arvore avl wocode

rvores

Monael Pinheiro Ribeiro, M.Sc.

So Bernardo do Campo 12 de novembro de 2011

Centro Universitrio da FEI Departamento de Cincia da Computao


rvores

Definio rvore s. f. 1.Bot. Vegetal lenhoso, de tronco alto, que se

ramifica a maior ou menor altura do solo. 2. Mec., Autom. Pea, geralmente alongada, que serve para transmitir ou receber o movimento nas mquinas. 3. Nut. Colocar mastros: A. uma nau.

rvore s. f. 1. Vegetal de tronco lenhoso cujos ramos s saem a certa altura do solo. 2. Qualquer representao ou esquematizao que, pelas suas ramificaes, lembre essa planta. 3. Pea principal que transmite o movimento de uma mquina. 4. Mastro completo (de navio). 5. Pot. Navio.

rvores

Definio

rvore: no contexto da programao e cincia da computao, uma estrutura de dados que herda as caractersticas das topologias em rvore.

Conceitualmente diferente das listas encadeadas, em que os dados se encontram numa sequncia, nas rvores os dados esto dispostos de forma hierrquica.

A rvore composta por um elemento principal chamado raiz, que possui ligaes para outros elementos, que so denominados de galhos ou filhos. Estes galhos levam a outros elementos que tambm possuem outros galhos. O elemento que no possui galhos conhecido como folha ou n terminal.

Fonte: wikipedia

rvores

Exemplos:

rvores

Uma rvore enraizada T, ou simplesmente rvore, um conjunto finito de elementos denominados ns tais que:

T = a rvore dita vazia. Ou

Existe um n especial r, chamado raiz de T;

os ns restantes constituem um nico conjunto, que pode ser vazio ou no, que so divididos em b (b 1) conjuntos distintos no vazios que so as subrvores de r, cada subrvore a qual , por sua vez, uma rvore.

rvores





rvore Vazia!

rvores





r N raiz da rvore

rvores




os ns restantes constituem um nico conjunto, que pode ser vazio ou no. Esses so divididos em b (b 1) conjuntos distintos no vazios que so as subrvores de r, cada subrvore a qual , por sua vez, uma rvore.

r

b conjuntos vazios!

...

rvores





r

b conjuntos no vazios!

... s1 s2 sb

rvores





r

b conjuntos no vazios! Que por sua vez, so rvores

... s1 s2 sb

rvores

Motivao:

Por que usar rvores?

rvores

Motivao:


Custo

rvores

Motivao:


Custo

uma ED muito eficiente para armazenar informaes

rvores

Motivao:


Custo


particularmente adequada quando existe a necessidade de considerar todos ou alguma combinao de requisitos, tais como:

rvores

Motivao:


Custo


particularmente adequada quando existe a necessidade de considerar todos ou alguma combinao de requisitos, tais como:

Acesso Direto e Seqencial eficientes

Facilidade de Insero e retirada de itens

Otimizao da utilizao da memria

rvores

Motivao:


Custo

Operao Listas rvores

Insero O(n) O(logb n)

Remoo O(n) O(logb n)

Busca O(n) O(logb n)

rvores

Exemplos de representaes:

Parnteses Aninhados

Diagrama de Incluso

( A (B) ( C (D (G) (H)) (E) (F (I)) ) )

rvores

Exemplos de representaes:

Hierrquica

rvores

Definies

Ns filhos, pais, tios, irmos e avs

Seja v o n raiz da subrvore T.

Os ns razes w1, w2, ... wj das subrvores de v so chamados filhos de v.

v chamado pai de w1, w2, ... wj .

Os ns w1, w2, ... wj so irmos.

Se z filho de w1 ento w2 tio de z e v av de z.

v

w1 w2 wj

z

...

rvores

Definies







v

w1 w2 wj

z

Filhos de v ...

rvores

Definies







v

w1 w2 wj

z

Pai de w1, w2, ..., wj

...

rvores

Definies







v

w1 w2 wj

z

Irmos entre si ...

rvores

Definies







v

w1 w2 wj

z w2 tio de z

...

rvores

Definies







v

w1 w2 wj

z

v av de z

...

rvores

Definies

Grau de sada, descendente e ancestral

O nmero de filhos de um n chamado grau de sada desse n.

Se x pertence subrvore de v, ento, x descendente de v e v ancestral de x.

v

w1 w2 wj

z

...

rvores

Definies




v

w1 w2 wj

z

O n v tem grau de sada j

...

rvores

Definies




v

w1 w2 wj

z z descendente de w1.

...

rvores

Definies




v

w1 w2 wj

z z descendente de w1.

...

w1 ancestral de z.

rvores

Definies

N folha e N interior

Um n que no possui descendentes chamado de n folha, ou seja, um n folha aquele com grau de sada nulo.

Um n que no folha (isto , possui grau de sada diferente de zero) chamado n interior ou n interno.

v

w1 w2 wj

z

...

rvores

Definies




v

w1 w2 wj

z

...

w1 possui grau de sada igual a 1. Portanto, um n interior ou interno

rvores

Definies




v

w1 w2 wj

z

...

z possui grau de sada igual a 0. Portanto, um n folha.

rvores

Definies

Grau de uma rvore

O grau de uma rvore o mximo entre os graus de seus ns.

v

w1 w2 wj

z

...

rvores

Definies

Grau de uma rvore

O grau de uma rvore o mximo entre os graus de seus ns.

v

w1 w2 wj

z

...

O n v de grau de sada j, j>2, o n de maior grau na rvore. Portanto, j o grau da rvore.

rvores

Definies

Nvel de um N e Altura de um N

O nvel ou profundidade, de um n o nmero de ns do caminho da raiz at o n. O nvel da raiz, portanto, 0.

A altura de um n v o nmero de ns no maior caminho de v at um de seus descendentes. As folhas tm altura 0.

v

w1 w2 wj

z

...

1

2

O nvel do n z 2.

rvores

Definies

Nvel de um N e Altura de um N

O nvel ou profundidade, de um n o nmero de ns do caminho da raiz at o n. O nvel da raiz, portanto, 0.

A altura de um n v o nmero de ns no maior caminho de v at um de seus descendentes. As folhas tm altura 0.

v

w1 w2 wj

z

...

2

1

A altura do n v 2.

rvores

Definies

Nvel da Raiz e Altura de uma rvore

O nvel da raiz 0.

A altura de uma rvore igual ao mximo nvel de seus ns. Representa-se a altura de rvore T por h(T).

v

w1 w2 wj

z

... 2

1 O maior nvel entres os ns da rvore 2, portanto a altura da rvore 2.

rvores

Definies

rvore Ordenada

Uma rvore ordenada aquela na qual os filhos de cada n esto ordenados. Assume-se ordenao da esquerda para a direita

rvores

Definies

rvore Cheia

Uma rvore de grau d uma rvore cheia se possui o nmero mximo de ns, isto , todos os ns tem nmero mximo de filhos exceto as folhas, e todas as folhas esto na mesma altura.

rvores

Quanto a implementao, as rvores podem ser:

Estticas: Os elementos so armazenados em um vetor.

Dinmicas: Os elementos so alocados dinamicamente conforme necessidade. Cada elemento armazena os dados e um ponteiro para o filho da direita, esquerda e pai.

rvores

Principais Estrutura de Dados do tipo rvore:

rvore Binria

rvore AVL

rvore B

rvore B+

rvore Rubro-Negra

Heaps *

rvores AVL

Monael Pinheiro Ribeiro, M.Sc.


rvore Binria de Busca

A forma de uma rvore Binria de Busca depende da ordem em que seus elementos so inseridos.

Elementos: B D K M P R

rvore Binria de Busca

A forma de uma rvore Binria de Busca depende da ordem em que seus elementos so inseridos.

Elementos: B D K M P R

Qual o custo para efetuar uma

busca nesta rvore ?

rvores

Definies

rvore Zigue Zague

Trata-se de uma rvore Binria de Busca com altura mxima. Onde todos os ns internos possuem exatamente um filho, com exceo da folha.

rvore AVL

Como vimos em nas rvores binrias, a vantagem de usar uma ED de rvore justamente seu desempenho. Mas para garantir o bom desempenho dos algoritmos em rvores, deve-se garantir seu balanceamento

rvore AVL

Como vimos em nas rvores binrias, a vantagem de usar uma ED de rvore justamente seu desempenho. Mas para garantir o bom desempenho dos algoritmos em rvores, deve-se garantir seu balanceamento

As rvores AVL so um tipo de rvore

balanceada que garantem que as operaes

bsicas consumam no pior caso O(log2n).

rvore AVL

rvore Binria de Busca:

rvore AVL

rvore AVL:

rvore AVL

So tambm conhecidas por rvores Balanceadas pela Altura

O nome vem de seus criadores:

Georgy Maximovixh Andelson-Velsky, e

Evgenii Mikhailovich Landis

As rvores AVL possuem a seguinte propriedade:

Dado qualquer n da rvore, a diferena entre a altura do seu ramo esquerdo e a altura do seu ramo direito de no mximo de uma unidade.

08/01/1922 06/10/1921 - 12/12/1997

rvore AVL



rvore AVL



As Arvores AVL so rvores Binrias de Busca

rvore AVL

Em Cincia da Computao uma rvore AVL uma estrutura de dados como a rvore binria de busca que:

Consiste de uma seqencia de registros

Cada registro tem quatro campos:

uma campo para a chave.

um ponteiro para o filho da esquerda (subrvore da esquerda)

um ponteiro para o filho da direita (subrvore da direita)

um ponteiro para o pai. (n pai)

Ponteiro

para raiz

Quantidade

N da rvore

pai

esquerda chave direita

rvore AVL

Exemplo de representao de uma rvore AVL

rvore AVL

Definio

Uma rvore Binria de Busca uma rvore AVL se, e somente se, para cada n (incluindo a raiz) a altura do ramo esquerdo difere em no mximo uma unidade da altura do ramo direito.

A diferena entre essas alturas chamada de fator de balanceamento do n.

Este fator deve, ento, ser -1, 0 ou 1 em todos os ns para que a rvore esteja balanceada.

Se um n uma folha, seu fator de balanceamento 0.

Fator de Balanceamento


uma rvore balanceada ?


uma rvore balanceada ?

Por que?

rvore AVL

A altura h de uma rvore AVL de n chaves de no mximo 1.44 log

2(n + 1)

Esse resultado mostra a importncia e utilidade de uma rvore AVL, pois a busca, insero e remoo tem complexidade de tempo O(log

2n) no pior caso.

Inseres e remoes feitas numa rvore AVL podem modificar a sua estrutura. Deve-se garantir que o balanceamento seja mantido.

Para isso, pode-se ter que mudar a estrutura da rvore em alguns de seus ns. A mudana da estrutura da rvore feita por dois tipos de rotaes em ramos da rvore: left-rotate e right-rotate.

Rotaes

As rotaes so funes executadas quando se insere e remove ns de uma rvore balanceada, como a rvore AVL, com o objetivo de manter o balanceamento.

Rotaes


Rotao para Esquerda:

Rotaes

Rotao para Esquerda

Passos:

Define-se x e y.

Subrvore da esquerda de y passa a ser subrvore da direita de x.

O pai de x passa a ser pai de y.

Se x no possuir pai, ento y ser raiz da rvore.

seno, se x for filho direito, y passa a ser filho direito do pai de x.

seno, y passa a ser filho esquerdo do pai de x.

x passa a ser filho da esquerda de y.

Rotaes


Rotao para Direita:

Rotaes

Rotao para Direita

Passos:

Define-se x e y.

Subrvore da direita de x passa a ser subrvore da direita de y.

O pai de y passa a ser pai de x.

Se y no possuir pai, ento x ser raiz da rvore.

seno, se y for filho direito, x passa a ser filho direito do pai de y.

seno, x passa a ser filho esquerdo do pai de y.

y passa a ser filho da direita de x.

rvore AVL

Insero

A insero de um elemento em uma rvore AVL pode ser realizada em tempo O(log

2n)

Na realidade, usa-se uma verso modificada da insero em uma rvore binria de busca.

A seguir, para garantir o balanceamento da rvore AVL, invoca-se um procedimento auxiliar que verifica os ns e promove rotaes.

Lembrando a insero em uma rvore Binria de Busca

Inserir

Caso particular (rvore vazia):

Aloque espao para o item e atribua-lhe os dados;

Faa com que o campo raiz da rvore aponte para o novo item.

Caso geral (se houver itens na rvore):

Percorrer a partir da raiz todos os itens, checando:

Se o campo chave do item for maior que a chave do novo item:

V para o filho esquerdo do item.

Se o campo chave do item for menor que a chave do novo item:

V para o filho direito do item.

At encontrar um item nulo. Ao encontrar:

Se o campo chave do pai for maior que a chave do novo item:

Faa campo esquerda do pai apontar para o novo item.

Se o campo chave do pai for menor que a chave do novo item:

Faa campo direita do pai apontar para o novo item.

Faa campo pai do novo item apontar para o pai.

Incremente o campo quantidade da rvore em uma unidade.

rvore AVL

Insero

No caso da insero em uma rvore AVL, acrescentar ao final a seguinte instruo:

Invocar o procedimento para correo do balanceamento eventualmente quebrado com a insero.

Insero em uma rvore AVL

Inserir

Caso particular (rvore vazia):

Aloque espao para o item e atribua-lhe os dados;

Faa com que o campo raiz da rvore aponte para o novo item.

Caso geral (se houver itens na rvore):

Percorrer a partir da raiz todos os itens, checando:

Se o campo chave do item for maior que a chave do novo item:

V para o filho esquerdo do item.

Se o campo chave do item for menor que a chave do novo item:

V para o filho direito do item.

At encontrar um item nulo. Ao encontrar:

Se o campo chave do pai for maior que a chave do novo item:

Faa campo esquerda do pai apontar para o novo item.

Se o campo chave do pai for menor que a chave do novo item:

Faa campo direita do pai apontar para o novo item.

Faa campo pai do novo item apontar para o pai.

Incremente o campo quantidade da rvore em uma unidade.

Invocar o procedimento de correo de balanceamento da rvore AVL.

rvore AVL

Remoo

A remoo de um elemento em uma rvore AVL pode ser realizada tambm em tempo O(log

2n)

Na realidade, usa-se uma verso modificada da remoo em uma rvore binria de busca.

E, para garantir o balanceamento da rvore AVL, invoca-se um procedimento auxiliar que verifica os ns e promove rotaes.

Lembrando a remoo em uma rvore Binria de Busca

Remover

Caso 1: removendo um n folha:

Localize o n a ser removido. Se for um n folha, ento:

Se no for raiz:

Faa o pai do n a ser removido apontar para NULL.

Se for raiz:

Faa o campo raiz da rvore apontar para NULL.

Caso 2: removendo um n com 1 filho:

Localize o n a ser removido. Se o n tiver apenas 1 filho:

Se no for raiz:

Faa o pai do n a ser removido apontar para o neto.

Se for raiz:

Faa o campo raiz da rvore apontar para o neto.

Caso 3: removendo um n com 2 filhos:

Localize o n a ser removido. Se o n tiver 2 filhos:

Busque o antecessor ou sucessor;

Se o sucessor/antecessor tiver filhos, aplique a remoo recursivamente sobre a subrvore do sucessor/antecessor;

Substitua o n a ser removido pelo antecessor ou sucessor.

rvore AVL

Remoo

No caso da remoo em uma rvore AVL, acrescentar ao final a seguinte instruo:

Invocar o procedimento para correo do balanceamento eventualmente quebrado com a remoo.

Remoo em uma rvore AVL

Remover

Caso 1: removendo um n folha:

Localize o n a ser removido. Se for um n folha, ento:

Se no for raiz:

Faa o pai do n a ser removido apontar para NULL.

Se for raiz:

Faa o campo raiz da rvore apontar para NULL.

Caso 2: removendo um n com 1 filho:

Localize o n a ser removido. Se o n tiver apenas 1 filho:

Se no for raiz:

Faa o pai do n a ser removido apontar para o neto.

Se for raiz:

Faa o campo raiz da rvore apontar para o neto.

Caso 3: removendo um n com 2 filhos:

Localize o n a ser removido. Se o n tiver 2 filhos:

Busque o antecessor ou sucessor;

Se o sucessor/antecessor tiver filhos, aplique a remoo recursivamente sobre a subrvore do sucessor/antecessor;

Substitua o n a ser removido pelo antecessor ou sucessor.

Invocar o procedimento de correo de balanceamento da rvore AVL.

Correo de balanceamento em uma rvore AVL

A insero e a remoo de ns em uma rvore AVL requerem que os ancestrais do n inserido/removido tenham seus fatores de balanceamento verificados.

Para cada operao de insero ou remoo, verifica-se cada n ancestral, at a raiz.

Caso o n verificado tenha fator de balanceamento < -1 ou > 1, quatro casos (que na verdade so dois casos com simetria) devem ser considerados para efetuar as rotaes e garantir o balanceamento.

Correo de balanceamento em uma rvore AVL

Seja R o n desbalanceado, E seu filho esquerdo, D seu filho direito e P seu pai (que pode no existir se R for a raiz da rvore)

Caso 1: Se o fator de R -2 e o fator de D 0 (right-right),

Ento: Promover left-rotate em R.

Caso 2: Se o fator de R -2 e o fator de D = 1 (right-left),

Ento: Promover right-rotate em D e left-rotate em R.

Caso 3: Se o fator de R 2 e o fator de E 0 (left-left),

Ento: Promover right-rotate em R.

Caso 4: Se o fator de R 2 e o fator de E = -1 (left-right):

Ento: Promover left-rotate em E e right-rotate em R.

caso 1 caso 3

Correo de balanceamento

caso 1 caso 3

left-rotate em R right-rotate em R


caso 1 caso 3


caso 2 caso 4


caso 2 caso 4

right-rotate em D left-rotate em E


caso 2 caso 4


caso 2 caso 4

left-rotate em R right-rotate em R


caso 2 caso 4


arvore avl wocode

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