UNIVERSIDAD DE LA SERENA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPTO. DE INGENIERÍA MECÁNICA

APUNTES DE

CONTROL AUTOMÁTICO

DRA: CAROLINA PONCE ARIAS

PROFESORA DEPTO. ING. MECÁNICA

2004

1

CAPÍTULO 1

CONCEPTO FUNDAMENTALES

1.1- INTRODUCCIÓN

SISTEMA:

Las actividades complejas de diversa índole, y la necesidad de un análisis general

eficiente, requieren de un tratamiento del problema en forma independiente de su

naturaleza.

Todas aquellas disciplinas de la necesidad humana que se fundamentan en

conceptos y desarrollos científicos operan en un corriente accionar entre la

abstracción y la realización práctica.

El objeto real de tal accionar se denomina “ proceso” y su abstracción “ sistema”.

PROBLEMA REAL

PROBLEMA FÍSICO

PROBLEMA MATEMÁTICO

SIMULACIÓN

ANÁLISIS

SÍNTESIS

CONCLUSIONES

2

La simulación puede ser análoga, digital o híbrida.

Los sistemas se pueden definir para estudiar su comportamiento dinámico, es

decir par estudiar su evolución en el tiempo, o bien para estudiar su

comportamiento estático, o sea el que muestra la relación que existe entre las

variables del sistema.

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar en:

1.- Sistemas Determinativos. Cuya evolución está descrita por variables de

cuantificación exacta.

2.- Sistemas Aleatorios. Cuyas variable tienen asociadas funciones inexactas.

3.- Sistemas Monovariables. Poseen una entrada o excitación y una salida o

respuesta.

4.- Sistemas Multivariables. Poseen varias entradas y/o varias Salidas.

Entradas X(t) Salidas Y(t)

Definiciones

1.- Punto de Operación . Cuando el sistema está en estado estacionario, se

denomina “Punto de Operación”, al conjunto de valores de variables que

caracteriza ese estado.

SISTEMA

3

3.- Perturbación. Entrada no deseada, saca al sistema de su punto de operación.

Pueden ser conocidas, medidas , manejables, o simplemente no se conocen ni

se pueden medir ni menos manejar.

1.2.- SISTEMAS LINEALES

En los proceso reales, mucha veces sucede que el sistema definido no es lineal,

es decir, no existe una relación lineal entre las variables de entrada y la salida del

sistema.

Como el objetivo del control automático es mantener el punto de operación del

sistema, se puede realizar una linealización de la función que describe el sistema,

en torno del punto de operación, y así facilitar el uso de esta función.

Como la función linealizada se calcula en torno al punto de operación, ésta será

válida sólo e torno a ese punto y se debe calcular el error cometido si se quiere

utilizar en otro punto de operación.

1.2.1 Linealización

La variación de una variable en torno a un punto nos da „n‟ variables

independientes.

y = f( x1,x2,.......,xn) (1.1)

y = y i x1 + yix2 +......+ yixn (1.2)

x1 x2 xn

4

Haciendo:

y = y – yi

x1 = x1 – x1i

x2 = x2 – x2i

xn = xn – xni

Con esto la función no lineal se transforma en una función lineal de la forma :

Y = C1 x1 + C2 x2 +…….. + Cn xn + yi (1.3)

Con :

C1 = y i

x1

C2 = y i

x2

C2n= y i

xn

yi = y i

Es decir, las derivadas parciales evaluadas en el punto de operación Xi, y la

función Y evaluada en el punto de operación Xi respectivamente.

Ejemplo. Linealizar la siguiente función

Y = x2 / k en torno a xi

5

Solución:

Y = x2 / k x = y i x Con y = y – yi

x

y i = 2xi

x k

Finalmente y = 2xi ( x – xi ) + yi

k

Muchas componentes de control, tienen características dadas por curvas en vez

de ecuaciones. La única diferencia de trabajo está en la evaluación de las

derivadas parciales, las cuales se reemplazan por ecuaciones de diferencias.

1.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.3.1 Definiciones Generales .

Sea f(t) una función definida sobre R , localmente integrable con soporte positivo

(nula para t < 0) .

Tal función puede escribirse como :

f(t) = u(t) f1(t) (1.4)

Donde

0 t <0

u(t)= {

1 t >0

6

f(t) no es necesariamente continua en t=0

lim f(+) = f(0+) = f(0)

0

lim f(-) = f(0-) = 0

0

Se llama transformada de Laplace a la función Compleja

S = + j (1.5)

Definida por la integral

f(t) e –st dt (1.6)

0

Se escribirá

F(s) = L { f(t) } = f(t) e –st dt (1.7)

0

Polos de F(s)

Se dice que F(s) tiene un polo en S1 si:

lim F(s1 ) = (1.8)

s s1

7

Si además

lim ( s - s1 ) k F(s) = C C R (1.9)

s s1

Se dice que tiene un polo de orden k

Ceros de F(s)

Se dice que F(s) tiene un cero en s = s1 si:

lim F(s1 ) = 0 (1.10)

s s1

Linealidad de la Transformada de Laplace

Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de las funciones con soporte

positivo f(t) y g(t) , con abscisas de convergencia: f g entonces se tiene que:

L { a f(t) + b g(t) } = a L { f(t) + b L { g(t)} a, b R (1.11)

Translación en el Tiempo

Sea F(s) la transformada de la Laplace de f(t) con c = ‟g . Entonces, la

transformada de Laplace de:

L { f(t-a)} = e-as F(s) donde F(s) = L { f(t)} (1.12)

8

Translación en el Plano S

Sea F(s) la Transformada de Laplace de f(t) con abscisa de convergencia ‟g . Si

R , entonces

L { e-as f(t)} = F(s + ) donde F(s) = L { f(t)} (1.13)

Teorema de la Derivación

Considérese una función f(t) de clase C1 en ] 0, [ y nula para t<0.

Sea F(s) su transformada de Laplace. Sea f( 0+ ) su límite por la derecha.

Luego se cumple que:

L { d f(t) } = df(t) e –st dt (1.14)

dt 0 dt

haciendo u = e –st ; dv = df ; du = -s e –st ; v = f(t)

Se tiene :

df(t) e –st dt = e –st f(t) + s f(t) e –st dt (1.15)

0 dt 0

= s F(s) – f(0+) (1.16)

9

Generalización del Teorema de Derivación

Si F(s) = L { f(t) } y f(t) es de clase Cn

L { dn f(t) } = sn F(s) – s n-1 f(0+) – sn-2 f‟(0+) - ….- f(n-1)(0+) (1.17)

dtn Teorema del Valor Final Si f(t) y f‟(t) tienen transformada de Laplace, se cumple que:

lim f(t) = lim s F(s) ( 1. 18)

t s 0 Teorema del Valor Inicial Sean f(t) y f‟(t) tal que existe su transformada de Laplace. Entonces:

f(0+) = lim f(t) = lim s F(s) (1.19)

t 0+ s Teorema de Integración

f(t) de orden exponencial y a R

t a

L { f(t) dt } = 1/s L [ f(t) ] - 1/s f(t) dt (1.20)

a 0

10

Función Impulso de Dirac Consideremos las siguiente función: 1/a a t

fa(t) = 1/a u (t) - 1/a u (t-a) = 1/a ( u(t) – u(t-a) ) Se define como función Impulso de Dirac a :

(t) = lim 1 ( u(t) - u(t –a )) (1.21) a 0 a

(t) a b t

(t-b) Para la transformada se tiene:

11

L ( (t) ) = lim 1 ( 1 - e –as )

a 0 as = lim 1 [ 1 – ( 1 – as + 1 a2s2 - ... )] a 0 as 2 = lim 1 = 1 a 0

L ( (t) ) = 1 (1.22)

1.4.- RELACIÓN ENTRADA/ SALIDA EN EL DOMINIO DE LAPLACE

1.4.1 Función de Transferencia

Se consideran condiciones iniciales nulas.

Considere el sistema descrito por la ecuación diferencial de orden „n‟ siguiente:

an y(n) (t) + an-1 y

(n-1) (t) + ---- + a1 y‟ (t) + a0 y(t) = e(t) u(t) (1.23)

Donde:

e(t) : Función excitación de sistema

u(t) : Función escalón unitario

12

Interesa conocer la respuesta y(t) del sistema inicialmente en reposo, cuando se

aplica en t=0, una excitación e(t).

Note que e(t) e y(t) son funciones de soporte positivo.

Sean E(s) e y(s) sus correspondientes transformadas de Laplace.

Entonces, calculando la transformada de Laplace de (1.23) se tiene:

an sn y(s) + an-1 s

(n-1) y (s) + ---- + a1 s y(s) + a0 y(s) = E(s) (1.24)

Luego

E(s) y(s) = (1.25) an s

n + an-1 s(n-1) + ---- + a1 s + a0

E(s) y(s) y(s) Definición: Se define la razón

Y(s) = H(s) (1.26)

E(s)

1 an s

n + an-1 s(n-1) + ---- + a1 s + a0

13

H(s) se llama Función de Transferencia del Sistema. H(s) se conoce también con el nombre de Transmitancia Isomorfa. De (1.26) se tiene: 1.4.2 Respuesta Impulsional Y(s) = H(s) * E(s) (1.27)

Si e(t) = (t) ( función impulso de Dirac) Como :

L ( (t) ) = 1

Entonces reemplazando en (1.27) se tiene:

Y(s) = H(s) * 1

= H(s)

Es decir la respuesta impulsional corresponde a la función de transferencia del

sistema. Dicho de otra forma, si se le aplica una entrada impulso a un sistema,

obtengo a la salida la función de transferencia del sistema.

1.4.3 Respuesta a un Escalón Unitario

Si a un sistema se le aplica un entrada escalón unitario, entonces

Y(s) = H(s) E(s)

14

E(s)=1/s Y(s)

e(t)=u(t) y(t)

y(s) = H(s)* E(s)

y(s) = H(s)

s

Como:

t

u(t) = (x) dx (1.28)

a

Entonces:

Y(s) = L {h(t) } (1.29)

s

t

L { (x) dx }

y(s) = a (1.30) s

Luego, es posible calcular la respuesta escalón integrando la respuesta

impulsional.

H(s)

15

Ejemplo: Calcular la respuesta impulsional y la respuesta aun escalón unitario

para el sistema siguiente:

H(s) = 1

S +1

Para la respuesta impulsional se tiene:

y(t) = h(t) = L -1 { 1 / (s+1) } = u(t) e-t

Entonces para la respuesta a un escalón unitario se tiene:

t t

h(t) = e-x dx = e-x

0 0

= ( 1 – e-t ) u(t)

Otra forma de calcular sería:

Y(s) = H(s) * E(s)

= 1 * 1

s+1 s

L –1 { y(s) } = L –1 { 1 - 1 } = ( 1 – e-t ) u(t)

s s+1

16

1.4.4 Transformada Inversa de Laplace

i) Polos simples

bn sn + bn-1 s

(n-1) + ---- + b1 s + b0 F(s)=

(s + s1 ) ( s + s2) ........... ( s + sn)

n

f( t) = Res [ F(s) est ] (1.31)

1

Res [ F(s) est ] = [ ( s + sk ) F(s) est ] s = -sk (1.32)

n

f(t) = { ( s + sk ) F(s) est } s = -sk (1.33)

k=1

n

f(t) = Ak e-skt (1.34)

k=1

Con Ak = [ ( s + sk ) F(s) ] s = -sk (1.35)

Si F(s) se descompone en fracciones parciales

F(s) = A1 + A2 +......... + An (1.36)

s+ s1 s+s2 s+sn

17

ii) Polo múltiple

bn sn + bn-1 s

(n-1) + ---- + b1 s + b0 F(s)= (1.37)

(s + s1 )n

De (1.31) se tiene :

n

f( t) = Res [ F(s) est ]

1

Res [ F(s) est ] = 1 { d(n-1) [ ( s + sk )n F(s) est ] } s = -sk (1.38)

s = -sk (n+1)! ds(n-1)

Entonces :

f(t) = A11 e-s1t + A12 t e

-s1t + A13 t2 e-s1t +........+ A11 t

n-1 e-s1t (1.39)

2 ( n-1) ¡

Donde:

A1k = 1 { d(n-k) [ ( s + s1 )

n F(s) ] } s = -s1 (1.40)

(n-k)! ds(n-k)

Si se descompone en fracciones parciales

F(s) = A1n + A1(n-1) +.........+ A12 + A11 (1.41)

(s+ s1)n

(s+s1)n-1 (s+s1 )

2 (s+s1 )

18

Ejemplo: Calcular la transformada inversa de la siguiente función.

F(s) = s2 + 2s + 1

(s+2)3

f(t) = A11 e-2t + A12 t e

-2t + A13 t2 e-2t

2

A13 = 1 { d(3-3) [ ( s + 2 )3(s2 + 2s + 1) ] } s = -2

(3-3)! ds(3-3) (s+2)3

= (s2 + 2s + 1) s = -2

= 1

A12 = d [ s2 + 2s + 1 ] s = -2

ds

= -2

A11 = 1 d2 [ s2 + 2s + 1 ] s = -2

2 ds 2

= 1

f(t) = e-2t -2 t e-2t + t2 e-2t

2

19

1.5- DIAGRAMAS FUNCIONALES

E(S) Y(S)

H(s) = Y(s) / E(s)

h(t) = y(t) / e(t)

Reducción de un Diagrama Funcional

Regla 1:

U(s) Y(s)

U(s) Y(s)

Regla 2

U(s) +

Y(s)

+

H(S)

A(s) B(s)

A(s)*B(s)

A(s)

B(s)

20

U(s) Y(s)

Regla 3:

U1(s) + Y(s)

+

U2(s)

+ Y(s)

U1(s)

+

U2(s)

Regla 4

U1(s) + Y(s)

+

U2(s)

A(s) + B(s)

A(s)

A(s)

A(s)

A(s)

21

U1(s) + Y(s)

+

U2(s)

Regla 5

U(s) + Y(s)

-

H(s) = Y(s) = G(s) (1.42)

U(s) 1 + G(s)

Regla 6

U(s) + Y(s)

-

A(s)

1/A(s)

G(s)

G(s)

A(s)

22

H(s) = Y(s) = G(s) (1.43)

U(s) 1 + A(s) G(s)

1.6.- Flujogramas y Regla de Mason

Un grafo es una representación topológica de las relaciones existentes entre los

elementos de un conjunto.

En general los elementos del conjunto X = { x1 , x2 , ....., xn } son representados

por puntos en el plano. La existencia de una relación entre dos puntos se indica

por la presencia de una rama orientada . Como ejemplo de un grafo se puede citar

los árboles genealógicos.

Considerese el caso particular, en que las relaciones existentes entre los

elementos del conjunto son relaciones “ algebraicas lineales <2, es decir, del tipo

n

Xk = tkj xj (1.44)

j=1

Se llama a las representaciones topológicas de tales relaciones „ Flujogramas‟.

Definiciones y Propiedades

“ Un flujograma es una representación topológica de un sistema de ecuaciones

algebraicas lineales “ .

Esta representación topológica se representa como un conjunto de ramas

orientadas e interconectadas en ciertos puntos llamados Nodos.

23

A cada nodo se le asocia una variable dependiente o independiente del sistema

considerado.

Las ramas que asocian los nodos materializan las relaciones entre las variables

del sistema. Estas ramas son orientadas y a cada rama, se le asocia una cantidad

tkj llamada “ Transmitancia de rama “

Se distinguen entre las ramas conectadas a un nudo , las ramas convergentes y

las ramas divergentes, según su orientación con respecto a este nudo.

x1

t31 x3

x4

t32 t34

x2

En esta figura se ve la existencia de cuatro nudos representando las variables

independientes x1 y x2 y las variables dependientes x3 y x4 .

Con respecto al nudo x3 , las ramas x1 x3 son ramas convergentes, mientras que

la rama x3 x4 es una rama divergente.

La regla fundamental de un flujograma según Mason ( 1953) es la siguiente:

La variable dependiente asociada a un nudo, es igual a la suma algebraica de las

contribuciones de las ramas convergentes. Cada contribución es igual al producto

de la transmitacia de la rama considerada, multiplicada por la variable asociada al

nudo de donde sale la rama.

Así para la figura anterior:

24

x3 = t31 x1 + t32 x2

x4 = t43 x3

Hay que insistir en el hecho, que el valor de una variable asociada con un nudo,

no es afectada por ramas divergentes.

Partiendo de las propiedades axiomáticas de los sistemas lineales, puede

establecerse directamente la equivalencias, usando la figura anterior.

1.-

a (a + b)

x1 x2 x1 x2

b

a x1 + b x1 = (a + b) x1 = x2

2.-

x1 a x2 b x3 x1 ab x2

b(a x1 ) = ab x1 = x3

25

3.-

x1 x1 ac

x4

a x3 c x4 x2 bc

b

x2

c( a x1 + b x2 ) = c a x1 + bc x2

4.-

b x3 x3

a ab

x1 x2 x1

c ac

x4 x4

x3 = b x2

= ba x1

Estas equivalencias permiten la eliminación de ciertos nudos del flujograma, lo que

corresponde a la eliminación de variables dependientes en el sistema algebraico.

26

Definiciones

Nudo Fuente: Posee solo ramas divergentes. A este nudo se le asocia una

variable independiente del sistema.

Nudo Final: Posee sólo ramas convergentes.

Trayecto: Es una sucesión de ramas recorridas según sus orientaciones y sin que

se pase más de una vez por el mismo nodo.

Transmitancia de Trayecto: Es el producto de las transmitancias de las ramas de

un trayecto.

Bucle: Es un trayecto o camino cerrado, partiendo de un nudo y terminando en ese

mismo nudo.

Bucle Propio: Es un bucle que partiendo de un nudo vuelve directamente a este

nudo sin pasar por otro nodo.

a

x1 1 x2 1 x3

x2 = x1 + a x2

x2 = x1 / ( 1 – a) (1.45)

Si un nudo x1 posee un bucle propio de transmitancia t1 , se puede eliminar este

bucle propio con la condición de multiplicar la transmitancia de las ramas

convergentes por 1 / ( 1- t1 ).

27

Establecimiento de un flujograma

1.- Establecer ecuaciones del sistema

2.- Aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones

3.- Elección de las variables asociadas a los nudos y construcción del diagrama

basándose en la orientación del sistema.

Fórmula de Mason

Se define el determinante del flujograma como:

= 1 - Bi + Bi Bj - Bi Bj Bk + ... + (1.46)

Donde Bi es la suma de las transmitancias de los bucles del flujograma.

Bi Bj es la suma del producto de las transmitancias de los bucles que no se

tocan de dos en dos.

Bi Bj Bk es la suma del producto de las transmitancias de los bucles que no se

tocan de tres en tres, etc.

28

Ejemplo: Calcular la transmitancia entre el nudo x1 y el nudo Y1.

Y2

i h g f

x1 a k Y1

b c d e

B1 = ib B2 = hc B3 = gd B4 = fe

y = 1- (B1 + B2 + B3 + B4 ) + ( B1 B3 + B2 B4 + B1 B4 ) -0

Si se busca la transmitancia entre el nudo x1 y el nudo y1 , se tiene:

n

y = cij ij (1.47)

xi j=1

Donde cij representa la transmitancia del j- ésimo trayecto desde xi hasta Y, y ij

la suma de los términos correspondientes a los bucles disjuntos del trayecto cij .

Este término entonces se obtiene anulando en todos los bucles que se tocan en

el j-ésimo trayecto.

29

CAPÍTULO 2

MÉTODOS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA

2.1.- INTRODUCCIÓN

Por término respuesta en frecuencia, se entiende la respuesta en estado

estacionario o de régimen permanente de un sistema, ante la entrada de una

señal sinusoidal . En los métodos de respuesta en frecuencia, se varía la

frecuencia de la señal de entrada en un cierto rango y se estudia la respuesta de

frecuencia resultante.

2.2.- DIAGRAMA DE BODE

Se puede representar una función de transferencia sinusoidal, por dos diagramas

distintos; uno que dé la amplitud en función de la frecuencia y el otro el ángulo de

fase en función de la frecuencia.

El diagrama que da la amplitud del módulo, es un diagrama del logaritmo del

módulo de una función de transferencia sinusoidal; el otro es un diagrama del

ángulo de fase. Ambos son representados en función de frecuencia en escala

logarítmica.

La determinación experimental de una función de transferencia, es muy simple si

se presentan los datos de respuesta en frecuencia en forma de un diagrama

logarítmico. Esta representación es útil, porque presenta las características de alta

y baja frecuencia de la función de transferencia, en un solo diagrama.

La representación normal de la amplitud logarítmica de una función de

transferencia G(s) = G(jw) es:

30

módulo ( G(jw) ) [db] = 20 log G(jw) ( 2.1)

La unidad utilizada en esta representación de la amplitud es el decibel abreviado

[db]. El ángulo de fase se representa en grados.

En la representación logarítmica se dibujan las curvas en papel semilogarítmico,

utilizando la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para el ángulo

en grados, o bien, la amplitud en [db].

M [db]

º 1 10 100 [w]

1 10 100 [w]

2.3.- Determinación Práctica del Diagrama de Bode

Los factores básicos que se producen frecuentemente en la función de

transferencia H(jw) son : Ganancia, factor integral y derivativo, factores de primer

orden y factores cuadráticos.

1.- Ganancia K

H(s) = H(jw) = K

M[ db ] = 20 lok (k)

31

Si K > 1 M >0

Si K < 1 M< 0

El ángulo de fase de la ganancia K es cero.

El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia, es que sube o baja

la curva del módulo en decibeles, pero no influye en el ángulo.

Si K >1 20 log K = -20 log (1/K)

2.- Factor integral y Derivativo. ( jw) 1 .

H(s) = 1/s H( jw) = 1 / (jw)

M[db] = 20 log 1/jw

= -20 log (w) [db]

El ángulo de fase de 1/jw es una constante e igual a –90º.

Si se representa el algoritmo de la amplitud –20 log w [db] en función de w, en una

escala logarítmica, ésta corresponde a una línea recta. Como :

-20 log (10 w) [db] = (-20 log ( w) –20 ) [db]

la pendiente en [db/dec] de la línea es –20 [db/dec ]

32

3.- Factores de primer orden.

H(s) = ( 1 + sT) 1

i) H(s) = 1

1 + sT

H(jw) = 1

1 + jwT

Módulo 1 = 20 log 1

1 + jwT 1 + jwT

= -20 log ( 1 + w2 T2 )

i) Para bajas frecuencias tales como w<< (1/T)

Mod [db] 0 [db] ( -20 log1)

ii) Para altas frecuencias , es decir, w>> ( 1/T)

Mod [db] = -20 log ( 1 + w2 T2 ) -20 log (wT) [db]

En w = 1/T Mod = 0 [db]

En w = 1/T Mod = -20 [db]

Lo anterior indica que corresponde a una recta con pendiente –20 [db/dec]. Luego,

el factor 1/ ( 1 + jwT) puede ser aproximado por dos líneas rectas asintóticas,.

33

Una a 0 [db], para el rango de frecuencias 0 < w < (1/T), y la otra por una línea

con pendiente –20 [db/dec] para el rango de frecuencias (1/T) <w < .

M[db]

1/T 10/T w

-20

º

1/T 10/T w

-45

-90

La frecuencia a la que se encuentran las dos asíntotas recibe el nombre de

frecuencia de transición o frecuencia de corte.

Para el factor 1/(1 + jwT) la frecuencia de corte es w= (1/T)

El ángulo de fase es :

= - atn (wT)

Para w=0 = 0

Para w = 1/T = -atn ( 1) = -45º

34

Para w -90º

Como el ángulo de fase está dado por una función arcotangente, el ángulo de fase

es antisimétrico respecto al punto de inflexión en = -45º .

ii) H(s) = 1 + sT)

H(jw) = (1 + jwT)

La ventaja de la representación logarítmica, es que para factores recíprocos la

frecuencia de transición es la misma para ambos casos. En este caso la

pendiente de la asíntota de alta frecuencia es 20 [db/dec]. El ángulo de fase varía

de 0 a 90º cuando w varía de 0 .

M[db]

-20

1/T 10/T w

º

90

º

45

1/T 10/T w

35

4.- Factores Cuadráticos.

H(s) = (s2 + 2 wn s + wn 2 ) 1

H(jw) = [( jw ) 2 + 2 wn w j + wn 2 ] 1

Si normalizamos la función dividiendo por wn

2 , entonces H(jw) queda:

H(jw) = [( 1 + 2 (j w / wn ) + (w j / wn ) 2 ] 1

Para

H(jw) = 1

1 + 2 (j w / wn ) + (jw / wn ) 2

se denomina factor de amortiguamiento.

Si > 1 se puede separar en dos factores de primer orden, con polos reales.

Si 0 < <1 los polos son complejos.

M(db) = 20 log 1

1 + 2 (j w / wn ) + (jw / wn ) 2

= 20 log ( 1 – w2 ) 2 + (2 w ) 2

wn2

wn

Para w << wn M(db) = -20 log 1 = 0 [db]

Si w >> wn M(db) = -20 log ( w 2 / wn ) = -40 log (w / wn )

36

Para 10w -40 log ( 10 w / wn ) = -40 -40 log (w / wn )

Luego, en el caso de los factores cuadráticos se tiene que para bajas frecuencias

la asíntota se ubica en los 0 [db]. Para altas frecuencias, es decir, w>> wn la

asíntota tiene una pendiente de –40[db/dec] y corta el eje en w = wn , que

corresponde a la frecuencia de transición.

Las dos asíntotas son independientes del valor de . Cerca de w = wn , se

produce un peak de resonancia. ( factor de amortiguamiento ) determina la

amplitud este peak resonante.

Para el ángulo de fase se tiene:

= 1

1 + 2 (j w / wn ) + (jw / wn ) 2

= arctg 2 (j w / wn )

1 - (w / wn ) 2

En w = 0 = 0

w = wn = -90º

w = -180º

La curva del ángulo de fase es antisimétrica alrededor del punto de inflexión. El

punto donde = -90º .

37

CAPÍTULO 3

ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES

3.1 DEFINICIONES BÁSICAS

La respuesta temporal de un sistema de control consiste en dos partes: la

respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. Por respuesta transitoria, se

entiende aquella que va desde el estado inicial al estado final. Por respuesta

estacionaria se entiende la forma en la que la salida del sistema se comporta

cuando t tiende a infinito.

Al diseñar un sistema de control, se debe poder predecir el comportamiento

dinámico del sistema por un conocimiento de sus componentes. Las

características más importantes del comportamiento dinámico de un sistema de

control, es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable.

Definición 1: Un sistema está en equilibrio si, en ausencia de cualquier

perturbación o entrada, la salida se mantiene en el mismo estado.

Definición 2: Un sistema de control lineal invariante en el tiempo, es estable si

finalmente la salida retorna a su estado de equilibrio, cuando el sistema es

sometido a una perturbación.

Definición 3: Un sistema de control lineal invariante en el tiempo, es inestable si

continúa indefinidamente una oscilación en la salida, o si la salida diverge sin

límite de su estado de equilibrio, cuando el sistema es sometido a una

perturbación.

Otra característica importante de un sistema de control, es la estabilidad relativa y

el error en estado estacionario.

38

Como un sistema físico de control, involucra almacenamiento de energía, la salida

del sistema, no puede seguir a la entrada inmediatamente, si no que , presenta

una respuesta transitoria antes de poder alcanzar un estado estacionario.

La respuesta transitoria a un sistema de control práctico, frecuentemente

oscilaciones amortiguadas, antes de alcanzar un estado de equilibrio.

Definición 4: Si la salida de un sistema en estado estacionario, no coincide

exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error estacionario.

Este error indica la exactitud del sistema.

3.2 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

Se puede determinar la estabilidad de un sistema lineal de lazo cerrado, por la

ubicación de sus polos , en el plano s.

Definición.

Si todos los polos de lazo cerrado quedan a la izquierda del eje jw , cualquier

respuesta transitoria, finalmente alcanza el equilibrio. Esto representa un sistema

estable.

Como la mayor parte de los sistemas de lazo cerrado, tienen funciones de

transferencia de lazo cerrado de la forma:

q(s) = b0 sm + b1s

m-1 + + bm-1s + bm (3.1)

p(s) a0 sn + a1s

n-1 + ... ..+ an-1s + an

Donde ai y bi son constantes y m n .

39

Para hallar los polos de lazo cerrado del sistema, se debe descomponer en

factores el polinomio p(s).

Para hacer esto, existe un criterio muy simple , conocido como el criterio de

estabilidad de Routh, que permite determinar la cantidad de polos de lazo cerrado,

que caen en el semiplano derecho de S , sin tener que descomponer en factores

el polinomio.

Este criterio se aplica a polinomios que tengan un número finito de términos.

Si se aplica el criterio a un sistema de control, se pude obtener correctamente a la

información respecto a la estabilidad absoluta a partir de los coeficientes de la

ecuación característica.

Procedimiento

1.- Escribir el polinomio en s en la forma:

a0 sn + a1s

n-1 + ... ..+ an-1s + an = 0 (3.2)

Donde an R y an 0 . Es decir, no hay raíces iguales a cero.

2.- La condición necesaria, pero no suficiente de estabilidad, es que todos los

coeficientes de la ecuación (3.2), estén presentes y que todos tengan signo

positivo.

Si todos los coeficientes an son negativos, se les puede hacer positivos,

multiplicando ambos miembros por (-1).

3.- Agrupar los coeficientes del polinomio en filas y columnas, de acuerdo con el

siguiente esquema:

40

sn a0 a2 a4 a6 ......

sn-1 a1 a3 a5 a7 ......

sn-2 b1 b2 b3 b4 ......

sn-3 c1 c2 c3 c4 ......

s1 d1 d2

s0 e1

Donde:

b1 = a1 a2 – a0 a3 (3.3)

a1

b1 = a1 a4 – a0 a5 (3.4)

a1

c1 = b1 a3 – a1 b2 (3.5)

b1

c2 = b1 a5 – a1 b3 (3.6)

b1

d1 = c1 b2 – b1 c2 (3.7)

c1

41

Este proceso continua hasta haber completado la fila n-ésima .

El conjunto completo de los coeficientes es triangular.

El criterio de estabilidad de Routh, establece que la cantidad de raíces de la

ecuación (3.2), con parte real positiva, es igual al número de cambios de signo de

los coeficientes de la primera columna del conjunto.

La condición necesaria y suficiente, para que todas las raíces de la ecuación (3.2),

queden en el semiplano izquierdo es que todos los coeficientes de esta ecuación

sean positivos y que todos los términos en la primera columna del conjunto tengan

signo positivo.

Ejemplo:

a0 s3 + a1s

2 + a2s + a3 = 0

s3 a0 a2

s2 a1 a3

s1 a1 a2 – a0 a3

a1

s0 a3

a1a2 > a0a3 para que el sistema sea estable.

42

CAPÍTULO 4

INTRODUCCIÓN AL CONTROL AUTOMÁTICO

4.1 DEFINICIONES

1.- Se define como configuración de control a la simple interconexión de sensores

y actuadores a través de controladores.

2.- Perturbación. Son entradas no deseadas al sistemas.

Se dividen en :

- Endógenas, se deben a la materia prima.

- Exógenas, se deben al medio ambiente.

4.2 CONFIGURACIONES DE CONTROL

Por efecto de las perturbaciones, el proceso en general, no estará funcionando en

el punto de operación deseado.

Para corregir este mal funcionamiento, es necesario, darse cuenta , que se está

funcionando mal y/o anticiparse a este mal funcionamiento.

i) Configuración Realimentada.

Cuando el sistema trabaja, detectando el mal funcionamiento, entonces se tiene

una configuración de control realimentada.

43

w(s)

u(s) + Y(s)

Donde:

u(s) : Excitación del sistema

w(s) : Perturbaciones.

Y(s) : Salida del sistema. Respuesta.

Gpu (s) : Función de transferencia del sistema, debido a la excitación del sistema.

Gpw (s) : Función de transferencia debido a las perturbaciones.

Gpw (s) = Y(s)

w(s) u(s)=0

Superposición

Gpu (s) = Y(s)

u(s) w(s)=0

Si w (s) no es medible y/o Gpw (s) es desconocido, entonces :

Gpw (s)

Gpu (s)

44

w(s)

u(s) = f(e)

Ref + e u(s) + Y(s)

El controlador no siempre tiene la potencia suficiente, que requiere el proceso. Por

esto se le agrega un actuador.

w(s)

Alimentación

De poder

Ref e m u + + Y(s)

-

Controlador

Gpw (s)

Gpu (s)

Sensor

Controlador Actuador Gpu

Gpw

Sensor/Transmisor

45

Clasificación de Variables

Variable controlada o medible: Son las que permiten conocer la evolución del

proceso. Determinan el deterioro que provocan las perturbaciones. Este deterioro

se pude medir de dos formas : índices que se alejan del valor deseado, y daños

sobre equipos.

Variable de salida: Es la variable que interesa conocer de un proceso.

Generalmente coincide con la variable controlada.

Señal manipulada: Son aquellas posibles de hacer variar a entera voluntad.

Ejercen acción directa, sobre las variables de estado del sistema. Están dadas por

la realidad física del proceso.

Modos de operación de la configuración realimentada.

Esta configuración de realimentación se usa para operar de dos modos, regulación

y seguimiento.

Regulación : El objetivo de la regulación es que la señal de salida, sea igual a una

señal de referencia constante.

Ref Ref

t t

Buena Regulación Mala Regulación

46

Seguimiento: El objetivo en este caso, es lograr que la señal controlada siga una

referencia variable.

Ref Ref

t t

Buen Seguimiento Mal Seguimiento

Ventajas y desventajas de esta configuración.

Ventajas.

1.- No es necesario un conocimiento exhaustivo del proceso.

2.- Disminuye la sensibilidad ante variaciones de parámetros del proceso, o de

otros elementos del lazo de control.

Desventajas

1.- No se pueden tomar acciones correctoras hasta que la perturbación produzca

un cambio en la variable controlada.

2.- Si el retorno entre la perturbación y la variable controlada es muy grande, y la

perturbación cambia rápido ( comparado con el tiempo de retorno), no se puede

esperar un buen comportamiento del sistema, y pero aún, éste puede hacerse

inestable.

47

ii) Configuración Pre-alimentada.

En esta configuración, no se mide la variable de salida del sistema, sino que la

perturbación.

De esta manera se actúa sobre el proceso, antes de que se manifiesten

variaciones en la salida, debido a las perturbaciones.

w(s)

x(s) + u(s) + Y(s)

+ +

Donde :

x(s) : Entrada al sistema

u(s) : Excitación del sistema

w(s) : Perturbaciones.

Y(s) : Salida del sistema. Respuesta.

Gpu (s) : Función de transferencia del sistema, debido a la excitación del sistema.

Gpw (s) : Función de transferencia debido a las perturbaciones.

Gcp (s) : Función de transferencia del controlador.

Sensor/transmisor

Gpw(s)

Gpu(s)

Gcp(s)

48

Y(s) = w(s) Gpw (s) + u(s) Gpu (s)

Si x=0 u(s) = w(s) Fst(s) Gcp (s)

Luego

Y(s) = w(s) [Gpw (s) + Fst (s) Gcp (s) Gpu (s) ]

Si x=0 Y(s) =

Esto es para eliminar el efecto de las perturbaciones. Entonces :

(4.1)

Para poder diseñar un controlador en pre-alimentación, se deben satisfacer las

siguientes necesidades:

- Las perturbaciones deben haber sido conocidas y medidas con la exactitud

y precisión adecuada.

- Debe conocerse en forma exacta y precisa Gpw (s) y Gpu (s) .

- La función de transferencia del controlador debe ser físicamente realizable

o al menos calculable.

Gcp (s) = - Gpw(s) Fst(s) Gpu(s)

49

iii) Configuración Pre- realimentada.

w(s)

Ref + u(s) + Y(s)

- + +

Esta configuración, tiene la ventaja de cancelar el efecto de las perturbaciones

medidas, mediante el lazo en pre-alimentación y el de las perturbaciones no

medibles o con controlador no realizable, mediante el lazo de realimentación.

Por esto último, presenta una mejor sensibilidad a las variaciones de los

parámetros, tales como constantes de tiempo y ganancia del sistema.

iv) Control de Razón.

Este tipo de controladores se utiliza en aquellas aplicaciones , en las que se

necesita mantener constante una cierta razón entre dos varables, como por

ejemplo dos flujos. Existen dos formas de lograr esta configuración.

Sensor/transmisor

Gpw(s)

Gpu(s)

Gcp(s)

Actuador Controlador

Sensor/transmisor

50

1.- Referencia de razón de flujo.

-F1 / F2 F1 / F2 =constante

Ref

F1 F2

En esta configuración se hace primero la razón entre los flujos y luego se compara

con el valor de referencia deseado.

2- Referencia igual a cero

Ref =0

F1 F2

F1 / F2 = 1/ R = constante F1 R = F2

51

4.3 CONTROLADORES

Un control automático, compara el valor efectivo de la variable salida de una

planta, con el valor deseado de ella. Luego, determina la desviación y produce una

señal de control, que reduce la desviación a cero, o a un valor pequeño. La forma

en que el controlador produce la señal de control, recibe el nombre de Acción de

Control.

De acuerdo con su acción de control, los controladores se pueden clasificar en:

1.- Controlador de dos posiciones u ON - OFF.

2.- Controlador Proporcional (P)

3.- Controlador Integral (I)

4.- Contrlador Proporcional e Integral (PI).

5.- Controlador Proporcional y Derivativo (PD)

6.- Controlador Proporcional, Derivativo e Integral (PID)

La señal de entrada al controlador es el error, y se designa por e(t), o bien por

E(s). La señal de salida del controlador se designa por m(t), o bien por E(s) si se

está en el plano de Laplace.

1.- Controlador de dos posiciones u ON-OFF.

El controlador ON-OFF , se basan en la lógica de relés, y son la base para los

Controladores Lógicos Programables o PLC.

Solo tienen dos alternativas de salida, activa o desactiva, abierto o cerrado, etc.

52

Ref + e(t) m(t)

-

De la planta

A veces la señal de error tiene pequeñas variaciones, u oscilaciones sin que esto

signifique que deba tomarse una acción de control. Par evitar esto, a algunos

controladores ON-OFF, se les implementa una brecha diferencial, de forma que

actúen sólo cuando la salida se sale realmente de su punto de operación.

Ref + e(t) m(t)

-

De la planta

2.- Controlador Proporcional.

La salida m(t) del controlador es proporcional a la señal de error.

m(t)= Kp e(t) (4.2)

M(s) = Kp Kp : Ganancia

E(s)

M1 M2

M1 M2

53

Ref + E(s) M(s)

-

De la planta

3.- Controlador Integral.

En este caso la derivada de la señal de salida m(t) es proporcional al error.

t

d m(t) = Ki e(t) m(t) = Ki e(t) dt (4.2)

d t 0

Ki : Constante de integración, regulable.

La salida del controlador, corresponde a la integral del error.

La función de transferencia del controlador Integral es:

M(s) = Ki (4.3)

E(s) s

Ref + E(s) M(s)

-

De la planta

Kp

Ki s

54

4.- Controlador Proporcional e Integral.

t

m(t) = Kp e(t) + Kp e(t) dt (4.4)

Ti 0

M(s) = Kp 1 + 1 (4.5)

E(s) Ti s

Ref + E(s) M(s)

-

De la planta

5.- Controlador Proporcional y Derivativo.

m(t) = Kp e(t) + Kp Td d e(t) (4.6)

dt

M(s) = Kp (1 + Td s ) Td : Tiempo Derivativo (4.7)

E(s)

Kp ( 1 + Ti s Ti s

55

Ref + E(s) M(s)

-

De la planta

6.- Controlador Proporcional Integral Derivativo.

t

m(t) = Kp e(t) + Kp Td d e(t)+ Kp e(t) dt (4.8)

dt Ti 0

M(s) = Kp 1 + Td s + 1 (4.9)

E(s) Ti s

Ref + E(s) M(s)

-

De la planta

Kp ( 1 + Tds )

Kp ( 1 + Tis ) + Ti Td s2

Ti s

56

CAPÍTULO 5

BIBLIOGRAFÍA

-“Ingeniería de Control Automático”

Ogata, Katsuhiko

-“Sistemas automáticos de Control”

Kuo C., Benjamín

-“Sistemas de Control Lineal”

Rohrs, Charles ; Melsa, James; Schultz, Donald

- “Retroalimentación y Sistemas de Control”

Schaums

-“ Análisis of Linear Systems”

Cheng, David

-“Control de Sistemas con Retroalimentación”

Franklin, Gene ; Powell, David

- “Ecuaciones Diferenciales”

Kreider, Donald ; Kuller, Robert ; Ostberg, Donald

-“Automatización, regulación automática y servomecanismos”

Broida, V.

-“Neumática”

Serrano, Nicolás