apuntes para la teoría de desición

8/12/2019 Apuntes para la teora de desicin

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Apuntes para Teora de Decisin.

M en C. Javier Araiza

MODELOS DE TOMA DE DECISIONES


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La teora de decisiones proporciona una manera til de clasificar modelos para la toma dedecisiones. Se supondr ue se !a definido el pro"lema# ue se tienen todos los datos $ ue se!an identificado los cursos de accin alternativos. La tarea es entonces seleccionar la me%oralternativa. la teora de decisiones dice ue esta tarea de !acer una seleccin caer en una de

las cuatro cate&oras &enerales dependiendo de la !a"ilidad personal para predecir lasconsecuencias de cada alternativa.

Categoras Consecuencias

Certidum"re Deterministas

'ies&o (ro"a"ilsticas

)ncertidum"re Desconocidas

Conflicto)nfluidas por un

oponente

TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE

*n los procesos de decisin "a%o incertidumbre# el decisor conoce cules son los posi"lesestados de la naturaleza# aunue no dispone de informacin al&una so"re cul de ellosocurrir. +o slo es incapaz de predecir el estado real ue se presentar# sino ue adems no

puede cuantificar de nin&una forma esta incertidum"re. *n particular# esto e,clu$e elconocimiento de informacin de tipo pro"a"ilstico so"re las posi"ilidades de ocurrencia decada estado.


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REGLAS DE DECISIN

A continuacin se descri"en las diferentes reglas e ecisi!nen am"iente de incertidum"re# $ue sern sucesivamente aplicadas al e%emplo de construccin del !otel.

Criterio de -ald

Criterio Ma,ima,

Criterio de ur/icz

Criterio de Sava&e

Criterio de Laplace

(ara tra"a%ar con los criterios utilizaremos la si&uiente matriz0

Estaos e la Naturale"a

Alternati#as

e$ e% . . . en

a$ ,11 ,12 . . . ,1n

a% ,21 ,22 . . . ,2n

. . . . . . . . . . . . . . .

a& ,m1 ,m2 . . . ,mn

3orma &eneral de una ta"la dedecisin


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CRITERIO DE LA'LACE

*ste criterio# propuesto por Laplace en 1425# est "asado en el (rinci(io e ra"!ninsu)iciente0 como a priori no e,iste nin&una razn para suponer ue un estado se puede

presentar antes ue los dems# podemos considerar ue toos los estaos tienen la &is&a(ro*a*ilia e ocurrencia# es decir# la ausencia de conocimiento so"re el estado de lanaturaleza euivale a afirmar ue todos los estados son euipro"a"les. As# para un pro"lemade decisin con nposi"les estados de la naturaleza# asi&naramos (ro*a*ilia $+na cadauno de ellos.

La re&la de Laplace selecciona como alternativa ptima auella ue proporciona un ma$orresultado esperado0

( )

=

n

j

jii eaxn

amx1

#1

6

EJEM'LO

(artiendo del e%emplo de construccin del !otel# la si&uiente ta"la muestra los resultadosesperados para cada una de las alternativas.

Alternati#as

Terrenoco&(rao


Aero(uerto en A Aero(uerto en BResultaoes(erao

A $, -$% ./0

B -1 $$ $/0

A 2 B 0 -$ %

Ninguno . . .

*n este caso# cada estado de la naturaleza tendra pro"a"ilidad ocurrencia 172. *l resultadoesperado m,imo se o"tiene para la tercera alternativa# por lo ue la decisin ptima se&n elcriterio de Laplace sera comprar am"as parcelas.

CR3TICA


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La o*4eci!n ue se suele !acer al criterio de Laplace es la si&uiente0 ante una &is&arealia5 (ueen tenerse istintas (ro*a*iliaes5 seg6n los casos 7ue se consieren. (ore%emplo# una partcula puede moverse o no moverse# por lo ue la pro"a"ilidad de no moversees 172. *n cam"io# tam"i8n puede considerarse de la si&uiente forma0 una partcula puedemoverse a la derec!a# moverse a la izuierda o no moverse# por lo ue la pro"a"ilidad de nomoverse es 179.

Desde un punto de vista prctico# la dificultad de aplicacin de este criterio reside en lanecesidad de ela"oracin de una lista e89austi#a 2 &utua&ente e8clu2ente e toos los(osi*les estaos e la naturale"a.

(or otra parte# al ser un criterio "asado en el conce(to e #alor es(erao# su funcionamientode"e ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin em"ar&o#en auellos casos en ue la eleccin slo va a realizarse una vez# puede conducir a decisiones

poco acertadas si la distri"ucin de resultados presenta una &ran dispersin# como se muestraen la si&uiente ta"la0


Alternati#as e$ e%Resultaoes(erao

a$ $0... -0... 0...

a% 0... :... :0..

*ste criterio seleccionara la alternativa a$# ue puede ser poco conveniente si la toma dedecisiones se realiza una nica vez# $a ue podra conducirnos a una p8rdida elevada


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CRITERIO DE ;ALD

*ste es el criterio ms conservador $a ue est "asado en lo&rar lo me%or de las peorescondiciones posi"les. esto es# si el resultado x(ai, ej) representa p8rdida para el decisor#

entonces# para aila peor p8rdida independientemente de lo ue ejpueda ser# es mx ej{ x(ai,ej) }.*l criterio minima, eli&e entonces la accin aiasociada a 0

:#;6 jieai eaxmxmnaElegir ji=

*n una forma similar# six(ai, ej)representa la &anancia# el criterio eli&e la accin ai asociadaa 0

:#;6jieai

eaxmnmxaElegirji

=

*ste criterio reci"e el nom"re de criterio &a8i&in# $ corresponde a un (ensa&iento(esi&ista# pues razona so"re lo peor ue le puede ocurrir al decisor cuando eli&e unaalternativa.

EJEM'LO

(artiendo del e%emplo de construccin del !otel# la si&uiente ta"la muestra las recompensas

o"tenidas %unto con los niveles de se&uridad de las diferentes alternativas0

Alternati#as

Terreno co&(rao


Aero(uerto en A Aero(uerto en B si

A $, - $% -$%

B - 1 $$ -1

A 2 B 0 - $ -$

Ninguno . . .

La alternativa ptima se&n el criterio de -ald sera no comprar nin&uno de los terrenos# puesproporciona el ma$or de los niveles de se&uridad.

CR3TICA


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*n ocasiones# el criterio de -ald puede conducir a decisiones poco adecuadas. (or e%emplo#consideremos la si&uiente ta"la de decisin# en la ue se muestran los niveles de se&uridad delas diferentes alternativas.

Estaos e laNaturale"a

Alternati#as e$ e% si

a$ $...


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CRITERIO DE =UR;IC>

*ste criterio representa un intervalo de actitudes desde la ms optimista !asta la mspesimista. *n las condiciones ms optimistas se ele&ira la accin ue proporcione el mx ai

mx ej { x(ai, ej) ? ? 1. *sto es# si x(ai, ej) representa "eneficio# seleccione la accin ue

proporcione0

:#;:1;:#; jiejiea eaxmneaxmxmx jji +

(ara el caso donde x(ai, ej) representa un costo# el criterio selecciona la accin ue

proporciona0

:#;:1;:#; jiejiea eaxmxeaxmnmn jji +

*l parmetro se conoce como nice e o(ti&is&o? cuando @ 1# el criterio es demasiadooptimista cuando @ ># es demasiado pesimista . Bn valor de entre cero $ uno puede ser

seleccionado dependiendo de si el decisor tiende !acia el pesimismo o al optimismo. *n

ausencia de una sensacin fuerte de una circunstancia u otra# un valor de @ 172 parece ser

una seleccin razona"le.


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EJEM'LO

(artiendo del e%emplo de construccin del !otel# la si&uiente ta"la muestra las recompensaso"tenidas %unto con la media ponderada de los niveles de optimismo $ pesimismo de las

diferentes alternativas para un valor a @ ./:0

Alternati#as

Terrenoco&(rao


Aero(uerto en A Aero(uerto en B &nei &8ei Sai

A $, -$% -$% $, -%

B -1 $$ -1 $$ -./:

A 2 B 0 -$ -$ 0 $/:

Ninguno . . . . .

La alternativa ptima se&n el criterio de ur/icz sera comprar las parcelas A $ # puesproporciona la ma$or de las medias ponderadas para el valor de aseleccionado.


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CRITERIO DE SAAGE

*n 151 Sa#agear&umenta ue al utilizar los valores 8i4para realizar la eleccin# el decisorcompara el resultado de una alternativa "a%o un estado de la naturaleza con todos los dems

resultados# independientemente del estado de la naturaleza "a%o el ue ocurran. Sin em"ar&o#el estado de la naturaleza no es controla"le por el decisor# por lo ue el resultao e unaalternati#a s!lo e*era ser co&(arao con los resultaos e las e&s alternati#as *a4oel &is&o estao e la naturale"a.

Con este propsito Sava&e define el concepto de (ria relati#ao (ria e o(ortuniari4asociada a un resultado 8i4como la diferencia entre el resultado de la me%or alternativa dadoue e4es el verdadero estado de la naturaleza $ el resultado de la alternativa ai"a%o el estadoe40

As# si el verdadero estado en ue se presenta la naturaleza es e4 $ el decisor eli&e laalternativa aiue proporciona el m,imo resultado 8i4# entonces no !a de%ado de &anar nada#

pero si eli&e otra alternativa cualuiera ar # entonces o"tendra como &anancia 8r4$ de%ara de&anar 8i4-8r4.

Sava&e propone seleccionar la alternativa ue proporcione la menor de las ma$ores p8rdidasrelativas# es decir# si se define ricomo la ma$or p8rdida ue puede o"tenerse al seleccionar laalternativa ai#

el criterio de Sava&e resulta ser el si&uiente0

Conviene destacar ue# como paso previo a la aplicacin de este criterio# se de"e calcular lamatriz de p8rdidas relativas# formada por los elementos ri4. Cada columna de esta matriz seo"tiene calculando la diferencia entre el valor m,imo de esa columna $ cada uno de losvalores ue aparecen en ella.


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E"serve ue si x(ai, ej)es una funcin de "eneficio o de p8rdida# la matriz de p8rdidasrelativas# formada por los elementos ri4 representa en am"os casos p8rdidas. 'or consiguiente56nica&ente el criterio &ini&a8 2 no el &a8i&in (uee ser a(licao a la &atri" ee(loraci!n r/

EJEM'LO

(artiendo del e%emplo de construccin del !otel# la si&uiente ta"la muestra la matriz dep8rdidas relativas $ el mnimo de 8stas para cada una de las alternativas.

Alternati#as

Terreno

co&(rao


Aero(uerto en A Aero(uerto en B ri

A . %, %,

B %$ . %$

A 2 B 1 $% $%

Ninguno $, $$ $,

*l ma$or resultado situado en la columna 1 de la ta"la de decisin ori&inal es 19 al restar aesta cantidad cada uno de los valores de esa columna se o"tienen las p8rdidas relativas "a%o elestado de la naturalezaAeropuerto en A. De la misma forma# el m,imo de la columna 2 en lata"la ori&inal es 11 restando a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna seo"tienen los elementos ri4correspondientes al estado de la naturalezaAeropuerto en B. Como

puede o"servarse# el valor rimenor se o"tiene para la tercera alternativa# por lo ue ladecisin ptima se&n el criterio de Sava&e sera comprar am"as parcelas.


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CR3TICA

*l criterio de Sava&e puede dar lu&ar en ocasiones a decisiones poco razona"les. (aracompro"arlo# consideremos la si&uiente ta"la de resultados0


Alternati#as e$ e%

a$ < %

a% : F

La ta*la e (rias relati#ascorrespondiente a esta ta"la de resultados es la si&uiente0


Alternati#as e$ e% ri

a$ . : :

a% 0 . 0

La alternativa ptima es a$. Supon&amos a!ora ue se aFade una alternativa# dando lu&ar a lasi&uiente ta"la de resultados0


Alternati#as e$ e%

a$ < %

a% : F

a, ,


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EJERCICIOS

CRITERIOS DE DECISION EN INCERTIDUMBRE

1. Bna instalacin recreativa de"e decidir acerca del nivel de a"astecimiento ue de"e

almacenar para satisfacer las necesidades de sus clientes durante uno de los das de fiesta. *lnmero e,acto de clientes no se conoce# pero se espera ue est8 en una de cuatro cate&oras02>>#25># 9>> o 95> clientes. Se su&ieren# por consi&uiente# cuatro niveles de a"astecimiento#siendo el nivel i el ideal ;desde el punto de vita de costos: si el nmero de clientes cae en lacate&ora i. La desviacin respecto de niveles ideales resulta en costos adicionales# $a sea

porue se ten&a un a"astecimiento e,tra sin necesidad o porue la demanda no puedesatisfacerse. La ta"la ue si&ue proporciona estos costos en miles de unidades monetarias.

+ivel dea"astecimiento

e1;2>>: e2;25>: e9;9>>: eH;95>:

a1;2>>: 5 1> 14 25

a2;25>: 4 I 4 29

a9;9>>: 21 14 12 21

aH;95> 9> 22 1 15

Determine cual es el nivel de aprovisionamiento ptimo# utilizando los criterios e,plicados.

RESULTADOS

A LA'LACE?

*l principio de Laplace esta"lece ue e1# e2# e9# eH tienen la misma pro"a"ilidad de suceder.(or consi&uiente las pro"a"ilidades asociadas son (;,:@17H $ los costos esperados para lasacciones son0

*;a1: @ ;17H:;51>1425: @ 1H.5

Ea% @ $+:1HH1H%, @ $$/0

*;a9: @ ;17H:;21141221: @ 14.>

*;aH: @ ;17H:;9>22115: @ 21.5

(or lo tanto# el me%or nivel de inventario de acuerdo con el criterio de Laplace estespecificado por a2.


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D SAAGE

Se o"tiene primero la matriz ri4 restando 5# I# 4 $ 15 de las columnas 1# 2# 9 $ Hrespectivamente.

+ivel dea"astecimiento

e1;2>>: e2;25>: e9;9>>: eH;95>:

a1;2>>: 5 1> 14 25 1>

a2;25>: 4 I 4 291

#alor &ini&a8

a9;9>>: 21 14 12 21 1

aH;95> 9> 22 1 15 25

2. Considere la si&uiente matriz de pa&os ;"eneficios:0

e1 e2 e9 eH e5

a1 15 1> > = 1I

a2 9 1H 4 2

a9 1 5 1H 2> =9

aH I 1 1> 2 >

+o se conocen pro"a"ilidades para la ocurrencia de los estados de la naturaleza. Compare lassoluciones o"tenidas con cada uno de los criterios aprendidos.


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9. Considere las si&uientes ta"las de retri"uciones en la ue cada dato es un rendimiento netoen dlares. Supon&a ue es una decisin en la ue no se tiene conocimiento del estado de lanaturaleza. Determine la me%or decisin utilizando los criterios aprendidos.

Ta"la a:

*stados de la

naturaleza

Decisin 1 2 9 H

1 95 22 25 12

2 2I 25 2> 14

9 22 25 25 24

H 2> 25 24 99

Ta"la ":

*stados de la

naturaleza

Decisin 1 2 9

1 9 4 5

2 I H

9 5


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TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO

*sta cate&ora inclu$e auellas decisiones para las ue las consecuencias de una accin dadadependen de al&n evento pro"a"ilista.

*J*M(LE

Supon&a ue tiene un peueFo local de ventas de pinos para +avidad. La primera tarea esdecidir cuntos pinos ordenar para la si&uiente temporada. Supn&ase ue se de"e pa&ar 9.5

por cada r"ol# se pueden ordenar solo lotes de 1>> $ se planea venderlos a 4 cada uno. (orsupuesto# si no se venden# no tienen valor de recuperacin. Se estudian los re&istros de ventas

pasadas en la i&lesia $ se analiza el crecimiento potencial de las ventas con otros vendedores#lle&ando a las si&uientes estimaciones para la si&uiente temporada0

enta e (inos 'ro*a*ilia

1>> >.9

2>> >.9

9>> >.H

Con estos datos se puede calcular la &anancia para cada com"inacin de cantidad ordenada $ventas eventuales. (or e%emplo# si se ordenan 9>> pinos $ se venden slo 2>># la utilidad netaser de H.5 por cada r"ol vendido menos una p8rdida de 9.5 por los r"oles no vendidos#es decir0

2>>;4=9.5:=1>>;9.5:@>>=95>@55>

Si se !ace esto para cada una de las com"inaciones $ se o"tienen los resultados mostrados en

la ta"la de decisiones si&uiente o tam"i8n llamada matriz de pa&os0


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E#entos e&ana e r*oles

Alternati#ase ecisi!n

1>> 2>> 9>>

;>.9: ;>.9: ;>.H:

1>> H5> H5> H5>

2>> 1>> >> >>

9>> =25> 55> 1.H>>

*l resultado ms importante de la teora de decisiones "a%o ries&o es ue de"e seleccionarse laalternativa ue ten&a el ma$or NALE' *S(*'ADE.

*,isten muc!as decisiones administrativas ue pueden catalo&arse como toma de decisiones"a%o ries&o. Al&unas de ellas son0

ODe"er introducirse un nuevo producto en particularP

ODe"er ofrecerse ms para o"tener un contratoP

ODe"er construirse una nueva planta o ampliarse la ue se tieneP

OCuntos pasteles de"er producir una pastelera para la venta diariaP.

ODe"er una compaFa petrolera realizar prue"as ssmicas costosas antes de !acer una

nueva perforacinP

ODe"er iniciarse un nuevo pro&rama costoso de propa&andaP


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TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE

Si se pueden predecir con certeza las consecuencias de cada alternativa de accin# entoncesse tiene una tarea de toma de decisiones "a%o certidum"re.

Etra manera de pensar en esto es ue e,iste una relacin directa de causa $ efecto entrecada acto $ su consecuencia. Si est lloviendo# Ode"er llevarse un para&uasP# si !ace fro#Ode"er llevarse un a"ri&oP. Ka sea ue se lleve o no el para&uas o el a"ri&o# lasconsecuencias son predeci"les.

Bna "uena parte de las decisiones ue se toman a diario cae dentro de esta cate&ora.

O*n dnde comerP

O*n donde comprar el material de la oficinaP

Al&unos de los modelos o t8cnicas utilizados para mane%ar estas decisiones son0

Anlisis del punto de euili"rio.

(ro&ramacin Lineal.

(ro&ramacin de la produccin.

Control de )nventarios.

'ROGRAMACION LINEAL

Muc!as decisiones de Direccin de Eperaciones inclu$en el intentar conse&uir utilizar losrecursos de la or&anizacin de la manera ms efectiva posi"le. Los recursos &eneralmenteinclu$en mauinarias ;como los aviones:# mano de o"ra ; como los pilotos:# dinero#tiempo $ materias primas ;como el com"usti"le:. estos recursos se pueden utilizar para

producir productos ;como muinas# mue"les# alimentos $ vestuario: o servicios ;comolistas de vuelos# campaFas de pu"licidad o decisiones de inversin:.

La pro&ramacin lineal es un m8todo determinista de anlisis para ele&ir la me%or entremuc!as alternativas. Cuando esta me%or alternativa inclu$e un con%unto coordinado deactividades# se le puede llamar plan o pro&rama.

Con frecuencia# seleccionar una alternativa inclu$e satisfacer varios criterios al mismotiempo.

(or e%emplo# cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura# tamaFo#

tipo ;"lanco# de centeno u otro:# costo# re"anado o no re"anado# etc.

Se pueden adems dividir estos criterios en dos cate&oras0 restricciones $ o"%etivo.


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Las restricciones son las condiciones ue de"e satisfacer una solucin ue est "a%oconsideracin.

Si ms de una alternativa satisfacen todas las restricciones# el o"%etivo se usa paraseleccionar entre todas las alternativas facti"les.

Cuando se eli&e una pieza de pan# puede uererse un Qilo de pan "lanco re"anado $ !ec!oen el da. Si varias marcas satisfacen estas restricciones# puede aplicarse el o"%etivo de uncosto mnimo $ esco&er el ms "arato.

*,isten muc!os pro"lemas administrativos ue se a%ustan a este modelo de tratar deminimizar o ma,imizar un o"%etivo ue est su%eto a una lista de restricciones.

Bn corredor de inversiones# por e%emplo# trata de ma,imizar el rendimiento

so"re los fondos invertidos pero las posi"les inversiones estn restrin&idas por lasle$es $ las polticas "ancarias.

Bn !ospital de"e planear ue las comidas para los pacientes satisfa&an ciertas

restricciones so"re sa"or# propiedades nutritivas# tipo $ variedad# al mismo tiempoue se trata de minimizar el costo.

Bn fa"ricante# al planear la produccin futura# "usca un costo mnimo al

mismo tiempo cmo cumplir restricciones so"re la demanda del producto# lacapacidad de produccin# los inventarios# el nivel de empleados $ la tecnolo&a.

La programacin lineal es una tcnica eterminista, no inclu!e

pro"a"iliaes. El o"jeti#o ! caa una e las restricciones se e"en expresarcomo una relacin lineal, e a$ el nom"re e programacin lineal.


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Todos los pro"lemas de (L ;(ro&ramacin Lineal: tiene cuatro propiedades en comn0

1. Los pro"lemas de (L "uscan &a8i&i"ar o &ini&i"aruna cantidad ;&eneralmente"eneficios o costos:. +os referimos a ello como la unci!n O*4eti#ode un (L. *l

principal o"%etivo de una empresa tipo es a,imizar los "eneficios a lar&o plazo. *n elcaso de un sistema de distri"ucin# el o"%etivo puede ser minimizar los costos detransporte.

2. La presencia de restriccioneslimita el &rado en ue podemos perse&uir el o"%etivo.(or e%emplo# decidir cuntas unidades se de"en fa"ricar para una lnea de productos deuna empresa est restrin&ido por la disponi"ilidad de !oras de mano de o"ra $muinas. Se uiere por tanto# ma,imizar o minimizar una cantidad ;funcin o"%etivo:su%eta a las limitaciones de recursos ;restricciones:.

3. De"en e,istir i)erentes alternati#asdonde poder ele&ir. (or e%emplo# si una empresafa"rica tres productos# los directivos pueden utilizar (L para decidir cmo asi&nar

entre ellos sus recursos de produccin limitados ;tra"a%o# muinas $ dems:. Si noe,isten alternativas evidentes ue seleccionar# no necesitaremos la (L.

H. La funcin o"%etivo $ las restricciones de un (L de"en ser e,presadas en t8rminos deecuaciones linealeso inecuaciones.

Bna de las aplicaciones ms comunes de la pro&ramacin lineal es el pro"lema del plan deproduccin. Do o ms productos se fa"rican con recursos limitados. La empresa deseasa"er cuntas unidades de"en fa"ricarse de cada producto# ma,imizando los "eneficios&lo"ales $ teniendo en cuenta las limitaciones de recursos.

EJEM'LO

Son$ fa"rica dos productos0 ;1: el -alQman un radiocasete porttil $ ;2: el S!ader TN# untelevisor en "lanco $ ne&ro del tamaFo de un relo% de pulsera. *l proceso de produccin deam"os productos se aseme%a en ue los dos necesitan un nmero de !oras de tra"a%o en eldepartamento de electrnica# $ un cierto nmero de !oras de mano de o"ra en el departamentode monta%e. Cada -alQman necesita cuatro !oras de tra"a%o de electrnica $ dos en el tallerde monta%e. Cada televisor necesita tres !oras de electrnica $ una en monta%e. Durante el

actual perodo de produccin se dispone de doscientas cuarenta !oras en el departamento deelectrnica $ de cien !oras en el de monta%e. Cada -alQman vendido supone un "eneficio deI dlares# mientras ue para un televisor el "eneficio unitario es de cinco dlares.

*l pro"lema de Son$ es determinar la me%or com"inacin posi"le de -alQman$ televisoresue de"e producir para alcanzar el m,imo "eneficio.

*sta situacin puede formularse como un pro&rama lineal.

*mpezaremos resumiendo la informacin necesaria para formular $ resolver este pro"lema.

oras necesarias para producir una unidad


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Departamento ;,1: -alQman ;,2: Televisores rs. disponi"les

*lectrnica H 9 2H>

Monta%e 2 1 1>>

eneficios I 5

Bna vez !ec!o esto# utilizaremos la si&uiente notacin0

Sea 0

$@ n6&ero e ;alK&an a (roucir/

%@ n6&ero e tele#isores a (roucir

A!ora podemos escri"ir la funcin o"%etivo en t8rminos de ,1$ ,20

Ma8i&i"ar Bene)icio @ 8$H 08%

+uestro si&uiente paso es desarrollar relaciones matemticas ue descri"an las doslimitaciones del pro"lema. Bna relacin de carcter &eneral sera ue la cantidad de recursos

utilizados sea menor o i&ual ;?:ue la cantidad de recursos disponi"les.

(rimera restriccin0 tiempo de electrnica utilizado ? tiempo de electrnica disponi"le.

:8$ H ,8% %:. 9oras e tra*a4o en electr!nica

Se&unda restriccin0 tiempo de monta%e utilizado ? tiempo de monta%e disponi"le.

%8$ H $8% $.. 9oras e tra*a4o en &onta4e

Am"as restricciones representan las limitaciones de capacidad $# por supuesto# afectan al"eneficio total. (or e%emplo# Son$ no puede producir I> -alQman durante el perodo deproduccin porue si ,1@I># am"as restricciones se incumplen.

Tampoco puede !acer 5> -alQman $ 1> televisores ;,1 @ 5># ,2 @ 1>:# porue en este caso seincumplira la se&unda restriccin.

*stas restricciones nos llevan a otro aspecto importante de la pro&ramacin lineal0 e,istirninteracciones entre varia"les. Cuantas ms unidades se realicen de un producto menos sefa"ricarn de otros.


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La forma ms fcil de solucionar un peueFo pro"lema de (L# como por e%emplo el deSon$ # es la solucin &rfica. *l procedimiento &rfico puede utilizarse cuando e,isten dosvaria"les de decisin# como el nmero de -alQman a producir ;1: $ el nmero detelevisores a producir ;,2:.

Cuando e,isten ms de dos varia"les# es imposi"le di"u%arlo en un &rfico de dosdimensiones# por lo ue !a"rn de adoptarse otros m8todos de resolucin ms comple%osue se descri"irn ms adelante.

Re(resentaci!n gr)ica e las restricciones

(ara encontrar la solucin ptima de un pro"lema (L# en primer lu&ar de"emos identificar elcon%unto o re&in de soluciones posi"les ;valores de las varia"les ue cumplen lasrestricciones del pro"lema/

*l primer paso para conse&uirlo es di"u%ar las restricciones del pro"lema en un &rfico.

'etomemos el pro"lema de e%emplo de Son$0

Ma8i&i"ar Bene)icio @ 8$H 08%

S/A/ :8$H ,8% %:. 9oras e tra*a4o en electr!nica

%8$H $8% $.. 9oras e tra*a4o en &onta4e

8$5 8% . n6&ero e uniaes no e*e ser negati#o


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(ara di"u%ar las restricciones en un &rfico# de"emos transformar las desi&ualdades eni&ualdades0

Restricci!n A? :8$H ,8% @ %:.

Restricci!n B? %8$H $8% @ $..

La varia"le ,1 ;-alQman: &eneralmente se di"u%a en el e%e !orizontal $ la varia"le ,2;televisores: en el e%e vertical.


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'ROGRAMACIN LINEAL

'ROBLEMAS

.$Bn frutero necesita 1 ca%as de naran%as# 5 de pltanos $ 2> de manzanas. Dos ma$oristas puedensuministrarle para satisfacer sus necesidades# pero slo venden la fruta en contenedores completos. *lma$orista A enva en cada contenedor 4 ca%as de naran%as# 1 de pltanos $ 2 de manzanas. *l ma$orista enva en cada contenedor 2 ca%as de naran%as# una de pltanos $ I de manzanas. Sa"iendo ue el ma$oristaA se encuentra a 15> Qm de distancia $ el ma$orista a 9>> Qm# calcular cuntos contenedores !a"r decomprar a cada ma$orista# con o"%eto de a!orrar tiempo $ dinero# reduciendo al mnimo la distancia de losolicitado.

.%Bna compaFa tiene dos minas0 la mina A produce diariamente 1 tonelada de car"n de antracita de altacalidad# 2 toneladas de car"n de calidad media $ H toneladas de car"n de "a%a calidad la mina produce2 toneladas de cada una de las tres clases. La compaFa necesita I> toneladas de car"n de alta calidad# 19>de calidad media $ 15> de "a%a calidad. Los &astos diarios de la mina A ascienden a 15> dlares $ los de la

mina a 2>> dlares. OCuntos das de"ern tra"a%ar en cada mina para ue la funcin de coste seamnimaP

., )ma&inemos ue las necesidades semanales mnimas de una persona en protenas# !idratos de car"ono $&rasas son# respectivamente# 4# 12 $ unidades. Supon&amos ue de"emos o"tener un preparado con esacomposicin mnima mezclando dos productos A $ # cu$os contenidos por R& son los ue se indican enla si&uiente ta"la0

(rotenas idratos rasas Costo7Q&

A 2 1 >>

1 1 9 H>>

a: OCuntos R& de cada producto de"ern comprarse semanalmente para ue el costo depreparar la dieta sea mnimoP": OCuntos R& de cada producto de"eramos comprar si el precio de A su"iera a 1.>>>pesos7R& P

.:*n la ela"oracin de un producto A se necesita una sustancia . La cantidad de A o"tenida es menor oi&ual ue el do"le de utilizada# $ la diferencia entre las cantidades del producto $ A no supera los 2&mientras ue la suma no de"e so"repasar los 5&.Adems se utiliza por lo menos 1& de $ se reuiere 1 & de A. La sustancia A se vende a 5 millones $ la cuesta H millones el &ramo. Calcular la cantidad de sustancia necesaria para ue el "eneficio sea m,imo.
http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p01http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p02http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p03http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p04http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p01http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p02http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p03http://personal.redestb.es/ztt/Prob/B1s1_Prog_Lineal.htm#p04


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SOLUCIONES

.$

MATEMATI>ACIN DEL 'ROBLEMA

MAKE')STAA

MAKE')STA

+ecesidadesmnimas

+aran%as 4 2 1 ca%as

(ltanos 1 1 5 ca%as

Manzanas 2 I 2> ca%as

Distancia 15> Rm 9>> Rm

ARIABLES INSTRUMENTALES

Llamamos x al nmero de contenedores del ma$orista ALlamamos ! al nmero de contenedores del ma$orista

UNCIN OBJETIO;Mini&i"ar:

3;: @ 15>, 9>>$

RESTRICCIONES

REGIN DE SOLUCIONES ACTIBLES


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SOLUCIN ACTIBLE 'TIMA

E"servamos ue el mnimo se alcanza en el punto ';9#2: ;solucin ptima:(or tanto el frutero solicitar 9 contenedores del ma$orista A $ 2contenedores del ma$orista .


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*l mnimo se o"tiene en el punto ';>#5: es decir# la compaFa de"etra"a%ar > das en la mina A $ 5 das en la mina para ue el costo seamnimo.

ALOR DEL 'ROGRAMA LINEAL

Como la funcin o"%etivo es 3;: @ 15>, 2>>$ el valor del pro&ramalineal ;&asto: es 3;: @ 15>U> 2>>U5 @ 1>.>>> diarios.


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Todos los puntos ue forman la re&in%son soluciones facti"les# $ porparalelismo con la recta de "eneficio nulo & vemos ue ';9#2: es elpunto mnimo. (or tanto# de"en comprarse 9 Q&. de A $ 2 Q&. de paraue el &asto sea mnimo.

ALOR DEL 'ROGRAMA LINEAL

Cuando la funcin o"%etivo es 3;: @ >>, H>>$ el valor del pro&ramalineal ;&asto: es 2.>>

Si la funcin o"%etivo es 3;: @ 1>>, H>>$ la solucin ptima est en elpunto V;1#: $ el valor del pro&rama lineal ;&asto: es 9.H>>

.:

ARIABLES INSTRUMENTALESLlamamos x a la cantidad de sustancia ALlamamos ! a la cantidad de sustancia

UNCIN OBJETIO;Ma8i&i"ar:

3;: @ 5, H$

RESTRICCIONES

REGIN DE SOLUCIONES ACTIBLES



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apuntes para la teoría de desición

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