aula 5 e 6_operações lógicas e tabelas-verdade

Carmen Suely Cavalcanti de MirandaIvickson Ricardo de Miranda Cavalcanti

Raciocnio Lgico

Operaes lgicas e tabelas-verdade

Carmen Suely Cavalcanti de MirandaIvickson Ricardo de Miranda Cavalcanti

Raciocnio Lgico

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Contextualizando

Estudando sobre as proposies, no captulo anterior, voc pde ver que elas constituem a representao de nossos argumentos. Estes podem ser simples ou podem se apresentar de forma complexa, a partir do momento em que realizamos algumas operaes sobre as proposies que os formam. Essas operaes so chamadas operaes lgicas ou operaes do clculo proposicional. Toda proposio, como voc viu no captulo cinco, tem um valor lgico.

Neste captulo, trabalharemos com as principais operaes lgicas e suas respectivas tabelas-verdade. Quando o aluno tem o primeiro contato com as tabelas-verdade, tem a impresso de que necessrio decor-las para poder utiliz-las. Essa uma impresso equivocada. Como voc j pde ver no captulo anterior, existem elementos lgicos que possibilitam a construo e compreenso de uma tabela-verdade.

Esperamos que ao final do captulo voc possa:

analisar a estrutura de um argumento identificando sua validade ou falsidade;

exercitar questes com operaes lgicas que cada vez mais esto presentes nos concursos pblicos.

Bom estudo!

Conhecendo a teoria

As operaes lgicas e as tabelas-verdade

A ao de combinar proposies chamada de operao. Os conectivos que fazem a ligao entre as proposies so chamados de operadores e so representados por smbolos, como voc estudou no captulo cinco.

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Uma vez construda uma proposio, como determinar seu valor lgico?

A resposta a essa pergunta implica a definio de algumas operaes lgicas que voc conhecer a seguir.

1) Negao (smbolo ~) significa: ao contrrio a negao inverte o valor de verdade de uma expresso.

Veja o que estamos dizendo no exemplo a seguir:

Maria foi ao cinemaConsiderando a proposio

Sua negao ser

Maria no foi ao cinema p

falso que Maria tenha ido ao cinema

q

Definio:

Chama-se negao de uma proposio p, a proposio representada por no p, cujo valor lgico a verdade (V) quando p falsa e a falsidade (F) quando p verdadeira.

Na linguagem comum, para realizar uma negao, antepomos o advrbio no ao verbo da proposio dada. Se considerarmos o exemplo anterior, Maria vai ao cinema, de imediato a expresso Maria no vai ao cinema representa a forma mais utilizada para a sua negao.

Outra maneira de efetuar a negao consiste em antepor proposio dada expresses tais como no verdade que ou falso que. Ainda considerando o exemplo, teremos como sua negao: no verdade que Maria foi ao cinema e falso que Maria foi ao cinema.

Ope

ra

es l

gica

s e

tabe

las-

verd

ade

105


Na linguagem lgica teremos: p (representando a expresso dada) e ~p (repre-sentando sua negao). Veja a seguir a tabela de verdade da negao.

Verdade da negao

p ~p1 V F

2 F V

At aqui falamos da negao de uma proposio simples. Veja agora a negao de proposies compostas e condicionais. Para isso, chamaremos p e q as proposi-es simples.

a) Negao da conjuno se a conjuno p ^ q, a sua negao a disjuno entre ~p e ~q. Assim teremos:

~(p ^ q) = ~p v ~q

Agora compreenda atravs da tabela-verdade:

Negao da conjuno

P q pq ~(p^q)V V V V

V F F F

F V F V

F F F F

b) Negao da disjuno se a disjuno p v q, a sua negao ser:

~(p q) = ~p ^ ~q

Atravs da tabela-verdade possvel entender esse processo em que p v q e ~p ^ ~q apresentam resultados similares e, portanto, so equivalentes.

Negao da disjuno

p q pq ~(pq)V V V F

V F V F

F V V P

F F F V

Negao da disjuno

p q ~p ~q ~p ~qV V F F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

TarsillaCaixa de texto^

TarsillaDestacar

TarsillaDestacar

TarsillaCaixa de textoF

106

c) Negao da condicional A negao de uma condicional no outra propo-sio condicional, mas sim uma conjuno entre p ^ ~q. Assim:

~(p q) = p ^ ~q

Atravs de um exemplo fica mais fcil compreender o que estamos dizendo. Veja:

Se eu for ao cinema ento vou comer pipoca for uma proposio verdadeira, ne-gando-a como se eu no for ao cinema, ento no como pipoca continua sendo ver-dadeira. Como neg-la? Considere que Se eu for ao cinema ento vou comer pipoca for verdadeira, em que condies teremos a falsidade? Resposta: Se for ao cinema mas no comer pipoca. Assim a negao correta ser: Eu fui ao cinema e no comi pipoca Ou seja, esta forma nega a frase de origem.

Veja a equivalncia atravs da tabela-verdade. Observe que ~(p q) equivalen-te a p ^ ~q.

Negao da condicional

P q ~p p q ~(p q) ~p ~qV V F V F F

V F V F V V

F V F V F F

F F V V F F

d) Negao da bicondicional a negao da bicondicional apresenta duas frmulas. Considerando a primeira frmula, temos que a negao da bicondicional a disjuno exclusiva. Ou seja:

~(p q) = p q

Agora veja as tabelas-verdade:

Negao da bicondicional

p q pqV V V

V F F

F V F

F F V


p q ~(pq)V V F

V F V

F V V

F F F

Ope

ra

es l

gica

s e

tabe

las-

verd

ade

TarsillaDestacar

107


Considerando que a bicondicional na realidade um conjunto entre duas condi-cionais p e q, teremos:

(p q) = [(p q) e (p q)], ento: ~(p q) = ~[(p q) e (p q)] substituindo nesse conjunto a negao da condicional, teremos a segunda frmula:

~(p q) = ~= (p ^ ~q) v (p ^ ~q)

A seguir as tabelas-verdade:


p q pqV V V

V F F

F V F

F F V


p q ~(pq)V V F

V F V

F V V

F F F

e) Negao da disjuno exclusiva como voc viu que a disjuno exclusiva e a bicondicional so o inverso uma da outra vai entender que a negao da disjuno exclusiva a bicondicional assim representada:

Se ~(p q) = p q

Ento ~ (p q) = p q

Parece confuso? Veja o exemplo a seguir. Por meio dele voc pode perceber melhor todas essas informaes.

Considere a afirmao P onde P = A v B e A e B so as seguintes afirmaes:

A = Carlos professor.

B = Se nio engenheiro, ento Joo pintor.

Ora, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo:

a) Carlos no professor, nio no engenheiro, Joo no pintor.

b) Carlos no professor, nio engenheiro, Joo no pintor.

c) Carlos no professor, nio engenheiro, Joo pintor.

d) Carlos professor, nio no engenheiro, Joo no pintor.

e) Carlos professor, nio engenheiro, Joo no pintor.

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Os caminhos da resoluo

Passo 1 - a primeira coisa do enunciado a ser considerada que P falsa. Dizer que P falsa negar A v B. Estamos falando da negao de uma disjuno. Para negar uma disjuno, voc viu que devemos negar A, negar B e substituir o ou (v) por e (^). Traduzindo:

~(A B) = ~A ~B

Passo 2 agora voc deve negar A. Para negar A fcil.

Se A = Carlos professor.

~A = Carlos no professor.

Passo 3 - Negar B entender primeiro que B uma sentena condicional, portanto, composta. expressa por B = Se nio engenheiro, ento Joo pintor. Vamos representar a proposio B por p e q, onde:

p = nio engenheiro.

q = Joo pintor.

Pelo que voc aprendeu anteriormente, para negar a condicional preciso con-servar o antecedente (no caso o p) e negar o consequente (no caso o q) e colocar a conjuno e. Assim teremos:

~B = p ~r. Traduzindo:

p = nio engenheiro.

~q = Joo no pintor.

Agora s reunir todos os clculos e teremos:

Carlos no professor, nio engenheiro, Joo no pintor.

Essa concluso significa a letra b.

2) Conjuno (smbolo ) a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo e.

Dadas as proposies p e q, a expresso p q chamada conjuno de p q. Cada uma das proposies chamada de fator de expresso. Uma vez conhecido o valor de verdade de cada uma das proposies, o valor de verdade da conjuno p q verdadeiro quando os dois fatores de expresso forem verdadeiros e falso se pelo menos um dos fatores, ou os dois fatores, forem falsos. O

pera

es

lgi

cas

e ta

bela

s-ve

rdad

e

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A seguir um exemplo para que voc consiga compreender melhor.

Considere a expresso

Maria estudou e Joo foi ao cinema

~p

q

se o fator de expresso Maria estudou for verdadeiro e se o fator de expresso Joo foi ao cinema for verdadeiro, ento a conjuno ser verdadeira;

se o fator de expresso Maria estudou for falso e se o fator de expresso Joo foi ao cinema for falso, ento a conjuno ser falsa;

se o fator de expresso Maria estudou for verdadeiro e se o fator de expresso Joo foi ao cinema for falso, ento a conjuno ser falsa;

se o fator de expresso Maria estudou for falso e se o fator de expresso Joo foi ao cinema for verdadeiro, ento a conjuno ser falsa.

Veja agora a tabela-verdade da conjuno:

Verdade da conjuno

p q p ^ qV V V

V F F

F V F

F F F

Praticando

Considere a conjuno A vida maravilhosa e a felicidade real.

a) Admitindo que a vida no maravilhosa, a conjuno verdadeira ou falsa? Por qu?

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3) Disjuno (smbolo v) a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou.

A disjuno de duas proposies p e q uma proposio representada por p v q, cujo valor lgico verdadeiro (V) quando ao menos uma das proposies p ou q for verdadeira e falso (F) quando as proposies p e q forem ambas falsas.

Veja a tabela-verdade da disjuno:

Verdade da disjuno

p q p qV V V

V F V

F V V

F F F

Existe um tipo especial de disjuno chamada disjuno exclusiva. A disjuno exclusiva de duas proposies p e q uma nova proposio que resulta da ligao de p e q por meio do smbolo v. O valor lgico da nova proposio verdadeiro se p e q tm valores lgicos distintos e falso quando p e q forem verdadeiras ou falsas.

Veja a tabela-verdade correspondente:

Disjuno exclusiva

p q p qV V F

V F V

F V V

F F F

Considere o exemplo:

p compro livros

q compro apostilas

Ope

ra

es l

gica

s e

tabe

las-

verd

ade

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Utilizando a disjuno exclusiva teremos:

p v q - ou compro livros ou compro apostilas

(Mas no ambas as coisas)

4) Condicional (smbolo ) denomina-se condicional a proposio composta formada por duas proposies equivalentes.

O conectivo da condicional significa se p, ento q. Esse conectivo d a ideia de condio para que a outra proposio exista:

p ser condio suficiente para q

q ser condio necessria para p

Essa uma proposio composta que s admite valor lgico falso no caso em que a proposio p verdadeira e a proposio q falsa, sendo verdade nos demais casos.

Veja a tabela-verdade da condicional:

Verdade da condicional

p q p qV V V

V F F

F V V

F F V

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5) Bicondicional (smbolo ) a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se.

Esse conectivo funciona como um n, amarrando os fatores de expresso. Assim, se o que estiver antes do se e somente se for verdadeiro, o que vem depois ser verda-deiro; se o que vier antes do se e somente se for falso, o que vem depois ser falso.

Vamos tabela-verdade da bicondicional:

Verdade da bicondicional

p q p qV V V

V F F

F V F

F F V

A compreenso das operaes lgicas at aqui apresentadas so fundamentais para que voc esteja apto(a) a resolver muitas das questes de raciocnio lgico que compem os concursos.

Voc pde ver como se desenvolvem as operaes lgicas. Agora, propomos que acompanhe o raciocnio que segue utilizando questes com as estruturas lgicas ante-riormente apresentadas. Vamos trabalhar com a construo mais simples.

Saiba que

Para que possamos resolver questes de lgica proposicional preciso ter em mente que a lgica argumentativa, nesse sentido est sempre ligada forma-o de argumentos. Um argumento constitudo de premissas e concluso. Uma premissa uma proposio pressupostamente verdadeira. uma frase que se acre-dita ser verdadeira, mesmo que no seja. s depois de resolvida chegaremos ver-dade ou falsidade do argumento.

Saiba que:

Para a resoluo de questes com proposies, os resultados das proposi-es sempre tm que ser verdadeiros.

Ope

ra

es l

gica

s e

tabe

las-

verd

ade

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Praticando

Surfo ou estudo; durmo ou no surfo; viajo ou no estudo. Ora, no velejo. Ca-minhos para resoluo O que se espera do candidato nesta questo que chegue a algumas concluses. Esse tipo de questo apresenta uma proposio simples.

no velejo

Cada vez que voc estiver diante de uma questo com essa caracterstica, ou seja, uma questo que apresenta em seu enunciado uma proposio simples, voc j sabe onde se localiza o ponto de partida da resoluo da questo: a proposio simples. Essa proposio simples sempre ser verdadeira. A partir dela ser desenvolvido todo o raciocnio. Assim, seguindo a numerao em ordem crescente veja a resoluo da questo.

1NO VIAJO

V

o ponto de partida, a preposio simples ser verdadeira.

2SURFO

V OU

ESTUDO

F

como j sabemos que no estudo verda-deira, estudo ser falso.Mais uma vez, para que seja verdadeira a disjun-o, um dos fatores tem que ser verdadeiro. Nes-se caso, surfo ser ver-dadeiro.

3DURMO

F OU

NO SURFO

V

j sabemos que pela proposio 3,surfo FALSO, logo no surfo ser falso. Como em 2 e 3 a disjuno exige que pelo menos um dos fa-tores de expresso seja verdadeiro, logo, durmo ser verdadeiro.

4VIAJO

F OU

NO ESTUDO

V

j sabemos que no viajo verdadeiro, logo viajo ser falso. Voc j sabe que para que uma disjuno seja verdadei-ra, um dos fatores de ex-presso tem que ser ver-dadeiro. Se j temos um falso, o outro fator ser verdadeiro.

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Assim, a resposta da questo deve apontar para uma estrutura que afirme viajo, durmo e surfo. Viu como fica fcil se tivermos o conhecimento das operaes lgicas?

Aplicando a teoria na prtica

Como dissemos no incio do captulo, um dos nossos objetivos prepar-lo para questes com operaes lgicas presentes em vrios concursos pblicos. Assim, apro-veitamos esse espao para que voc possa saber como so construdas as questes com operaes lgicas. Vamos trabalhar com uma questo elaborada pela Fundao Carlos Chagas para o concurso do TRT 22 Regio - 2010. Veja a seguir a questo:

Considere o argumento composto pelas seguintes premissas:

Se a inflao no controlada, ento no h projetos de desenvolvimento.

Se a inflao controlada, ento o povo vive melhor.

O povo no vive melhor.

Considerando que todas as trs premissas so verdadeiras, ento uma concluso que tornaria o argumento vlido :

A inflao controlada. a)

No h projetos de desenvolvimento. b)

A inflao controlada ou h projetos de desenvolvimento. c)

O povo vive melhor e a inflao no controlada. d)

Se a inflao no controlada e no h projetos de desenvolvimento, ento e) o povo vive melhor.

Vamos agora aos caminhos da resposta.

O argumento apresentado formado pelas seguintes premissas:

P = Se a inflao no controlada, ento no h projetos de desenvolvimento. (V)

P = Se a inflao controlada, ento o povo vive melhor. (V)

P = O povo no vive melhor. (V)

Concluso - vlida

Ope

ra

es l

gica

s e

tabe

las-

verd

ade

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Dessas premissas voc deve tirar uma concluso. No enunciado da questo fica afirmado que as premissas so verdadeiras e a concluso tambm verdadeira.

Com a concluso verdadeira, teremos uma situao em que a argumentao proposta ser uma argumentao vlida. Essa justamente a questo do exerccio, ele quer que o argumento seja vlido.

Como vamos encaminhar a soluo?

Temos no argumento uma proposio simples. Vimos anteriormente que ela o ponto de partida para a resoluo do problema. Vamos resoluo enumerando os passos em ordem crescente.

P = Se a inflao no controlada, ento no h projetos de desenvolvimento.

V

(antecedente V, uma vez que em P vimos que se a inflao controlada F)

F

(para que o argumento seja verdadeiro o consequente ter que ser V, nunca F)

P = Se a inflao controlada, ento o povo vive melhor.

F

(para que a condicional seja verdadeira,sendo o consequente F, o antecedente tem que ser F)

P = O povo no vive melhor.

Assim, chegamos anlise final descobrindo que no h projetos de desenvolvimento. Voltando ao incio da questo, voc fica sabendo que a alternativa que responde questo a b, ou seja, No h projetos de desenvolvimento.

F (uma vez que P V)

V

4

3

5

2

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Para saber mais

ROCHA, Enrique. Raciocnio Lgico - Voc consegue aprender. Campus, 2008. (Srie Provas e Concursos).

Com um contedo apresentado de forma clara, com uma linguagem descompli-cada sem, no entanto, pecar pelo exagero, esse livro traz questes tericas e exerccios propostos e resolvidos contemplando os principais tipos de problemas em raciocnio lgico (tabelas-verdade, argumentao, culpado-inocente, sequenciais, entre outros).

MARIANO, Fabrcio. Raciocnio Lgico para Concursos. Campus, 2009. (Srie Provas e Concursos).

O livro aborda os mais variados tipos de problemas envolvendo a lgica. Apre-senta contedos j indicados nos Ensinos Fundamental e Mdio que atualmente so cobrados nos novos editais de concursos pblicos. Ao final do livro voc encontrar uma srie de exerccios e provas atuais dos mais variados examinadores.

Relembrando

Entre os vrios pontos trabalhados neste captulo, veja de forma sinttica os pontos importantes.

1) Sntese das tabelas-verdade das operaes lgicas:

Tabelas-verdade das operaes lgicas

P q ~p p q p q p q p q) p qV V F V V F V V

V F F F V V F F

F V V F V V V F

F F V F F F V V

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2) Tabela-resumo para que uma proposio seja verdadeira:

Proposies verdadeiras

Proposio Condio para que seja verdadeira

p ^ q A nica possibilidade de uma frase com o conectivo e (^) ser verda-deira se as duas proposies forem verdadeiras.

p q A condio para que uma frase com o conectivo ou (v) seja verdadeira que as duas proposies no sejam falsas simultaneamente.

p qEm uma frase com o conectivo se... ento (condicional), a nica forma de a frase ser falsa quando a primeira proposio verdadeira e a segunda falsa. Em qualquer outra condio a frase verdadeira.

p qPara que a frase seja verdadeira em uma bicondicional, o conecti-vo se e somente se() exige que as duas proposies ou sejam verdadeiras ou falsas.

p q Da mesma forma que na bicondicional, a disjuno exclusiva s ser verdadeira se as duas proposies forem ou verdadeiras ou falsas.

3) Tabela final das negaes:

Negaes

Proposio Condio Para Que Seja VerdadeiraConjuno ~(p q) = ~p ~q.

Disjuno ~(p q) = ~p ~q

Condicional ~( p q) = p ~q

Bicondicional ~( p q) = p q = (p ~q) v (q ~q)

Disjuno exclusiva (p q) = p q

Testando seus conhecimentos

Agora que voc se apropriou do contedo deste captulo, teste seus conhecimentos sobre a temtica. Vamos s questes.

O enunciado a seguir rene trs estruturas lgicas: a disjuno, a condicional e 1. a bicondicional. Vamos resolv-lo?

Andr inocente ou Beto inocente. Se Beto inocente, ento Caio culpado. Caio inocente se e somente se Denis culpado. Ora, Denis culpado.

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Considere a proposio: Paula estuda, mas no passa no concurso. Nessa 2. proposio o conectivo lgico :

a) Disjuno.

b) Conjuno.

c) Disjuno Exclusiva.

d) Condicional.

e) Bicondicional.

Construa a tabela-verdade: 3.

(p s) v (q s)

Referncias

CARNAVAL, N. Lgica Sentencial. Disponvel em: . Acesso em: 10 jun. 2011.

FURTADO, E. M. Raciocnio Lgico para Concursos. Curitiba: IESDE Brasil Ltda., 2010.

GASPAR, M. Introduo Lgica Matemtica. Disponvel em: . Acesso em: 15 jun. 2011.

MURCHO, D. Lgica. Disponvel em: . Acesso em: 15 jun. 2011.

NAVEGA, S. Pensamento Crtico e Argumentao Slida. So Paulo: Publicaes In-telliwise, 2005.

VELASCO, P. D. N. Educando para a Argumentao: contribuies do ensino da lgica. Coleo Ensino de Filosofia 3. Belo Horizonte: Autntica, 2010.

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