7. APLIKASI INTEGRAL

MA1114 KALKULUS I17. APLIKASI INTEGRALMA1114 KALKULUS I27.1 Menghitung Luas Daeraha.Misalkan daerah

abf(x)D

Luas D = ?

Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar)

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

Luas D = A =MA1114 KALKULUS I3Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva sumbu x=0, dan x = 2.

2

Luas irisan

Luas daerah MA1114 KALKULUS I4b) Misalkan daerah

h(x)g(x)ab

Luas D = ?Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar)

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: Luas D = A =

Dh(x)-g(x)MA1114 KALKULUS I5Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola

Titik potong antara garis dan parabolay=x+4-23

x = -2, x = 3

Luas irisan

MA1114 KALKULUS I6

Sehingga luas daerah :Ctt :Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisanadalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubahuntuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua ataulebihMA1114 KALKULUS I7Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,

dan y = -x + 2JawabTitik potong

2

x = -2, x = 1y=-x+21

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harusdibagi menjadi dua bagian

Luas irisan ILuas irisan IIMA1114 KALKULUS I8

Luas daerah ILuas daerah II

Sehingga luas daerah

MA1114 KALKULUS I9c). Misalkan daerah

h(y)g(y)cd

DLuas D = ?Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar)

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

Luas D = A =h(y)-g(y)MA1114 KALKULUS I10

Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh dan

Jawab :Titik potong antara garis danparabola

y = -2 dan y = 1

-21

Luas irisan

MA1114 KALKULUS I11Sehingga luas daerah :

Ctt :Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri.Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebihMA1114 KALKULUS I12Soal LatihanA. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh

1.

2.3. y = x , y = 4x , y = -x +24. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2. 5. x = 4 - y2 dan y = x + 26. y = x2 3x + 2, sumbu y, dan sumbu xMA1114 KALKULUS I137.2 Menghitung volume benda putar7.2.1 Metoda Cakram

a. Daerah diputar terhadap sumbu xabf(x)D

Benda putarDaerah D? Volume benda putarMA1114 KALKULUS I14abf(x)D

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danjari-jari f(x).

sehingga

f(x)MA1114 KALKULUS I15Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x

2

Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal

Sehingga

Volume benda putar

MA1114 KALKULUS I16

b. Daerahdiputar terhadap sumbu ycdx=g(y)

DDaerah DBenda putar? Volume benda putarcdMA1114 KALKULUS I17Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. cdx=g(y)D

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danJari-jari g(y).

sehingga

MA1114 KALKULUS I18Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y

4

Jika irisan dengan tinggi dan tebal diputar terhadap sumbu y akan diperolehcakram dengan jari-jari dan tebal

Sehingga

Volume benda putar

MA1114 KALKULUS I19B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x1.

2.

3.

4.x = y2, y = 2, dan x = 0

5.C. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu ydi kuadran IMA1114 KALKULUS I207.2.2 Metoda Cincin

a. Daerah diputar terhadap sumbu xh(x)g(x)abD

Daerah DBenda putar? Volume benda putarMA1114 KALKULUS I21h(x)g(x)ab

DUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucincin dengan tebal dan jari jari luar h(x)dan jari-jari dalam g(x).

sehingga

h(x)g(x)MA1114 KALKULUS I22Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

2y=-11

DJika irisan diputar terhadap garis y=1Akan diperoleh suatu cincin denganJari-jari dalam 1 dan jari-jari luar

Sehingga

Volume benda putar :MA1114 KALKULUS I23Catatan :Metoda cakram/cincinIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putarJika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang samaContoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap Garis y = 4b. Garis x = 3

MA1114 KALKULUS I24a. Sumbu putar y = 4(i) Metoda cincin

2

Dy=4

Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam =

Jari-jari luar =4

Sehingga

Volume benda putar

MA1114 KALKULUS I25b. Sumbu putar x=3(i) Metoda cincin

2

D

x=3Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam =1

Jari-jari luar =3

Sehingga

Volume benda putar

MA1114 KALKULUS I26D. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x1.2.3.

4.y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = /4

5.

MA1114 KALKULUS I27E. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y1.2.3.

4.y = -x+1, y = x2, dan x = 0 di kuadran 1

5.

MA1114 KALKULUS I28

7.2.3 Metoda Kulit TabungDiketahuif(x)abDJika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putarDaerah DBenda putarVolume benda putar ?MA1114 KALKULUS I29Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. f(x)abD

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal xf(x)x

sehingga

MA1114 KALKULUS I30Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y

2

Dx

Jika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jarijari x

Sehingga

Volume benda putar

MA1114 KALKULUS I31Catatan :Metoda cakram/cincinIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putarJika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang samaContoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap Garis y = 4b. Garis x = 3

MA1114 KALKULUS I32(ii) Metoda kulit tabung

2

Dy=4

yJika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh kulit tabung denganJari-jari = r =

Tinggi = h =

Tebal =

Sehingga

Volume benda putar

MA1114 KALKULUS I33(ii) Metoda kulit tabung

2

D

x=3xJika irisan diputar terhadap garis x=3diperoleh kulit tabung denganTinggi = h =

Jari-jari = r =33-x3-xTebal =

Sehingga

Volume benda putar

MA1114 KALKULUS I34F. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x(4) sumbu y (2) garis x = -1(5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4G. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x (3) sumbu y(2) garis x = 6 (4) garis y = -1 MA1114 KALKULUS I357.3 Panjang KurvaPersamaan parameter kurva dibidangx = f(t)y = g(t)

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebuttitik ujung dari kurva.Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika (1)(i)

dankontinu pada [a,b]Kurva tidak berubah sekonyong-konyong(ii)

dantidak secara bersamaan nol pada (a,b)MA1114 KALKULUS I36Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitungpanjang kurvaLangkah1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

ab

Partisi pada [a,b]Paritisi pada kurva

MA1114 KALKULUS I372. Hampiri panjang kurva

panjang busur

panjang tali busur

Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat sehingga

MA1114 KALKULUS I38dengan

sehingga

Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh

MA1114 KALKULUS I39Ctt:Jika persamaan kurva y=f(x),

Jika persamaan kurva x=g(y),

MA1114 KALKULUS I40Contoh : Hitung panjang kurva

1.

Panjang kurva

Ini ada dua variabel (x dan y)1. Masing-masing diturunkan, dikuadratkan, ditambah, kemudian diakarkan40MA1114 KALKULUS I412.

antara x =1/3 dan x=7Jawab :

Ini Cuma satu variabel ( x saja atau y saja ):Diturunkan dulu variabelnyaHasil turunan dikuadratkan, + 1, diakarkan41MA1114 KALKULUS I42H. Hitung panjang kurva berikut

1.2.3.4.5.6.