aritm vecto

ARITMETICA VECTORIAL

1. Se tiene aceite de 4,50 u.m y 8 u.m. el litro. Determinar, vectorialmente, la

proporción en que se les debe mezclar para que el precio medio sea de 6 u.m.

Nota. Entenderemos por precio medio como precio de un litro de la mezcla.

Estrategia de solución.

En estos problemas de mezcla elegiremos como vectores “representativos” a

los precios unitarios de los ingredientes que intervienen.

Solución

Sean los vectores “representativos”:

Aceite de 4, 50 u.m el litro: Un litro de aceite cuesta 4, 50 u.m

Aceite de 8, 00 u.m el litro: Un litro de aceite cuesta 8 u.m

Mezcla de aceites: Un litro de aceite de la mezcla cuesta 6 u.m

Supongamos que del aceite de 4, 50 u.m intervenga “a” litros y que del segun-

do aceite intervenga “b” litros, luego efectuamos el bosquejo:

Reemplazando en el dato (1) se tiene:

Igualando. 6a + 6b = 4,5a + 8b 1, 50a = 2b a / b = 4 / 3.

Los aceites se deben mezclar en la proporción de 4 a 3.

2. Plantear vectorialmente: ¿cuántos kilogramos de maní de 1, 20 u.m. el kg se

debe mezclar con maní de 2, 00 u.m. el kg para obtener 120 kg, él cual se

b

A

B

O

a a + b

Cantidad

Dinero ( u.m.)

Deducimos: … (1)Para la mezcla:

Para aceite de 4, 50 el litro:

Para aceite de 8, 00 el litro:

debe vender a 1, 40 u.m el kg, de modo que no se produzca perdida ni ganan-

cia?

Solución


Primer ingrediente: Un kg de maní cuesta 1, 20 u.m

Segundo ingrediente: Un kg de maní cuesta 2, 00 u.m

Mezcla de ingredientes: Un kg de maní cuesta 1, 40 u.m

Supongamos que del primer ingrediente intervenga a kg, entonces del segundo

habrá (120 – a) kg.

Efectuamos el bosquejo:

Reemplazando en (1):

168 = 240 – 0, 80a a = 90

Finalmente, se debe mezclar 90 kg de maní de 1, 20 u.m. el kg con 30 kg de

maní de 2, 00 u.m el kg.

3. Se ha mezclado 60 kg. de un cierto ingrediente, de 5 u.m. el kilogramo, con

otro cuyo peso representa el 25% del peso total, y se ha obtenido una mezcla

con precio medio de 4, 75 u.m el kilogramo.

Determinar vectorialmente el precio del kilogramo del segundo ingrediente.

Solución


Dinero ( u.m.)

120 - a

A

B

O

a Cantidad

120

Deducimos: …… (1)

Para la mezcla:

Para primer ingrediente:

Para segundo ingrediente:

Primer ingrediente: Un kg cuesta 5 u.m

Segundo ingrediente: Un kg cuesta p u.m

Mezcla de ingredientes: Un kg de la mezcla cuesta 4, 75 u.m

Del primer ingrediente interviene 60 kg, supongamos que del segundo inter-

venga a kg, entonces por dato, se tiene a = 25%(60 + a) de donde

a = 20 kg. y el total será (60 + 20) = 80 kg.


Finalmente, el precio del kilogramo del segundo ingrediente es 4 u.m.

4. Se tiene tres tipos de alcohol: de 40º, 30º y 20º, donde los volúmenes de al-

cohol de 20º y 40º están en la relación de 1 a 5. Determinar vectorialmente el

número de litros de alcohol de 30º necesarios para que los 80 litros de la mez-

cla resultante sean de 35º.

Estrategia de solución

Construiremos los vectores representativos en base al grado alcohólico.

Solución


Para alcohol de 40º: Un litro de alcohol de 40° contiene

0,40 litros de alcohol puro.

Para alcohol de 30º: La interpretación es similar.

80

Dinero ( u.m.)

20

A

B

O

60 Cantidad


Para la mezcla:

Para primer ingrediente:

Para segundo ingrediente:

Para alcohol de 20º:

Para la mezcla de 35º:

Supongamos que del tercer ingrediente intervengan a litros, entonces del pri-

mero habrá 5a litros y del segundo (80 – 6a) litros.

Efectuando un bosquejo:


El número de litros de alcohol de 30º es (80 – 6a) = 20

5. Un litro de mezcla formado por 75% de alcohol y 25% de agua tiene una

masa de 960 g. Sabiendo que el litro de agua tiene una masa de 1 kg., se pide

determinar vectorialmente la masa de un litro de la mezcla que contiene 48%

de alcohol y 52% de agua ( no considere la contracción de la mezcla).


Observamos que tenemos dos tipos de mezcla. Para cada una de ellas elegire-

mos como vectores “representativos” a las masas unitarias de los ingredientes

que intervienen.

Solución

Primera mezcla


Ingrediente agua: Un litro de agua tiene una masa de 1 000 g.

V(litros)

a

80 - 6a

Alcohol puro

C

80 - a

A

B

O

5a 80

Deducimos: … (1)

Para la mezcla:

Par

a alcohol de 40º:



Ingrediente alcohol: Un litro de alcohol tiene una masa de p g.

Para la mezcla: Un litro de la mezcla tiene una masa de 960 g.

En esta primera mezcla, de alcohol interviene 3/ 4 litros, mientras que de agua

interviene 1/ 4 litros.



960 = 250 + 3p/4 p = 710.4/3 gramos.

Afirmamos que un litro de alcohol tiene una masa de g.

Segunda mezcla


Ingrediente agua: Un litro de agua tiene una masa de 1 000 g.

Ingrediente alcohol: : se interpreta de modo similar.

Para la mezcla: Un litro de mezcla tiene una masa de p g.

En esta mezcla, de alcohol interviene 0, 48 litros, mientras que de agua inter-

viene 0, 52 litros.


V (litros)

1

Masa (gramos)

3/4

A

B

O

1/4 V (litros)

1

Masa (gramos)

0, 48

A

B

O

0, 52


Para la mezcla:

Para primer ingrediente, agua:

Para segundo ingrediente, alcohol:


Para la mezcla:

Para el ingrediente agua:

Para el ingrediente alcohol:


p = 974, 4 gramos.

Finalmente tenemos que la masa de un litro de la segunda mezcla es 974, 4g

6. Se tienen dos mezclas alcohólicas: la primera formada por 300 litros de al-

cohol y 100 litros de agua; la segunda, de 200 litros de alcohol y 120 litros de

agua. Vectorialmente, ¿cuántos litros deben intervenir de la primera para mez-

clarlos con cierta cantidad de la segunda y así obtener 80 litros de alcohol de

72,5º?

Solución

El grado alcohólico de la primera mezcla es 300/400 = 0,75 = 75º; mientras que

el de la segunda es 200/320 = 0,625 = 62,5º.

Los vectores “representativos” son:

Primera mezcla: Un litro de la primera mezcla contiene 0,75

litros de alcohol puro.

Segunda mezcla: Un litro de la segunda mezcla contiene

0,62,5 litros de alcohol.

Mezcla final: . Se interpreta de manera similar.

Supongamos que de la primera mezcla intervenga a litros, entonces de la se-

gunda habrá (80 – a) litros, efectuando un bosquejo:


80 -a

80

A

B

O

a

V(litros)

Masa (g) Deducimos: …… (1)

Para la mezcla:

Para mezcla de 75º:

Para mezcla de 62,5º

Luego de la primera mezcla deben intervenir 64 litros.

7. Se realiza una mezcla de vinos de 70 u.m. el litro y de 60 u.m el litro, con

agua. La mezcla tiene un precio de 50 u.m. el litro.

Se sabe que la cantidad de agua es el doble de la cantidad de vino de 60 u.m.,

determinar vectorialmente la razón geométrica de las cantidades de los vinos

presentes.

Solución


Primer vino: Un litro cuesta 70 u.m

Segundo vino: Un litro cuesta 60 u.m

Agua: Un litro cuesta 0 u.m

Mezcla de ingredientes: Un litro de la mezcla cuesta 50 u.m

Supongamos que del primer vino interviene a litros, del segundo b litros y de

agua 2b litros



50 a+ 150 b = 70a+ 60b 90b = 20a a/b = 9/2

Finalmente la razón geométrica de las cantidades de los vinos presentes es de

9 a 2

Dinero ( u.m.)

C

A

B

O

a Cantidad

a + b

b

2b

a + 3b

Deducimos: ..(1)

Para la mezcla:

Para primer vino:

Para segundo vino:

Para agua:

8. Se desea obtener una mezcla de 130 litros disponiendo para ello de tres ti-

pos de vino: de 4, 10 y 15 u.m el litro y de una cierta cantidad de agua.

Al efectuar la mezcla se observa que por cada 2 litros de vino de 4 u.m se em-

plea 3 litros de vino de 10 u.m.. Además se emplea un litro de agua por cada

10 litros de los dos últimos vinos.

Si toda la mezcla se vende en 1950 u.m., ganándose en ello 520 u.m., determi-

nar vectorialmente el número de litros del vino más caro que se emplea en este

proceso.

Solución


Primer ingrediente: Un litro de vino cuesta 4 u.m

Segundo ingrediente: Un litro de vino cuesta 10 u.m

Tercer ingrediente: Un litro de vino cuesta 15 u.m

Cuarto ingrediente (agua): Un litro de agua, cuesta 0 u.m

Supongamos que del primer vino intervenga 2n litros, entonces del segundo

habrá 3n litros. Por otro lado, si de agua interviene a litros, entonces del tercero

habrá (10a – 3n) litros.

Como toda la mezcla se vende en 1950 u.m ganándose en ello 520 um, enton-

ces el precio de un litro de la mezcla será (1950 – 520) /130 = 11, con lo cual

tenemos que el vector representativo de la mezcla es


10a - 3n

3n

Dinero ( u.m.)

D

11a +2n

C

5n

A

B

O

2n 10a + 2n Cantidad

130

a


Para la mezcla:

Primer ingrediente:

Segundo ingrediente:

Tercer ing.:

Cuarto ingrediente:

Reemplazando en (1) se tiene:

Pero por dato el total de litros es 130, luego 11a + 2n = 130 a = n = 10.

Finalmente el número de litros del vino más caro es 10a – 3n = 70 u.m.

9. Un vendedor desea mezclar 100 litros de vino que cuesta 2 u.m. el litro, con

otro volumen de 20 litros que cuesta 1, 50 u.m. el litro. Si en el proceso se sufre

una merma del 10%, entonces se ve obligado a vender la mezcla con un recar-

go del 20%. Si al final realiza un descuento del 10%, determinar vectorialmente

el precio de un litro de esta mezcla, incluido el impuesto general a las ventas

del19%.

Solución

Calcularemos el precio medio de la mezcla resultante (precio de costo unitario),

para lo cual sean los vectores “representativos”:

Primer vino: Un litro cuesta 2 u.m

Segundo vino: Un litro cuesta 1, 50 u.m

Vector merma:

Mezcla de ingredientes: Un litro de la mezcla cuesta p u.m

Del primer vino interviene 100 litros, mientras del segundo 20 litros

Como la merma ha sido del 10%, la cantidad final de vino será 90% de la canti-

dad inicial; es decir: 90%(100 + 20) = 108 litros



108 p = 230 p = 2, 13 u.m.

Tenemos que el precio de costo de un litro de la mezcla es 2, 13 u.m.

Como piden el precio final de un litro de la mezcla, todos los cálculos los efec-

tuamos tomando como base a un litro de mezcla.


y al impuesto del 19%, los cuales pasamos a bosquejar:

1

Cantidad

Costo

Precio finalG

31

2, 13

D

O

Dinero ( u.m.)

120

12

20

A

B

O

100

108

C

Cantidades

F

E

Precios

1

Deducimos: …(1)

Para la mezcla:

Para primer vino:

Para segundo vino:

Para la merma (disminuye la cantidad):

Igualando: Precio final = 2, 737476

Luego el precio de un litro es 2, 737476

10. Se mezclan dos clases de café en la proporción de 2 a 3 y la mezcla se

vende con el 10% de ganancia sobre el precio de compra. Después se mezclan

en la proporción de 3 a 2 y se vende con el 20% de ganancia sobre el precio de

compra, siendo el precio de venta igual en los dos casos. Determinar vectorial-

mente la razón geométrica de los precios de compra de los dos ingredientes.

Solución

Primera mezcla


para lo cual sean los vectores “representativos”:

Primer café: Un kg cuesta a u.m

Segundo café: Un kg cuesta b u.m

Mezcla de ingredientes: Un kg de la mezcla cuesta p1 u.m

Del primer café interviene 2k kg, mientras del segundo interviene 3k kg.



5k p1 = 2ka + 3kb

Segunda mezcla

5k

Dinero ( u.m.)

3k

A

B

O

2kCantidad

Deducimos: .. (1)

Para la mezcla:

Para primer café:

Para segundo café:


para lo cual mantenemos los mismos vectores “representativos”, excepto para

la mezcla donde consideraremos como precio medio unitario p2 : .

Ahora del primer café interviene 3q kg, mientras del segundo interviene 2q kg.



5q p2 = 3qa + 2qb

A continuación calculamos los precios unitarios de venta, para lo cual conside-

ramos los vectores “representativos”:

Primera mezcla: Un kg cuesta

Segunda mezcla: Un kg cuesta

Efectuamos un bosquejo:

5q

Dinero ( u.m.)

2q

A

B

O

3qCantidad

Precios ( u.m.)

AB

%

Tenemos:

a/b = 9/14

La relación geométrica de los precios es 9/14


Para la mezcla:

Para primer café:

Para segundo café:

11. Se desea reducir la ley de una barra de oro de 0, 96 a 0, 90. Plantear vecto-

rialmente: ¿Qué cantidad de cobre debe fundirse con cada kilogramo de dicha

barra?

Estrategia de solución.

Los vectores “representativos” estarán expresados en términos de las masas

del metal fino que interviene.

Solución


Barra inicial: Un kg de la barra contiene 0,960 kg de oro.

Cobre: Un kg de cobre contiene 0 kg de oro

Barra final: Un kg de la barra contiene 0,900 kg de oro

Sabemos que de la primera barra interviene 1kg, supongamos que de cobre

intervenga p kg, luego efectuamos el bosquejo:

120%O 110%

A B

Masa de oro Deducimos: …… (1)

Para la aleación: barra final:

Para barra inicial:


Luego debe fundirse 66 2/3 g de cobre con cada kilogramo de la barra inicial.

12. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg de cobre. Determinar vecto-

rialmente la cantidad necesaria de plata (pura) que es preciso agregar a este

lingote para fabricar monedas de plata de 5 u.m., cuya ley es de 0, 900.

Solución

Para la primera aleación. Determinaremos la ley de esta aleación.


Plata pura: Un kg de plata contiene 1kg de plata.

Cobre: Un kg de cobre contiene 0 kg de plata.

Aleación: Un kg de aleación contiene Lm kg de plata



Masa Total (kg)

O

p

1 1 + pMasa total (kg)

3

A B

O

5 8

Masa de plata



Para barra inicial:

Deducimos: …(1)

Para la aleación:

Para plata pura:

Para cobre:

Luego la ley de esta aleación es 0, 625

Para la segunda aleación (aleación pedida)


Primera aleación: Un kg de aleación contiene 0, 625 kg de

plata

Plata pura: Un kg de plata (pura) contiene 1 kg de plata (pura)

Aleación pedida: Un kg de aleación contiene 0, 900 kg de pla-

ta

Observamos que de la primera aleación interviene 8 kg, supongamos que de

plata (pura) intervenga p kg., luego efectuamos un bosquejo:


Afirmamos que se debe agregar 22 kg. de plata pura.

13. Determinar vectorialmente la ley de una aleación de oro y cobre de densi-

dad 14; sabiendo que la densidad de oro es 19 y la del cobre es 9 (las densida-

des están expresadas en g/cm3).

Solución


p

p

A

B

O

8 8 + p Masa total (kg)

Masa de plataDeducimos: … (2)

Para la aleación pedida:

Para primera aleación:

Pa

ra plata (pura):

Para oro: Un cm3 de oro contiene una masa de 19 g de oro

Para cobre: Un cm3 de cobre tiene con 9 g de cobre.

Para aleación: Un cm3 de aleación contiene 14 g de oro y cobre.

Determinemos los volúmenes de oro y cobre que deben intervenir, para esto

supongamos que intervienen a y b unidades de cada uno de ellos, luego

efectuamos el bosquejo:


Afirmamos que los volúmenes de oro y cobre que debe intervenir de ambos

metales, es el mismo.

Por otro lado, siendo la masa de oro que interviene 19a y la de cobre 9b; ten-

dremos que la ley de la aleación es L = 19 a/(19a + 9b) = 19/28= 0, 6786.

14. Se funde 450 g de una aleación de oro de 16 quilates con otra aleación que

contiene 320 g de oro puro y 30 g de cobre. Determinar la ley (en quilates) de

la aleación resultante.

Solución

La ley de la segunda aleación, en quilates, viene dada por


Primera: Un gramo de la primera contiene 16/24 g de oro

Segunda: Un gramo de la segunda tiene g de oro

Masa de cada metal (g.)

O

A

B

b

a a + bVol. (cm3)

Deducimos: … (1)


Para oro:

Para cobre:

Resultante: Un gramo de la aleación contiene q/24 gramos de

oro, donde hemos supuesto que q es la ley de esta segunda aleación en quila-

tes. Efectuamos el bosquejo:


800q/24 = 14 880/24 q = 18, 6 quilates

Afirmamos que la ley de la aleación resultante es 18, 6 quilates.

15. Se desea hacer una joya de oro y cobre en la cual al fundir los metales hay

mermas del 20% y 10% respectivamente. Determinar vectorialmente la canti-

dad de oro que se debe utilizar para obtener 57, 6 g de una aleación de 18 qui-

lates.

Solución


Para oro (puro): Un gramo de oro contiene 24/24 g de oro.

Para cobre: Un gramo tiene ley 0 quilates

Para aleación: Un gramo de la aleación tiene 18/24 g de oro

Sea a y b las cantidades de oro y cobre (en gramos) que se van a fundir.


O

A

B

350

450 800

Vol. (cm3)

Masa de cada aleación (g.) Deducimos: …(1)

Para la aleación final:

Para la primera aleación:

Para la segunda aleación:

A

b

Masa metal fino (g.) …… (1)

Para oro:

Para cobre:

= 90%b


Se deduce: 14, 4a + 16, 2b = 19, 2a….(1)

Por dato: 0,8a + 0,9 b = 57, 6… (2)

De (19 y (2) se tiene: a = 54 y b = 16

Afirmamos que la cantidad de oro que se debe utilizar es 54 gramos

16. Cinco obreros deben construir las instalaciones de un terminal te-rrestre en

cuarenta días, el presupuesto para pagar el salario del personal es 30 000

soles, las eficiencias de los trabajadores A, B, C, D y E están en la relación

5, 4, 4,3 y 3 respectivamente al final del onceavo día se retira el trabajador

D y al final del vigesimosexto día se retira el trabajador A.

Calcule vectorialmente en cuanto días se termina la obra y los in-gresos

percibidos por cada trabajador.

Solución

Masa total (g.)

B CD

Oa80%a

80%a + 90%b

…… (1)

Para oro:

Para cobre:

= 90%b

90%b

Del enunciado tenemos las eficiencias

Eficiencia (A) = 5kEficiencia (B) = 4kEficiencia (C) = 4kEficiencia (D) = 3kEficiencia (E) = 3k

Sabemos que se cumple por proporcionalidad

obra x dificultadobreros x dias xhoras diariasxeficiencia

=constante

Aplicando de tal forma que se despeje la cantidad de días que cada trabajador realiza de manera independiente la obra

40(5K + 4K + 4K + 3K +3K) = 5K x días (A)40(5K + 4K + 4K + 3K +3K) = 4K x días (B)40(5K + 4K + 4K + 3K +3K) = 4K x días (C)40(5K + 4K + 4K + 3K +3K) = 3K x días (D)40(5K + 4K + 4K + 3K +3K) = 3K x días (E)

Despejando se obtiene

Días(A) = 152Días (B) = 190 Días(C) = 190Días (D) = 760/3Días (E) = 760/3

Denotamos: días ( i ) = numero días en que el trabajador i termina la obra

Por tanto definimos los vectores V i(1 , n) que representa la cantidad de obra que se realiza en un día por el trabajador i , donde 1 es un día y n es la parte de una obra hecha en un día. Entonces se tienen los vectoresVA = (1,1/152) VB = (1,1/190) VC = (1,1/190) VD = (1,3/760) VE = (1,3/760)

Sabiendo que Vi = (x, y) busquemos una representación grafica del tiempo en días respecto de la obra (Tiempo vs Obra)

V1

cuando trabajan A, B, C, D, E ⇨ V1 = (1,1/40)V2 cuando trabajan A, B, C, E ⇨ V2 = (1,2/95)V3 cuando trabajan B, C, E ⇨ V3 = (1,11/760)

Del grafico:P1 = V1t1 = (11, 11/40)P2 = P1 + V2 (t2 - t1) = (26, 449/760)P3 = P2 + V3 (t3 - t2) = (t3, 11/760 (t3 - 26) + 449/760)

Pero P3 = (t3 ,1) 11/760 (t3 - 26) + 449/760 = 1 t 3 = 597/11

La obra se termina en 597/11 días

El ingreso percibido por cada trabajador se realiza de acuerdo a la participa-ción de cada uno en la obra (se mide en términos de avance)A avanzo 26/152 de la obraB avanzo 597/2090 de la obraC avanzo 597/2090 de la obraD avanzo 33/760 de la obraE avanzo 1791/8360 de la obra

Por tanto los 30000 soles se reparten proporcionalmente a lo que avanzaron en la obra, se tendrá:A = 9750/19 soles B = 1791000/209 soles C = 1791000/209 soles D = 24750/19 soles E = 1343250/209 soles

17. La cantidad de asistentes a un concierto de rock, en dos días consecutivos,

son proporcionales a 2 y 5 respectivamente. Si el primer día hubiesen asistido

175 personas más y el segundo, 115 personas más, se tendría igual cantidad

de asistentes. Determinar vectorialmente el día y la cantidad menor de asisten-

tes.


Construiremos los vectores representativos de acuerdo a la razón geométrica

dada.

Solución

Sean A y B las cantidades de asistentes el primer y segundo día respectiva-

mente, donde A < B.

Los vectores “representativos” son de la forma:

Para A: “A” contiene al menos una vez el factor 2.

Para B: “B” contiene al menos una vez el factor 5.

Por otro lado llamaremos k al número de veces que A y B contienen a los fac-

tores 2 y 5 respectivamente, así como.

Efectuamos un bosquejo:

Igualando:(k, 2k + 175) = (k, 5k + 115) 2k + 175 = 5k + 115 k = 20

Por otro lado observamos que A = 2k = 40

Afirmamos que el primer día concurrió la menor cantidad de asistentes: 40

115

A + 175 = B + 115E

A

DB

O

C

Asistentes

kFactores

También:175

18. La razón de dos números es 3/4 y la suma de ellos es 840. Determinar

vectorialmente el mayor de los dos números.


Construiremos los vectores” representativos” de acuerdo a la razón:

Solución

Sean A y B los números pedidos de modo que A < B

Los vectores “representativos” son de la forma:

Para el número A: “A” contiene al menos una vez el factor 3.

Para el número B: “B” contiene al menos una vez el factor 4.

Sea k el número de veces que A y B contienen a los factores 3 y 4 respectiva-

mente, luego efectuamos un bosquejo:

Para A: Para B:

Indica que el número A contiene Indica que el número B contiene al

al menos k veces al factor 3. menos k veces al factor 4

Para la suma A + B = 840

Efectuamos la suma de ambos vectores aplicando para ello la ley del paralelo-

gramo.

Relacionando con el concepto de vector libre, tenemos que , efec-

tuando el bosquejo respectivo:

D

kO

C

Factores

A

Números

B

kFactores

Números

O

Para la suma A + B:

Por dato

Igualando:

El número mayor es B, del segundo grafico anterior obtenemos:

Afirmamos que el número mayor es B = 4k = 480

19. Cierto día, el horario de un reloj estaba entre las tres y las cuatro, y el

Minutero entre las 7 y las 8. Al cabo de cierto, las posiciones de las agujas

se invirtieron .Calcule vectorialmente ¿Qué hora marcaba inicialmente el

reloj?

Solución

Horario entre 3 y 4Minutero entre 7 y 8

A

Factores

DB

840 = A + B

O

E

C

Números

k

k

2k

OBS. 1: Es obvio ver que cuando el minutero llegue al 12 necesariamente el horario llega al 4 (ya que es un reloj convencional)

Sabemos que: VM = (1,1)

VH = (1,1

12)

Del gráfico: P1 = (0,35+y) + VMT1

P1 = (T1, 35 + y + T1)

P2 = (0,15 + x) + VHT1

P2 = (T1, 15 + x + T 112

)

Por lo dicho en la observación 1

35 + y + T1 = 60 15 + x + T 112

= 20

Y

Con lo cual

25 – y = 60 – 12x 12x – y = 35 … (I)

Luego como en ese instante son las 4:00 en punto entonces el reloj sigue avanzando de manera normal de modo que nos detenemos a analizar a las 7:00 en punto

T1= 25 - y T1= 60 – 12x

OBS 2: Como por dato las agujas intercambian de posición luego d un tiempo es don-de deducimos lo de color rojo del grafico II

Sabemos que: VH = (1,1

12)

VM = (1,1)

Del gráfico: P1 = (0,35) + T2VH

P1 = (T2, 35 + T 212

)

P2 = (0,0) + T2VM

P2 = (T2,T2)

Por lo dicho en la observación 2

35 + T 212

= 35 + y 15 + x = T2

y

Con el cual

12y = 15 + x

12y – x = 15 ….(II)

T2 = 12y T2 = 15 + x

De (I) y (II)

12x – y = 35

12y – x = 15

Inicialmente el reloj estaba

Es decir inicialmente son las 3 con 5220143

minutos

20. Un cronometro se adelanta 2 minutos cada 6 horas .Si ahora marca las 3h

40 minutos y hace 18h que se adelanta .Calcule vectorialmente ¿Qué hora

es? Y ¿dentro de cuánto tiempo marcara la hora correctamente?

Solución

Por ser cronometro este tiene un sistema de funcionamiento que como no me dicen nada asumiré que marca de las 00:00h hasta 23:59 y que de ahí automáticamente regresa a 00:00

Por dato este se adelanta 2 minutos cada 6 horas, lo mismo que decir se adelanta 1

180

cada 1 minuto

GRAFICO I

Hora que marca el cronometro en minu-tos

(0,220) P1

(0,1)

V2

P2

V1

y = 215143

x = 435143

x y Minutos que

avanzan

x

Por dato transcurren 18h hasta que marca los 220 minutos por tanto :

x + y = 18(60)

La recta azul marca el avance de un reloj normal por lo que V⃗ 1 = (1,1)

La recta roja marca el avance de un reloj que se adelanta 1min180

cada minuto por lo

que V⃗ 2 = (1, 181180

)

Del gráfico:

P3P2 + P2P1 = P3P1

(x + y).V1 + (220 – y)(0,1) = (x + y)V2

1080.(1,1) + (x – 860).(0,1) = 1080.(1,181180

)

(1080,1080) + (0, x – 860) = (1080,1080.181180

)

(1080,X + 220) = (1080,1086)

X + 220 = 1086

y = 1080 - x

x = 866

Es decir el cronometro marcaba inicialmente 6h 34min

OJO: marcaba 6h 34min en el cual llega a 23:59min pasa a 00:00 y después de 220 minutos llega a las 03:40min, este es el trayecto que “tomamos” para este cronometro

21. Gian le dice a Diego: Tengo dos veces la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tienes y cuando tú tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 63 años .Calcule vectorialmente las edades de Gian y Diego.

Solución

Y (edad)

P2´ VG(1.1)

P2` P1

´´ VD(1,1)

P2 P1´

(0,m) P1

XB XA XC x(t)

P1´ = XA(1,1) = (XA,XA) (edad actual de Diego)

P2´ = (0,m) + XA(1,1) = (XA, m + XA) (edad actual de Gian)

P2 = (XB, m + XB)

P1 = (XB,XB)

XA + m = 2XB …(I)

m + XB = XA …(II)

P1´´ = (XC,XC)

P2´´ = (XC,XC + m)

XC = XA + m …(III)

Luego

m + XA + XC + m = 63

De (I) , (II) y (III)

XC = 4m

XB = 2m

XA = 3m

¿Las edades de Gian y Diego?

Diego tiene 21 años y Gian tiene 28 años

m =7

22. Para efectuar una obra se contratan 3 trabajadores A, B y C, se sabe que A puede hacer la obra en 30 días, B lo hace en 45 días y C lo hace en 20 días. Los trabajadores cobran por la obra 4000 soles. Se sabe que A abandona la Obra luego de trabajar 10 días, B abandona la obra luego de trabajar 6 días. Calcule vectorialmente al cabo de cuánto tiempo C concluye la obra y cuanto recibió cada uno si se sabe que lo reciben es proporcional al trabajo producido por cada uno.

Solución

Por dato:

A puede hacer la obra en 30 días es decir por día avanza 1/30 de la obraB puede hacer la obra en 45 días es decir por día avanza 1/45 de la obraC puede hacer la obra en 20 días es decir por día avanza 1/20 de la obra

Sera el valor representativo

V XY = (x, y)

Días obra

Entonces: VA = (1, 1/30) VB = (1 , 1/45) VC = (1 , 1/20)

V1 = cuando trabajan A, B y C entonces V1 = (1 , 19/180) V2 = cuando trabajan A y C entonces V1 = (1 , 1/12) V3 = cuando solamente trabaja C entonces V1 = (1 , 1/20)

Del gráfico:

- P1 = (0 , 0) + V1 .6P1 = (6 ,19/30)

- P2 = P1 + V2.4

P2 = (10 , 29/30)- P3 = P2 + (T-10).V3

P3= P2 + (T-10).(1 , 1/20)(T , 1) = (10 , 29/30) + (T-10 , T-10 / 20)(T , 1) = (T , 29/30 + T-10 / 20)1 = T-10 / 20 +29/301/30 = T-10 / 2032/3 = T

*Después de que ya lo dejaron trabajando a C solito este empleo 2/3 de un día para terminar la obra.

Y el ingreso que recibe cada trabajador es proporcional al avance hecho en la obra.A avanzo 1/3 de la obraB avanzo 2/15 de la obraC avanzo 8/15 de la obra

Por lo tanto como se reparten 4000 soles, cada uno recibe:

A = 4000/3 soles B = 1600/3 soles C = 6400/3 soles

23. Tres motociclistas A,B y C ,cuyas velocidades constantes son 30m/s , 25m/s y 20 m/s ,respectivamente ,parten simultáneamente de 3 puntos de una pista circular de 1000 m de circunferencia .Si B está a 250 m de A y C a 250 m de B .Calcule vectorialmente Al cabo de cuánto tiempo A alcanza a B en el punto de partida de A.

Solución

Unidad de tiempoO

Posición de los Móviles

10

Vc

Vb

Va

TE

Definimos los vectores de velocidad de los tres móviles A, B y C.

Va = (1, 30) Vb = (1, 25) Vc = (1, 20)

*cuando transcurre 10 segundos el móvil B está en la posición inicial de C y el móvil A esta a 200m de la posición de B.

Ahora:

VbTE = (TE, 250 + 1000n) (TE, 25TE) = (TE, 250 + 1000n) TE = 10 +40n

VaTE = (TE, 1000m) (TE, 30TE) = (TE, 1000m)

Llamemos a la diferencia TE – 10 = T’

Sabemos que: VbT’ = 1000n

VaT’ = 1000m + 200

300

500

250

Por lo tanto: 12n = 10m + 2

6n = 5m +1 cumple para: n =1 m = 1 n = 6 m = 7, etc

Entonces el tiempo en que el móvil A alcanza a B en el punto de partida C seria:

TE = 40 + 40n

Para n = 1

TE = 80s

24. Dos personas A y B parten con velocidades diferentes pero constantes de un mismo punto de una pista circular de 3600 m de circunferencia. Cuando van en el mismo sentido ,el más veloz alcanza al otro en 180 minutos ,cuando van en sentidos opuestos los ciclistas se encuentran al cabo de 30 minutos Calcule al cabo de cuánto tiempo ambas personas se encontrarán en el mismo punto de partida cuando marchan en el mismo sen-tido.

Solución

Grafico 1:

Va Vb

Definamos las velocidades de las personas como:

Va = (1, Xa)

Vb = (1, Xb)

Del gráfico 1:

Vat = Vbt + n (3600)

Donde n es la cantidad de vueltas dadas en ese intervalo por A.

(Va – Vb)t = 3600n

(t, (xa-xb)t) = 3600n

Como t es igual a 180 min:

Xa - Xb = 20n…………………… (1)

Grafico 2:

Va Vb

Vat + Vbt = t(1, xa + xb)

Vat + Vbt = (t, (Xa +Xb) t)

Y se sabe que como completan todo el rededor de la pista.

(Xa+ Xb) t = 3600

Como t es 30 min:

Xa +Xb =120………………… (2)

De 1 y 2:

Xa = 60 +10n

Xb = 60 – 10n donde n = {1, 2, 3, 4, 5}

Unidad de tiempoO

Cantidad avanzada.

180 TE

Va Vb

Unidad de tiempo

O

Cantidad avanzada.

30

Vb

Va

Analizando la ecuación con los datos mostrados N = 1, 3, 4, 5 no cumple:

n = 2 si cumple.

Por lo tanto:

Xa = 80 Xb = 40

Entonces encontramos las velocidades.

Va = (1, 80) Vb = (1, 40)

Ahora hallando lo que nos piden:

Sería que el más rápido en este caso A da una cantidad de vueltas mayor que el más lento B.

Luego se sabe que, donde p y q son enteros positivos.

VaTE = (TE, 3600p)

VbTE = (TE, 3600q)

Va/Vb = p/q

P = 2q

Y se sabe que la persona A va más rápido que la persona B así que A dará más vuel-tas que B para poder encontrarse en el punto de partida. Donde m es un entero positi-vo.

VaTE = VbTE + 3600m

P – q = m

>m = q

Finalmente el tiempo que debe pasar para que las personas se puedan encontrar en el punto de partida va a depender del número de vueltas.

VaTE = VbTE + 3600m

(1, 40)TE = (TE, 3600q)

40TE = 3600q

TE = 90q para todo q que pertenece a Z+

Esto quiere decir que si:

q = 1 TE = 90minq = 2 TE = 180min, etc.

25. Dos personas A y B parten con velocidades diferentes pero constantes de un mismo punto de una pista circular de 3600 m de circunferencia. Cuando

van mismo punto de una pista circular de 3600 m de circunferencia. Cuando van en el mismo sentido ,el más veloz alcanza al otro en 180 minutos ,cuan-do van en sentidos opuestos los ciclistas se encuentran al cabo de 30 minu-tos Calcule al cabo de cuánto tiempo ambas personas se encontrarán en el mismo punto de partida cuando marchan en el mismo sentido.

SOLUCION

Grafico 1:

Va Vb

Definamos las velocidades de las per-sonas como:

Va = (1, Xa)

Vb = (1, Xb)

Del gráfico 1:

Vat = Vbt + n (3600)

Donde n es la cantidad de vueltas da-das en ese intervalo por A.

(Va – Vb)t = 3600n

(t, (xa-xb)t) = 3600n

Como t es igual a 180 min:

Xa - Xb = 20n…………………… (1)

Grafico 2:

Va Vb

Vat + Vbt = t(1, xa + xb)

Vat + Vbt = (t, (Xa +Xb) t)

Y se sabe que como completan todo el rededor de la pista.

(Xa+ Xb) t = 3600

Como t es 30 min:

Xa +Xb =120………………… (2)

De 1 y 2:

Xa = 60 +10n

Xb = 60 – 10n donde n = {1, 2, 3, 4, 5}

Unidad de tiempoO

Cantidad avanzada.

180 TE

Va Vb

Unidad de tiempo

O

Cantidad avanzada.

30

Vb

Va

Analizando la ecuación con los datos mostrados N = 1, 3, 4, 5 no cumple:

n = 2 si cumple.

Por lo tanto:

Xa = 80 Xb = 40

Entonces encontramos las velocidades.

Va = (1, 80) Vb = (1, 40)

Ahora hallando lo que nos piden:

Sería que el más rápido en este caso A da una cantidad de vueltas mayor que el más lento B.

Luego se sabe que, donde p y q son enteros positivos.

VaTE = (TE, 3600p)

VbTE = (TE, 3600q)

Va/Vb = p/q

P = 2q

Y se sabe que la persona A va más rápido que la persona B así que A dará más vueltas que B para poder encon-trarse en el punto de partida. Donde m es un entero positivo.

VaTE = VbTE + 3600m

P – q = m

>m = q

Finalmente el tiempo que debe pasar para que las personas se puedan en-contrar en el punto de partida va a de-pender del número de vueltas.

VaTE = VbTE + 3600m

(1, 40)TE = (TE, 3600q)

40TE = 3600q

TE = 90q para todo q que pertenece a Z+

Esto quiere decir que si:

q = 1 TE = 90minq = 2 TE = 180min, etc.

TE

VG

VL

26. Una liebre que es perseguida por un galgo, da 5 saltos mientras que el galgo, da 4 saltos .Pero 2 saltos del galgo equivalen a 3 saltos de la liebre Si la liebre le lleva 150 saltos de ventaja al galgo. Calcule vectorialmente. ¿Cuán-tos saltos deberá dar el galgo para alcanzar a la liebre?

SOLUCION

*Definamos las velocidades:

VX= (1, SX)

VX es velocidad del animal “X”

Cantidad de saltos del animal por uni-dad de tiempo: (1, SX)

Entonces:

VL= (1, 5SL) VL = velocidad de la liebre.

VG= (1, 4SG) VG = velocidad del galgo.

Como 2 saltos del galgo equivalen a tres saltos de la liebre.

2SG = 3SL SG = 3/2SL Por lo tanto redefiniendo las velocidades anteriores en términos de saltos de liebre.

VL = (1, 5SL) VG = (1, 6SL)

Como el enunciado menciona la liebre le lleva de adelanto al galgo 150 saltos, entonces según la gráfica la liebre esta-ría en M y el galgo en O.

Del grafico se observa:

OM + MPO = OPO

MPO = VL (TE)

OPO = VG (TE)

(0, 150SL) + (TE, 5SLTE) = (TE, 6SLTE)

(TE, (5TE+ 150) SL) = (T E, 6SLTE)

5TE + 150 = 6TE

TE = 150

Por lo tanto la cantidad de saltos que tienes que dar el galgo para alcanzar a la liebre es:

6SLTE = 6(2/3SG)TE = 4TESG = 4x150 SG = 600 SG

27. Una cuadrilla de A obreros hace un quinto de obra en M días .Si se debe hace

150

M

la obra en 20 días adicionales. ¿Calcule vectorialmente la cantidad de obre-ros que deben ser contratados , adicionalmente a los existentes?

SOLUCION

Sabemos que:

(#Obreros)(h/d)(# días)(Eficiencia) = CONSTANTE (Obras)(Dificultad)

Vamos aplicar esto para ver en cuanto tiempo acaba 1 obrero la obra ya por obra “A” obreros hacen “1/5 obra” en “M” días.A.M = 1.(#Dias)1/5 1

5. A.M = #DiasEs decir que cada obrero hace 1/5.A.M de la obra en un dia.Ojo: Se considera que cada obrero tiene la misma eficiencia y la misma cantidad de horas diarias.

V1 cuando trabajan A obreros entonces V1 = (1 , 1/5M)

V2 cuando trabajan A + x en-tonces V1 = (1 , A + x / 5AM)

El problema nos dice cuantos obreros mas se deben contra-tar para que la obra se acabe en los próximos 20 días des-pués de los M días trabajados, supongamos que son x obre-ros mas.

Del grafico

- P1 = (0,0) + V1.MP1 = (0,0) + (1, 1/5M)MP1 = (M,1/5)

- P2 = P1 + V2.20P2 = P1 + (1, A+x / 5AM)20(M+20,1) = (M, 1/5) + (20, 20(A+x)/5AM)

(M+20,1) = (M + 20, 1/5 + 4(A+x)/AM)1 = 1/5 + 4(A+x)/AM4/5 = 4(A+x)/AMAM = 5(A+x)A(M-5)/5 =xEs decir se necesitan A(M-5)/5 obreros mas

11. Un galgo1, un galgo2, una liebre1 y una liebre2 están ubicados en orden

respectivamente sobre una recta, en cierto instante el galgo2 le ha sacado

60 saltos de ventaja al galgo1, la liebre1 le ha sacado 100 saltos de ventaja

al galgo1 y la liebre2 le ha sacado 300 saltos de ventaja al galgo1. Se sabe que a partir de dicho instante hacia adelante: Cuando el galgo1 da 4 saltos el galgo2 da 2 saltos y que 3 saltos del galgo1

equivalen a 4 saltos del galgo2; cuando el galgo1 da 4 saltos la liebre1 da 2,5

saltos y que saltos del galgo1 equivalen a 2 saltos de la liebre1, también

cuando el galgo1 da 4 saltos la liebre2 da 4 saltos y que 3 saltos del galgo1

equivalen a 5 saltos de la liebre2.

Calcule vectorialmente:

Cuanto saltos debe dar el galgo1 para alcanzar a el galgo2, la liebre1 y a la

liebre2 ¿La liebre1 es alcanzada por el galgo2?

180 SG1

150 SG1

45 SG1

Galgo 1 Galgo 2 Liebre 1 Liebre 2

¿Cuántos saltos debe dar el galgo 1 para alcanzar al galgo 2?

VG1=(1,4SG1) VG2=(1,2SG2) 3SG1=4SG2

Del grafico:

Pf = P0 + T1(1,4) ….(I)

Pf = Q0 + T1(1,32

) ….(II)

De (I) y (II)

(T1,32

T1 + 45) = (T1,4T1) T1 = 18

El galgo 1 para alcanzar al galgo 2 debe dar 72 saltos

y(SG1)

VG2= (1,32

SG1)

Pf

Q0=(0,45)

P0 T1 x(t)

¿Cuántos saltos debe dar el galgo1 para alcanzar a la liebre 1?

VG1=(1,4SG1)

VL1=(1,52

SL1)

3SG1=2SL1

Del graficoPf = P0 + T2(1,4) ….(I)

Pf = Q1 + T2(1,154

) ….(II)

De (I) y (II)

(T2,154

T2 + 150) = (T2,4T2) T2 = 600

El galgo 1 para alcanzar a la liebre 1 debe dar 2400 saltos

y(SG1)

Pf

Q1=(0,150)

P0 T2 x(t)

¿Cuántos saltos debe dar el galgo1 para alcanzar a la liebre 2?

VG1=(1,4SG1) VL2=(1,4 SL2) 3SG1=5SL2

Del grafico

VL1= (1,154

SG1)

VL2= (1,125

SG1)

Pf = P0 + T3(1,4) ……...….(I)

Pf = Q2 + T3(1,125

) ……. ….(II)

De (I) y (II)

(T3,125

T3 + 180) = (T3,4T3)

T3 = 225

2

El galgo 1 para alcanzar a la liebre 2 debe dar 450 saltos

y(SG1)

Pf

Q2=(0,180)

P0 T3 x(t)

¿La liebre1 es alcanzada por el galgo2?

105 SG1

Galgo 2 Liebre 1

VG2= (1,32

SG1)

VL1= (1,154

SG1)

Del grafico

Pf = P0 + T4(1,32

) ….(I)

Pf = Q3 + T4(1,154

) ….(II)

De (I) y (II)

(T4,154

T4 + 105) = (T4,32

T4) T4

= - 140

3

Se concluye que el galgo 2 nunca alcanza a la liebre 1

y(SG1)

Pf

Q3=(0,105)

P0 T4 x(t)

aritm vecto

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