4. aplikasi integral rangkap

8/19/2019 4. Aplikasi Integral Rangkap

1/23

RANGKAP

INTEGRAL GANDA

Integral untuk fungsi satu variable, kitamembentuk suatu partisi dari interval [a,b]menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk

, k = 1, 2, 3, !n

"engan #ara yang sama, $ita de%nisikan

integral untuk fungsi dua variable!&isalkan fungsi ' = f(x,y) dide%nisikan padasuatu daera* tertutup + di bidang xy!$emudian daera* ini dibagi atas n bua* sub

daera* yang masing-masing luasnya 1 , 2 ,

∑∫ =

∞→∆=

n

k

b

a

dx x f 1

k k n

x )f(xlim )(


2/23


3/23

"alam setiap sub daera*, pili* suatu titik

.k(xk, yk )dan bentukla* jumla* /

0ika jumla* sub daera* makin besar (n),maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi

f(x,y) atas daera* + dide%nisikan /

A y x f A y x f A y x f A y x f nnn

n

k

k k k ∆++∆+∆=∆∑=

),(.......),(),(),( 2221

111

∑∫∫ =

→∞∆=

n

k

k k k n

R

A y x f dA y x f 1

),(lim),(


4/23

ntuk meng*itung integral lipat dua dapatdigunakan integral berulang yang ditulisdalam bentuk /

a!

dimana integral yang ada dalam kurung*arus di*itung terlebi* da*ulu dengan

menganggap variabel y knstanta,kemudian *asilnya diintegral kembaliter*adap y!

),( ),( ∫∫ ∫∫ = R R dxdy y x f dA y x f ∫ ∫

=

=

=

b

a

y f y

y f y

dydx y x f

)(

)(

2

1

),(


5/23

b!

dimana integral yang ada dalam kurung*arus di*itung terlebi* da*ulu dengan

menganggap variable x knstanta, kemudian*asilnya diintegral kembali ter*adap x!

0ika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan

(b) se#ara umum akan memberikan *asil yangsama!

∫∫ ∫∫ = R R dydx y x f dA y x f ),(),( ∫ ∫

=

=

=

b

a

y f y

y f ydxdy y x f

)(

)(

2

1

),(


6/23

I5678+9 9I.6 " "7585 :6; .7+;78I.5058

:entuk umum /

dimana / + = < (x,y) a > x > b, # > y > d ? a,b,# dan d adala* knstanta

d

+

#

a b

∫∫ ∫∫ = dxdy y x f dA y x f R

),(),(


7/23

@nt* /

1!

2!

3!

A!

∫ ∫

1

0

2

1

dxdy

∫ ∫

4

2

2

1

2 xdxdy

∫ ∫ 4

2

2

1

xydydx

∫ ∫ +4

2

2

1

22 )( dxdy y x


8/23


9/23


10/23

I5678+9 9I.6 " "7585 :6; :$5 .7+;78I .5058

dimana /

+ = < (x,y) f 1(x) > y > f 2(x) ,a > x > b ?

∫ ∫ ∫∫ ==

=)(f

)(

2

1

dx),(),(.

x

x f y

b

a x R

dy y x f dA y x f a


11/23

dimana /

+ = < (x,y) f 1(y) > x > f 2(y) ,# > y > d ?

∫ ∫ ∫∫ ==

=)(f

)(

2

1

dy),(),(.

y

y f x

d

c y R

dx y x f dA y x f b


12/23

@nt*

1

∫ ∫

1

0

2

2

x

xdydx xy

∫ ∫ +2

1

3

)(.2

y

y

dxdy y x

∫ ∫ +1

0 2

2

2

.3

x x

x

dydx x

∫ ∫ 2 2sin

2cos

2 .4

π

π

θ

θ

θ drd


13/23

.9I$;I I5678+9 9I.6 "

plikasi integral lipat dua yang bentuk

umumnya /

dapat dijelaskan sbb /

1! 9;

9uas bidang dapat dipandang sebagaiintegral lipat dua jika f(x,y) = 1 , se*inggaintegral lipat dua menjadi /

∫∫ R

dA y x f ),(

∫∫ ∫∫ ∫∫ ===R R

dydx dxdyAatau R

dA A


14/23

"alam krdinat plar /

#nt* /

1! Bitung luas daera* yang dibatasi le* y = C,x D y = 2

dan 2y = x D A 2! Bitungla* luas daera* yang dibatasi le*

parabla-parabla / y2 = A E x dan y2 = A E Ax

3! Bitung /dengan + adala* daera* dikuadran pertama yang

berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam

kardida r = 2(1D#s F)

∫ ∫ ∫∫ =

=

==2

1

2

1

dd

υ

ρ

β θ

α θ

θ ρ ρ R

dA A

∫∫ = R

dA A


15/23

2! GH9&7

0ika '=f(x,y) adala* persamaan permukaan ,maka/

adala* vlume benda antara permukaan danbidang xy!

@nt* / Bitung vlume benda yang dibatasi le*

selinder

x2 D y2 = A dan bidang-bidang y D ' = A dan

' = C

∫∫ = R

dxdy y x f V ),(


16/23

3! &assa

0ika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis(massa persatuan luas ), maka /

merupakan massa dari benda itu!

#nt* /

;ebua* lamina (pelat tipis) dengan kerapatanf(x,y)=xy dibatasi le* sumbu x, garis x = 2dan kurva y=x3

6entukan massa ttalnya!

∫∫ R

dxdy y x f ),(


17/23

A! .usat &assa

0ika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina(pelat

tipis), maka pusat massanya / (x,y) adala*sbb /

,

@nt* /

6entukan pusat massa dari lamina yangmempunyai

$erapatan f(x,y) = xy dan dibatasi le* sumbu

∫∫

∫∫ ==

S

S Y

dA y x f

dA y x f x

M M x

),(

),(

∫∫

∫∫ ==

S

S X

dA y x f

dA y x f y

M M y

),(

),(


18/23


19/23


20/23

! &men Inersia&men Inersia dari pelat tipis yang

mempunyai$erapatan f(x,y) ter*adap sumbu x dan

sumbu y

adala* /

,

;edangkan mmen inersia ter*adap sumbu ' (

titik asal ) /

@nt* /

6entukan mmen inersia ter*adap sumbu x, y

∫∫ = R

x dA y x f y I )..,(2

∫∫ =

R

y dA y x f x I )..,(2

∫∫ +=+= R

y x Z dA y x f y x I I I )..,()(22


21/23

I5678+9 9I.6 6I8Integral lipat tiga dari suatu

fungsi tiga

variabel bebas t*d! daera* +, dimana fungsi

bernilaitunggal dan kntinu, merupakan suatu

pengembangan

dari integral tunggal dan integral lipat dua!

0ika f(x,y,') = 1, maka integral menjadi /

dapat diartikan

pengukuran

∫∫∫ R

dV z y x f ),,(

∫∫∫ ∫∫∫ =

dV dV z y x f R ),,(


22/23

"alam krdinat tegak lurus , integral tersebutdapat

dinyatakan dalam bentuk /

dimana /

x1 > x > x2

y1 (x) > y > y2(x)

'1 (x,y) > ' > '2(x,y)

∫ ∫ ∫ ∫∫∫ =2

1

2

1

2

1

)(

)(y

),(

),(

z)dzdydxy,f(x, ),,(

x

x

x y

x

y x z

y x z R

dV z y x f


23/23

@nt* /

∫ ∫ ∫ 2

1

3

2

4

3

dzdydx4xyz.1

∫ ∫ ∫

1

0 x 02

dzdydx2z .2

x xy

∫ ∫ ∫ +1

0 0 0

2

dzdydx2xz .3

x y x

∫ ∫ ∫ −

+1

0

2

0

2

0

dzdydx2z)(x.4 x y x

4. aplikasi integral rangkap

Documents