análisis matricial - · pdf filematricial de sistemas estructurales, y a las...

ANÁLISIS MATRICIALDE

SISTEMAS ESTRUCTURALES

EMILIO MARTIN GUTIÉRREZArquitecto

Profesor Titular del Departamento de Tecnología de la Construcciónde la Universidad de La Coruña

JUAN PÉREZ VALCARCELDr. Arquitecto

Catedrático de Universidad

JAVIER ESTEVEZ CBMADEVILADr. Arquitecto

Profesor Titular de Universidad

(Galicia Editorial, S.A. - (Saesa

C. Gambrinus, 97. La Grela-Bens. La Coruña

I.S.B.N.: 84-88301-59-6

Depósito Legal: C. 122-1993

Imprime:

A mis padres.

E. Martín.

This page intentionally left blank

ANÁLISIS MATRIC1AL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

PROLOGOLa presente obra pretende servir de revisión crítica a los procesos de Análisis

Matricial de Sistemas Estructurales, y a las teorías y operaciones relativas a suimplementación en ordenador. Se ha considerado oportuno partir de un nivel elemental, yavanzar de forma paulatina y siguiendo caminos diversos, con objeto de llegar al lector másdesinformado, y de servir de apoyo a la docencia técnica en el ámbito estructural.

Por otra parte, los contenidos últimos y la inclusión de un programa de cálculo -dePórticos Planos de Nodos Rígidos, y considerando la Analogía de la Columna Ancha-,pueden servir de incentivo al profesional que intente articular sus propias herramientas, enalgunos casos más allá de los límites comerciales y siempre en la idea de disponer de un totalcontrol sobre las mismas.

Los autores.

E. MARTIN & J. VALCARCEL & J. ESTEVEZ

7

This page intentionally left blank

ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

ÍNDICE1. Generalidades

1.1. Introducción. 111.2. Bases teóricas y supuestos previos 121.3. Idealizaciones geométrica y mecánica 141.4. Nomenclatura y definiciones 23

2. Método de las Fuerzas. Descripción y comentarios2.1. Descripción del Método 272.2. Formación de la Matriz de Flexibilidades 352.3. Propiedades de la Matriz de Flexibilidad 382.4. Resumen del proceso 412.5. Aplicaciones 422.6. Comentarios en torno a la elección del sistema isostático equivalente... 51

3. Método de los Desplazamientos. Descripción y comentarios3.1. Descripción del Método 573.2. Resumen del proceso 633.3. Notación. Sistemas de referencia y convenios de signos 64

4. Relaciones fundamentales en el Método de los Desplazamientos4.1. Ecuaciones del material 694.2. Ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos 774.3. Ecuaciones de equilibrio 83

5. Formación y ensamblaje de la Matriz de Rigidez Global5.1. Formulación indirecta 875.2. Formulación directa 985.3. Ensamblaje de la Matriz de Rigidez Global 131

6. Efecto de los vínculos6.1. Desplazamientos nulos 1336.2. Desplazamientos conocidos no nulos 136

7. Consideraciones sobre el almacenamiento de datos 139

8. Procedimientos de renumeración8.1. Método de Rodrigues 1548.2. Método de Grooms 1568.3. Método de Cunthill-McKee 158


9

10 ÍNDICE

9. Cálculo de desplazamientosMétodos numéricos de resolución del sistema de ecuaciones9.1. Métodos directos 1639.2. Métodos iterativos 1789.3. Resolución práctica de los sistemas simétricos y en banda 1829.4. Método de los bloques 1889.5. Estudios complementarios 195

10. Cálculo de esfuerzos 207

11. Comprobación de resultados 217

12. Carga general de un miembro12.1. Acciones de empotramiento perfecto 22212.2. Superposición de estados 229

13. Analogía de la Columna Ancha13.1. Consideraciones generales 23913.2. Ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos 24113.3. Ecuaciones constitutivas del material 24213.4. Contribución del elemento a la Matriz de Rigidez Global 24713.5. Cálculo de esfuerzos en los extremos interiores 25013.6. Consideraciones adicionales 251

14. Implementación informáticaPrograma de Cálculo Matricial de Pórticos Planos de Nodos Rígidos14.1. Consideraciones generales 25514.2. Planteamiento de la aplicación 25514.3. En torno al equipo 25714.4. En torno al lenguaje utilizado 25814.5. Contenido del diskette de programas 25814.6. Instalación y uso de los programas 26014.7. Capacidad de los programas 26114.8. Acceso a la aplicación. Menú principal 26314.9. Programa general de entrada de datos 26514.10. Dibujo de la idealización estructural 27314.11. Corrección de los datos previamente introducidos 27414.12. Programa general de cálculo 27514.13. Trazado de los diagramas resultantes 27614.14. Listado de datos y/o resultados 278

Anexo 1. Formularios 285Anexo 2. Código fuente 293Anexo 3. Bibliografía 363


ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES 11

CAPITULO 1GENERALIDADES

1.1. INTRODUCCIÓN

En líneas generales, podemos clasificar los métodos de análisis estructural en doscategorías; atendiendo a si consideran la estructura objeto de cálculo como un continuo, obien como un sistema de elementos discretos conectados entre sí en nodos o uniones. Unejemplo inmediato del segundo planteamiento es la cercha articulada, para cuya idealizaciónsituaremos las citadas uniones en la intersección de los ejes longitudinales de sus miembros.

En este ámbito, el uso de matrices y del álgebra matricial permite organizar ymanipular una gran cantidad de información, que vendrá definida por los distintos conjuntosde datos discretos, de forma cómoda y compacta. No se trata, por tanto, de partir de nuevosconceptos e hipótesis. Simplemente procederemos a estudiar las estructuras en equilibrio porunos métodos y con un lenguaje, el matricial, que son adecuados para un mejoraprovechamiento de las herramientas de cálculo actualmente disponibles (calculadorasprogramables y ordenadores).

En este punto se debe insistir en la necesidad de no despreciar los llamados métodosmanuales. Y no sólo por aquellos que carecen del más elemental computador, sino tambiénpor su elevada utilidad al efectuar los cálculos preliminares o de cara a la comprobación deresultados al término del proceso informático. Conviene indicar que en el mismo, yproporcionalmente a la complejidad del problema, el análisis, la intuición y la interpretaciónfísica se pierden con facilidad; diluyendo así capacidades que sin duda eran potenciadas conel uso de ciertos métodos clásicos. Por otra parte, se tiende a identificar la precisiónnumérica (entendida ésta como el número de decimales asociados a un valor entero) con laexactitud de cálculo. Esta creencia, tan extendida en el campo profesional, es sumamenteengañosa, puesto que no contempla en absoluto los pasos previos a la introducción de datos,ni atiende al espíritu crítico con que se deben estudiar los resultados, ni entiende que lorealmente significativo son los órdenes de magnitud, teniendo en cuenta que el cálculoarranca de unas hipótesis simplemente aproximadas y de unas acciones en general muydiscutibles.

Por último, y para finalizar la presente introducción, debemos señalar que los métodosmatriciales que aquí desarrollaremos resultan de la aplicación de tres relacionesfundamentales:


12 GENERALIDADES

1.- LEY DE HOOKE:Relación entre las fuerzas que actúan en los miembros y los desplazamientos elásticosrelativos en sus extremos.

2.- COMPATIBILIDAD DE DESPLAZAMIENTOS:Relación que se establece entre los desplazamientos de los extremos de los miembrosy los movimientos de los nodos, de cara a obtener un ajuste geométrico en cadaunión.

3.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO:Relación que existe entre las acciones exteriores y las fuerzas que actúan sobre losmiembros, y que representa el estado de equilibrio en cada nodo de la estructura.

En epígrafes posteriores veremos cómo, a partir del orden en que los anterioresapartados entran en juego, se pueden derivar dos métodos de análisis matricial diferentes.

1.2. BASES TEÓRICAS Y SUPUESTOS PREVIOS

1.- LAS CARGAS SON ESTÁTICAS.Su aplicación se efectúa lenta y gradualmente, en un intervalo de tiempo losuficientemente largo como para que la energía cinética desarrollada sea despreciablefrente al trabajo realizado por las acciones exteriores.

2.- LAS CARGAS SON DE CORTA DURACIÓN.Esto es, no se considera la posible fluencia ni otros efectos diferidos en el tiempo.

3.- LAS DEFORMACIONES SON PEQUEÑAS.De manera que los desplazamientos resultantes no afectan significativamente lageometría de la estructura, y por lo tanto no alteran las fuerzas en los miembros. Elloequivale a admitir la teoría de primer orden, según la cual las condiciones deequilibrio y de compatibilidad se refieren a la configuración formal de la estructuraantes de la deformación.

4.- EL COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES ES LINEAL ELÁSTICO,DE ACUERDO CON LA LEY DE HOOKE.Las rigideces a flexión El, a torsión GJ, y a axil EA son constantes e independientesde los esfuerzos.

Las consideraciones anteriores permiten la inclusión de los siguientes principios:

5.- PRINCIPIO DE LEVEALIDAD.Tanto los desplazamientos como los esfuerzos característicos en las distintassecciones, son funciones lineales de las cargas aplicadas. Así, todo incremento de la



deformación será proporcional a la fuerza que lo causa.La adopción de este principio simplifica notablemente el análisis y permite lasuperposición de soluciones.

6.- PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOSLos efectos debidos a varias fuerzas que actúen simultáneamente son iguales a lasuma de los efectos ocasionados por cada fuerza actuando separadamente. Incluimosbajo la definición de efectos las reacciones de vínculo, los estados tensional ydeformacional, los desplazamientos y los esfuerzos característicos. La aplicación deeste principio en el ámbito del cálculo matricial tiene una importancia de primerorden, teniendo en cuenta que en el proceso habremos de imponer en general dosestados:

Estado de empotramiento perfecto.Estado de carga con las acciones ubicadas únicamente en los nodos.

E. MARTIN & J.VALCARCEL & J. ESTEVEZ

14 GENERALIDADES

1.3. IDEALIZACIONES GEOMÉTRICA Y MECÁNICA

El análisis de una estructura real se hace por medio del estudio de un MODELOMATEMÁTICO. Dicho modelo debe ser:

a.- ADECUADO:Su comportamiento debe aproximarse en la medida de lo posible al comportamientoreal de la estructura. Por otra parte, debe contemplar los aspectos fundamentales quese tratan de estudiar.

b.- ECONÓMICO:La complejidad y sofisticación del modelo deben concebirse en concordancia con lacomplejidad del problema.

1.3.1. IDEALIZACIÓN GEOMÉTRICA

Consiste en la simplificación de las dimensiones y formas de la estructura real. Lamanera habitual de abordar este proceso es discretizar el sistema en elementos conectadosentre sí por los nodos, localizando éstos en las intersecciones de los ejes longitudinales delos miembros. Estas uniones son los puntos de referencia de la estructura; en ellas sesupondrán inicialmente concentradas las acciones exteriores, y a ellas se referirán losdesplazamientos.

Se supone que las dimensiones transversales de las piezas son pequeñas, por lo quepuede trabajarse sustituyendo la estructura real por la figura formada por las directrices dedichas piezas.

Lo normal es adoptar como nodos los puntos angulosos y de bifurcación de ladirectriz. No obstante, y desde un punto de vista teórico, no hay inconveniente en situar másde los necesarios y de considerar cualquier punto de la directriz como nodo. Únicamenteconviene tener en cuenta que el aumento de número incrementa notablemente el tiempo decálculo y la capacidad de almacenamiento de datos necesaria (memoria disponible en elordenador).

En lo sucesivo, consideraremos únicamente piezas rectas. Con ello no perdemosgeneralidad, dado que, si existe alguna pieza curva, bastaría adoptar en ella nodosintermedios y admitir que son rectas las piezas parciales que unen. La directriz curva quedaasí sustituida por una poligonal inscrita en ella. El nivel de aproximación de la idealizacióndependerá lógicamente del número de nodos elegido.

Igualmente, nos centraremos en las piezas de sección transversal constante, para locual será preciso disponer nodos en aquellos puntos donde la citada sección cambiebruscamente. En los elementos cuya sección transversal varíe de modo continuo, se seguirá



un proceso análogo al descrito en piezas curvas; esto es, introduciendo nodos intermedios ydescomponiendo el miembro en otros de longitud lo suficientemente pequeña, para que puedaadmitirse en ellos que la sección es constante con un grado de error admisible.

Cabe señalar que la aceptación de las consideraciones anteriores conduce a laaparición de dos problemas, cuyo nivel de gravedad depende básicamente de lascircunstancias formales y geométricas concretas de la estructura objeto de cálculo.

a.- Establecimiento de la dimensión finita de los nodos,b.- Determinación de las luces reales de cálculo.

elástico.En la idealización geométrica deben figurar las condiciones de apoyo, sea rígido o


16 GENERALIDADES

Atendiendo a las indicaciones expuestas, y antes de abordar el cálculo propiamentedicho, se deberá trazar un esquema de la estructura, indicando las acciones exteriores aconsiderar, los vínculos correspondientes, los tipos de elementos utilizados, acotandoexplícitamente la posición de los nodos, y representando tanto éstos como los propiosmiembros mediante una numeración consecutiva. El orden en el que se asignen dichosnúmeros puede elegirse arbitrariamente, si bien, y como veremos en posteriores apartados,conviene reducir al máximo la diferencia de numeración entre las uniones situadas en losextremos de cada barra.

Por último, hemnos de incluir dos puntualizaciones más:

a.- La idealización geométrica no tiene por qué ser necesariamente inmediata,

b.- Un mismo sistema estructural puede admitir múltiples idealizaciones geométricas.



La adopción de un esquema u otro dependerá, por tanto, del criterio del calculista,que deberá tener en cuenta los equipos y procedimientos disponibles, el nivel de precisióndeseado, y la complejidad inherente al problema.


18 GENERALIDADES

1.3.2. IDEALIZACIÓN MECÁNICA

Comprende las aproximaciones a considerar en torno al comportamiento mecánicotanto de los materiales como de la estructura en conjunto.

1.3.2.1. IDEALIZACIÓN MECÁNICA DE LOS MATERIALES

Consideremos los diagramas tensión-deformación correspondientes al comportamientomecánico de los siguientes materiales:

ACEROS DE ALTA RESISTENCIA



HORMIGÓN

LXJS anteriores diagramas pueden sustituirse por otros más o menos simples, en virtudde los cuales se simplifica notablemente el cálculo, y que, en todo caso, conducen asoluciones suficientemente aproximadas.


20 GENERALIDADES

Generalmente se considera que el comportamiento del material es de tipo ELÁSTICOY LINEAL.


HORMIGÓN

ACERO ESTRUCTURAL


Conviene indicar que una estimación desacertada de los Módulos de Elasticidad E yG (vinculados a través del Módulo de Poisson), puede conducir a errores nada despreciables;al influir sobre la variación de rigidez debida al esfuerzo axil y, prioritariamente, sobre ladeformabilidad de la estructura.

1.3.2.2. IDEALIZACIÓN MECÁNICA DE LA ESTRUCTURA

Atendiendo a las siguientes consideraciones:

a.- Los tipos de conexiones existentes entre las barras, teniendo en cuenta quegeneralmente no son perfectos:

Rígida: Puede ser articulada en una cierta medida.Articulada: Puede incorporar un cierto grado de empotramiento.

b.- Interpretación del comportamiento estructural como el de un sistema plano oespacial.

c.- Contemplar, como grados de libertad reales, los posibles movimientos de los nodos.A saber:

Tres traslaciones, yTres giros.

La elección de aquellos que resultarían relevantes en el proceso de análisis dependeráde la naturaleza del problema.

d.- Comprobar que no se entra en el dominio de las grandes deformaciones, situación


22 GENERALIDADES

que obligaría a considerar el problema como no lineal.

e.- Se deberá determinar y estudiar aquellos casos en los que la deformación cortanteno sea despreciable, lo cual implicaría la necesidad de modificar convenientementela Matriz de Rigidez.

1.3.3. IDEALIZACIÓN DEL TERRENO DE CIMENTACIÓN

Vinculada al examen de los siguientes puntos:

a.- Conocimiento e interpretación de las propiedades del terreno.

b.- Análisis de los procesos interactivos entre el cimiento y la estructura:

Conexión rígida.Conexión elástica (coeficientes de Balasto).

c.-

d.-

e.-

Posible aparición de asientos diferenciales, fenómeno que conlleva la introducciónde grandes momentos en los dinteles.

Giros manifiestos de la cimentación, relacionados con la deformabilidad del terreno.

Influencia de las zapatas de medianería y de esquina.

Con todo, lo normal es considerar la estructura rígidamente empotrada en su base:

En apartados posteriores veremos que resulta muy simple la introducción dedeformaciones impuestas en los vínculos, a condición de que puedan expresarse directamenteen coordenadas globales.



1.4. NOMENCLATURA Y DEFINICIONES

1.4.1. ESTRUCTURA PLANA

Llamaremos plana a una estructura cuando en ella se cumplan simultáneamente lastres condiciones siguientes:

a.- La estructura es simétrica respecto a un plano, en su geometría, en su material, y ensus sustentaciones; y ese plano contiene las directrices de todos sus miembros.

b.- Las acciones que la solicitan se encuentran contenidas en ese plano o son simétricasrespecto a él.

c.- Los estados de autotensión, cuando existen, no perturban la mencionada simetría.

En estas circunstancias, se pueden establecer diversas conclusiones:

a.- Las reacciones que cada pieza recibe en sus secciones extremas estarán constituidaspor fuerzas contenidas en el plano de simetría, o simétricas respecto de él, y pormomentos de eje perpendicular al mismo.

b.- Los esfuerzos axiles y cortantes se encontrarán igualmente contenidos en dichoplano.

c.- Los momentos Héctores resultantes se producirán con arreglo a un eje perpendicularal plano definido por la estructura.

d.- No existirán momentos torsores (salvo emparrillados).

Si bien la mayor parte de los casos estructurales reales no verifican linealmente lascondiciones anteriores, se suele recurrir a idealizaciones planas que simplifican sensiblementeel proceso de cálculo, y que normalmente conducen a soluciones suficientementeaproximadas. Con todo, y con objeto de salvar las distancias entre el problema real y laidealización plana correspondiente, se deberán incluir otros criterios particulares. Así sucede,por ejemplo, con los pilares de esquina, cuyo dimensionamiento ha de realizarse a flexiónesviada partiendo de los resultados obtenidos en los dos pórticos planos ortogonales a quepertenezcan.

1.4.2. SISTEMAS DE COORDENADAS LOCALES Y GLOBALES

Se considerarán como ejes locales de una pieza unos cualesquiera que se encuentrenligados a la misma. En relación a ellos se expresarán aquellas magnitudes que sean propiasdel elemento, como son las solicitaciones o los movimientos que sufren sus diversas


24 GENERALIDADES

secciones.

Resulta lógico, por tanto, recurrir a unos ejes tales que su uso resulte operativamentelo más cómodo posible. Así pues, dada una pieza prismática recta, tomaremos como eje deabcisas aquél que contiene a su directriz, y, para los dos restantes, aquellos que coincidancon los ejes principales de inercia de la sección transversal. En el caso de una barraperteneciente a un sistema estructural plano, el eje de ordenadas será normal al de abcisasy se encontrará contenido en el plano de la estructura.

Por otra parte, se determinarán unos ejes globales o generales para la totalidad de laestructura, en virtud de los cuales se plantearán aquellos problemas en los que no intervieneúnicamente uno de sus miembros. Así, el equilibrio de un nodo, bajo las acciones que losolicitan, se estudiará de acuerdo al sistema mencionado.

Recapitulando, diremos que ambos conjuntos se basan en sistemas de coordenadasdistintos, uno que varía ¡ocalmente en relación al sentido de cada miembro, y el otro, decarácter global, resulta aplicable a todas las uniones de la estructura.

Concretando las anteriores indicaciones para el caso plano:

EJES COORDENADOS LOCALES

a.- Se tomará el eje X sobre la directriz de la pieza, con sentido positivo de acuerdo alde avance (que describiremos a continuación).


análisis matricial - · pdf filematricial de sistemas estructurales, y a las...

Documents