chuyÊn ĐỀ vecto
TRANSCRIPT
1
Mc lcI Chuyn hnh hc lp 10 2 1 Chuyn vect 1.1 1.2 Kin thc c bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 7 9 10
Cc dng bi tp c bn 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4
Dng 1: Chng minh mt ng thc vect Dng 2: di vect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dng 3: Biu din vect .
Dng 4: Xc nh mt im tha mn ng thc vecto
2
Part I Chuyn hnh hc lp 10
3
Chng 1
Chuyn vect1.1 Kin thc c bn
Quy tc 3 im, quy tc tr:
AB + BC = AC AB AC = CBQuy tc ny c th tng qut cho
n
im.
Quy tc trung im: Cho Ta c
I
l trung im ca
AB , M
l mt im bt k.
IA + IB = 0 M A + M B = 2M I Gl trng tm ca
Quy tc trng tm: Cho Ta c
ABC , N
l mt im bt k.
GA + GB + GC = 0 M A + M B + M C = 3M G ABCDl hnh bnh hnh khi ta c:
Quy tc hnh bnh hnh: Cho
AC = AB + AD
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
1.2
Cc dng bi tp c bn
1.2.1
Dng 1: Chng minh mt ng thc vect
Thng thng chng minh mt ng thc vect ta thng s dng mt trong 3 phng php sau y: bin i v ny thnh v kia, bin i tng
ng ng thc cn chng minh thnh mt ng thc m ta bit l ng, bin i mt ng thc ng c sn thnh ng thc cn chng minh. Lu : nn p dng cc quy tc: ba im, trung im, hnh bnh hnh,
trng tm trong qu trnh bin i.
V d 1.1. Chominh rng:
M
v
N
ln lt l trung im ca
AB
v
CD.
Chng
2M N = AC + BD = AD + BC
Li gii.
Ta c:
AC = AM + M N + N C BD = BM + M N + N DCng (1) v (2) v theo v v ch rng
(1) (2)
AM + BM = 0 , N C + N D = 0Ta c:
2M N = AC + BDA Typeset by LT X E
4
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
Tng t ta chng minh c:
2M N = AD + BCV d 1.2. Cho su im
A, B, C, D, E, F .
Chng minh rng:
AD + BE + CF = AE + BF + CDLi gii.
(1)
Cch 1:
Ta c:
(1) AD AE + CF CD = BF BE ED + DF = EF EF = EF (ng)Cch 2:
Bin i v tri ta c:
AD + BE + CF = AE + ED + BF + F E + CD + DF = AE + BF + CD + (ED + DF + F E) = AE + BF + CD + (EF + F E) = AE + BF + CDCch 3:
Ta c
AD + DC + CF + F B + BE + EA = 0
nn:
AD + BE + CF = DC F B EA = AE + BF + CD
Bi tp p dng
Bi tp 1.
Cho tam gic
ABC .
Cc im
M, N, P
ln lt l trung im ca
AB, AC
v
BC .
Chng minh rng vi
O
bt k ta c:
OA + OB + OC = OM + ON + OP
5
A Typeset by LT X E
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
OD = CO.Bi tp 3.
Bi tp 2.
Cho
O
l tm hnh bnh hnh
ABCD.
Chng minh
OA + OB +
Cho 6 im
A, B, C, D, E, F .
Chng minh:
AD + BE F C = AE F B + CD = F A + BD + CEBi tp 4.
Cho tam gic
ABC .
V pha ngoi tam gic v cc hnh bnh hnh
ABIJ, BCP Q, CARS .Bi tp 5.
Chng minh
RJ + IQ + P S = 0 .
Cho lc gic u
ABCDEF .
Chng minh rng vi im
M
bt k
ta c:
MA + MC + ME MB = MD + MFCho
Bi tp 6.
O
l tm hnh bnh hnh
ABCD, M
l mt im bt k. Chng
minh:
1 M O = (M A + M B + M C + M D) 4Cho tam gic
Bi tp 7.
ABC .
Gi
M, N, P
ln lt l trung im ca
BC, CA, AB .
Chng minh rng:
AM + BN + CP = 0Bi tp 8.
Cho tam gic
ABC .
Gi Gi
M
l trung im ca
AB , N
l mt im
trn
AC
sao cho
N C = 2N A.
K
l trung im ca
MN.
a) Chng minh rng
1 1 AK = AB + AC . 4 6 BC .Chng minh
b) Gi
D
l trung im ca
1 1 KD = AB + AC. 4 3v
Bi tp 9.
Gi
AM
l trung tuyn ca tam gic
ABC
D l trung im AM .
Chng minh rng: a) b)
2DA + DB + DC = 0 2OA + OB + OC = 4OD, Ol im ty .
6
A Typeset by LT X E
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
Bi tp 10.
Gi
E, F
ln lt l trung im ca
AB, CD
v
O
l trung im
ca
EF . Chng minh: 1 AC + BD a) EF = 2 b) OA + OB + OC + OD = 0 c) M A + M B + M C + M D = 4M O (MDng 2: di vect
bt k)
1.2.2
Trc tin tnh c di ca mt vect ta cn ch tnh cht sau y:
| AB |=| BA |= AB .
Vy vic tnh di ca 1 vect thc cht l tnh di ca mt on thng, do vy m ta thng s dng cc phng php bit nh: pitago, t s lng gic,. . .V d 1.3. Cho tam gic u
nh l
ABC cnh a. BC .Ta c:
Tnh
| AB+ AC | v | AB AC |
Li gii.
Gi
M
l trung im
AB + AC = 2AM
Do :
3 | AB + AC |=| 2AM |= 2 | AM |= 2AM = 2. = 3 2Ta c:
| AB AC |=| CB |= CB = a7
A Typeset by LT X E
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
V d 1.4. Cho hnh vungv
| DB + DC |Gi
ABCD cnh b.
Tnh
| DA AB |, | DA + DC |
Li gii.
E
l trung im ca
BC .
Ta c:
| DB + DC |=| 2DE |= 2DE
Mt khc ta c:
DE =
DC 2
+
CE 2
=
b2
+
b 2
2
=b 5
| DB + DC |= 2b 5 | DA AB |=| DA DC |=| CA |= CA = b 2 | DA + DC |=| DB |= DB = b 2Bi tp p dng
Bi tp 11.
| AB + AH |, | AB AH |Bi tp 12.
Cho tam gic u
ABC
cnh
a,
ng cao
AH .
Tnh
| AH |, | GB |,
ABC | GA + GB |, | GA + GB + GC |Cho tam gic uBi tp 13.
cnh
a, G
l trng tm.
Tnh
Cho ng gic u
ABCDE
ni tip ng trn tm
G
bn knh
R.
Tnh:
| GA + GB + GC + GD |Cho tam gic
Bi tp 14.
Tnh di cc [email protected]
ABC vung ti A bit AB = a AB + AC v AB AC8
v gc
B = 600 .
A Typeset by LT X E
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
1.2.3
Dng 3: Biu din vect
V d 1.5. Cho tam gic
2M C .
Hy phn tch
ABC . im M trn cnh BC sao vect AM theo hai vect AB v AC .
cho
MB =
Li gii.
Ta c
2 AM = AB + BM = AB + BC 3 2 = AB + (AC AB) 3 2 1 = AB + AC 3 3V d 1.6. Cho tam gictrn
ABC . M
l trung im ca
AB
v
N
l mt im Hy phn
AC
sao cho
tch vect
AK
N A = 2N C . Gi K theo AB v AC
l trung im ca
MN.
9
A Typeset by LT X E
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
Li gii.
Ta c:
1 AK = (AM + AN ) 2 2 1 1 = ( AB + AC) 2 2 3 1 1 = AB + AC 4 3Bi tp p dng
Bi tp 15.
Cho tam gic
2IC .
Hy tnh
AI
theo
ABC . Gi I AB v AC
l im trn cnh
BC
sao cho
BI =
Bi tp 16.
Cho hnh bnh hnh
din cc vect sau theo a) b)
, a b
ABCD.
t
AB = , AD = b . a
Cc biu
DI AG
vi vi
I
l trung im ca
BC . CDI G, Hl im i xng ca
G
l trng tm ca tam gic
Bi tp 17.
Cho tam gic
ABC
c trng tm
B
qua
G. M
l trung im ca
a) Tnh
AH
v
CH
theo
BC . AB v AC .
b) Chng minh rng:
5 1 M H = AC AB. 6 6 ABCDEF .Phn tch cc vecto
Bi tp 18.
cc vecto
AB
Cho lc gic u v
AF .
BC v BD theo
Bi tp 19.
Cho hnh thang
Hy phn tch vecto
AM
OABC , AM l trung tuyn theo cc vecto OA, OB, OC .
ca tam gic
ABC .
1.2.4
Dng 4: Xc nh mt im tha mn ng thc vecto
xc nh mt im M ta cn phi ch r v tr ca im i vi hnh v. Thng thng ta bin i ng thc vecto cho v dng
OM = a,
trong
O
v
a
c xc nh. Ta thng s dng cc tnh cht v:
10
A Typeset by LT X E
GV: L Ngc Sn - THPT Phan Chu Trinh
Bi tp chuyn Hnh hc 10
im chia on thng theo t s k.
Hnh bnh hnh.
Trung im ca on thng.
Trng tm tam gic,
...
V d 1.7.
11
A Typeset by LT X E