rea acad©mica: matemticas tema: factorizaciones profesor(a): paz mar­a de lourdes cornejo...

Download rea Acad©mica: Matemticas Tema: Factorizaciones Profesor(a): Paz Mar­a de Lourdes Cornejo Arteaga Periodo: Julio-Diciembre 2015

Post on 25-Jan-2016

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Diapositiva 1

rea Acadmica: Matemticas

Tema: Factorizaciones

Profesor(a): Paz Mara de Lourdes Cornejo Arteaga

Periodo: Julio-Diciembre 2015

AbstractFactoring an algebraic expression is to find two or more factors whose product is equal to the term proposal. Factoring can be considered the inverse operation of multiplication factors for a given product are sought. Keywords : factoring , algebraic expression product.Resumen Factorizar una expresin algebraica es hallar dos o ms factores cuyo producto es igual a la expresin propuesta. La factorizacin puede considerarse como la operacin inversa a la multiplicacin, pues se buscan los factores de un producto dado.Palabras clave: factorizar, expresin algebraica, producto.Quelos estudiantes desarrollen la capacidad de:

1.- Definir lo que es un factor y lo que es factorizacin adems de conocer la cantidad de factores primos que tiene un polinomio factorizado.2.- Descomponer en factores, polinomios que tengan un factor comn monomio y polinomio.3.- Factorizar polinomios con los que, al agrupar sus trminos, se pueda obtener factor comn.4.- Factorizar polinomios utilizando las identidades notables anteriormente estudiadas.5.- Descomponer, en factores utilizando el mtodo de las aspas.6.- Factorizar polinomios, empleando la divisin sinttica.Objetivo de aprendizajeUtilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades bsicas y sus operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.Competencia genricaCompetencia extendidaResuelve problemas algebraicos utilizando las propiedades y operaciones algebraicas.Factoriza expresiones con base a casos desarrollados.

FactorizacinCuando se habla de factorizar una expresin algebraica, consiste en hallar dos o ms factores, cuyo producto sea igual a la expresin propuesta. Por ejemplo:15= (3)(5)14ab= (2)(7)(a)(b)5x + 5y= (5)(x + y)Factor comnAl factor que aparece en todos los trminos de una expresin se le llama factor comn.Si en una expresin todos sus trminos tienen factor comn, este ser uno de los factores de factorizacin.Por lo cual lo primero que se tiene que hacer es determinar en la expresin el factor comn, y luego dividir todo el binomio o polinomio dado entre dicho factor, indicando la factorizacin como el producto del factor comn por el cociente obtenido.(TIPOS DE FACTORIZACIN)6Por ejemplo:4ab + 10ac=El factor comn es a, por lo tanto la expresin quedara de la siguiente manera:a(4b + 10c) 2a(2b + 5c), ya que en la expresin anterior todava se puede seguir factorizando.

Agrupacin de trminosAlgunos polinomios no tienen un factor comn a todos los trminos; pero puede ocurrir que grupos de trminos tengan cierto factor comn.Agrupndolos y factorizando cada grupo puede resultar un factor comn a todos los grupos del polinomio.Estas factorizaciones se llaman por agrupacin de trminos.Por ejemplo:Factoricemos ax + 2a + bx + 2b, notemos que el polinomio no tiene un factor comn a todos los trminos, pero se puede agrupar tomando en cuenta los trminos que tengan algn factor comn.(ax + bx) + (2a + 2b), donde los dos primeros trminos tienen a x como factor comn, y los dos ltimos 2.Factorizando cada grupo quedara: x(a + b) + 2(a + b).

Resulta que (a + b) es un factor comn de todo el polinomio, por lo que factorizndolo se tiene: x(a + b) +2(a + b)= (x + 2)(a + b)

As ax + 2a + bx + 2b= (x + 2) (a + b)Diferencia de cuadradosLa diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados formados por las races cuadradas de los trminos de esta diferencia, teniendo en cuenta que los trminos simtricos de los binomios conjugados deben corresponder a la raz cuadrada del sustraendo en la diferencia de cuadrados.Por ejemplo:Factoricemos 9a2 16b2Obtengamos la raz cuadrada de 9a2 es: 3aDeterminamos la raz cuadrada de 16b2 es: 4bObtenemos los binomios conjugados multiplicando la suma de estas races (3a +4b) por su diferencia (3a 4b) y tendremos:9a2 16b2= (3a + 4b)(3a - 4b)Trinomio Cuadrado PerfectoUna cantidad es cuadrado perfecto cuando su raz cuadrada es racional.Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene un trinomio, este se denomina trinomio cuadrado perfecto, ya que se obtiene al elevar al cuadrado el binomio a + b, es decir:(a + b)2= a2 + 2ab +b2Por ejemplo:X2 + 14x + 49La raz cuadrada del primer trmino x2 es: xLa raz cuadrada del tercer trmino 49 es: 7Por lo tanto, x2 y 49 son cuadrados perfectos y ambos trminos tienen signos positivos.El doble del producto de las races es (2)(7)(x)= 14x, el segundo trminoAs x2 + 14x + 49 es cuadrado perfectoTrinomio de la forma x2 + bx +c

A el resultado del producto de dos binomios con un trmino comn se le conoce como: trinomio de la forma x2 + bx +c, cuyo primer trmino es cuadrado perfecto, el segundo trmino tiene un factor igual a la raz cuadrada positiva del primero y el tercer trmino es independiente de la letra del primer trmino.Por ejemplo:x2 + 5x + 6Se debe obtener dos binomios cuyo primer trmino sea x, osea la raz cuadrada del primer trmino del trinomio (x )(x ).Ahora se debe encontrarlos segundos trminos, que deben ser 2 nmeros cuyo producto debe ser igual a 6 (el trmino independiente), y cuya suma sea 5 (el coeficiente de x)

El producto (+6) es positivo, lo que indica que ambos trminos deben ser positivos o negativos, adems la suma tambin es positiva (+5), por lo que ambos deben ser positivos.Los nmeros buscados son 2 y 3, ya que el producto de estos da 6, y la suma de los mismos da 5.Por lo cual x2 + 5x + 6= (x +2)(x + 3)Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Trinomios de este tipo provienen de multiplicar dos binomios, donde los trminos de un binomio son semejantes a los trminos del otro binomio.Por ejemplo:Factoricemos 5x2 + 16 x +3Una forma de resolverlo es la siguiente: podemos convertir este trinomio en otro que tenga la forma x2 + bx + c, esto es posible multiplicndolo por el coeficiente del primer trmino as:5(5x2) +5(16x) +5(3)Escribindolo de otro modo (5x)2 + 5(16x) + 5(3)

Los factores deben ser dos binomios cuyo primer trmino sea 5x y los segundos trminos deben ser dos nmeros cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 16:(5x)2 +16(5x) +15= (5x + 15)(5x + 1)Factorizando: = 5(x + 3)(5x + 1)Debido a que al trinomio original lo multiplicamos por 5, la expresin anterior la dividiremos entre 5 para tener la factorizacin del trinomio original:5x2 +16x + 3= (x + 3)(5x + 1)

Suma y diferencia de cubosSe tiene una suma o diferencia de cubos cuando en un binomio ambos trminos tienen raz cbica racional.La suma de los cubos de 2 trminos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las races cbicas de esos trminos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas races, disminuida en su producto.La diferencia de los cubos de dos trminos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de las races cbicas de esos trminos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas races, incrementada en su producto.

Por ejemplo:Factoricemos x3 + 27La Raz cbica de x3 + 27 es: (x + 3)El binomio anterior (x + 3) se eleva al cuadrado(x + 3)[(x)2 -3(x) + 32)=(x + 3)(x2 - 3x + 9)Estrategia general para factorizarCuando se te presente un expresin para factorizar, despus de observarla debes analizar si tiene un factor comn, en caso de que lo tenga lo factorizas.Si no tiene factor comn pasa a contar el nmero de trminos que tiene.Si es un binomio, analiza si es una diferencia de cuadrados, diferencia de cubos o suma de cubos y lo factorizas segn el caso.Si la expresin no es binomio puede ser un trinomio, en caso de serlo analiza si es trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2 + bx +c, o trinomio de la forma ax2 + bx + c, y lo factorizas segn el caso.

Si la expresin no es binomio ni trinomio, puede ser un polinomio de ms de 3 trminos y en ese caso debes analizar si se puede factorizar por agrupacin; en caso contrario ya habrs terminado la secuencia.Despus de factorizar de alguna de las formas mencionadas debes analizar cada uno de los factores obtenidos, realizando nuevamente la secuencia, ya que es posible que alguno de los factores se pueda factorizar.BIBLIOGRAFIA Eduardo Basurto Hidalgo, Ed. PearsonAbelardo Guzmn, Ed. Publicaciones Culturales