na koeficijentima karakteristične jednadžbe zatvorenog kruga, poput Routhovog ili Hurwitzovog kriterija stabilnosti, nastalih na temelju njihovih radova iz druge polovine 19. stoljeća. Uz današnju popularnost modernih računarskih alata, kao što je Matlab, ti kriteriji su izgubili svoj nekadašnji značaj, no ipak je prikazan Routhov Hurwitzov analitički kriterij utvrđivanja stabilnosti linearnih sustava, temeljen na koeficijentima karakteristične jednadžbe zatvorenog kruga. Nyquistov kriterij stabilnosti koji se temelji na frekvencijskom odzivu otvorenog kruga razmatran je u poglavlju 7. pa su u ovom udžbeniku izostavljeni.

Najopćenitiji i najkorisniji način utvrđivanja stabilnosti jest prema Lyapunovu, nazvan po ruskom matematičaru, čiji rad s kraja 19. stoljeća dobiva širi značaj tek 60-tih godina 20. stoljeća. Lyapunova teorija stabilnosti obuhvaća metodu linearizacije, te metodu analize i projektiranja regulacije nelinearnih sustava. Ta teorija temelj je naprednih upravljačkih algoritama. Za njeno detaljno upoznavanje upućuje se npr. na knjigu [42].

Definicija stabilnosti

Stabilnost sustava može se opisati na više načina. Stabilnim sustavom može se smatrati onaj, koji započinjanjem rada u blizini svoje radne točke, zauvijek i ostaje u njenoj okolini. Može se još reći, stabilan sustav je onaj, čiji izlaz ostaje „pod kontrolom“ cijelo vrijeme. Ipak, navedene tvrdnje potrebno je i formalno, matematički definirati.

Postoji više matematičkih definicija stabilnosti. Često se koristi definicija ograničena pobuda – ograničeni odziv, to jest BIBO (bounded input – bounded output), koja kaže:

Stabilan sustav je onaj koji daje ograničeni odziv na bilo koju ograničenu pobudu, uvjetno stabilan sustav je onaj koji daje ograničeni odziv na neke, ali ne sve, ograničene pobude, a nestabilan sustav je onaj koji daje neograničen odziv na svaku ograničenu pobudu različitu od nule.

127

Ilustracija stabilnosti dana je na slici 6.30, gdje se na primjeru gibanja kuglice u ili na nekoj zaobljenoj posudi, može predočiti primjer stabilnog (lijevo), uvjetno stabilnog (u sredini) ili nestabilnog sustava (desno). Pobuda bi bila neki impuls gibanju, koji se daje kuglici. Kod stabilnog sustava, kuglica će ostati unutar posude (konkavnog oblika) za svaki ograničeni impuls. Kod nestabilnog sustava i najmanji impuls kuglicu će pomaknuti dalje od posude (konveksnog oblika). U uvjetno stabilnom sustavu, neki ograničeni impulsi će pomaknuti kuglicu izvan posude, a neki neće.

Slika 6.30. Stabilan, uvjetno stabilan i nestabilan sustav

Uvjetno stabilni sustav dan je primjerom I0 člana (poglavlje 5.4). Ograničena i neograničena pobuda definirana je nešto kasnije.

Iz matematičkog opisa linearnog, vremenski invarijantnog sustava može se znati da li je sustav stabilan: sustav je stabilan onda i samo onda ako svi njegovi korijeni imaju negativne vrijednosti realnih dijelova.

Korijeni sustava rješenja su njegove karakteristične jednadžbe, što je definirano u poglavlju 4.6. Korijeni odgovaraju polovima sustava ako je on zadan prijenosnom funkcijom, odnosno vlastitim vrijednostia matrice stanja A, ako je sustav zadan metodom prostora stanja. Dakle, ako bilo koji korijen sustava ima ne-negativan realni dio sustav je nestabilan. Izuzetak predstavljaju sustavi sa jednim realnim korijenom jednakim nuli (kao I0 član), ili jednim konjugirano kompleksni parom korijena sa realnim dijelom jednakim nuli (kao P2 član sa stupnjem prigušenja ζ = 0), a tada je sustav uvjetno stabilan. Područje stabilnosti u Gaussovoj ravnini prikazano je na slici 6.31.

Im

Re

NESTABILNOSTABILNO

Slika 6.31. Područje stabilnosti u Gaussovoj ravnini


128

Važno je uočiti da se prilikom analize stabilnosti promatraju odzivi na ograničenu pobudu. Naime, uvijek se može narinuti neka neograničena pobuda, na koji će sustav reagirati neograničenim odzivom. Stoga je za analizu stabilnosti važan sam sustav, a ne i pobuda koja se smatra ograničenom. To je i razlika od analize točnosti, gdje su važni i pobuda i sustav. Odmah se može nametnuti povezivanje analize stabilnosti ili točnosti sa klasičnim rješenjem diferencijalne jednadžbe (poglavlje 5.1), koje se sastoji od komplementarne funkcije (prijelaznog odziva) i partikularnog integrala (stacionarnog rješenja).

Routh – Hurwitzov kriterij stabilnosti

Routh – Hurwitzov kriterij stabilnosti pripada analitičkim kriterijima utvrđivanja stabilnosti, gdje se bez traženja položaja karakteristične jednadžbe mogu dati zaključci o stabilnosti sustava opisanog linearnom diferencijalnom jednadžbom. Ovaj kriterij stabilnosti ovdje dan kao Routh-Hurwitzov u biti sačinjavaju dva odvojena kriterija stabilnosti: Routhov i Hurwitzov, pa se često i tako pronalaze u literaturi. Oni se ponešto razlikuju, nastali su nezavisno potkraj 19. stoljeća, ali u svojoj osnovi vrlo su slični (vidjeti [11] i [14]). Napominje se da se u slučaju analitičkog ispitivanja stabilnosti zatvorenog kruga, analizira karakteristična jednadžba zatvorenog kruga, što je bitna razlika u odnosu na ispitivanje stabilnosti u frekvencijskom području pomoću Nyquistovog kriterija stabilnosti.

Može se napisati karakteristična jednadžba nekog sustava n-tog reda (o karakterističnoj jednadžbi dano je u poglavlju 4.6):

0... 011

1 =++++ −− ararara n

nn

n (6.41)

Da bi sustav bio stabilan mora zadovoljiti dva uvjeta prema Routh – Hurwitzovom kriteriju.

Prvi, nuždan uvjet stabilnosti zahtijeva da svi koeficijenti ai u karakterističnoj jednadžbi (6.41) moraju biti pozitivni i različiti od nule (tj. ne smiju nedostajati), inače sustav ima neki korijen izvan lijeve poluravnine (tj. nije stabilan).

Da bi drugi, nuždan i dovoljan uvjet stabilnosti bio zadovoljen, potrebno je da svi elementi u prvom stupcu Routhovog polja budu istog predznaka. Obzirom na prvi uvjet, to znači da oni moraju biti pozitivni.

Routhovo polje dano je dolje:

MMMM

L

L

L

L

3213

3212

5311

42

:

:

:

:

cccr

bbbr

aaar

aaar

n

n

nnnn

nnnn

−

−−−−

−−−

(6.42)

gdje su ai koeficijenti karakteristične jednadžbe, a ostali elementi računaju se na slijedeći način:

129

1

321

1

31

2

1−

−−−

−

−−

−

−=

−=

n

nnnn

n

nn

nn

a

aaaa

a

aa

aa

b

1

541

1

51

4

2−

−−−

−

−−

−

−=

−=

n

nnnn

n

nn

nn

a

aaaa

a

aa

aa

b

1

761

1

71

6

3−

−−−

−

−−

−

−=

−=

n

nnnn

n

nn

nn

a

aaaa

a

aa

aa

b

1

2131

1

21

31

1b

baab

b

bb

aa

c nn

nn

−−

−−

−=

−=

1

3151

1

31

51

2b

baab

b

bb

aa

c nn

nn

−−

−−

−=

−=

1

4171

1

41

71

3b

baab

b

bb

aa

c nn

nn

−−

−−

−=

−=

Izračun elemenata Routhovog polja koji bi slijedili bio bi prema istom obrascu.

U slučaju da nisu svi elementi u prvom stupcu Routhovog polja pozitivni, broj korijena u desnom dijelu Gaussove ravnine biti će jednak broju promjena predznaka. Na primjer za +, -, + predznake elementa biti će dva nestabilna korijena, obzirom na promjenu predznaka + u -, te – u +.

Danas, kada se lagano može izračunati točan položaj korijena karakteristične jednadžbe pomoću raznih računalnih programa koji nam stoje na raspolaganju, poput Matlaba, Routh – Hurwitzov kriterij stabilnosti koji zaključke o stabilnosti daje na posredan način gubi na važnosti. Ipak ta metoda je korisna kada se želi odrediti područje parametara za koje sustav ostaje stabilan. U nastavku je dano područje stabilnosti dobiveno primjenom Routh – Hurwitzovog kriterija stabilnosti za proporcionalne članove drugog i trećeg reda (P2 i P3).

- Za P2 član

Karakteristična jednadžba P2 člana bila bi:

0012

2 =++ arara

Prema prvom uvjetu stabilnosti, svi koeficijenti trebaju biti veći od nule:


130

210 ,, aaa > 0

Drugi uvjet stabilnosti traži da su svi elementi prvog stupca Routhovog polja pozitivni:

010

11

022

:

:

:

abr

ar

aar

=

Vidi se da su prvi i drugi uvjet identični, pa će P2 član biti stabilan ako su svi koeficijenti veći od nule.

Mogu se uočiti i posebni slučajevi danog primjera kada su a1 i a0 jednaki nuli, odnosno kada su izostavljeni. To se može pokazati na mehaničkom sustavu s oprugom i viskoznim prigušenjem iz poglavlja 4.5. Ako je izostavljeno viskozno prigušenje D, znači da je a1 jednak nuli, te će korijeni biti smješteni na imaginarnoj osi. Sustav je uvjetno stabilan. Vremenski odziv takvog sustava na odskočnu funkciju na ulazu dan je u poglavlju 5.4. U slučaju ako je izostavljena opruga, slijedi da je a0 jednak nuli. Tada je jedan korijen sustava u ishodištu, pa imamo integralni član prvog reda (I1) koji je opisan u poglavlju 5.4. Takav sustav po prethodnoj efiniciji stabilnosti ponovno je uvjetno stabilan.

- Za P3 član

Za razliku od P2 člana gdje je uvjet stabilnosti prilično jednostavan obzirom da je ispunjena uvijek kada su svi koeficijenti prisutni i pozitivni, dodatno kašnjenje kod P3 člana postavlja granice koeficijenata za koje će sustav biti stabilan.

Karakteristična jednadžba P3 člana je:

0012

23

3 =+++ ararara

Prema prvom uvjetu stabilnosti, svi koeficijenti trebaju biti veći od nule:

3210 ,,, aaaa > 0

Prema drugom uvjetu stabilnosti svi elementi prvog stupca Routhovog polja trebaju biti pozitivni:

00

2

03121

022

133

:

:

:

:

ar

a

aaaar

aar

aar

−

Ako je prvi uvjet zadovoljen, iz drugog uvjeta slijedi da će P3 član biti stabilan ako je:

12 aa > 03 aa

131

Ako se u svjetlu Routh – Hurwitzovog kriterija stabilnosti razmotri primjer elektromehaničkog sustava danog u poglavlju 4.5, čija dinamika je 3. reda i dana je prijenosnom funkcijom u poglavlju 4.8 jednadžbom (4.56):

))()(()()(

)( 220 KDRsJRDLsJLs

K

sU

ssG

++++== θ

Iz karakteristične jednadžbe (nazivnika prijenosne funkcije) vidi se da je koeficijent a0 = 0, pa je sustav u stvari kombinacija P2 i I člana. Tako postoje dva korijena koji će biti stabilni za sve pozitivne parametre sustava, te jedan korijen u ishodištu Gaussove ravnine (od I člana), što znači da je sustav uvjetno stabilan.

Ako bi se elektromehanički sustav iz poglavlja 4.5 ponešto modificirao dodatkom torzijske opruge prema slici 6.32, razmatranje stabilnosti bilo bi drugačije. Uvođenjem torzijske opruge konstante krutosti Ko diferencijalna jednadžba koja opisuje takav elektromehanički sustav postaje:

)()()()( tiKtKtDtJ o =++ θθθ &&&

Nakon identičnog postupka koji je proveden u poglavlju 4.8, dobiva se slijedeća prijenosna funkcija:

oKsKDRsJRDLsJL

K

sU

ssG

+++++==

)()()()(

)( 2230

θ

Dakle, da bi sustav bio stabilan potrebno je da bude zadovoljeno 12 aa > 03 aa . Ako se radi

pojednostavljenja zanemari koeficijent viskoznog trenja D (što je zbog njegove veličine često opravdano), u konkretnom slučaju stabilnost sustava biti će pstignuta ako je:

RK2 > LKo

To znači da veća električna inertnost (induktivitet), te veća krutost opruge destabiliziraju sustav, dok veći električni otpor i elektromotorna konstanta djeluju stabilizirajuće. Primjer sustava danog na slici 6.32 može biti elektronički gas kod automobila (ellectronic throttle), ili robotska ruka koja je u dodiru s okruženjem.

u0(t)

LR

i(t)+

-JJJJ

e(t)

D Ko)(tθ

Slika 6.32. Istosmjerni elektromotor s dodanom torzijskom oprugom


132

Primjer uvjetno stabilnog sustava

Primjer stabilnog i uvjetno stabilnog sustava su P0 i I0 dinamički članovi:

P0: )()( txKty = (6.43)

I0: ∫= dttxKty )()( (6.44)

Dane su dvije ograničene pobude:

a) )()( /0 tueXtx t τ−= (6.45)

b) )()( 0 tuXtx = (6.46)

gdje su X0 i τ konstante, a u(t) je jedinična odskočna funkcija. Odzivi P0 i I0 člana na navedene pobude su slijedeći:

P0: )()(

)()(

0

/0

tuXKty

tueXKty

b

ta

== − τ

(6.47)

I0: )()(

)()1()(

0

/0

tutXKty

tueXKty

b

ta

=−= − ττ

Odzivi iz (6.47) dani su na slici 6.33, i to a) za pobudu iz (6.45), a b) za pobudu iz (6.46).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

y(t) Pobuda Po Io

a)

133

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

5

10

15

20

25

30

t

y(t) Pobuda Po Io

b)

Slika 6.33 Odzivi P0 i I0 člana na a) pobudu iz (6.45), b) pobudu iz (6.46)

Sa slika je vidljivo da je odziv I0 člana ograničen za jednu ograničenu pobudu dok za drugu nije, što je evidentan primjer uvjetno stabilnog sustava.

Prijenosna funkcija I0 člana jest G(s) = K/s, dakle njen pol smješten je točno u ishodištu Gaussove ravnine, što ukazuje na uvjetnu stabilnost.

Ograničena i neograničena pobuda

Udio u definiranju stabilnosti linearnih sustava ima i pitanje ograničene i neograničene pobude. Njihovo definiranje povezano je sa definicijom ograničenog i neograničenog signala: ograničeni signal jest onaj čija vrijednost (magnituda) nikada ne prelazi neku pretpostavljenu konačnu vrijednost. Odnosno signal x(t) ograničen je onda i samo onda ako postoji konstanta Mx takva da je |x(t)| ≤ Mx za -∞ < t < ∞.

Primjer neograničenog i ograničenog signala dan je slijedećim izrazima:

)()( 0 tut

Xtxτ

= (6.48)

)()(cos)( 0 tutXtx ω= (6.49)

gdje su X0 i τ konstante, a u(t) je jedinična odskočna funkcija.

Može se uočiti da je signal iz (6.48) neograničen, jer za bilo koji Mx postoji trenutak

t > Mx | τ / X0| gdje je |x(t)| > Mx.

Signal iz (6.49) primjer je ograničenog signala. Oba su prikazana na slici 6.34.


134

t

x(t)

OXMx

τ

OgraniceniNeograniceni

Slika 6.34. Neograničeni i ograničeni signal

Analitičko izračunavanje trajnog regulacijskog odstupanja

Jedna od važnih osobina sustava sa povratnom vezom svakako je njegova točnost. Svojstva dinamičkog sustava koja su se razmatrala prethodno, vezana su uz prijelazne pojave. Točnost sustava, ili njeno naličje, trajno regulacijsko odstupanje, vezane su uz stacionarno stanje dinamičkog sustava, odnosno vrijeme kada prijelazne pojave nestanu. U literaturi na engleskom jeziku uglavnom se susreće pojam trajnog regulacijskog odstupanja ili pogreške (steady-state error), a rjeđe točnosti sustava (accuracy). Uz točnost može se povezati partikularni integral (stacionarno rješenje) diferencijalne jednadžbe (poglavlje 5.1). Za analizu točnosti sustava, osim sustava samog važna je i pobuda. Za različite pobudne funkcije isti sustav imati će različita trajna regulacijska odstupanja. To je ono što razlikuje analizu točnosti od analize stabilnosti, gdje pobuda ne utječe na rješenje o tome da li je sustav stabilan ili ne. Pri tom treba imati na umu da analiza točnosti vrijedi samo za stabilne sustave. Često provedena analiza točnosti može dati prihvatljiv rezultat iako je sustav nestabilan, no u tom slučaju točnost je bespredmetna. Dakle, prije analize točnosti potrebno je načiniti analizu stabilnosti.

Analitičko izračunavanje trajnog regulacijskog odstupanja za zatvoreni regulacijski krug sa jediničnom povratnom vezom prikazano je ovdje. Analiza zatvorenog kruga sa ne-jediničnom povratnom vezom svodi se na onaj sa jediničnom, što je opisano kasnije. Tipovi sustava prema točnosti, odnosno prema broju integratora u sustavu, definirani su u poglavlju, te pregled točnosti za različite tipove sustava i za različite pobude, također su prikazani u nastavku.

Na primjeru zatvorenog kruga sa jediničnom povratnom vezom mogu se dati upute za analitičko izračunavanje trajnog regulacijskog odstupanja, ili trajne regulacijske pogreške. Blok shema sustava dana je na slici 6.35.

135

R GOY

-E

Slika 6.35. Blok shema zatvorenog kruga sa jediničnom povratnom vezom

Objekt regulacije dan je svojom prijenosnom funkcijom GO(s), izlazna veličina je Y(s), nazivna ili referentna veličina je R(s). Iz prijenosne funkcije zatvorenog kruga može se izraziti regulacijsko odstupanje E(s):

)()(1

)()(

)(1)(

)()(

)( sEsG

sGsY

sG

sG

sR

sYsG

o

o

o

o

+=⇒

+== (6.50)

)()(1

1)()()( sR

sGsYsRsE

o+=−= (6.51)

Trajno regulacijsko odstupanje e0 definira se kao razlika između nazivne i izlazne veličine kako t → ∞. Dakle, da bi se trajno regulacijsko odstupanje izračunalo pomoću izraza iz (6.51), koji je u s području, koristi se teorem konačne vrijednosti. Teorem predstavlja jedno od niza svojstava Laplaceove transformacije, koja je opisana u poglavlju 4.6. Detaljnije o teoremima Laplaceove transformacije, te općenito o teoriji koja stoji iza toga može se vidjeti u [27]. Teorem konačne vrijednosti glasi:

)(lim)(lim0

sFstfst →∞→

= (6.52)

Primjena teorema na (6.51), dati će izraz za trajno regulacijsko odstupanje e0:

)(1)(

lim)(lim)(lim00

0sG

sRssEstee

osst +===

→→∞→ (6.53)

Izrazom (6.53) može se izračunati trajno regulacijsko odstupanje zatvorenog kruga sa jediničnom povratnom vezom, kada je dana pobuda R(s) i prijenosna funkcija Go(s).

Izraz (6.53) vrijedi za slučaj sa jediničnom povratnom vezom, a inače postaje složeniji. Radi lakše analize točnosti, zatvoreni krug čija povratna veza nije jedinična svodi se na onaj sa jediničnom povratnom vezom, što je opisano u nastavku.

Zatvoreni krug sa ne-jediničnom povratnom vezom

Podjela sustava prema točnosti, te praktična i djelotvorna analiza točnosti sustava, dane su uz pretpostavku jedinične povratne veze.


136

Zatvoreni krug čija povratna veza nije jedinična može se svesti na onaj sa jediničnom povratnom vezom. Tako je analiza točnosti olakšana. Blok shema zatvorenog kruga dana je na slici 6.36.

R GO

H

Y-

E

Slika 6.36. Blok shema zatvorenog kruga sa ne-jediničnom povratnom vezom

Prijenosna funkcija zatvorenog kruga iz blok-sheme na slici 6.36 jest slijedeća:

)()(

)()(1)(

)(sNa

sBr

sHsG

sGsG

o

o =+

= (6.54)

Prijenosna funkcija zatvorenog kruga sa ne-jediničnom povratnom vezom iz (6.54) može se dati prijenosnom funkcijom zatvorenog kruga sa jediničnom povratnom vezom, i to preko ekvivalentne prijenosne funkcije Geq(s):

)(1

)()(

sG

sGsG

eq

eq

+= (6.55)

gdje je ekvivalentna prijenosna funkcija dana preko brojnika i nazivnika iz (6.54):

)()()(

)(sBrsNa

sBrsGeq −

= (6.56)

Osim toga, prijenosna funkcija zatvorenog kruga iz (6.54) može se dati i na slijedeći način:

)(1

)(1)(

)(1

)()(1)()(

)(sHsG

sG

sHsHsG

sHsGsG

s

s

o

o

+=

+= (6.57)

Prijenosna funkcija iz (6.57) može se dati blok shemom na slici 6.37.

R GSY

-1H

Slika 6.37 Blok shema prijenosne funkcije iz (6.57)

137

Gs(s) je produkt Go(s) i H(s). Sustav prikazan na slici 6.37 omogućava analizu kao da ima jediničnu povratnu vezu, iako u naravi ona nije jedinična.

Tipovi sustava

Sustavi se mogu svrstati prema svojoj mogućnosti praćenja određene pobude. Tako će sustav tipa 0 moći pratiti pobudu u obliku polinoma nultog stupnja, kao što je odskočna funkcija. On je prati sa nekakvim konačnim regulacijskim odstupanjem različitim od nule. Sukladno tome, sustav tipa 1 može pratiti sa nekom konačnom pogreškom polinom prvog stupnja, poput nagibne funkcije, a sustav tipa 2 može pratiti sa nekom konačnom pogreškom parabolnu funkciju, koja predstavlja polinom drugog stupnja.

Standardne pobudne funkcije prikazane su u poglavlju 5.1, gdje su dane i njihove Laplaceove transformacije.

Na slučaju zatvorenog kruga sa jediničnom povratnom vezom, koji je prikazan na slici 6.38, može se pokazati svrstavanje sustava po tipovima, prema mogućnosti praćenja standardnih pobuda.

R GOY

-E

Slika 453-1 Blok shema zatvorenog kruga sa jediničnom povratnom vezom

Prijenosna funkcija Go(s) nekog sustava može se općenito izraziti kao:

)()()(

)()()()(

21

21

nk

m

pspspss

zszszsKsG

++++++

=L

L (6.58)

k predstavlja tip sustava, odnosno k predstavlja broj čistih integratora u sustavu. Red sustav ne treba miješati sa tipom, jer je red prijenosne funkcije iz (6.58) n + k, a odnosi se na ukupan broj integratora (odnosno s-ova u nazivniku).

Ponašanje sustava:

- Tip 0 (k = 0) – konstantna pobuda daje konstantnu vrijednost izlazne veličine. Dakle, tip 0 moći će pratiti odskočnu funkciju sa određenom pogreškom.

- Tip 1 (k = 1) – konstantna pobuda daje konstantnu promjenu izlazne veličine.

- Tip 2 (k = 2) – konstantna pobuda daje konstantnu drugu derivaciju izlazne veličine.


138

Primjer sustava različitog tipa mogu biti razni motori, koji ovisno o realizaciji povratne veze, postaju različiti po tipu.

Sa kakvom točnošću pojedini tipovi sustava mogu pratiti standardne pobude, opisano je u nastavku.

Mogućnost praćenja standardnih pobuda

Da bi se odredila trajna regulacijska pogreška za različite tipove sustava iz prethodnog teksta, može se koristiti izraz (6.53):

)(1)(

lim0

0sG

sRse

os +=

→ (6.59)

Standardne pobudne funkcije koje se razmatraju su odskočna, nagibna i parabolna. One su definirane u poglavlju 5.1, a njihove Laplaceove transformacije su slijedeće:

Odskočna: R(s) = 1 / s

Nagibna: R(s) = 1 / s2 (6.60)

Parabolna: R(s) = 1 / s3

Navedene transformacije vrijede za jedinične pobude, a u slučaju da je njihova amplituda K, onda je ukupno K·R(s).

Uvraštavanjem Go(s) za različite tipove sustava, te uvrštavanjem Laplaceovih transformacija različitih pobuda u (6.59), dobija se mogućnost praćenja koja se može sažeti prema tablici 6.4. Napominje se da navedeno vrijedi za jediničnu povratnu vezu. Svođenje ne-jedinične povratne veze na jediničnu također je opisano u prethodnom tekstu.

Tip Odskočna f. Nagibna f. Parabolna f.

0 e0 = K / (1+ KP) e0 = ∞ e0 = ∞

1 e0 = 0 e0 = K / KV e0 = ∞

2 e0 = 0 e0 = 0 e0 = K / KA

Tablica 6.4. Trajno regulacijsko odstupanje e0

Gdje je K amplituda pobude, a koeficijenti pogreške položaja KP, brzine KV i ubrzanja KA su slijedeći:

139

)(lim0

sGK os

P→

=

)(lim0

sGsK os

V→

=

)(lim 2

0sGsK o

sA

→= (6.61)

Dakle, točan iznos trajnog regulacijskog odstupanja može se izračunati koristeći tablicu, uz izraz (6.61). Koeficijenti su nazvani prema veličinama u mehanici, mada problemi praćenja nisu ograničeni samo na te veličine, već vrijede i za sve druge.

Tablica 6.4 ukazuje na neka načelna pravila glede mogućnosti praćenja. Broj integratora u sustavu povećava točnost. Veće pojačanje sustava smanjuje trajno regulacijsko odstupanje, obzirom da se svi koeficijenti pogreške nalaze u nazivniku. Tip 0 sustava može biti pogodan za neke primjene u čvrstoj regulaciji, gdje nazivna veličina eventualno može poprimiti nekoliko stalnih vrijednosti. Za precizno slijeđenje putanja, tip sustava trebao bi biti veći od 1.


140

7. Analiza sustava u frekvencijskom podru čju

Prethodno je razmotrena analiza sustava u vremenskom području (poglavlje 5). Analiza sustava korištenjem sinusne pobude, to jest analiza u frekvencijskom području nudi drugačiji pogled na istu stvar. Metode u frekvencijskom području razlikuju se od onih u vremenskom. Dakle, frekvencijsko područje nadopunjuje mogućnosti analize i sinteze sustava upravljanja, a ima svoje prednosti i nedostatke. Prednosti frekvencijskog područja su razmjerno jednostavno dobivanje modela na osnovi eksperimentalnih podataka odziva cijelog sustava ili nekog njegovog dijela. Grafički prikaz frekvencijskog odziva omogućava djelotvornu sintezu regulacije upravo zbog svojstva transformacije funkcije. Naime, kao i kod srodne prijenosne funkcije, operacije derivacije i integracije zamjenjuju se algebarskim operacijama. Također, utjecaj šuma u podacima ili neki drugi nepoznati utjecaj u modelu na određenim frekvencijama lako se dade izolirati odgovarajućim filterima. Nedostatak analize u frekvencijskom području jest složenost teorije koja stoji u njenoj pozadini. Predočenje dinamičkih pojava u frekvencijskom području može biti teže nego u vremenskom. Neke pojave, poput vibracija, šumova, ili sličnih periodičkih signala lakše će se predočiti u frekvencijskom području.

Prijenosna funkcija uz Laplaceovu transformaciju, predstavlja također sustav u frekvencijskom području. Određene veze među vremenskim i frekvencijskim područjem također su već dane prethodno, prikazom utjecaja polova na vremenske značajke sustava.

Smisao frekvencijske analize prikazan je pojmom sinusne prijenosne funkcije, te Fourierove transformacije, kao pandana već spominjane prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije. Dobar prikaz povezanosti vremenskog i frekvencijskog područja, te usporedba Laplaceove transformacije i Fourierovog integrala dana je u knjizi [27]. Grafički prikazi frekvencijskog odziva, kao vrlo značajnog alata analize, te frekvencijski odzivi osnovnih dinamičkih članova dani su u nastavku. Neka osnovna svojstva važna pri sintezi regulacije, poput pojasne širine, stabilnosti, amplitudnih i faznih rezervi, osjetljivosti i točnosti, prikazana su sa stanovišta frekvencijskog područja, a dana je i frekvencijska karakteristika PID regulatora.

141

7.1 Smisao analize u frekvencijskom podru čju

Ako se na ulazu linearnog vremenski invarijantnog sustava narine pobuda u obliku sinusne funkcije određene frekvencije, nakon smirivanja prijelaznih pojava kao odziv dobiva se sinusoida iste frekvencije ali različite amplitude i uz određeni fazni pomak. Upravo te promjene amplitude i faznog pomaka na različitim frekvencijama govore o analiziranom dinamičkom sustavu. Pojam sinusne prijenosne funkcije, te Fourierove transformacije, kao osnove analize u frekvencijskom području, dani su u nastavku.

Dobivanje frekvencijskog odziva

Ako se na ulazu linearnog vremenski invarijantnog sustava narine pobuda u obliku sinusne funkcije x = X sinωt, na izlazu se, nakon nestanka prijelaznih pojava, dobiva odziv koji je također sinusoida, ali različite amplitude i faznog pomaka y = Y sin(ωt + φ). Važno je uočiti da je frekvencija titranja (ili kružna frekvencija) sinusoide odziva jednaka frekvenciji titranja sinusoide pobude. Smisao frekvencijske analize upravo jest ispitivanje promjena amplitude i faznog pomaka (faze) kod sustava u stacionarnom stanju, za narinute pobude različitih frekvencija.

Sinusna pobuda i odziv prikazani su na slici 7.1.

x(t)

ϕπ2

X

Y

tω

Pobuda,Odziv, ( )ϕω

ω+⋅=

⋅=tYy

tXx

sin

sin

Slika 7.1. Sinusna pobuda i odziv

Stoga se frekvencijski odziv može dobiti rješenjem slijedeće diferencijalne jednadžbe:

[ ] [ ] tXbtYatYdt

datY

dt

da

n

n

nn

n

n ωϕωϕωϕω sin)sin()sin()sin( 001

1

1 =++++++ −

−

− K (7.1)


142

Rješenje treba dati amplitudu Y i fazni pomak φ na različitim frekvencijama. Radi lakšeg rješenja trigonometrijski oblik harmoničkih funkcija zamjenjuje se eksponencijalnim pomoću Eulerove formule, pa se rješenje dobiva u obliku sinusne prijenosne funkcije. To je opisano u nastavku.

Napominje se da se definicije i izrazi ovdje u pravilu odnose na kružnu frekvenciju ω [rad/s ili 1/s], makar se često koristi naziv samo frekvencija. S frekvencijom f [1/s = Hz] veza je slijedeća: ω = 2 f.

Sinusna prijenosna funkcija

Frekvencijski odziv svodi se na rješavanje diferencijalne jednadžbe (7.1). Radi pojednostavljenja trigonometrijski oblik harmoničkih funkcija mijenja se eksponencijalnim, uz pomoć Eulerove formule:

tjte tj ωωω sincos += (7.2)

Dakle pobuda postaje tjeXx ω= , a odziv ϕω jtj eeYy = , pa slijedi:

[ ] [ ] [ ] tjjtjjtjn

n

njtj

n

n

n eXbeeYaeeYdt

daeeY

dt

da ωϕωϕωϕω

001

1

1 =+++ −

−

− L (7.3)

Nakon sređivanja (7.3) postaje:

[ ] tjjtjnn

nn eXbeeYajajaja ωϕωωωω 001

11 )(..)()( =++++ −

− (7.4)

Sinusna prijenosna funkcija predstavlja rješenje gornjih diferencijalnih jednadžbi u frekvencijskom području, uz sinusnu pobudu i u stacionarnim uvjetima:

011

1

0

)(..)()()(

ajajaja

b

eX

eeYjG

nn

nn

tj

jtj

++++== −

− ωωωω ω

ϕω (7.5)

Sinusna prijenosna funkcija još se može izraziti na slijedeći način:

ϕωωω je

X

Y

jX

jYjG ==

)()(

)( (7.6)

Amplituda, odnosno apsolutna vrijednost omjera amplituda, jest argument sinusne prijenosne funkcije:

[ ] [ ]22 )(Im)(Re)( ∑∑ +== ωωω jGjGX

YjG (7.7)

Fazni pomak ili faza, jest modul sinusne prijenosne funkcije:

[ ][ ]∑

∑=∠=)(Re)(Im

arctan)(ωωωϕ

jG

jGjG (7.8)

143

Amplituda i faza funkcije su jedino kružne frekvencije ω kao nezavisne varijable.

Sinusna prijenosna funkcija predstavlja Fourierovu transformaciju prijelazne funkcije. Prijelazna funkcija u vremenskom području predstavlja odziv sustava na pobudu u obliku impulsne funkcije. Ili obrnuto, ona je inverzna Fourierova transformacija sinusne prijenosne funkcije sustava.

Vrijednost frekvencijske analize i sinteze posebno je naglašena grafičkim prikazivanjem, što je opisano u nastavku, u podpoglavlju 7.2.

Fourierova transformacija

Periodički signal može se predstaviti sumom kosinusa pomoću Forierovog reda. Proširenje navedene pretvorbe na aperiodičke signale omogućava Fourierov integral, proširujući vremenski period na beskonačno velik. Fourierova transformacija sastoji se od Fourierovog integrala, a funkciju iz vremenskog područja pretvara u frekvencijsko područje, dok inverzna Fourierova transformacija radi obrnuto.

Fourierova transformacija dana je slijedećim izrazom:

∫∞

∞−

−= dtetfjF tjωω )()( (7.9)

Inverzna Fourierova transformacija dana je slijedećim izrazom:

∫∞

∞−= ωω

πω dejFtf tj)(

21

)( (7.10)

Simboličku oznaku Fourierove transformacije predstavlja operator F, dok je inverzna Fourierova transformacija F-1.

Fourierova transformacija nekog signala čini spektralnu gustoću tog signala. Drugim riječima, Fourierova transformacija izražava signal kao sumu sinusoida, a spektralna gustoća pokazuje razmjerni doprinos pojedine sinusoide ukupnoj sumi. Na frekvenciji gdje je spektralna gustoća velika, pripadajuća sinusoida doprinosi značajno valnom obliku signala i obrnuto.

Fourierovoj transformaciji srodna je Laplaceova transformacija, opisana u poglavlju 4.6. Obje transformiraju vremensku funkciju u frekvencijsku i obrnuto. Obje omogućavaju da se matematičke operacije derivacije i integracije pretvore u algebarske operacije množenja i dijeljenja. Ono što ih razlikuje jest koje se funkcije mogu transformirati, obzirom na drugačije područje konvergencije. Naime, mogu se transformirati samo one funkcije čiji nepravi integrali konvergiraju, odnosno teže konačnoj vrijednosti. Obzirom da je kompleksna frekvencija kod Laplaceove transformacije s = σ + jω , a kod Fourierove transformacije je σ = 0, što znači da nema „prigušenja“ (usporediti eksponente kod izraza za Laplaceovu (4.21), poglavlje 4.6, i Fourierovu transformaciju iz (7.9)), više funkcija zanimljivih u tehničkoj praksi može se transformirati Lapaceovom transformacijom. Osim toga, područje integracije kod Fourierove transformacije je od -∞ do +∞, dok se Laplaceova transformacija počinje s nulom (postoji i dvostrana Laplaceova transformacija, koja ide od -


144

∞, ali ona se rijetko primjenjuje u regulaciji). Dakle, Fourierova transformacija primjenjuje se na potpuno opuštene sustava, gdje su sve prijelazne pojave nestale. Sinusna prijenosna funkcija G(jω) može se smatrati posebnim slučajem prijenosne funkcije G(s). Dobro razmatranje obuhvaćanja nule, te ostalih uvjeta Laplaceove transformacije dano je u [51].

Znatno detaljnije o Fourierovoj i Laplaceovoj transformaciji može se pronaći u knjigama o teoriji sustava, poput [52]. Dobra međusobna usporedba, uz povezanost vremenskog i frekvencijskog područja, može se pronaći u knjizi [27].

7.2 Grafički prikaz frekvencijskog odziva

U dobra svojstva analize u sinteze u frekvencijskom području svakako spada i mogućnost grafičkog prikaza frekvencijskog odziva, odnosno pripadajućih frekvencijskih karakteristika sustava. Iako funkcija koja prikazuje frekvencijski odziv može biti dosta složena analitička funkcija, njen grafički prikaz obično je jednostavan i jasan. Grafički prikaz frekvencijskog odziva ima zadatak pokazati promjenu amplitude i faznog pomaka u ovisnosti o kružnoj frekvenciji kao nezavisnoj varijabli. U uporabi su tri grafička prikaza, a svaki različito prikazuje navedene ovisnosti:

─ Bodeovi dijagrami – sastoje se od amplitudno-frekvencijskog (log-log mjerilo) i fazno-frekvencijskog (lin-log) dijagrama koji se crtaju jedan ispod drugog.

─ Nyquistov dijagram – polarni dijagram u Gaussovoj ravnini.

─ Nicholsov dijagram – amplitudno-fazni (log-lin) dijagram.

Bodeovi dijagrami, obzirom da se koriste dva, najpregledniji su. Njihov opis dan je u nastavku. Unatoč tome što se može dati određena prednost Bodeovim dijagramima, dati će se i opis Nyquistovog dijagrama. Opis Nicholsovog dijagrama izostavljen je u ovom udžbeniku. Primjeri crtanja frekvencijskog odziva P1 dinamičkog člana u Bodeovim dijagramima, te isti takav primjer u Nyquistovom dijagramu mogu se vidjeti također u nastavku teksta.

Bodeovi dijagrami

Bodeovi dijagrami sastoje se od amplitudno-frekvencijskog i fazno-frekvencijskog dijagrama koji se crtaju jedan ispod drugog. Tradicionalni naziv Bodeovih dijagrama su frekvencijske karakteristike, pa se dva dijagrama i nazivaju amplitudno-frekvencijska karakteristika (AFK), te fazno-frekvencijska karakteristika (FFK). Na ordinatnoj osi gornjeg dijagrama (AFK) prikazuje se amplituda u logaritamskom mjerilu. Kao jedinica amplitude na ordinati koristi se decibel [dB], koji predstavlja logaritamski omjer amplituda:

[ ] )(log20)( ωω jGdBjG = (7.11)

145

Na ordinatnoj osi donjeg dijagrama (FFK) prikazuje se fazni pomak, ili kraće faza, u linearnom mjerilu. Na apscisnoj osi oba dijagrama kružna frekvencija je prikazana u logaritamskom mjerilu. Za omjer frekvencija 10:1 koristiti će se izraz dekada. Logaritamskim mjerilom apscise postiže se preglednost na širokom području frekvencija. Logaritamsko mjerilo ordinate kod AFK dijagrama dobija se mogućnost da se pojedini elementi u regulacijskom krugu, koji su spojeni serijski, naprosto grafički zbrajaju. Grafičko zbrajanje serijskih elemenata FFK omogućeno je također, no zbog toga je faza prikazana u linearnom mjerilu. To se može pokazati slijedećim primjerom dva serijski spojena elementa, koja su dana svojim sinusnim prijenosnim funkcijama:

212121 )()()( ϕϕωωω jj eGeGjGjGjG ⋅=⋅= (7.12)

Logaritmiranjem (7.12) dobiva se:

)(logloglog)(log 2121 ϕϕω +++= ejGGjG (7.13)

Osobina jednostavnog grafičkog zbrajanja omogućava da se složeni sustavi rastave na osnovne dinamičke članove, čiji se frekvencijski odzivi nacrtaju u Bodeovim dijagramima, te da se grafički zbroje. Bodeovi dijagrami osnovnih dinamičkih članova dani su kasnije u tekstu.

Bodeovi dijagrami mogu se nacrtati izračunavanjem amplitude i faze uvrštavanjem različitih kružnih frekvencija ω u izraze (7.7) i (7.8) danih u poglavlju 7.1 o sinusnoj prijenosnoj funkciji. Na taj način dobiva se precizna frekvencijska karakteristika. No upravo je jednostavno i brzo skiciranje frekvencijskih karakteristika nekog sustava, velika pogodnost Bodeovih dijagrama. U tu svrhu koriste se aproksimativne frekvencijske karakteristike, koje su dane asimptotama na području niskih i visokih frekvencija. Na niskim frekvencijam ω → 0 (ω teži k nuli), dok na visokim frekvencijama ω → ∞. Granica koja dijeli područje nisko i visoko-frekvencijske asimptote zove se lomna frekvencija. Lomna frekvencija definirana je polovima ili nulama sustava.

Primjer crtanja Bodeovih dijagrama na proporcionalnom članu prvog reda dan je u nastavku, a Bodeovi dijagrami svih ostalih osnovnih dinamičkih članova dani su dalje, također.

Bodeovi dijagrami na primjeru P1 člana

Crtanje Bodeovih dijagrama prikazati će se na primjeru proporcionalnog člana prvog reda (P1). Proporcionalni član prvog reda detaljnije je opisan prethodno, u poglavlju 5.4, a dan je slijedećom prijenosnom funkcijom:

1)()(

)(+

==s

K

sX

sYsG P

τ (7.14)

Sinusna prijenosna funkcija P1 člana jest:


146

1)()(

)(+

==ωτω

ωωj

K

jX

jYjG P (7.15)

Nisko-frekvencijska (NF) asimptota crta se za područje frekvencija gdje ω→ 0. Uvrštenjem ω= 0 u izraze za amplitudu i fazu (7.7) i (7.8), dobiva se slijedeće:

PNFKjG log20)( =ω (7.16)

0=NFϕ (7.17)

Visoko-frekvencijska (VF) asipmptota crta se za područje frekvencija gdje ω → ∞. Uvrštavanjem ω = ∞ u izraze za amplitudu dobiva se:

ωτωτ

ω log20log201

)(22

−=+

= PP

VFK

KjG (7.18)

Pošto je imaginarni dio sinusne prijenosne funkcije iz (7.15) jednak -∞, faza je:

2πϕ −=VF (7.19)

Nagib VF asimptote izračunava se na temelju razlike dvije frekvencije koje su udaljene za dekadu (ω1 i ω2=10·ω1), pa u ovom slučaju nagib iznosi –20 dB/dek.

Sjecište NF i VF asimptota je lomna frekvencija ωl . Dobiva se izjednačavanjem G(jω)NF i G(jω)VF iz (7.16) i (7.17), što u slučaju P1 člana iznosi:

ωl = 1 / τ (7.20)

Bodeovi dijagrami P1 dinamičkog člana dani su na slici 7.2.

147

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

2020 log Kp

1 10 100

1 10 100

4

π

4

π−

-20

-20 dB/dek

dekada

-20

2

π−

lω

lω

Slika 7.2. Bodeovi dijagrami P1 člana

Egzaktan izgled dijagrama ponešto se razlikuje. Slika Bodeovih dijagrama P1 člana dobivena računarskim programom Matlab (KP = 5 i τ = 0.2) dana je na slici 7.3 (natpisi na dijagramima generirani su automatski programom, stoga su na engleskom jeziku).


148

-15

-10

-5

0

5

10

15

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

τω /1=l

dB3

Slika 7.3. Bodeovi dijagrami P1 člana dobiveni Matlabom

Najveće razlike od aproksimativnih dijagrama su u okolini lomne frekvencije. Definicija lomne frekvencije, odnosno pojasne širine, dane su kasnije u tekstu.

Nyquistov dijagram

Frekvencijske karakteristike mogu se prikazati i u Nyquistovom dijagramu, koji je polarni dijagram u Gaussovoj ravnini. U Nyquistovom dijagramu polarna krivulja opisuje frekvencijske karakteristike. Udaljenost polarne krivulje od ishodišta Gaussove ravnine predstavlja amplitudu sinusne prijenosne funkcije, dok je njen fazni pomak predstavljen otklonom od pozitivne realne osi. To je prikazano na slici 7.4.

149

G

ϕ+

ϕ− Re

Im

Slika 7.4 Amplituda i fazni pomak u Nyquistovom dijagramu

Na polarnoj krivulji označuje se strjelica u smjeru rastućih frekvencija.

Očiti nedostatak Nyuistovog dijagrama u odnosu na Bodeove je nepreglednost, pogotovo kod viših frekvencija. Međutim, pošto je samo jedan, Nyquistov dijagram je kompaktan i ponekad sasvim dovoljan za ocjenu frekvencijskih karakteristika sustava. Pri sintezi regulacije kod takozvane povratne kompenzacije koriste se inverzne polarne krivulje, tako da računarski programi poput Matlaba crtaju polarnu krivulju i inverznu polarnu krivulju.

Primjer crtanja Nyquistovog dijagrama na proporcionalnom članu prvog reda dan je u nastavku. Nyquistovi dijagrami osnovnih dinamičkih članova dani su sažeto u tablici u kasnije, zajedno sa Bodeovim dijagramima.

Nyquistov dijagram na primjeru P1 člana

Crtanje Nyquistovog dijagrama prikazati će se na primjeru proporcionalnog člana prvog reda (P1). Proporcionalni član prvog reda detaljnije je opisan u poglavlju 5.4, a dan je svojom prijenosnom funkcijom:

1)()(

)(+

==s

K

sX

sYsG P

τ (7.21)

Pripadajuća sinusna prijenosna funkcija glasi:

1)()(

)(+

==ωτω

ωωj

K

jX

jYjG P (7.22)

Prema izrazima za amplitudu (7.16), za P1 član vrijedi:


150

221)(

ωτω

+= PK

jG (7.23)

Izraz za fazni pomak (7.17) može se rastaviti obzirom na fazni pomak brojnika i nazivnika, pa se dobiva faza P1 člana:

[ ][ ]

[ ][ ] )arctan(0

)(Re)(Im

arctan)(Re)(Im

arctan ωτωω

ωωϕ −=

−

=

∑∑

∑∑

nazbrjG

jG

jG

jG (7.24)

Vrijednosti amplitude i faze P1 člana za neke izabrane kružne frekvencije dan je u tablici 7.1.

ω 0 1/τ ∞

G KP KP / √2 0

ϕ 0 -π / 4 -π / 2

Tablica 7.1. Vrijednosti amplitude i faze P1 člana

Nyquistov dijagram P1 člana dan je na slici 7.5. Udaljenost od ishodišta je amplituda, faza je kut u odnosu na + Re os. Strjelica na dijagramu ukazuje na smjer rastućih frekvencija.

ϕ−4/π−

2/pK

pK0

Im

Re

Slika 7.5. Nyquistov dijagram P1 člana

151

7.3 Frekvencijski odzivi osnovnih dinami čkih članova

Osnovni dinamički sustavi svrstani su prema tome kako pobuda djeluje na njih, pa postoje proporcionalni (P), integralni (I) i derivacijski (D) članovi. Osim toga, članovi se dijele i prema kašnjenju, odnosno broju integracija koje treba provesti da bi se dobila izlazna veličina. Složeniji dinamički sustavi dadu se rastaviti na jednostavnije elemente, odnosno članove. To je naročito pogodno kod Bodeovih prikaza sustava, jer se osnovni članovi koji tvore neki složeniji dinamički sustav jednostavno mogu grafički zbrojiti. Osnovni članovi u vremsnkom području opisani su i prikazani u poglavlju 5.4.

U slijedećim poglavljima dani su Bodeovi dijagrami osnovnih članova: proporcionalni član nultog reda, proporcionalni član prvog reda, proporcionalni član drugog reda, integralni, derivacijski i transportni član (mrtvo vrijeme). Pregledan prikaz svih članova dan je tablicom. Tamo je, radi usporedbe, uz Bodeove dijagrame dan i prikaz osnovnih članova pomoću Nyquistovog dijagrama.

Detaljniji prikaz nastanka Bodeovih dijagrama prikazan je prethodno na primjeru P1 člana, a postupak dobivanja dijagrama za ostale članove u skladu je s tim.

Proporcionalni član nultog reda

Označava se kao P0 član. Predstavlja čisto pojačanje, bez kašnjenja. Opisan je u poglavlju 5.4. Prijenosna funkcija P0 člana jest:

PKsX

sYsG ==

)()(

)( (7.25)

Zamjenom operatora s sa jω, dobiva se njegova sinusna prijenosna funkcija:

PKjX

jYjG ==

)()(

)(ωωω (7.26)

Može se uočiti da sinusna prijenosna funkcija P0 člana ima samo realni dio KP. Stoga je, poštujući izraze za amplitudu (7.7) i fazu (7.8), amplituda na ordinati AFK dijagrama

PKjG log20)( =ω , dok je na ordinati FFK faza φ = 0 (jer je arctan 0 = 0).

Prikaz u Bodeovim dijagramima dan je na slici 7.6.


152

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

2020 log Kp

1 10 100

1 10 100

4

π

4

π−

-20


Iz dijagrama je očito, nema nikakvog kašnjenja, postoji samo pojačanje, koje djeluje na čitavom području frekvencija.

Proporcionalni član prvog reda

Proporcionalni član prvog reda, ili P1 član, opisan je detaljnije u poglavlju 5.4. Primjer postupka dobivanja Bodeovih dijagrama upravo za P1 član dan je prethodno, u poglavlju 7.2. Ovdje su ponovno dane njegova prijenosna funkcija (7.14), sinusna prijenosna funkcija (7.15), a prikaz u Bodeovim dijagramima P1 člana dan je na slici 7.7:

1)()(

)(+

==s

K

sX

sYsG P

τ

153

1)()(

)(+

==ωτω

ωωj

K

jX

jYjG P

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

2020 log Kp

1 10 100

1 10 100

4

π

4

π−

-20

-20 dB/dek

dekada

-20

2

π−

lω

lω


Lomna frekvencija ωl u slučaju P1 člana iznosi:

ωl = 1 / τ (7.27)

Dakle, što je sustav brži, odnosno što je njegova vremenska konstanta τ kraća, to će njegova lomna frekvencija biti viša, odnosno biti će postavljena dalje u desno u Bodeovim dijagramima. Može se uočiti da na frekvencijama višim od lomne, amplitude izlaza P1 člana se kontinuirano smanjuju. U području frekvencija nižih od lomne, amplitude izlaza su


154

pojačane sa faktorom KP. Isto tako kašnjenje u fazi od /2 nastaje na frekvencijama višim od lomne frekvencije.

Proporcionalni član drugog reda

Proporcionalni član drugog reda, ili P2 član, dan je detaljnije u poglavlju 5.4. Njegova prijenosna funkcija dana je izrazom (5.45), a ovdje je radi lakše analize nešto izmijenjena (pretpostavka da je KP = ωn

2):

121

1

2)()(

)(2

2

22

2

++=

++==

sssssX

sYsG

nn

nn

n

ωζ

ωωωζ

ω (7.28)

Sinusna prijenosna funkcija nastaje zamjenom operatora s sa jω, te vodeći računa da je j2 = -1 dobiva se:

jjX

jYjG

nn ωωζ

ωωω

ωω21

1)()(

)(

2

2+−

== (7.29)

Kao i kod P1 člana može se dobiti nisko-frekvencijska asimptota za područje frekvencija gdje ω→ 0. Uvrštenjem ω = 0 u izraze za amplitudu i fazu (7.7) i (7.8), dobiva se slijedeće:

01log20)( ==NF

jG ω (7.30)

0=NFϕ (7.31)

Visoko-frekvencijska (VF) asipmptota crta se za područje frekvencija gdje ω → ∞. Uvrštavanjem ω = ∞ u (7.29) dominira izaraz sa kvadratom frekvencije, pa je amplituda:

)log(log40log20log20)( 22 ωωωωω −=−= nnVFjG (7.32)

Dakle, nagib VF asimptote izračunava se na temelju razlike dvije frekvencije koje su udaljene za dekadu (ω1 i ω2=10·ω1), što iznosi –40 dB/dek.

Fazni pomak VF asimptote dobiva se uvrštavanjem realnog i imaginarnog dijela iz (7.29) u (7.8):

πϕ −=VF (7.33)

Sjecište VF i NF asimptote je na frekvenciji ωn. Uvrštavanjem ω = ωn u (7.29), ona postaje:

jjG

ζω

21

)( = (7.34)

Stoga točna vrijednost amplitude P2 člana na području lomne frekvencije, odnosno neprigušene vlastite frekvencije ωn, ovisi o iznosu stupnja prigušenja ζ:

155

)2log(20)( ζω −=jG (7.35)

Za male iznose stupnja prigušenja stvarne karakteristike znatno se razlikuju od aproksimacija u okolini ωn, stoga se u Bodeovim dijagramima P2 člana uvode korekcije. Slika 7.8 daje Bodeove dijagrame za P2 član sa različitim stupnjevima prigušenja.

( )[ ]dBjG ω

nω1,0 nωnω10

1510505−

15−20−25−

10−

1,0=ζ3,0=ζ

7,0=ζ5,0=ζ

1=ζ

Tockekorekcije

-40 dB/okt

[ ]srad /ω

AFK

[ ]radϕ

nω1,0 nωnω10

0

[ ]srad /ω

2

π−

1,0=ζ1=ζ

7,0=ζ

5,0=ζ

3,0=ζFFK


U slučaju da P2 član ima korijene realne i različite, on se može promatrati kao spoj dva P1 člana, čiji odzivi u Bodeovim dijagramima se naprosto grafički zbroje. U slučaju da pojačanje nije kao pretpostavljeno na početku poglavlja (KP = ωn

2), lako se doda bilo kakvo drugo pojačanje kao serijski spoj P0 člana, danog Bodeovim dijagramima.

Integralni član

Kod integralnog člana odziv sustava ovisi o integralu pobude, a označava se kao I član, koji može biti nultog reda (bez kašnjenja), dakle I0, ali može imati kašnjenje prvog reda, drugog reda, itd. Integralni članovi dani su u poglavlju 5.4.

Prijenosne funkcije I0 i I1 su slijedeće:


156

s

K

sX

sYsG i

I ==)()(

)(0 (7.36)

)1()()(

)(1 +==

ss

K

sX

sYsG i

I τ (7.37)

Radi jasnoće, integralno pojačanje ovdje će se pretpostaviti kao Ki = 1. U slučaju da je pojačanje Ki ≠ 1, može se serijski spojiti P0 član sa bilo kakvim pojačanjem Ki, koje se grafički doda u AFK dijagramu. Pripadajuće sinusne prijenosne funkcije su:

ωωωω

jjX

jYjGI

1)()(

)(0 == (7.38)

)1(1

)()(

)(1 +==

ωτωωωω

jjjX

jYjGI (7.39)

Iz (7.38) očito je da se amplituda I0 člana smanjuje povećanjem frekvencije, i to sa nagibom od -20 dB/dek. Fazni pomak je konstantan i iznosi – / 2.

I1 član u stvari predstavlja serijski spoj I0 člana i P1 člana, pa se oni mogu grafički zbrojiti u Bodeovim dijagramima, te će tako dobivena krivulja predstavljati I1 član. To je prikazano na slici 7.9.

157

0[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

20

1 10 100

1 10 100

4

π

4

π−

-20-20 dB/dek

2

π−

τω 1=l

-40

-40 dB/dek-20 dB/dek

4

3π−

π−

P1I1I0

τω 1=l

Slika 7.9. Bodeovi dijagrami I0 i I1 člana


158

Derivacijski član

Kod derivacijskog člana odziv sustava ovisi o derivaciji pobude, a označava se kao D član. Kao i I član, može biti nultog reda (bez kašnjenja), što se označava sa D0, a može imati kašnjenje prvog reda, drugog reda, itd., a tada se označava sa D1, D2. Derivacijski članovi dani su u poglavlju 5.4.

Prijenosne funkcije D0 i D1 člana su:

sKsX

sYsG dD ==

)()(

)(0 (7.40)

1)()(

)(1 +==

s

sK

sX

sYsG d

D τ (7.41)

Kao i prethodno kod integralnog člana radi jasnoće se pojačanje, u ovom slučaju nazvano derivacijsko, pretpostavlja kao Kd = 1. U slučaju da je pojačanje Kd ≠ 1, može se serijski spojiti P0 član sa bilo kakvim pojačanjem Kd, koje se grafički doda u AFK dijagramu. Pripadajuće sinusne prijenosne funkcije su:

ωωωω jjX

jYjGD ==

)()(

)(0 (7.42)

1)()(

)(1 +==

ωτω

ωωω

j

j

jX

jYjGD (7.43)

Amplituda D0 člana povećava se povećanjem frekvencije, i to s nagibom od +20 dB/dek. Fazni pomak je konstantan i iznosi / 2. U ovom slučaju on je pozitivan, što znači da derivacijski član unosi fazno prethođenje, za razliku od kašnjenja kod integralnog člana.

Analogija sa I1 članom postoji, što znači da D1 član predstavlja serijski spoj D0 člana i P1 člana, pa će se oni grafički zbrojiti u Bodeovim dijagramima, te će dobivena krivulja predstavljati D1 član, što je prikazano na slici 7.10.

159

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

20

1 10 100

1 10 100

4

3π

4

π

-20

+20 dB/dek

2

π−

τω 1=l

-40

-20 dB/dek

2

π

4

π−

τω 1=l

P1D1D0

Slika 7.10. Bodeovi dijagrami D0 i D1 člana


160

Član s mrtvim vremenom

Član s mrtvim vremenom pojavljuje se kada se materijal ili energija fizički premještaju. Koristi se još naziv transportni član, a označava se sa Tm, a samo kašnjenje (mrtvo vrijeme) označava se sa τm. Član s mrtvim vremenom opisan je u poglavlju 5.4.

Njegova prijenosna funkcija je:

smesX

sYsG τ−==

)()(

)( (7.44)

Sinusna prijenosna funkcija jest:

ωτωωω jmejX

jYjG −==

)()(

)( (7.45)

Amplituda je 0, dok faza linearno pada s porastom frekvencija, što u logaritamskom mjerilu znači eksponencijalni pad:

01log20)(log20 ==ωjG (7.46)

mτωϕ −= (7.47)

Bodeovi dijagrami člana s mrtvim vremenom dani su na slici 7.11.

Kašnjenje prvog reda sa vremenskom konstantom τ (P1 član) može biti uključeno, a ono se jednostavno grafički zbraja kao i na prethodnim primjerima sa integralnim ili derivacijskim članom.

161

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

20

1 10 100

-20

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

1 10 100

2π−

π−

AFK

FFK

Slika 7.11. Bodeovi dijagrami Tm člana

Tablica Bodeovih i Nyquistovih dijagrama osnovnih članova

Radi preglednosti osnovni dinamički članovi dani su u tablici, sa sinusnim prijenosnim funkcijama koje ih opisuju i sa svojim frekvencijskim odzivima. Frekvencijski odzivi prikazani su u Bodeovim dijagramima, ali radi usporedbe dani su istovremeno i u Nyquistovim dijagramima.


162

0P

1P

2P

1I

1D

0[ ]srad/ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

20 20 logKp

1 10 100

1 10 100

4π

4π−

-20

Im

ϕ− Re0 Kp

( )ωjG Bode Nyquist

( ) ωω jjG =

( )ω

ωj

jG1=

( )22 2 nn

p

j

KjG

ωωζωωω

++−=

( )1+⋅

=ωτ

ωj

KjG p

( ) pKjG =ω

0[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

20

1 100-20 -20 dB/dek

lω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

1 10 100

4

π

4π−

2

π−

lω

10

mT

Im

ϕ− Re0 1

Im

0 ϕ− Re1

Im

0 ϕ− Re1

Im

0ϕ− Re1

0[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

201 10 100

-20 -20 dB/dek-40

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

1 10 100

4

π−

2

π−

0[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

201 10 100

-20

20 dB/dek

-40

0 [ ]srad /ω

[ ]radϕ

1 10 100

4π2

π

0[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω20

1 10 100-20

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

1 10 100

2π−

π−

Im

0 ϕ− Re1

( )[ ]dBjG ω

nω1,0 nωnω10

1510505−

15−20−25−

10−

1,0=ζ

3,0=ζ

7,0=ζ 5,0=ζ

1=ζ

-40 dB/okt[ ]srad /ω

[ ]radϕ

nω1,0 nωnω10

0

[ ]srad/ω

2

π−

1,0=ζ1=ζ

7,0=ζ

5,0=ζ

3,0=ζ

163

7.4. Značajke sustava u frekvencijskom podru čju

Osnovni pojmovi koji ukazuju na dinamičko ponašanje sustava već su definirani u vremenskom području. U frekvencijskom području, obzirom na posebnosti prikaza sustava, pojavljuju se neki novi pojmovi, te metode analize i sinteze. U ovom poglavlju definira se prije svega pojam pojasne širine, kao mjera brzine odziva u frekvencijskom području. Uz to se povezuje i pojam rezonantnog izdizanja, kao veza sa stupnjem prigušenja sustava. Pojasna širina i rezonantno izdizanje predstavljaju zahtjeve koji se žele postići sintezom regulacije. Stabilnost predstavlja osnovni zahtjev prilikom upravljanja, pa je njeno određivanje i definicija u frekvencijskom području dano u nastavku. Usko povezani sa stabilnosti su pojmovi amplitudne i fazne rezerve, koji su mjera relativne stabilnosti. Oni su također definirani u nastavku. Pitanja trajnog regulacijskog odstupanja i osjetljivosti sustava u frekvencijskom području također su razmotreni, a kako PID regulator nalazi najširu primjenu u regulaciji, njegove značajke u frekvencijskom području opisane su na kraju poglavlja.

Pojasna širina i rezonantno izdizanje

Pojasna širina (bandwidth) sustava predstavlja maksimalnu frekvenciju na kojoj će izlazna sinusoida sustava slijediti ulaznu bez značajnijeg slabljenja. Pojasna širina ovdje se označava sa ωb, a najčešće se definira kao frekvencija kod koje se amplituda zatvorenog kruga smanji faktorom 0.707 od svoje vrijednosti kod frekvencije nula. Ta vrijednost odgovara 3 dB (y dB = 20log x), odnosno zbog smanjenja amplitude –3 dB. Definiranje vrijednosti od –3 dB potiče iz signalne tehnike, i izvodi se iz smanjenja snage signala izlaza na ½ (half-power bandwidth).

Za proporcionalni član drugog reda (P2) sa stupnjem prigušenja ζ = 0.707, pojasna širina ωb odgovara neprigušenoj vlastitoj frekvenciji ωn. Inače, ωb ≡ ωn može se uzeti kao dosta gruba aproksimacija. U svakom slučaju, pojasna širina predstavlja mjeru brzine odziva, i što je veća, to će biti kraće vrijeme porasta, odnosno odziv sustava će biti brži. Veza neprigušene vlastite frekvenciji ωn sa brzinom odziva dana je u poglavlju 5.5.

Slikovito značenje slabljenja signala na frekvencijama većim od pojasne širine dana je na slici 7.12. Prikazan je odziv na pobudu u obliku sinusoide dvije različite frekvencije, od kojih je jedna niža od pojasne širine ωb, a druga viša. Osim slabljenja signala na višoj frekvenciji, može se uočiti i zaostatak u fazi odziva.


164

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

t[s]

Pobuda Odziv

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t[s]

Pobuda Odziv

Slika 7.12. Odziv na sinusnu pobudu različite frekvencije

Rezonantno izdizanje (resonant peak magnitude) obično se označava sa Mr i predstavlja izdizanje na krivulji u amplitudno-frekvencijskoj karakteristici na rezonantnoj frekvenciji ωr. Pojavljuje se kod slabo prigušenih sustava višeg reda. Dobro se dade uočiti na AFK Bodeovog dijagrama P2 člana na slici 7.8. Na rezonantnoj frekvenciji naprosto dolazi do izmjene energije između spremnika energije na način da se oni međusobno podupiru. Odziv sustava na toj frekvenciji je znatno pojačan, a iznos tog pojačanja ovisi o stupnju prigušenja. Rezonantno izdizanje, odnosno odgovarajući stupanj prigušenja sustava, najčešće se definira preko povezanih pojmova amplitudne i fazne rezerve sustava, koji su opisani nešto kasnije.

165

Stabilnost u frekvencijskom području

Na stabilnost sustava ne utječe područje u kojem ga analiziramo. No u frekvencijskom području različite su metode ispitivanja stabilnosti od onih u vremenskom području. Ovdje se koristi Nyquistov kriterij stabilnosti, za koji je značajno da stabilnost zatvorenog kruga utvrđuje na temelju analize stabilnosti otvorenog kruga.

Načelno polazište Nyquistovog kriterija stabilnosti je slijedeće: ako se zatvoreni krug dan na slici 7.13 (lijevo) prekine, i ako se u točki A narine sinusna pobuda, zatvoreni krug će biti nestabilan, ako se u točki B prekinutog (otvorenog) kruga pojavi odziv čija amplituda je jednaka ili veća od amplitude pobude (dakle │G(jω)│≥1), te čiji fazni pomak je –. Pobuda i odziv prema prethodnom opisu dani su također na slici 7.13 (desno). Naime, pretpostavka je da bi takav signal u zatvorenom krugu sa negativnom povratnom vezom bio dodatno pomaknut u fazi za – uslijed negativnog predznaka povratne veze, te da bi se pojačavao (pojačanje amplitude veće od 1), što ukazuje na nestabilnost.

Pojačanje amplitude │G(jω)│=1, te fazni pomak od φ = – ukazuju na točku (-1 + j0) u Nyquistovom dijagramu. To znači da će sustavi čije polarne krivulje tu kritičnu točku u Nyquistovom dijagramu zaobilaze sa vanjske, lijeve strane u smjeru okretanja kazaljke na satu biti nestabilni. To je pokazano na slici 7.14 na primjeru proporcionalnog člana 3. reda (P3).

GO

GR

-A

B

t

A

B

Slika 7.13. Prekinuti regulacijski krug


166

Im

Re

0-1+j0

StabilanUvjetno stabilanNestabilan

Slika 7.14. Polarne krivulje P3 člana u Nyquistovom dijagramu

Matematička osnova Nyquistovog kriterija stabilnosti dosta je složena, a temelj je Cauchyev kriterij iz kompleksne analize. No sama primjena razmjerno je jednostavna, sa nizom pogodnosti, pogotovo kod eksperimentalne primjene.

Važno je naglasiti da je analiza stabilnosti kod Nyquistovog kriterija ograničena na linearne, vremenski invarijantne sustave. Također, ispitivanje stabilnosti zatvorenog kruga vrši se na otvorenom, odnosno prekinutom krugu.

Amplitudna i fazna rezerva

Jedna od prednosti Nyquistovog kriterija stabilnosti (dan prethodno) je što on ukazuje i na relativnu stabilnost sustava. Naime, što je polarna krivulja bliža kritičnoj točki, sustav će više oscilirati. Upravo tu mjeru stabilnosti zatvorenog sustava daju podaci o amplitudnoj i faznoj rezervi, koji se koriste za sintezu regulacije.

Amplitudna rezerva je razlika amplitude sustava potrebna da bi sustav postao nestabilan, dok je fazna rezerva razlika faznog pomaka potrebna da bi sustav postao nestabilan. Amplitudna rezerva Ar i fazna rezerva φr u Nyquistovom dijagramu prikazane su na slici 7.15.

Pošto se daje prednost Bodeovim dijagramima u prikazu frekvencijskih karakteristika, amplitudna i fazna rezerva će se definirati također i u tom prikazu.

Kritična točka (-1 + j0) kod Nyquistovog kriterija stabilnosti u Bodeovim dijagramima u stvari predstavlja dva pravca. Pravac koji predstavlja pojačanje amplitude 1 jest os apscisa AFK dijagrama (jer je 20log1 = 0), dok je fazni pomak od – predstavljen pravcem na FFK dijagramu.

Nestabilan sustav u Bodeovim dijagramima je onaj čija je amplitudno frekvencijska karakteristika pozitivna, dok je fazno frekvencijska karakteristika manja od – na istoj frekvenciji. Amplitudna i fazna rezerva u Bodeovim dijagramima najbolje će se uočiti na slici 7.16.

167

Im

Re

0-1+j0

Ar

rϕ

Slika 7.15. Amplitudna i fazna rezerva u Nyquistovom dijagramu

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

20

1

10

100

1 10 100

2

π

2

π−

-20

π−

rϕ

rA

Slika 7.16. Amplitudna i fazna rezerva u Bodeovim dijagramima


168

Pomoću rezervi stabilnosti vrlo lako se u frekvencijskim karakteristikama može odrediti maksimalno dozvoljeno pojačanje da sustav ne bi postao nestabilan. U nekim slučajevima rezerve stabilnosti nisu od koristi, jer njihove polarne krivulje nikada ne obilaze kritičnu točku (P1, P2), ili je obilaze više puta (članovi visokog reda) pa mogu naveti na pogrešne zaključke.

Rezerve stabilnosti ukazuju na oscilacije odziva sustava, a veza sa stupnjem prigušenja dana je jednom aproksimacijom, koja je važeća za fazne rezerve φr > /3 (može se koristiti i za manje φr, ali imajući na umu veću pogrešku):

100rϕζ ≈ (7.48)

gdje je φr u radijanima.

Načelno, /6 (ili 30˚) smatra se najmanjom faznom rezervom koja će dati zadovoljavajuće odzive.

Trajno regulacijsko odstupanje i osjetljivost

Trajno regulacijsko odstupanje također se može odrediti iz frekvencijskih karakteristika. Točnost sustava razmotrena je u poglavlju 6.4, gdje je opisana i podjela sustava prema tipovima. Tamo je pokazano da broj integratora u sustavu određuje tip sustava. U Bodeovim dijagramima tome odgovara nagib amplitudno-fazne karakteristike na najnižim frekvencijama. Nagib 0 dB/dek odgovara tipu sustava 0, nagib –20 dB/dek odgovara tipu sustava 1, dok nagib od –40 dB/dek odgovara tipu sustava 2.

Koeficijenti pogreške položaja KP, brzine KV i ubrzanja KA iz poglavlja 6.4 mogu se odrediti iz AFK kao pojačanje amplitude |G(jω)| na frekvenciji ω=1 (npr. |G(jω)| pri ω=1 je 20 dB i ima nagib –20 dB/dek, radi se dakle o KV iznosa 10). Tako dobivene vrijednosti koeficijenata pogreške mogu se uvrstiti u tablicu u poglavlju 6.4 da bi se izračunalo trajno regulacijsko odstupanje. Ukratko, što je veće pojačanje na niskim frekvencijama, sustav je točniji.

Osjetljivost sustava na mjerne šumove ili na nemodeliranu dinamiku na visokim frekvencijama može se smanjiti smanjivanjem pojačanja amplitude sustava na visokim frekvencijama. Na taj način se slabe signali visokih frekvencija, odnosno držanjem tog pojačanja ispod 1 (odnosno 0 dB) osigurava se stabilnost.

Zahtjevi točnosti i osjetljivosti mogu se prikazati u AFK Bodeovog dijagrama, što je dano na slici 7.17. Radi zahtjeva točnosti i neosjetljivosti na mjerne šumove, potrebno je da krivulja izbjegne obilježeno područje.

Sintezom regulatora preostaje utjecati na prijelazne karakteristike odziva. Pojasna širina odrediti će brzinu odziva, dok se faznom rezervom treba dobiti zadovoljavajuće prigušenje sustava.

169

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

AFK

Slika 7.17. Zahtjevi točnosti i osjetljivosti

7.5 PID regulator u frekvencijskom podru čju

Proporcionalno-integralno-derivacijski (PID) regulator, te njegove reducirane inačice proporcionalno-derivacijski (PD) i proporcionalno-integralni (PI) regulator, prethodno su opisani, te su dane metode njihovog podešavanja u poglavlju 6.2. Zbog njihove važnosti i široke primjene, te zbog pogodnosti sinteze koje pruža frekvencijsko područje, njihove frekvencijske karakteristike su ovdje opisane.

Prijenosna funkcija idealnog PID regulatora je slijedeća:

++= sT

sTKG d

iPPIDR

11_ (7.49)

gdje je KP pojačanje proporcionalnog djelovanja, Td derivacijsko vrijeme ili vremenska konstanta derivacije, a Ti integralno vrijeme ili vremenska konstanta integracije. Zamjenom operatora s sa jω, te uvraštavanjem u izraze za amplitudu i fazni pomak iz (512.6) i (512.7), te sređivanjem, dobiva se amplituda i faza PID regulatora:

11

)(2

+

−=

idP

TTKjG

ωωω (7.50)

−=

id

TT

ωωϕ 1

arctan (7.51)

Na slici 7.18. prikazan je primjer frekvencijske karakteristike jednog PID regulatora. Najmanje pojačanje jednako je KP, i nalazi se na lomnoj frekvenciji di TT/1=ω .

Pridavajući različite vrijednosti Td i Ti može se podesiti frekvencija i širina „usjeka“ (notch, kao notch filter) frekvencijske karakteristike. Smanjenje Ti i povećanje Td sužava usjek, i


170

obrnuto. Često se uzima Ti ≈ 4Td. Povećanje ili smanjenje KP pomiče krivulju AFK gore ili dolje, bez utjecaja na širinu usjeka.

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

20

2

π

-20

2

π−

40-20 dB/dek 20 dB/dek

Kp

diTT/1

diTT/1

Slika 7.18. Frekvencijska karakteristika PID regulatora

Proporcionalno-derivacijski (PD) regulator ima slijedeću amplitudu i fazu:

1)( 22 += dP TKjG ωω (7.52)

dTωϕ arctan= (7.53)

Amplituda i faza proporcionalno-integralnog (PI) regulator jest:

11

)( 22 +=i

PT

KjGω

ω (7.54)

171

−=

iTωϕ 1

arctan (7.55)

Lomne frekvencije PD, odnosno PI regulatora su ωl = 1/ Td, odnosno ωl = 1/ Td. Pojačanje nisko-frekvencijske asimptote kod PD regulatora, odnosno visoko-frekvencijske kod PI regulatora ima vrijednost KP. Nagibi krivulja iznose 20 dB/dek odnosno –20 dB/dek. Frekvencijske karakteristike PD i PI regulatora prikazane su na slici 7.19.

0

[ ]srad /ω

( )[ ]dBjG ω

0[ ]srad /ω

[ ]radϕ

AFK

FFK

20

2

π

-20

2

π−

40-20 dB/dek 20 dB/dek

Kp

lω

lω

PD

PI

Slika 7.19. Frekvencijske karakteristike PD i PI regulator


172

8. Literatura

1. S.Y. Nof (editor), Handbook of Automation, Springer, 2009.

2. N. Wiener, Cybernetics Or Control And Communication In The Animal And The Machine, The M.I.T. Press, 1948.

3. A-M. Ampere, Essai sur la philosophie des sciences, Part 2, Paris, 1843.

4. J. Božićević, Rječnik: Vođenje i upravljanje, Glasnik hrvatske akademije tehničkih znanosti, Vol. 8, Br. 1, 2001.

5. O. Mayr, The Origins of Feedback Control, The M.I.T. Press, 1970.

6. A.G. Drachmann, Ktesibios, Philon, and Heron, Copenhagen, 1948.

7. Vitruvius, The Ten Books on Architecture, Harvard University Press, Cambridge, 1914

8. J.C. Maxwell, On Governors, Proceedings of the Royal Society, Vol. 16, 1867/68.

9. G.B. Airy, On the Regulator of the Clock-Work for effecting uniform Movement of Equatorials, Memoirs of the Royal Astronomical Society, br. 11, 1840.

10. I.A. Wischnegradski, Sur la theorie generale des regulateurs, Competes rendus de l'Academie des sciences, Br. 83, 1876.

11. E.J. Routh, A Treatise on the Stability of a Given State of Motion, 1877.

12. A.M. Lyapunov, On the General Problem of Stability of Motion (na ruskom j.), 1892.

13. A. Stodola, Über die Regulierung der Turbinen, Schweizerische Bauzeitung, Vol. 22, 1893.

14. A. Hurwitz, Über die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besizt, Mathematische Annalen, Vol. 46, 1895.

15. H.S. Black, Stabilized Feed-Back Amplifiers, Bell System Technical Journal, Vol. 13, 1934.

16. K. Küpfmüller, Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler, Elektrische Nachrichten – Technik, Vol. 5, 1928.

17. H. Nyquist, Regeneration Theory, Bell System Technical Journal, Vol. 11, 1932.

18. H.W. Bode, A General Theory of Electric Wave Filters, Bell System Technical Journal, Vol. 14, 1935.

173

19. D.M. Auslander, The Computer as Liberator: The Rise of Mechanical System Cotrol, Trans. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 115, 1993.

20. W.R. Evans, Control system synthesis by root locus method, Trans. AIEE, Vol. 69, 1950.

21. K.H. Fasol, Herman Schmidt: Pioneer in Control and Cybernetics, IEEE Control Systems Magazine, Vol. 22, No. 2, 2002.

22. R.E. Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Bol. Soc. Mat.Mex., Vol. 5, 1960.

23. R.E. Kalman, A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME Journal of Basic Eng., Vol. 82, 1960.

24. R.E. Kalman, R.S. Bucy, New results in linear filtering and prediction theory, Trans. ASME Journal of Basic Eng., Vol. 83, 1961.

25. I.C. Horowitz, U. Shaked, Superiority of Transfer Functions Over State-Variable Methods in Linear Time-Invariant Feedback System Design, IEEE Trans. on Aautomatic Control, Vol. 20, No. 1, 1975.

26. Z. Vukić, Lj. Kuljača, Automatsko upravljanje – analiza linearnih sustava, Kigen, 2005.

27. T. Šurina, Automatska regulacija, Školska knjiga, 1972.

28. D.S. Bernstein, Feedback Control: An Invisible Thread in the History of Technology, IEEE Control Systems Magazine, Vol. 22, No. 2, 2002.

29. K.J. Åström, R.M. Murray, Feedback Systems – An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008.

30. N. Pašalić, Regulacija, automatska, Tehnička enciklopedija, Sv. 11, JLZ “Miroslav Krleža”, 1963.

31. K.J. Åström, T. Hägglund, PID Controllers: Theory, Design and Tuning, , Instrument Society of America, 1995.

32. J. Lunze, Regelungstechnik 1: Systemtheoretische Grundlagen Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen, Springer, 2006.

33. J. Fraden, Handbook of Modern Sensors, Springer, 2004.

34. T. Ersal, H.K. Fathy, D.G. Rideout, L.S. Louca, J.L. Stein, A review of proper modeling techniques, Trans. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 130, 2008.

35. P. Krus, Distributed modelling techniques for system simulation, Linköping University (predavanja), 2011.

36. D.C. Karnopp, D.L. Margolis, R.C. Rosenberg, System Dynamics – Modeling and Simulation of Mechatronic Systems, John Wiley & Sons, 2006.

37. W. Borutzky, Bond Graph Methodology, Springer, 2010.


174

38. J.J. van Dixhoorn, Progress in Modelling and Simulation, in “Bond graphs and the challenge of a unified modelling theory of physical systems”, editor F.E. Cellier, Academic Press, 1982.

39. I.N. Bronštajn, K.A. Semendjajev, Matematički priručnik, Tehnička knjiga.

40. G.F. Franklin, J.D. Powell, A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, 1986.

41. B. Novaković, Regulacijski sistemi, Sveučilišna naklada Liber, 1985.

42. J.-J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall International, 1991.

43. J.J. D'Azzo, C.H. Houpis, Linear Control System Analysis and Design – Conventional and Modern, McGraw-Hill, 1995.

44. D.E. Seborg, T.F. Edgar, D.A. Mellichamp, Process Dynamics and Control, John Wiley & Sons, 1989.

45. W. Leonhard, Control of Electrical Drives, Springer, 2001.

46. A. De Carli, R. Caccia, A Comparison of Some Control Strategies for Motion Control, Mechatronics, Vol. 5, No. 1, 1995.

47. S. Skinner, Learn to ride the PID seesaw, Hydraulics & Pneumatics, June 2006.

48. N.B. Nichols, J.G. Ziegler, Optimum Settings for Automatic Controllers, Trans. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 115, 1993.

49. H. Kwakernaak, R. Sivan, Linear optimal Control Systems, Wiley-Interscience, 1972.

50. M. Athans, N. Dertousos, R. Spann, S. Mason, System Networks and Computation, Multivariable Methods, McGraw-Hill, 1974.

51. K.H. Lundberg, H.R. Miller, D.L. Trumper, Initial Conditions, Generalized Functions, and the Laplace Transform, IEEE Control Systems Magazine, Vol. 27, No. 1, 2007.

52. T.H. Glisson, Introduction to System Analysis, McGraw-Hill, 1985.

automatska regulacija, joško petrić

Documents