Problema de los puentes de Königsberg

El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII -ciudad natal de Kant- y actualmente, Kaliningrado, en la óblast rusa de Kaliningrado) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos.

Consiste en lo siguiente:

Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo.

Número de Euler (física)En física, el número de Euler (Eu) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos.

Expresa la relación entre la energía asociada a una pérdida de presión por unidad de volumen (por ejemplo un estrechamiento) respecto a la energía cinética por unidad de volumen del flujo. Se usa para caracterizar pérdidas de carga en el flujo: por ejemplo, a un flujo horizontal sin fricción le corresponde un número de Euler unitario, y cuanta más pérdida de carga se produzca en su movimiento, menor será su número de Euler. El inverso del número de Euler (relación entre las fuerzas de inercia y las de presión diferencial) se conoce como número de Ruark, de símbolo Ru.

Se define el número adimensional de Euler como:

En donde:

es la densidad del fluido.

es la presión aguas arriba.

es la presión aguas abajo. es la velocidad característica del flujo.

Con una estructura parecida pero con un significado diferente se define el número de cavitación.

Aplicaciones del número e

 

   Veremos ahora varios ejemplos de aplicaciones del número e en diversas ciencias, he escogido algunas que nos pueden parecer más próximas a nuestra vida cotidiana y que, quizás, os sorprenderán:· Intervención del número   e   en un asesinato:     Una aplicación del número “e” es poder determinar en un asesinato el momento de la muerte.     Es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno.

    Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que se enfría muy rápidamente; cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría lentamente.     Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC (98,6º F). Pero una persona muerta deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton que se aplica con la fórmula matemática siguiente:

T = Taire + (Tcos – T aire) / ek·t

    Dónde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante.     Ahora aplicaremos esta fórmula en el asesinato de una persona. Su temperatura en un momento dado después de su muerte era de 85º F y la temperatura del aire era de 68º F. A las dos de la madrugada la temperatura del cuerpo había disminuido hasta los 74º F. A partir de esto nos interesa determinar cuando murió esta persona. Sabemos que la temperatura normal del cuerpo es de 98,6ºF, se puede calcular el momento de su muerte operando así:

        98,6º = 68º + (85º - 68º) / e0,5207·t

    Operando los términos resulta: (30,6º) ·  e0,5207·t = 17º

        e0,5207·t = 17º / 30,6º = 0,5556

    Por tanto, si aplicamos el cálculo de logaritmos resulta:

        0,5207 · t = L(e0,5207·t) = L(0,5556) = -0,5878         t = -0,5878 / 0,5207 = -1,13 horas = -68 minutos

    Con esto sabemos, gracias a la ayuda del número e, que esta persona murió 68 minutos antes de las doce de la noche, es decir, a las 22:52 h.

 

· En matemática financiera se utiliza para calcular el interés continuo:     La fórmula del interés continuo es:    C = c · (1 + r / m)m·t

    dónde C = capital final, c = capital inicial, r = interés anual, m = periodos de capitalización,     t = número de periodos.

    Veremos la aplicación del número e en matemática financiera a partir de un ejemplo concreto.     Veamos lo que producen 1000 euros a un interés compuesto del 20% anual en un año, y a interés continuo.     a) Primer caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 año:

        C = c · (1 +  r / 1 )1 = 1000 · (1 + 20/100)1 = 1000 · 1,2 = 1200 euros

    b) Segundo caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 mes, es decir, hay 12 periodos de capitalización al año, entonces la fórmula es:

        C = c · (1 +  r / 12 )12 = 1000 · (1 + 0,2 / 12)12 = 1219,39 euros

    c) Tercer caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 dia, es decir, hay 365 periodos de capitalización al año tenemos que:

        C = c · (1 +  r / 365 )365 = 1000 · (1 + 0,2 / 365)365 = 1221,34 euros

    Si nos fijamos vemos que cuantos más periodos de capitalización haya al año, el capital final producido es mayor, pero parece que tiende a estabilizarse al aumentar el número de periodos porque, por ejemplo, la diferencia entre el capital final del segundo y tercer caso es menor que la del primer y segundo caso.     Cuando el número de periodos de capitalización m tiende a infinito, el interés se denomina continuo.     La fórmula de este tipo de interés es, por tanto:

    Ahora haremos una serie de transformaciones con el fin de poder calcular este límite a partir del número e.     Si consideramos que r / m = 1 / (m / r) y ahora sustituimos m / r = n, y además tenemos en cuenta que el

límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función, obtenemos:

        C = c · lim  (1 + 1 / n)n·r·t

                   n->w     Que podemos transformar siguiendo las propiedades de los límites en:

        C = c ·[ lim  (1 + 1 / n)n]r·t

                    n->w     y como hemos visto, a la definición del número e:

    Por lo cual llegamos a la fórmula final del interés continuo:

        C = c · er·t

    Entonces, si los 1000 euros los tenemos ahora a interés continuo, el capital final será:

        C = c · er·t= 1000 · e0,2·1 = 1221,40 euros

    El interés continuo es, por tanto, el de máxima producción.     ¿Habíais imaginado alguna vez que vuestros ahorros estaban bajo el control del número e?

 

· En ingeniería:     Cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma que se relaciona con el número e. La fórmula es la siguiente:

    Así que, a partir de ahora, cada vez que veáis un cable, una cuerda, etc. colgado por los extremos, pensad que ¡el número e está allí dándole la curvatura correspondiente!

· El carbono 14:     Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia orgánica se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 constante.     Cuando un ser vivo muere esta cantidad se va desintegrando. La función que regula la desintegración se determina con la siguiente fórmula:

            Q = Qo · e-0,000124·t

    Dónde Q es la cantidad de carbono 14 final, Qo es la cantidad de carbono 14 inicial, t es el tiempo.

· Espiral logarítmica:     En los seres vivos hay curvas relacionadas con el número e. Una de ellas es la espiral logarítmica, la fórmula de la cual es:

            r = ea·j

· Absorción de los rayos X per la materia. Ley de Bragg-Pierce:

            I = Io · e-m·x

    Dónde  I es la intensidad final del rayo después de atravesar el cuerpo, Io es la intensidad inicial de los rayos X, m es el coeficiente de absorció, x es el grueso del cuerpo.

· Crecimiento exponencial:     Una de las numerosas aplicaciones en biología del número e es el crecimiento exponencial. Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limiten el crecimiento. Pueden experimentar un crecimiento exponencial las especies pioneras que llegan, por ejemplo, a zonas despobladas como una superfície boscosa en recuperación después de un incendio.      Para este tipo de crecimiento se aplica la siguiente fórmula:

            N = No · et

     Esto nos permite adivinar cual será la población N en un tiempo t a partir de la población inicial No.

· Crecimiento logístico:     Otro tipo de crecimiento es el logístico. Muchas veces las circunstancias, como, por ejemplo, la intervención del gobierno o las condiciones extremes de supervivencia, limitan el crecimiento. Este tipo de crecimiento viene dado por la siguiente fórmula:

            f(x) = k / (1 + a · e-b·x)

    Dónde k, a y b són constantes que se hallan experimentalmente, dependen de cada aplicación concreta.

    Hay muchas más aplicaciones de fenómenos o situaciones donde interviene el número e, pero me parece que después de leer este artículo -obtenido a partir del trabajo de investigación de la alumna Bharti Pridnani de Lloret- tendréis un concepto muy diferente de este maravilloso número irracional y trascendente, pero poco conocido, que es el número e.

PandeoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

Deformación de pandeo producida por la compresión de una barra.

El pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección principal de compresión.

En ingeniería estructural el fenómeno aparece principalmente en pilares y columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia.

Índice

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1 Introducción 2 Pandeo flexional

o 2.1 Pandeo local o 2.2 Pandeo global o 2.3 Plano de pandeo o 2.4 Teoría de la bifurcación

3 Pandeo torsional 4 Cálculo de cargas críticas

o 4.1 Curva elástica o 4.2 Métodos energéticos

5 Dimensionado de elementos sometidos a pandeo o 5.1 Carga crítica y longitud de pandeo o 5.2 Esbeltez y coeficientes de pandeo

6 Referencias o 6.1 Bibliografía

7 Véase también

§Introducción[editar]

La aparición de deflexión por pandeo limita severamente la resistencia en compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Además del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocado por un momento torsor excesivo.

Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos típicos son:

Pandeo flexional . Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal.

Pandeo torsional . Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión gira alrededor de su centro de corte.

Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal.

Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro alrededor del centro de corte

§Pandeo flexional[editar]

Los pilares y barras comprimidas de celosías pueden presentar diversos modos de fallo en función de su esbeltez mecánica:

Los pilares muy esbeltos suelen fallar por pandeo elástico y son sensibles tanto al pandeo local el propio pilar como al pandeo global de la estructura completa.

En los pilares de esbeltez media las imperfecciones constructivas como las heterogeneidades son particularmente importantes pudiéndose presentar pandeo anelástico.

Los pilares de muy baja esbeltez fallan por exceso de compresión, antes de que los efectos del pandeo resulten importantes.

§Pandeo local[editar]

Modelo de los distintos tipos de pandeo de Euler. Como se puede ver, según las coacciones externas de la viga, la deformación debida al pandeo será distinta.

El pandeo local es el que aparece en piezas o elementos aislados o que estructuralmente pueden considerarse aislados. En este caso la magnitud de la carga crítica viene dada según el caso por la fórmula de Leonhard Euler o la de Engesser. La carga crítica de Euler depende de la longitud de la pieza, del material, de su sección transversal y de las condiciones de unión, vinculación o sujeción en los extremos. Para una pieza que puede considerarse biarticulada en sus extremos la carga crítica de Euler viene dada por:

(1)

Siendo: Pcrit, la carga crítica; E, Módulo de Young del material de que está hecha la barra; Imin, momento de inercia mínimo de la sección transversal de la barra; L, longitud de la barra y λ la esbeltez mecánica de la pieza. Cuando las condiciones de sujeción de los extremos son diferentes la carga crítica de Euler viene dada por una ecuación del tipo:

(2)

Al producto se le llama longitud de pandeo.

§Pandeo global[editar]

En una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados pueden aparecer modos de deformación en los que los desplazamientos no sean proporcionales a las cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras o elementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a este factor, la carga crítica global de cierto tipo de estructuras (por ejemplo en entramados de cúpulas monocapa) es mucho menor que la carga crítica (local) de cada uno de sus elementos.

El tipo de estructura más simple que presenta pandeo global para carga crítica diferente de la de sus elementos está formado por dos barras articuladas entre sí1 y a la cimentación, que se muestra en la figura.

Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la estructura son:

Ecuación de equilibrio :

Relación elástica entre acortamiento y esfuerzo axial:

Relación geométrica de las configuraciones no-deformada y deformada:

Donde: N, esfuerzo axial de cada una de las barras; ΔL, acortamiento sufrido por las barras para adoptar la configuración deformada; Δθ = θ-θ', es la diferencia de ángulos mostrada en la figura; E, módulo de Young del material de las barras; A, área transversal de cada una de las barras; L, longitud inicial de cada una de las dos barras.

Substituyendo la segunda de las ecuaciones en la primera, despejando ΔL de la tercera y substituyendo su valor también su valor en la primera se llega a:

El valor de Δθ para el que se alcanza el máximo es precisamente la carga crítica global. Las cargas de pandeo global y local vienen dadas por:

Cada una estas cargas presenta modos de fallo diferentes en la estructura. De entre los dos posibles modos de fallo por pandeo ocurrirá el que presente un ángulo de aparición mayor donde estos ángulos vienen dados por:

§Plano de pandeo[editar]

El plano de pandeo se refiere al plano que contendrá el inicio de la deformada de una pieza sometida a compresión dominante. El plano de pandeo contiene el eje baricéntrico de la viga y sobre él la deflexión por pandeo es máxima. Para una pieza sometida sólo a compresión sin momentos apreciables adicionales, el plano de pandeo coincidirá con el plano perpendicular sea paralela al eje de menor inercia de la sección.

§Teoría de la bifurcación[editar]

Matemáticamente el pandeo local está asociado a una bifurcación tridente, es decir, cuando se plantean las ecuaciones exactas no lineales que describen la forma de una pieza prismática, incluyendo la carga axial y los parámetros relacionados con las imperefecciones, los posibles comportamientos cualitativos están separados unos de otros por una bifurcación tridente. Eso lleva que en estos casos la carga real que puede soportar una barra venga dada por la ley 2/3 de Koiter:2

Donde:

, carga crítica corregida por las imperfecciones.

, es una constante que depende del patrón de imperfección dado por ., es un parámetro escalar que cuantifica el grado de imperfección para un patrón de

imperfección dado.

Si las imperfecciones tienen naturaleza estadística y vienen dadas por una distribución normal multivariante entonces la carga crítica tiene una distribución dada por:3

Esta distribución de probabilidad permite ajustar las curvas reales de pandeo observadas, ya que en condiciones normales una barra recta de sección constante tiene una resistencia inferior debido a paredicha por la teoría de Euler por el efecto de las imperfecciones.

§Pandeo torsional[editar]

En vigas de alas anchas o de escasa rigidez torsional, el pandeo flexional convencional puede ir acompañado de la aparición de una torsión de la sección, resultando un modo de fallo mixto conocido como pandeo torsional o pandeo lateral. El momento torsor crítico para el cual aparecería ese tipo de fallo viene dado por:4

Donde las nuevas magnitudes son:

, es el momento de inercia mínimo en flexión., son respectivamente el módulo de alabeo y el módulo de torsión.

, el módulo de elasticidad transversal.

Y el resto de magnitudes tienen el mismo significado que para el pandeo flexional puro. En piezas donde el momento de alabeo es despreciable puede usarse la expresión aproximada:

§Cálculo de cargas críticas[editar]

§Curva elástica[editar]

Forma cualitativa de pandeo de un pilar empotrado en su base y libre en su extremo superior.

Una manera de encontrar la carga crítica de una estructura consiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandeará, parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parámetros incógnita. Introduciendo esa forma cualitativa en la ecuación de la curva elástica y buscando que la solución parametrizada satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, que normalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudos de las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre los parámetros incógnita introducidos. El valor de la carga crítica es precisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan.

El método de Euler para barras aisladas es un ejemplo de uso de este método. Por ejemplo para determinar la carga de crítica de un pilar empotrado en su base y libre en el extremo tratamos de resolver la ecuación de la curva elástica bajo las siguientes condiciones:

La solución de esa ecuación, en función del parámetro de desplazamiento horizontal del pilar, resulta ser:

La condición de contorno en el extremo superior (donde h = H y wsup = δ) sólo se cumple para ciertos valores de P, que cumplen:

El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado para la carga crítica de Euler de un pila empotrado en su base y libre en su parte superior:

§Métodos energéticos[editar]

Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura.

Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación Wint con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo Wext durante la deformación, Wint = Wext. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energía de deformación y el trabajo exterior vienen dados por:

Donde:

es el momento flector sobre la sección de abscisa x,

es el producto de módulo de Young por el momento de inercia de la sección,

es la defleción o desplazamiento seccional de la sección de abscisa x.es la carga crítica de pandeo.

es la longitud total del elemento susceptible de sufrir pandeo.

Cuanto más ajustado sea el campo de desplazamientos supuesto w(x) mejores resultados da el método anterior.

§Dimensionado de elementos sometidos a pandeo[editar]

En ingeniería estructural existe una necesidad práctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresión con la suficiente sección transversal como para que no fallen por pandeo. La sección transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sería necesaria para soportar un esfuerzo de tracción de la misma magnitud (entre 1,5 y 6 veces en la mayoría de casos). La mayoría de normas usan un coeficiente de reducción de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresión y no de tracción. El Eurocódigo por ejemplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresión y tracción simples las siguientes resistencias:

Donde:

son respectivamente el esfuerzo axial último en tracción y el esfuerzo axial último en compresión.

son el área bruta de la sección transversal y el área efectiva de la sección transversal (para la mayoría de secciones transversales, ambas coinciden).

, es la tensión máxima admisible sobre el material., es el coeficiente ji de reducción de la resistencia por pandeo.

El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensión y determinar si un elemento es seguro. Así cuando un elemento está sometido a flexión o compresión compuestas la tensión de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como:

Donde:

es el esfuerzo axial a que está sometido el elemento.

, son los momentos flectores medidos según las dos direcciones principales de inercia.

, son los momentos resistentes asociados a los momentos principales de inercia de la sección transversal.

En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la sección sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por la tensión de Von Mises y en la expresión de Navier debe contabilizarse el efecto del bimomento.

§Carga crítica y longitud de pandeo[editar]

La carga crítica de un elemento estructural unidimensional esbelto corresponde a un esfuerzo axial por encima de la cual cualquier pequeña imperfección impide que exista un equilibrio estable. Para una pieza prismática recta muy esbelta, de material elástico y con extremos articulados, la carga crítica se aproxima mucho a la llamada carga crítica de Euler:

Donde:

es el módulo de Young del material.

es el segundo momento de área.la longitud total de la pieza.

En otros casos más complejos con otras condiciones en los extremos, con sección variable, etc, la carga crítica anterior debe ser corregida por un factor constante. En piezas de sección constante puede definirse además la longitud de pandeo o como:

Donde:

es el radio de giro mínimo de la sección transversal.es la esbeltez reducida.

la tensión mecánica usada para el cálculo de la esbeltez.

Si la pieza no es de sección constante no existe una manera de definir la longitud de pandeo, aunque el concepto de carga crítica sigue estando perfectamente definido.

En el enfoque moderno de la teoría de bifurcación corresponde a un punto del espacio de configuración tal que cualquier entorno de ese punto se interseca con más de una solución de las ecuaciones de comportamiento estructural. Los elementos bidimensionales comprimidos como los muros de carga, entre otros, también pueden sufrir pandeo, aunque

en ese caso la carga crítica se define en términos de la carga compresiva sobre el borde de la misma, para la que aparecen fenómenos de pandeo.

§Esbeltez y coeficientes de pandeo[editar]

Usualmente las diferentes normas tecnológicas preven una reducción de la resistencia de pilares y otras piezas en términos de su esbeltez mecánica. Cuanto más esbelto sea el elemento tanto mayor será la reducción de su resistencia debida al probable efecto de pandeo sobre el mismo. Existen varias maneras, todas ellas esencialmente equivalentes, de tratar esta reducción de la resistencia por efecto del pandeo, por ejemplo el eurocódigo y el CTE definen la esbeltez mecánica reducida o razón entre la resistencia plástica de la sección de cálculo y la compresión crítica por pandeo, como:

Donde:

es el área transversal efectiva para el elemento que pretender dimensionarse para resistir el pandeo.

es la tensión mecánica máxima usada para caracterizar el comportamiento del material.

es la carga crítica de pandeo del elemento.

El factor de reducción de la resistencia por pandeo o (coeficiente ji), se de acuerdo con el CTE simplemente como:

Donde en la fórmula anterior:

, por lo que afectos de cálculo no debe tomarse un valor inferior a ese., es el coeficiente de imperfección que depende del tipo de sección transversal.