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Aula 19 – Convecção Forçada: Escoamento InternoEscoamento Interno
UFJF/Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica
Prof. Dr. Washington Orlando Irrazabal Bohorquez
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Escoamento Interno
Camada limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular
Características de escoamentos internos:
• Escoamento confinado por superfícies;
• A camada limite se desenvolve com restrição;• A camada limite se desenvolve com restrição;
• Existem regiões distintas: de entrada do escoamento (camadalimite em desenvolvimento) e desenvolvida (camada limitedesenvolvida);
• Efeito viscoso é sentido ao longo de todo o escoamento;
• Escoamento desenvolvido: u=u(r).
Condições de Escoamento
Laminar
Escoamento Interno
Escoamento Externo
Turbulento
Laminar
Região de entrada
Região plenamente desenvolvida
Escoamento Interno
Turbulento
desenvolvida
Região de entrada
Região plenamente desenvolvida
Condições de escoamento: Tubo circular
• Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:
Escoamento Interno
• Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:
Onde:- um é a velocidade média do fluido na seção transversal;- D é o diâmetro do tubo.- D é o diâmetro do tubo.
• Número de Reynolds crítico:
• Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar
Condições de escoamento: Tubo circular
Escoamento Interno
•(Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada).
• Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento(Re > 2300).(Re > 2300).
• Para escoamento turbulento será admitido (x/D) >10.
A Velocidade Média
• Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.
Condições de escoamento: Tubo circular
Escoamento Interno
• Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.
• Escoamento interno → Velocidade média.
m trm u A
mm
u
Isolando um resulta:
mtr
uA
Número de Reynolds então fica:
m2
tr
u D D m D m 4mRe
A DD
4
4mRe
D
Representando a vazão mássica pela integral de .u na
A Velocidade Média
Condições de escoamento: Tubo circular
Escoamento Interno
Representando a vazão mássica pela integral de .u naseção transversal, tem-se:
Como entãom trm u A
Escoamento Interno
Considerações Térmicas
• Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menor
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• Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menordo que a temperatura da superfície do tubo ocorre a transferênciade calor por convecção e uma camada limite térmica começa a sedesenvolver.
• Se tivermos uma condição imposta de temperatura na superfície oufluxo de calor constante na parede do tubo termina-se em umacondição térmica completamente desenvolvida.
• Comprimento de entradatérmica para escoamento Analisando:
Escoamento Interno
Considerações Térmicas
térmica para escoamentolaminar.
• Em comparação ao
cd ,tD
lam
0 ,05 Re PrD
Analisando:Se Pr > 1, a camada limite fluidodinâmica se desenvolve mais rapidamente que a camada limite térmica (xcd,v < xcd,t), enquanto o inverso é verdadeiro para Pr < 1.
Para Pr ≥ 100 (extremamente elevados, como óleos) xcd,v é muito menor que o
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• Em comparação aocomprimento de entradafluidodinâmica.
cd ,v
D
lam
0 ,05 ReD
como óleos) xcd,v é muito menor que o comprimento de entrada térmico, sendo razoável admitir um perfil de velocidades plenamente desenvolvido ao longo de toda a região de entrada térmica.
Considerações Térmicas
Escoamento Interno
● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento
cd ,t
tur
10D
São praticamente independente do Pr
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turD
Considerações Térmicas
A Temperatura Média
Escoamento Interno
Escoamento Externo Escoamento Interno
Velocidade na corrente livre Velocidade Média
Temperatura na corrente livre Temperatura Média
q mc T T
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● As temperaturas nas seções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno
● É necessária a definição de uma temperatura média
p sai entq m c T T
Considerações Térmicas
A Temperatura Média
mc T uc TdA
Escoamento Interno
tr
p m p tr
A
m c T uc TdA
tr
p tr
A
m
p
uc TdA
Tmc
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Para escoamento em tubo circular com e cp constantes e :
p
or
m 2m 0 0
2T uT r dr
u r
m trm u A
Considerações Térmicas
Lei do Resfriamento de Newton
Escoamento Interno
s s mq h(T T )
Onde h é o coeficiente de transferência de calor local
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Tm e T∞ (para esc. externo) são essencialmente diferentes
- T∞ é constante ao longo do escoamento (ao longo de x)
- Tm varia ao longo do escoamento (ao longo de x)
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
Escoamento Interno
As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato
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As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato atingidas?
Se houver transferência de calor, dTm/dx nunca será igual a zero. Então,Tm sempre variará e seu valor aumentará com x se a transferência decalor for da superfície para o fluido (Ts > Tm), e Tm diminuirá com x se atransferência de calor for do fluido para a superfície (Ts < Tm).
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
O valor de Tm ou perfil de T(r) sempre estará mudando com x e a condição deplenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliada
Escoamento Interno
plenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliadacom o uso da temperatura adimensional definida por:
Embora o perfil de temperaturas T(r) continue variando com x, a forma relativadesse perfil permanece inalterado e, portanto, podemos afirmar que oescoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para tal
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escoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para talcondição é estabelecida por
Válida para - Temperatura Superficial Uniforme e - Fluxo Térmico Uniforme na superfície
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x,
Escoamento Interno
Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja:
s
s m s m r rcd ,t o
T T 1 Tf ( x )
r T T T T r
Da Lei de Fourier
sT T
q k k
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Da Lei de Fourier
Da Lei do Resfriamento de Newton
sy 0 r ro
q k ky r
s s mq h T T
Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
Escoamento Interno
h
f ( x )k
● Conclui se que o coeficiente de convecção localé uma constante, independente de x, no
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é uma constante, independente de x, noescoamento termicamente plenamentedesenvolvido de um fluido com propriedadesconstantes.
● Na entrada, h varia com x
Considerações Térmicas
Condições Plenamente Desenvolvidas
a) A derivada da temperatura
Escoamento Interno
a) A derivada da temperaturaadimensional em relação à x não énula para a região de entrada.
b) Como a espessura da camada limitetérmica é zero na entrada do tubo ocoeficiente de convecção éextremamente elevado em x=0.
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Variação de h em um tubo.
a) Entretanto, h decai rapidamente àmedida que a camada limite térmica sedesenvolve até que o valor constante,associado às condições plenamentedesenvolvidas, seja atingido.
O Balanço de Energia
Objetivo: Avaliar como Tm varia ao longo da tubulação,Avaliar como qconv é relacionada com as diferenças de temperaturas na entrada e saída do tubo.
Escoamento Interno
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ent,msai,mpconv TTcmq
conv p m m mdq m c T dT T conv p mdq mc dT
O Balanço de Energia
Escoamento Interno
conv p mdq mc dT
mspp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT
representando s p mq P dx mc dT
Rearranjando e substituindo
O Balanço de Energia
Escoamento Interno
mspp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT
A solução da equação depende da condição térmica dasuperfície. Serão consideradas dois casos:
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superfície. Serão consideradas dois casos:
- Fluxo térmico constante na superfície;
- Temperatura superficial constante.
O Balanço de Energia
Fluxo Térmico Constante na Superfície
Escoamento Interno
T xxdT q P q P
A taxa de transferência de calor é dada por: L.Pqq sconv
mspp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT
E integrando a Equação desde x=0:
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xm s s
mp pT 0m,ent
dT q P q PdT dx
dx mc mc
s
m m,ent sp
q PT ( x ) T x q cons tan te
m c
O Balanço de Energia
Fluxo Térmico Constante na Superfície
q P
Escoamento Interno
s
m m,ent sp
q PT ( x ) T x q cons tan te
m c
Podemos concluir que:- A temperatura média varia
linearmente com x ao longo do tubo;
- Na entrada Ts-Tm cresce com x,
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- Na entrada Ts-Tm cresce com x, porque h=h(x) cai com x (qs" = h (Ts-Tm)=cte);
- Na região desenvolvida, h=cte e Ts-Tm
também.
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Fazendo (Ts-Tm)= T na equação
Escoamento Interno
Th
cm
P
dx
Td
dx
dT
p
m
Fazendo (Ts-Tm)= T na equação
mspp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT
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cmdxdx p
Separando variáveis e integrando
L
0p
T
T
dxhcm
P
T
Tdsai
ent
Resolvendo a integração, resulta:
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
Resolvendo a integração, resulta:
L
0pent
sai dxhL
1
cm
PL
T
Tln
Lembrando que é, por definição oL
0
1hdx
L
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0L
coeficiente de convecção médio ,ou tem-se:Lh
tetanconsThcm
PL
T
Tln sL
pent
sai
h
saiT PLln h
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
Reordenando resulta: saiL
ent p
T PLln h
T mc
tetanconsThcm
PLexp
TT
TT
T
Ts
pent,ms
sai,ms
ent
sai
Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x
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Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição xno interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral:
tetanconsThcm
Pxexp
TT
)x(TTs
pent,ms
ms
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
teconsThcm
Px
TT
xTTs
pentms
ms tanexp)(
,
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(Ts-Tm) Decai exponencialmente com x
● Taxa de transferência de calor
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
saientpsai,msent,mspconv TTcmTTTTcmq
● Taxa de transferência de calor
Da equação
Somando e subtraindo Ts
entmsaimpconv TTcmq ,,
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Substituindo tirado da Equação
p Lsai
ent
PLmc h
Tln
T
pmc
L
pent
sai hcm
PL
T
T
ln
● Taxa de transferência de calor
O Balanço de Energia
Temperatura Constante na Superfície
Escoamento Interno
tetanconsTTAhq mlsconv
● Taxa de transferência de calor
Onde
sA
T
- É a área da superfície do tubo L.PAs
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mlT
ent
sai
entsaiml
T
Tln
TTT
- É a diferença média logarítmica de temperaturadada por:
O Balanço de Energia
Temperatura do fluido externo ao tubo
● Taxa de transferência de calor
Escoamento Interno
● Taxa de transferência de calor
Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida atemperatura do fluido externo ao tubo, tem-se:
p
s
ent,m
sai,m
ent
sai
cm
AUexp
TT
TT
T
T
mls TAUq
pent,ment cmTTT
e
Onde é o coeficiente global de transferência de calorU
O Balanço de Energia
Temperatura do fluido externo ao tubo
● Taxa de transferência de calor
Escoamento Interno
● Taxa de transferência de calor
As equações podem ser escritas como:
m,saisai
ent m ,ent p tot
T TT 1exp
T T T mc R
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e
Onde
tot
ml
R
Tq
tots
1R
UA
Escoamento Laminar em Tubos Circulares
Análise Térmica e Correlações de Convecção
● Região plenamente desenvolvida
Escoamento Interno
● Região plenamente desenvolvida
Para fluxo de calor constante
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Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes- k é avaliado em Tm
Para temperatura na superfície constante
Exercício 19.1Vapor condensando na superfície externa de um tubo deparedes finas de 50 mm de diâmetro de 6 m de comprimentomantém constante a temperatura do tubo em 100 ᵒC. Águaescoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturasescoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturasmédias na entrada e na saída o tubo são Tm,ent = 15 oC e Tm,sai
= 57 oC, respectivamente. Qual é o coeficiente médio de trocade calor por convecção neste caso? (Para Tmédia = 36 oC cp
= 4178 J/(kg∙K)).
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Premissas:a) Desprezível a resistência por condução nas
paredes do tubo;b) Líquido incompressível e dissipação viscosa
desprezível;desprezível;c) Propriedades constantes;
Do balanço de energia e a taxa de transferência decalor:
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Da temperatura logarítmica média: