Aproximaciones y errores de redondeo

Cifras significativas

• Los métodos numéricos dan resultados aproximados.

• Se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiables son.

• Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

Fig 3.1

Cifras significativas

• Las computadoras sólo retienen un número finito de cifras significativas, los números irracionales jamás se podrán representar con exactitud.

• La omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo

Exactitud y precisión

• Exactitud: se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.

• Precisión: se refiere a qué tan cercano se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Fig 3.2Exactitud creciente

Pre

cisi

ón

cre

cien

te

Exactitud y precisión

• Inexactitud: conocida como sesgo, se define como una desviación sistemática del valor verdadero.

• Imprecisión: conocida como incertidumbre, se refiere a la magnitud en la dispersión de los datos.

Definiciones de error

• De truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones.

• De redondeo: se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Errores

• La relación entre el resultado exacto y verdadero está dado por:

Valor verdadero = valor aproximado + error

• Et= valor verdadero – valor aproximado

Error

error verdaderoError relativo fraccional verdadero =

valor verdadero

error verdadero100%

valor verdaderot

Cálculo de errores

• Se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm.

• Calcule el error verdadero

• Calcule el error relativo porcentual

Error

• En situaciones reales a veces es difícil o imposible contar con el valor verdadero.

• Cuando no se conoce a priori la respuesta verdadera, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor aproximación posible al valor verdadero.

Error

error aproximado100%

valor aproximadoa

aproximacion actual - aproximacion anterior100%

aproximacion actuala

el subindice a significa que el error esta normalizado a un valor aproximado

Error

• Los signos de las ecuaciones anteriores pueden ser positivos o negativos.

• A menudo, no importa mucho el signo del error, sino que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada s

Error

a s

Si se cumple esta relación, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable fijado previamente.

Error

• Es posible demostrar que si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad de que el resultado es correcto con al menos n cifras significativas.

2(0.5*10 )%ns

Estimación del error con métodos iterativos

• La función exponencial se calcula usando la siguiente Serie de Maclaurin:

2 3

12! 3! !

nx x x xe x

n

Errores de redondeo

Errores de redondeo

• Se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo.

• Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10.

Errores de redondeo

• Se relacionan de manera directa con la forma en que se guardan los números en la memoria de la computadora.

Representación de números

• La unidad fundamental se llama palabra (byte).

• Una palabra es una cadena de dígitos binarios o bits.

• Los números son guardados en una o más palabras.

Sistemas numéricos

• Notación posicional

• Bases

Fig 3.3

Representación entera

• Método de magnitud con signo

• Emplea el primer bit de una palabra para indicar el signo. (0 positivo, 1 negativo).

• Los otros bits se usan para guardar el número.

• 1000000010101101=-173

Fig 3.4

NúmeroSigno

Complemento a 2

• Incorpora directamente el signo dentro de la magnitud del número.

Punto Flotante

• Se utiliza para representar números fraccionarios.

• Todo número se expresa como una parte fraccionaria llamada mantisa y una parte entera llamada exponente.

emb

Punto Flotante

156.78=0.15678x103

• En punto flotante, el primer bit se usa para el signo.

• La siguiente serie de bits para el exponente con signo.

• Los últimos bits para la mantisa.

Fig 3.5

Mantisa

Exponente signado

Signo

Mantisa normalizada

• Si se guarda en una computadora que sólo permite cuatro lugares decimales, se guardaría como 0.0294x100

• El cero inútil a la derecha del punto decimal hacer perder el dígito 1.

10.029411765

34

Mantisa normalizada

• El número se normaliza para eliminar el cero, multiplicando por 10 y disminuyendo el exponente en 1, quedando:

0.2941x10-1

• Así se conserva una cifra adicional.

Mantisa normalizada

• La normalización consiste en limitar el valor absoluto de m a:

11m

b

Punto Flotante• Permite representar tanto fracciones como

números muy grandes.

• Requieren más espacio y más tiempo de procesamiento.

• Introducen un error de redondeo ya que la mantisa conserva un número finito de cifras significativas.

Problema

• Determinar un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda la información usando palabras de 7 bits.

• El primer bit para signo del número.• Los otros 3 para signo y magnitud del

exponente.• Los últimos 3 para magnitud de la mantisa.

Problema• 0111100 número positivo más pequeño.

0111100=+0.5x10-3

• Los siguientes números más grandes son:

0111101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-3=0.078125

0111110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-3=0.093750

0111111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-3=0.109375

Fig 3.6

Signo de número

Signo de exponente

Magnitud de mantisa

Magnitud de exponente

Problema

• Las equivalencias en base 10 se esparcen de manera uniforme en un intervalo de 0.015625.

• Para continuar el incremento se debe disminuir el exponente a 10, lo cual da

1x21+0x20 = 2

Problema

• La mantisa vuelve a disminuir hasta su valor más pequeño: 100, por lo que el siguiente número es:

0110100=(1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-2=0.125000

• Lo cual sigue dando una brecha de 0.015625

Problema

• Los siguientes números incrementando mantisa son:

0110101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-2=0.156250

0110110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-2=0.187500

0110111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-2=0.218750

La brecha es ahora de 0.03125

Problema

• El número más grande es

0011111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x23=7

Fig 3.7Redondeo

Rebose

Cancelación

“Hueco” de subrebose en cero

Errores de redondeo

• El rango de cantidades que pueden representarse es limitado.

• Existe sólo un número finito de cantidades que puede representarse dentro de un rango limitado.

• El intervalo entre los números aumenta conforme los números aumentan en magnitud.

Rangos limitado

• Hay números grandes positivos y negativos que no pueden representarse.

• Intentar emplear números fuera del rango da como resultado error de desbordamiento (overflow).

• Números muy pequeños tampoco pueden representarse (underflow) debido al agujero entre el cero y el primer número positivo.

Número finito de cantidades

• El grado de precisión es limitado.

• Los números irracionales no pueden representarse de manera exacta.

• Tampoco los racionales que no concuerdan pueden ser representados de manera precisa.

• Errores de cuantificación.

Errores de cuantificación

• La aproximación real se realiza de dos formas: cortando o redondeando.

• Cortando: simplemente omitir o cortar a partir de un término. Todos los errores son positivos.

• Redondeando: produce un error menor que el corte pero aumenta el trabajo computacional.

Intervalo entre números

• Permite que la representación de punto flotante conserve los dígitos significativos.

• También significa que los errores de cuantificación sean proporcionales a la magnitud del número representado.

Intervalo entre números

• Para normalizar los números de punto flotante, esta proporcionalidad se expresa:

Corte: x

x

Redondeo:

2

x

x

Intervalo entre números

• b es el número base

• t es el número de dígitos significativos en la mantisa.

1-t

epsilon de la maquina

=b

Fig 3.8

Error relativo

más grande