aplikasi integral bagian 2

8/17/2019 Aplikasi Integral Bagian 2

1/16

PENERAPAN INTEGRALBAGIAN 2

M. Adimas nugraha (1407230366M. !u"#$ar (140723M. Nur %&ah'u ra (14072302)ah&u A*ar+r ,s*. (140723L-smana )iranda (140723Gi"ang Triandi (140723


2/16

INTEGRAL

Tujuan :Kompetensi Dasar:

1. Memahami konsep integral tak tentu an tentu

!. Menghitung integral tak tentu an integral tentu ari "ungsialja#ar an "ungsi trigonometri

$. Menggam#arkan suatu aerah %ang i#atasi oleh #e#erapakur&a.

'. Menentukan luas aerah engan menggunakan limit jumlah


3/16

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f (x) pada interval [a, b].

x0 a b∆x a

x0 b

∫ b

adx x f )(

!umlah "uas #artisi $erubah %en&adi 'ntegral

entukan limitn a

n → ∞

)( x f

∑

=

n

i ii x x f

1

)( ∆

)( x f

%enghitung "uas dengan 'ntegral "uas aerah "uas aerah

in

ii

n

b

a x x f dx x f L ∆== ∑∫

=∞→ 1)()( lim


4/16

*egiatan pokok dalam menghitung luas

daerah dengan integral tentu adalah+

. -ambar daerahn a.

. #artisi daerahn a

/. 0proksimasi luas sebuah partisi" i ≈ f(x i) x i

1. !umlahkan luas partisi

" ≈ ∑ f(x i) x i

2. 0mbil limitn a " 3 lim ∑ f(x i) x i

4. 5 atakan dalam integral

x0

)( x f y =

a

x i

x i

)( i x f "i

%enghitung "uas dengan 'ntegral "uas aerah"uas aerah

∫ = a

dx x f 0

)(L


5/16

6itunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva 3 x , sumbu x, dan garis x 3 /

7ontoh .7ontoh .

"angkah pen elesaian +. -ambarlah daerahn a. #artisi daerahn a

/. 0proksimasi luasn a " i ≈ x i x i1. !umlahkan luasn a " ≈ ∑ x i x i2. 0mbil limit &umlah luasn a

" 3 lim ∑ x i x i

4. 5 atakan dalam integral danhitung nilain a 8

x

/

2)( x x f =

dx x ∫ = 3

0

2L

90333

3

033

L =−== x

" i

x i

x i

2i x


!awab!awab


6/16

6itunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva 3 x , sumbu 9, dan garis 3 1

7ontoh .7ontoh .

"angkah pen elesaian +. -ambarlah daerahn a. #artisi daerahn a

/. 0proksimasi luasn a " ≈ x i.

1. !umlahkan luasn a " ≈ ∑ √ .

2. 0mbil limit &umlah luasn a

" 3 lim ∑ √%. %

4. 5 atakan dalam integral danhitung nilain a

8x

1

dy y∫ =4

0

.L

3

168.

32

32

L4

0

23

=== y


!awab!awab

x i

2)( x x f =

y∆

y∆


7/16

"angkah pen elesaian+. -ambar dan #artisi daerahn a

. 0proksimasi + "i ≈ (1x

i: x

i) x

idan

0 &≈ :(1x & : x & ) x &/. !umlahkan + " ≈ ∑(1x i : x i ) x i dan 0

≈ ∑ :(1x & : x & ) x &1. 0mbil limitn a " 3 lim ∑ (1x

i : x

i) x

i

dan 0 3 lim ∑ :(1x & : x & ) x &2. 5 atakan dalam integral

8x41

24)( x x x f −=

dx x x ∫ −= 4

0

2 )4(L dx x x∫ −−=6

4

2 )4(A

x i

" i

x ix &

0 &

x &

24 ii x x −

)4(0 2 x x −−


6itunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva 3 1x : x , sumbu x,

dan garis x 3 4

7ontoh /.7ontoh /.

!awab!awab


8/16

dx x x ∫ −= 4

0

2 )4(L

dx x x∫ −−=6

4

2 )4(A 8 x41

24)( x x x f −=

x i

" i

x ix &

0 &

x &

24 ii x x −

)4(0 2 x x −−

[ ]4033122L x x −=

3643

312 320)4()4(2L −=−−=

[ ]6433122A x x +−=( )33123312 )4()4(2)6()6(2A +−−+−=3

643

216 3272A −++−=

40A 3152 −=31

214032daerahLuas 3152

364 =−+−=



9/16

%enghitung "uas dengan 'ntegral "uas aerah "uas aerahKesimpulan :

∫ =b

a

dy x L .

∫ =b

a

dx y L .

8x

y∆

x0

)( x f y = x i

x i

)( i x f


10/16

";0S 0 g( x ) pada selang [a,b] di bawah ini. engan menggunakan cara + partisi, aproksimasi,

jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luasdaerah antara dua kurva tersebut.

"angkah pen elesaian+

. #artisi daerahn a

. 0proksimasi + " i ≈ [ f ( x ) ? g( x ) ] x

1. !umlahkan + " ≈ ∑ [ f ( x ) ? g( x ) ] x

2. 0mbil limitn a +

" 3 lim ∑ [ f ( x ) ? g( x ) ] x

4. 5 atakan dalam integral tertentu

ba

)( x f y =

)( x gy =

8x

" i

x

x

)()( x g x f −


[ ]dx x g x f b

a∫ −= )()(L


11/16

6itunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva 3 x dan garis 3 : x7ontoh 1.7ontoh 1.

"angkah pen elesaian+. -ambar daerahn a. entukan titik potong kedua kurva

x 3 ? x x @ x ? 3 8 (x @ )(x ? ) 3 8 diperoleh x 3 : dan x 3 /. #artisi daerahn a1. 0proksimasi luasn a

" i ≈ ( : x : x ) x 2. 5 atakan dalam integral tertentu

dx x x ∫

−−−=

1

2

2 )2(L 8x

:::/

2 x y =

x y −= 2

/

1

2

Li

x

x

2)2( x x −−


!awab!awab


12/16

dx x x ∫ − −−= 1

2

2)2(L

8x

:::/

2 x y =

x y −= 2

/

1

2

Li

x

x

2)2( x x −−

[ ]1 232 322L −−−= x x x

−−−−

−−= −− 3

3)2(2

2)2(3

312

21 )2(2)1(2L

( ) ( )383121 242L +−−−−−=

38

31

21 242L −++−−=

21

21 45L =−=



13/16

;ntuk kasus tertentu pemartisian

secara vertikal men ebabkan ada

dua bentuk integral. 0kibatn a

diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungn a.

)( x f y =

a b

" i x

x

)()( x g x f −

)(2 x f

0 i8

x

)( x gy =

"uas daerah 3 ∫ a

dx x f 0

)(2 ( )∫ + −b

adx x g x f )()(



14/16

!ika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh

satu bentuk integral ang men atakan luas daerah tersebut. Sehinggapen elesaiann a men&adi lebih sederhana dari sebelumn a.

)()( y f x x f y =⇔=

8x

)()( y g x x gy =⇔=

"uas daerah 3 ( )∫ −d

cdy y f y g )()(

" i

c

d

)()( y f y g −



15/16

6itunglah luas daerah di kuadran ' ang dibatasi kurva 3 x , garis x @ 3 4 ,

dan sumbu x

7ontoh 2.7ontoh 2.

"angkah pen elesaian+. -ambar daerahn a. entukan titik potong kedua kurva

3 4 ? @ ? 4 3 8 ( @ /)( ? ) 3 8

diperoleh 3 : / dan 3 /. #artisi daerahn a1. 0proksimasi luasn a

" i ≈ (4 : : ) 2. 5 atakan dalam integral tertentu

"uas daerah 3 ( )∫ −−2

0

26 dy y y

2y x =

y x −= 6

4

x8 4

Li

2)6( y y −−


!awab!awab


16/16

"uas daerah 3 ( )∫ −−2

0

26 dy y y

2y x =

y x −= 6

4

x8

4

Li

2)6( y y −−

"uas daerah 32

03

3

2

26 −− y y y

"uas daerah 3 0332

24)2(6 −−−

"uas daerah 3

−− 3

8212

"uas daerah 3 322


aplikasi integral bagian 2

Documents