AS HABL ZARATUSTRACuando contaba con treinta aos, Zaratustra, legendario filsofo persa, cuyo nombre en espaol es Zoroastro, decide retirarse a la soledad de la montaa, acompaado solamente por sus dos animales herldicos: el guila, que simboliza el orgullo, y la serpiente, la sabidura. Durante su voluntario retiro, adquiere conocimiento y un da considera que ha llegado el momento de bajar a predicar a los hombres.Al llegar a la ciudad, encuentra al pueblo reunido en el mercado y comete la gran tontera de hablar a todos, que es como no hablar. Su fracaso es total y el pueblo se burla de l. Desde entonces, por lo tanto, Zaratustra buscar discpulos a quienes dirigir sus discursos, que en esencia son desafos a los antiguos ideales y creencias.El tema central de la primera parte es la muerte de Dios, ser cuyo peso dice, ya no debe abrumar al hombre a fin de ser libre para conquistar, no el otro mundo, sino este mundo suyo. Luego de explicar de qu manera debe realizarse la evolucin del espritu humano (las tres transformaciones), siguen disertaciones donde ataca las virtudes que actan como adormideras de esa evolucin: "la tranquila somnolencia de la moral", la aridez libresca de una cultura sedentaria, el ascetismo, etc.; en cambio, exalta la guerra, la amistad, la vida, conceptos con sentido en s mismos y, en fin, la generosidad de la sana virtud dada.Al terminar la primera serie de sus discursos, Zaratustra se despide de sus discpulos y vuelve nuevamente a la soledad de las montaas. Sus ltimas palabras son: "Muertos estn todos los dioses; ahora queremos que viva el superhombre."Despus de meses y aos, Zaratustra vuelve a predicar. El tema bsico de la segunda parte es la voluntad de poder, por ello, al principio ataca a quienes se oponen a esa voluntad: los compasivos, los sacerdotes, los virtuosos, los sabios famosos, los poetas. Todos ellos -dice,sienten aversin por la vida; estn dominados por el espritu de la venganza. Y luego de algunos captulos de tono lrico, aparece un esbozo del hombre liberado de ese espritu vengativo. El captulo final de esta parte hace emerger, como un monstruo, el pensamiento del eterno retorno, a desarrollar en su siguiente prdica. Por la noche, de nuevo se retira solitario.El tema de la tercera parte es, como se ha adelantado, el pensamiento del eterno retorno. Zaratustra se embarca y, durante la travesa, narra a los marineros su sueo ms reciente "de la visin y del enigma", que produce un terror especial por el misterio y por su significado inefable, inexpresable. Mezclado con frecuentes intermedios lricos de gran valor potico, este pensamiento del eterno retorno aflora una y otra vez en esta parte. Zaratustra celebra ahora la inconsciencia de la felicidad, canta las potencias naturales y la victoria sobre la melancola, pide a los hombres despojarse de su "gravedad" y, finalmente, dicta sus nuevas tablas de valores, que derriban los antiguos conceptos sobre el bien y el mal e invoca a la eternidad en nombre de la alegra.Muchos aos y muchas lunas han pasado sobre el alma de Zaratustra cuando comienza la cuarta parte. De nuevo est en la soledad de su caverna; sus cabellos se han vuelto blancos. De pronto llega a l un grito de angustia: procede de criaturas, smbolos de antiguos valores ya caducos: un adivino, los reyes, un concienzudo del espritu, un mago, un papa errabundo, el ms feo de los hombres, un mendigo voluntario, el viajero y la sombra. Zaratustra saluda a stos, los hombres superiores, y celebra con ellos La cena y La fiesta del asno. Sin embargo, pronto se sienten presos de una duda angustiosa. Zaratustra no experimenta compasin por ellos y los expulsa. No es a ellos a quienes aguarda en sus montaas; entona entonces un canto de embriaguez, de afirmacin y de fe en el eterno retorno, donde invoca "la profunda eternidad". Y luego, en la radiante maana, superada su ltima tentacin, Zaratustra abandona su caverna y parte con destino desconocido, "ardiente y fuerte como un sol matinal que viene de oscuras montaas".Vocabulario: Eremitas: Persona solitaria que rechaza la compaa de los dems. Sutiles: Fino, delicado. Zancadilla: Engao con el que se pretende perjudicar a alguien. hosquedad: Carcter poco acogedor y desagradable de un lugar, de un ambiente o del tiempo atmosfrico.

GORARelatos de MatematicaEscena didctica (minuto 96)

Destaca la escena en la que, dibujando sobre la arena, comenta el concepto y las caractersticas de una elipse.Mientras Hypata comenta con Aspasio diferentes teoras, segn mira el cono de Apolonio, intuye la posibilidad de rbitas elpticas y pasan de nuevo a la arena para explicar, de una forma muy didctica, las caractersticas de una elipse.Hypata a Aspasio: Ata este extremo a esa antorcha, imagina que esta es la Tierra y que cada una de estas llamas representa las dos posiciones del sol respecto a ella: la del invierno y la del verano. qu pasara si ambas posiciones fueran los dos centros de un mismo circulo?Aspasio a Hypata: Pero eso no es posible, amaHypata a Aspasio: Qu sabemos del crculo? Sabemos que su centro equidista de cualquier punto de su permetro. S, pero y si divido ese centro en dos y lo que mantengo constante es la suma de sus distancias al permetro? Te lo demostrar. Mientras muevo esta vara por la cuerda, un segmento aumenta y el otro disminuye. Y viceversa. Por tanto, la suma de ambos ser constante. Lo ves? Y si aplicamos esto al movimiento de la tierra Qu figura obtenemos? Una elipse! Una elipse con el sol en uno de sus focos. Porque, qu es el crculo sino una elipse muy especial cuyos focos estn tan prximos que parecen uno solo?Escena didcticaHypatia realiza clculos con su padre Ten ( 16 partiendo de 227? Son 14). En efecto 227/16 son 14 y resto 3. Sobre la mesa se vislumbra un crculo dividido en partes. Probablemente estn trabajando en lasTablas Manualesde Ptolomeo. A nuestros das han llegado no slo a travs del original sino tambin gracias a los dosComentariosde Ten a dichas tablas, el primero sobre cmo se han calculado a partir delAlmagestoy el segundo sobre cmo utilizar dichas tablas. En ellas se hacen clculos aritmticos con las operaciones bsicas, fracciones sexagesimales y hasta el clculo de races cuadradas. El manuscrito ms antiguo que se conserva data del siglo IX y es copia directa de una versin anterior utilizada en Siria en el siglo V.Escena didctica (minuto 11)

El sistema ptolemaico vuelve a aparecer en el modelo que el esclavo Davo ha construido y que provoca la admiracin de su maestra que lo expone al da siguiente a sus discpulos en la siguiente leccin.Aparecen representadas las cinco errantes conocidas (Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno). La Tierra no era incluida porque pensaban que no giraba, que estaba fija como el resto de estrellas. Sin embargo su movimiento y sobre todo las estaciones resultaban incompatibles con ese modelo. La explicacin ms aproximada podra ser que su movimiento fuera debido a la suma de dos crculos. Orestes, otro de los alumnos-discpulo de Hipatia, califica la explicacin de caprichosa y sumamente complicada. Buscar una explicacin ms sencilla es el eje vertebrador de la parte cientfica de la pelcula, el desvelo que realmente le obsesiona a Hypatia.Escena didcticaEn lapequea biblioteca de Alejandraaparece uncono de Apolonioen madera, detalle de las secciones cnicas, que utiliza para mostrar las Cnicas, preguntndose, por qu convive el crculo con curvas tan impuras?

APORTE1.4.7 Apolonio de Perga: Las Secciones Cnicas y su aplicacin en los epiciclos y deferentes Las ideas de que Mercurio y Venus giraban alrededor del Sol en una trayectoria circular y no alrededor de la Tierra y que el Sol a su vez giraba en trayectoria circular alrededor de la Tierra fueron, segn Dorce (2006), retomadas por Apolonio de Perga (262-190 a.C) para aplicarlas en el movimiento de Marte, Jpiter y Saturno. Segn Claudio Ptolomeo en El Almagesto, Apolonio es el ms insigne de los matemticos que han estudiado ste problema. Dorce (2006) relata que Apolonio hizo un gran aporte con el modelo planetario de los epiciclos y deferentes basado en el estudio de la geometra, el cual aparece en su ms famosa obra: Los ocho libros sobre Las Secciones Cnicas, mostrando la posibilidad de explicar los movimientos de los cuerpos celestes por medio de la geometra, aspecto que no slo le dio reconocimiento como gemetra sino tambin como astrnomo. Se le atribuye el clculo de la distancia entre el disco de la Luna y la superficie terrestre en unas 125 veces el radio terrestre. Igualmente se le atribuye a Apolonio la invencin del crculo ecuante, posteriormente usado por Ptolomeo, para explicar los cambios de velocidad relativa de los planetas superiores con respecto a la Tierra, separndola del centro del universo. 1.4.8 Hiparco de Nicea: La primera tabla de cuerdas y el nacimiento de la trigonometra Segn Boyer (1999), el estudio de la trigonometra se inici con Hiparco de Nicea (190-120 a.C.), considerado por la gran mayora de autores como el ms grande astrnomo de la antigedad. Se sabe muy poco de su vida y se tienen muy pocos detalles sobre sus escritos. La mayor parte de la informacin de su trabajo en trigonometra y astronoma28 aparece referenciada en El Almagesto de Claudio Ptolomeo y en los comentarios sobre el Almagesto hechos por Ten y Pappus de Alejandra, quienes afirmaron que Hiparco escribi una obra sobre cuerdas en 12 libros que desafortunadamente desaparecieron. Igualmente, Boyer (1999) alude que a Hiparco se le atribuye la invencin de la primera tabla trigonomtrica, o por lo menos, es Hiparco la primera persona de la cual se tiene 27 Radio ecuatorial terrestre: 6378 Km, en http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_la_Tierra 28Al igual que sus antecesores, Hiparco trata la trigonometra y la astronoma indistintamente. La trigonometra se logra independizar de la trigonometra, solo hasta el siglo XVI 21 evidencia documental que hace un uso sistemtico de sta tabla. El nico escrito de Hiparco que se conserva es un comentario que hizo sobre los trabajos de Arato y Eudoxo, compuesto por tres libros que tratan temas astronmicos. Una contribucin muy importante de Hiparco a la astronoma y en consecuencia a la trigonometra, fue la construccin de una tabla de cuerdas, que en trminos trigonomtricos correspondera a una tabla moderna de valores para la funcin seno, razn por la cual se le atribuye la invencin de la trigonometra y se le reconoce como el padre de sta rama de las matemticas. En este sentido y ms all de la construccin de la tabla de cuerdas, Toomer (1974)29 afirma que la gran contribucin de Hiparco fue proporcionar una solucin general a los problemas trigonomtricos, por lo cual transform la astronoma griega de ciencia terica en ciencia predictiva y prctica. Segn Toomer (1974)30, la explicacin del porqu de stas afirmaciones se puede encontrar en la descripcin detallada que hace Claudio Ptolomeo en El Almagesto sobre el mtodo de Hiparco: Para l era necesario hacer un tratamiento sistemtico y cuantitativo de las posiciones de las estrellas y los planetas en la esfera celeste. El mtodo usado para hacer dicho tratamiento era a partir de la medicin de cuerdas y ngulos. As, Hiparco introdujo en los griegos la divisin sistemtica del crculo en 360 grados y la divisin del dimetro del crculo en 120 partes, probablemente con la intencin de que el radio midiera 60 unidades. Cada parte tanto del crculo como del dimetro la dividi a su vez en 60 partes, y cada una de stas nuevamente en 60. De esta manera, a cada ngulo del crculo le corresponda la cantidad de unidades en la cuerda subtendida y en el radio respectivo. Este mtodo constituye un gran aporte para el desarrollo de los conceptos de ngulo, cuerda y razn en el sentido trigonomtrico, dado que la cantidad de unidades de longitud de la cuerda que subtiende el ngulo, con relacin a la cantidad de unidades de longitud del radio, entendiendo que la relacin cuerda radio depende nicamente del ngulo, correspondera al concepto de funcin cuerda, que actualmente llamamos funcin seno. Figura 8. AB = Crd , AC = CB = crd Sen /2 = ( Crd ) / r 29 Citado en el texto Hipparhcus of Rhodes por O'Connor, J. J y Robertson, E. F. Abril de 1999 30 Citado en el texto Hipparhcus of Rhodes por O'Connor, J. J y Robertson, E. F. Abril de 1999 22 En la figura 8, es el ngulo comprendido por el arco AB, luego /2 es el semi ngulo31 definido por la mediatriz de la cuerda AB. Para Hiparco la relacin entre la semi cuerda32 y el radio AC/OA es la cantidad de unidades en la semi cuerda cuando el radio, por ser la mitad de un dimetro de 120 unidades, tiene el valor de 60 de unidades, que se puede expresar en trminos trigonomtricos como: Sen (/2) = AC/OA. Como AC = Crd y OA = r, se obtiene la expresin: Sen (/2) = ( Crd ) / r r Sen (/2) = Crd Crd = (r Sen (/2))/ Por lo que la funcin cuerda queda definida como Crd = 2r Sen (/2) Un ejemplo particular33 es si la cuerda del ngulo mide 40 unidades, entonces al reemplazar los valores en la expresin Sen (/2) = AC/OA, se obtiene: Sen (/2) = 20/60. Como 20 unidades = Crd , entonces Sen (/2) = 1/60 Crd , luego: Sen (/2) = (1/120) Crd Sen (/2) = 40/120 = 1/3 Se cree adems que Hiparco construy la tabla de cuerdas con el propsito de dar un mtodo para resolver tringulos al establecer explcitamente las relaciones entre las medidas lineales y angulares en tringulos rectngulos, en tanto que, segn Toomer (1974), construy las relaciones de dependencia entre las semi cuerdas como medidas lineales y los semi ngulos como medidas angulares, con un radio fijo para el crculo. En este sentido, y en trminos modernos, podemos hablar del nacimiento de los conceptos de razn y funcin asociados al seno de un ngulo. La importancia de los conceptos de razn y funcin seno radica en la necesidad de resolver tringulos para realizar clculos en astronoma, para lo cual este tipo de procesos y el uso de la tabla de cuerdas eran muy frecuentes. De hecho, al lograr relacionar los lados y los ngulos de cualquier tringulo plano, era posible analizar las propiedades de un tringulo esfrico34 en la esfera celeste, como mtodo prctico bajo los mismos principios. Es probable que Hiparco haya pensado en la idea de variacin de las cuerdas en funcin de la variacin del ngulo que las subtiende tomando amplitudes de 7 en 7 grados sexagesimales (cuarentaiochoavas partes de la circunferencia), al lograr encontrar una relacin entre dos magnitudes, dando lugar al primer acercamiento al concepto de funcin trigonomtrica. 31 Semi ngulo es el ngulo medio o la mitad de un ngulo en el centro de una circunferencia, definido por la mediatriz de la cuerda (que ste subtiende) que lo biseca. 32 Semi cuerda se define como la mitad de la longitud de una cuerda subtendida por un ngulo en una circunferencia o el segmento definido entre el punto medio (lugar de interseccin entre la cuerda y su mediatriz) y uno de los extremos de la cuerda. 33 Este ejemplo fue extrado y adaptado del archivo ppt. La trigonometra y su relacin con la astronoma. SNCHEZ B., CLARA H. Introduccin a la historia y la filosofa de la matemtica. Universidad Nacional de Colombia. 2009 34 El tringulo esfrico es una porcin de la superficie de una esfera, como la esfera celeste, delimitada por tres arcos o segmentos curvos que se suelen llamar geodsicas, por lo cual la suma de los ngulos de un triangulo esfrico es mayor que 180. 23 Algunos autores consideran que el mayor descubrimiento de Hiparco fue el de la precesin de los Equinoccios por la lentitud en el cambio de direccin del eje de rotacin de la Tierra, pues gracias a esta observacin fue posible para el mismo Hiparco calcular la duracin del ao con un alto grado de precisin, razn por la cual se pueden diferenciar los conceptos de ao sidreo y ao tropical. Boyer (1999), dice que adems de basarse en sus propias observaciones sobre los cambios de las constelaciones y de algunas estrellas en determinados intervalos de tiempo, para hacer estos clculos se bas tambin en conocimientos heredados por los babilonios y que en base a la observacin de eclipses, Hiparco fue capaz de calcular la distancia a la Luna, estimada por l entre 59 y 67 radios terrestres35 y de idear un modelo terico para describir los movimientos de la Luna y del Sol basado en los epiciclos, que posteriormente fue perfeccionado por Claudio Ptolomeo. Adicional a esto, elabor un catalogo que contena informacin sobre ms de 850 estrellas, y aunque aparecen designadas las posiciones de stas, no hay claridad sobre si utiliz un modelo sistemtico de coordenadas para referenciar la ubicacin de cada estrella. Hiparco dio su propia versin de la salida y puesta de las constelaciones y una lista de estrellas brillantes siempre visibles en la noche, con el fin de determinar su posicin con mucha precisin y de asignarles un brillo determinado segn una escala de magnitud aparente formulada por el mismo. sta escala va de la magnitud 1 a la 6, donde 1 es la magnitud para caracterizar a las estrellas ms brillantes y 6 la magnitud para las estrellas menos brillantes. 1.4.7 Apolonio de Perga: Las Secciones Cnicas y su aplicacin en los epiciclos y deferentes Las ideas de que Mercurio y Venus giraban alrededor del Sol en una trayectoria circular y no alrededor de la Tierra y que el Sol a su vez giraba en trayectoria circular alrededor de la Tierra fueron, segn Dorce (2006), retomadas por Apolonio de Perga (262-190 a.C) para aplicarlas en el movimiento de Marte, Jpiter y Saturno. Segn Claudio Ptolomeo en El Almagesto, Apolonio es el ms insigne de los matemticos que han estudiado ste problema. Dorce (2006) relata que Apolonio hizo un gran aporte con el modelo planetario de los epiciclos y deferentes basado en el estudio de la geometra, el cual aparece en su ms famosa obra: Los ocho libros sobre Las Secciones Cnicas, mostrando la posibilidad de explicar los movimientos de los cuerpos celestes por medio de la geometra, aspecto que no slo le dio reconocimiento como gemetra sino tambin como astrnomo. Se le atribuye el clculo de la distancia entre el disco de la Luna y la superficie terrestre en unas 125 veces el radio terrestre. Igualmente se le atribuye a Apolonio la invencin del crculo ecuante, posteriormente usado por Ptolomeo, para explicar los cambios de velocidad relativa de los planetas superiores con respecto a la Tierra, separndola del centro del universo. 1.4.8 Hiparco de Nicea: La primera tabla de cuerdas y el nacimiento de la trigonometra Segn Boyer (1999), el estudio de la trigonometra se inici con Hiparco de Nicea (190-120 a.C.), considerado por la gran mayora de autores como el ms grande astrnomo de la antigedad. Se sabe muy poco de su vida y se tienen muy pocos detalles sobre sus escritos. La mayor parte de la informacin de su trabajo en trigonometra y astronoma28 aparece referenciada en El Almagesto de Claudio Ptolomeo y en los comentarios sobre el Almagesto hechos por Ten y Pappus de Alejandra, quienes afirmaron que Hiparco escribi una obra sobre cuerdas en 12 libros que desafortunadamente desaparecieron. Igualmente, Boyer (1999) alude que a Hiparco se le atribuye la invencin de la primera tabla trigonomtrica, o por lo menos, es Hiparco la primera persona de la cual se tiene 27 Radio ecuatorial terrestre: 6378 Km, en http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_la_Tierra 28Al igual que sus antecesores, Hiparco trata la trigonometra y la astronoma indistintamente. La trigonometra se logra independizar de la trigonometra, solo hasta el siglo XVI 21 evidencia documental que hace un uso sistemtico de sta tabla. El nico escrito de Hiparco que se conserva es un comentario que hizo sobre los trabajos de Arato y Eudoxo, compuesto por tres libros que tratan temas astronmicos. Una contribucin muy importante de Hiparco a la astronoma y en consecuencia a la trigonometra, fue la construccin de una tabla de cuerdas, que en trminos trigonomtricos correspondera a una tabla moderna de valores para la funcin seno, razn por la cual se le atribuye la invencin de la trigonometra y se le reconoce como el padre de sta rama de las matemticas. En este sentido y ms all de la construccin de la tabla de cuerdas, Toomer (1974)29 afirma que la gran contribucin de Hiparco fue proporcionar una solucin general a los problemas trigonomtricos, por lo cual transform la astronoma griega de ciencia terica en ciencia predictiva y prctica. Segn Toomer (1974)30, la explicacin del porqu de stas afirmaciones se puede encontrar en la descripcin detallada que hace Claudio Ptolomeo en El Almagesto sobre el mtodo de Hiparco: Para l era necesario hacer un tratamiento sistemtico y cuantitativo de las posiciones de las estrellas y los planetas en la esfera celeste. El mtodo usado para hacer dicho tratamiento era a partir de la medicin de cuerdas y ngulos. As, Hiparco introdujo en los griegos la divisin sistemtica del crculo en 360 grados y la divisin del dimetro del crculo en 120 partes, probablemente con la intencin de que el radio midiera 60 unidades. Cada parte tanto del crculo como del dimetro la dividi a su vez en 60 partes, y cada una de stas nuevamente en 60. De esta manera, a cada ngulo del crculo le corresponda la cantidad de unidades en la cuerda subtendida y en el radio respectivo. Este mtodo constituye un gran aporte para el desarrollo de los conceptos de ngulo, cuerda y razn en el sentido trigonomtrico, dado que la cantidad de unidades de longitud de la cuerda que subtiende el ngulo, con relacin a la cantidad de unidades de longitud del radio, entendiendo que la relacin cuerda radio depende nicamente del ngulo, correspondera al concepto de funcin cuerda, que actualmente llamamos funcin seno. Figura 8. AB = Crd , AC = CB = crd Sen /2 = ( Crd ) / r 29 Citado en el texto Hipparhcus of Rhodes por O'Connor, J. J y Robertson, E. F. Abril de 1999 30 Citado en el texto Hipparhcus of Rhodes por O'Connor, J. J y Robertson, E. F. Abril de 1999 22 En la figura 8, es el ngulo comprendido por el arco AB, luego /2 es el semi ngulo31 definido por la mediatriz de la cuerda AB. Para Hiparco la relacin entre la semi cuerda32 y el radio AC/OA es la cantidad de unidades en la semi cuerda cuando el radio, por ser la mitad de un dimetro de 120 unidades, tiene el valor de 60 de unidades, que se puede expresar en trminos trigonomtricos como: Sen (/2) = AC/OA. Como AC = Crd y OA = r, se obtiene la expresin: Sen (/2) = ( Crd ) / r r Sen (/2) = Crd Crd = (r Sen (/2))/ Por lo que la funcin cuerda queda definida como Crd = 2r Sen (/2) Un ejemplo particular33 es si la cuerda del ngulo mide 40 unidades, entonces al reemplazar los valores en la expresin Sen (/2) = AC/OA, se obtiene: Sen (/2) = 20/60. Como 20 unidades = Crd , entonces Sen (/2) = 1/60 Crd , luego: Sen (/2) = (1/120) Crd Sen (/2) = 40/120 = 1/3 Se cree adems que Hiparco construy la tabla de cuerdas con el propsito de dar un mtodo para resolver tringulos al establecer explcitamente las relaciones entre las medidas lineales y angulares en tringulos rectngulos, en tanto que, segn Toomer (1974), construy las relaciones de dependencia entre las semi cuerdas como medidas lineales y los semi ngulos como medidas angulares, con un radio fijo para el crculo. En este sentido, y en trminos modernos, podemos hablar del nacimiento de los conceptos de razn y funcin asociados al seno de un ngulo. La importancia de los conceptos de razn y funcin seno radica en la necesidad de resolver tringulos para realizar clculos en astronoma, para lo cual este tipo de procesos y el uso de la tabla de cuerdas eran muy frecuentes. De hecho, al lograr relacionar los lados y los ngulos de cualquier tringulo plano, era posible analizar las propiedades de un tringulo esfrico34 en la esfera celeste, como mtodo prctico bajo los mismos principios. Es probable que Hiparco haya pensado en la idea de variacin de las cuerdas en funcin de la variacin del ngulo que las subtiende tomando amplitudes de 7 en 7 grados sexagesimales (cuarentaiochoavas partes de la circunferencia), al lograr encontrar una relacin entre dos magnitudes, dando lugar al primer acercamiento al concepto de funcin trigonomtrica. 31 Semi ngulo es el ngulo medio o la mitad de un ngulo en el centro de una circunferencia, definido por la mediatriz de la cuerda (que ste subtiende) que lo biseca. 32 Semi cuerda se define como la mitad de la longitud de una cuerda subtendida por un ngulo en una circunferencia o el segmento definido entre el punto medio (lugar de interseccin entre la cuerda y su mediatriz) y uno de los extremos de la cuerda. 33 Este ejemplo fue extrado y adaptado del archivo ppt. La trigonometra y su relacin con la astronoma. SNCHEZ B., CLARA H. Introduccin a la historia y la filosofa de la matemtica. Universidad Nacional de Colombia. 2009 34 El tringulo esfrico es una porcin de la superficie de una esfera, como la esfera celeste, delimitada por tres arcos o segmentos curvos que se suelen llamar geodsicas, por lo cual la suma de los ngulos de un triangulo esfrico es mayor que 180. 23 Algunos autores consideran que el mayor descubrimiento de Hiparco fue el de la precesin de los Equinoccios por la lentitud en el cambio de direccin del eje de rotacin de la Tierra, pues gracias a esta observacin fue posible para el mismo Hiparco calcular la duracin del ao con un alto grado de precisin, razn por la cual se pueden diferenciar los conceptos de ao sidreo y ao tropical. Boyer (1999), dice que adems de basarse en sus propias observaciones sobre los cambios de las constelaciones y de algunas estrellas en determinados intervalos de tiempo, para hacer estos clculos se bas tambin en conocimientos heredados por los babilonios y que en base a la observacin de eclipses, Hiparco fue capaz de calcular la distancia a la Luna, estimada por l entre 59 y 67 radios terrestres35 y de idear un modelo terico para describir los movimientos de la Luna y del Sol basado en los epiciclos, que posteriormente fue perfeccionado por Claudio Ptolomeo. Adicional a esto, elabor un catalogo que contena informacin sobre ms de 850 estrellas, y aunque aparecen designadas las posiciones de stas, no hay claridad sobre si utiliz un modelo sistemtico de coordenadas para referenciar la ubicacin de cada estrella. Hiparco dio su propia versin de la salida y puesta de las constelaciones y una lista de estrellas brillantes siempre visibles en la noche, con el fin de determinar su posicin con mucha precisin y de asignarles un brillo determinado segn una escala de magnitud aparente formulada por el mismo. sta escala va de la magnitud 1 a la 6, donde 1 es la magnitud para caracterizar a las estrellas ms brillantes y 6 la magnitud para las estrellas menos brillantes.