Aproximaciones y errores de redondeo IntroduccinHistoria de los nmeros reales

El sistema de los nmeros reales es el formado por los nmeros racionales y por los irracionales, o lo que es lo mismo, por el conjunto de todos los nmeros decimales, siendo los decimales exactos, puros y mixtos los que corresponden a los racionales, y los restantes a los irracionales. Es por ello, el que su evolucin histrica este ligada a la de los sistemas de nmeros ya comentados. En consecuencia, este epgrafe1 resume la evolucin de los nmeros en general, que est ntimamente ligada a la evolucin del lgebra. Distinguimos tres etapas:

Desde los tiempos ms remotos hasta el siglo V a.C.

El concepto de nmero positivo, fue adquirido muy lentamente. Para muchas razas los nmeros mayores que tres no tenan nombre; en otras todo lo que superaba al tres se conoca por "muchos".

Perciban los nmeros como una propiedad inseparable de una coleccin de objetos, sin distinguirla de forma clara, es decir no se distinguen los nmeros como algo abstracto. Estas conclusiones, se han deducido de los nombres que se sabe recibieron algunos nmeros, un tiempo despus, as por ejemplo "mano" que equivala al nmero cinco, en cuyo caso cinco no se entiende en sentido abstracto sino en el de "tantos como los dedos de una mano". De esta forma se llegaron a utilizar distintos nombres para un mismo nmero de objetos: Uno para personas, otro para arboles, etc. Paso bastante tiempo y comparar muchas veces colecciones con el mismo nmero de objetos, para poner en correspondencia biunvoca los elementos de ellas, hasta llegar al concepto "abstracto de nmero".

Las operaciones entre nmeros aparecieron como reflejo de las relaciones entre objetos concretos, as por ejemplo se estableci que una suma no depende del orden de los sumandos.

Conforme la sociedad iba evolucionando, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y smbolos de los nmeros y posteriormente la introduccin de signos y designacin literal de las incgnitas.

Los babilonios tenan un sistema de escritura de los nmeros que era parcialmente decimal y parcialmente sexagesimal. En sus ltimas escrituras cuneiformes ya apareci el cero, aunque fueron los indios los que verdaderamente lo introdujeron, al que llamaron "vaco", y les permiti elaborar un sistema de escritura anlogo al de hoy en da.

Los antiguos griegos y posteriormente los rusos, hicieron uso de letras para designar nmeros siendo, no obstante, los rabes los que trajeron a Europa de la India nuestros smbolos actuales y el mtodo de formacin de nmeros. Desde el siglo V a.C hasta el siglo XVII

Dentro de la etapa se pueden distinguir tres periodos:

Griego.

Comienza en el siglo VII a.C y finaliza en el VII d.C. En este periodo se saba que la sucesin de nmeros se poda prolongar indefinidamente, con lo que se empez a intuir la nocin del infinito, as como que se poda operar con los nmeros en general y formular y probar teoremas sobre ellos.

Los griegos, establecieron los cimientos para la teora de nmeros y descubrieron las magnitudes irracionales. Euclides estableci ya la existencia de un nmero infinito de nmeros primos y Erasttenes cre un mtodo para obtenerlos. Conocan propiedades sobre las progresiones aritmticas y geomtricas y extraan races cuadradas y cbicas. No conocan los nmeros negativos.

Fueron los chinos los que por primera vez usaron los coeficientes negativos en los sistemas de ecuaciones de primer grado, dando un mtodo para la bsqueda de las soluciones positivas de un sistema de tres ecuaciones de primer grado.Oriental.

Cubre el periodo entre los siglos V y XV. Al declinar la ciencia griega, el centro del desarrollo cientfico se desplaza a la India, Asia Central y los pases rabes. Aqu, el camino de la matemtica lo marc, en gran parte, la astronoma.

Los inds introdujeron los nmeros negativos y operaron con magnitudes irracionales, sin representaras geomtricamente.

Los matemticos del Asia central calcularon las races de las ecuaciones y, conocan, expresada en palabras, la frmula del binomio de Newton. Inventaron las fracciones decimales.

Los chinos conocan el medio para resolver ecuaciones indeterminadas muy sencillas y las de tercer grado.

Renacimiento Europeo.

Entre los siglos XVI y XVIII, Tartaglia y Ferrari, de la escuela italiana, resolvieron por radicales la ecuacin de tercer grado y, posteriormente, la de cuarto. Se comenzaron a utilizar los nmeros negativos y los imaginarios (a + b . sqr(-1)). Vite introdujo los smbolos agebraicos y Descartes los perfeccion. Neper invent los logaritmos y apareci la teora de las combinaciones. Con alguna aportacin ms, se completo a comienzos del siglo XVIII la estructura del lgebra elemental.

Siglo XVIII en adelante.

Debido al nacimiento del Anlisis matemtico, su desarrollo estuvo relegado hasta la primera mitad del siglo XIX para que se profundizara ms en su estudio aunque ya enfocado a una ampliacin ms global del concepto de nmero.

Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los nmeros por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos ms tarde. Los matemticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los nmeros naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denomin el sistema de los nmeros reales.Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los nmeros reales, as como una operacin denominada paso al lmite, consolidaron y otorg rigor al conjunto de conceptos y mtodos que constituyen la rama de las matemticas conocida como Clculo diferencial e Integral.