ángulos verticales

Bach. Juan Parraguez CapitánBach. Juan Parraguez Capitán

Bach. Oscar Parraguez CapitánBach. Oscar Parraguez Capitán

ÁNGULOS VERTICALESÁNGULOS VERTICALES

* ÁNGULOS DE ELEVACIÓN* ÁNGULOS DE ELEVACIÓN*ÁNGULOS DE DEPRESIÓN*ÁNGULOS DE DEPRESIÓN

ÁNGULOS VERTICALESLos ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual

aq

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

P1P1 ..Desde un punto en el suelo unDesde un punto en el suelo un estudiante observa la estudiante observa la parte mas alta de la Iglesia de Ferreñafe con un ángulo parte mas alta de la Iglesia de Ferreñafe con un ángulo de elevación de 53º cuando se encuentra separado 12m de elevación de 53º cuando se encuentra separado 12m de su base ¿Cuál es la altura de la Iglesia?de su base ¿Cuál es la altura de la Iglesia?

Tg C = AB/BC Tg C = AB/BC Tg 53º = H /12 Tg 53º = H /12 H = 12.Tg 53º H = 12.Tg 53º H = 12 ( 4/3) H = 12 ( 4/3) H = 16m H = 16m Rp. 16 m. Rp. 16 m.(53º

12m

H

A

BC

P2P2. Desde la parte más alta de una vieja casona un . Desde la parte más alta de una vieja casona un niño observa un perro que se encuentra en la calle con niño observa un perro que se encuentra en la calle con un ángulo de depresión de 37º ,si la altura de la casa es un ángulo de depresión de 37º ,si la altura de la casa es de 9m. ¿a qué distancia de la base de la casa se de 9m. ¿a qué distancia de la base de la casa se encuentra el perro?encuentra el perro?

Ctg 37º = BC / AB Ctg 37º = BC / AB Ctg 37º = BC / Ctg 37º = BC / HH

BC = H .Ctg 37º BC = H .Ctg 37º BC = 9 (4 / 3) BC = 9 (4 / 3) BC = 12 BC = 12 Rp. Distancia es de 12m Rp. Distancia es de 12m

37º)

(37º

A

BC

H =9

P3P3. . El ángulo de elevación de la parte superior del Museo El ángulo de elevación de la parte superior del Museo Brunning es de 30º ,acercándose 100m, se encuentra que el Brunning es de 30º ,acercándose 100m, se encuentra que el ángulo de elevación es de 60º ¿Cuál es la altura del Museo?ángulo de elevación es de 60º ¿Cuál es la altura del Museo?

Ctg 60º = BD / HCtg 60º = BD / HBD = H BD = H √3/3√3/3Tg 30º = BC / ABTg 30º = BC / ABTg 30º = H / (100+H√3/3)Tg 30º = H / (100+H√3/3)1/√3 = H / (100+H√3/3)1/√3 = H / (100+H√3/3)H = 150 /√3 H = 150 /√3 H = 50 √3 H = 50 √3 Rp. La altura es de 50 √3 mRp. La altura es de 50 √3 m

AD B

C

H

30º 60º

100m

Tg 74º =AB / BCTg 74º = AB / 35AB = 35 Tg 74ºAB = 35 (24/ 7)

AB = 120

Altura del faroH = AB + BNH = 120 + 1,5H = 121,5 m.

P4P4. . Desde un teodolito de 1,5 m de altura se observa la Desde un teodolito de 1,5 m de altura se observa la parte superior de un faro con un ángulo de elevación de parte superior de un faro con un ángulo de elevación de

74º, si la distancia del observador a la base del faro es de 74º, si la distancia del observador a la base del faro es de 35m. ¿cuál es la altura del faro?35m. ¿cuál es la altura del faro?

A

B C

1,5

35m

N

P5. Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?

SOLUCIÓN

) ) o37O53

70

12k 12k

) O539k) o37

16k+

9k +70 = 16k k = 10 H = 120

=H

P6P6. . Un ingeniero observa con un teodolito la cima de un Un ingeniero observa con un teodolito la cima de un cerro con un ángulo de elevación de 37º , luego se acerca cerro con un ángulo de elevación de 37º , luego se acerca 24m y el nuevo ángulo de elevación es de 53º.¿Cual es la 24m y el nuevo ángulo de elevación es de 53º.¿Cual es la

altura del cerro , si el teodolito mide 1,75m?altura del cerro , si el teodolito mide 1,75m?

24 m

1,75

P7.P7. El piloto de un avión observa la pista de aterrizaje del aeropuerto El piloto de un avión observa la pista de aterrizaje del aeropuerto de Chiclayo con un ángulo de depresión de 16º ,avanza 600m y el de Chiclayo con un ángulo de depresión de 16º ,avanza 600m y el

nuevo ángulo con que observa a la torre es de 60º.¿A que altura se nuevo ángulo con que observa a la torre es de 60º.¿A que altura se encuentra volando el avión?encuentra volando el avión?

600m (16º(60º

P8.P8. Un campesino que tiene 1,67m de estatura observa Un campesino que tiene 1,67m de estatura observa un panal de abejas que se encuentra en la copa de un un panal de abejas que se encuentra en la copa de un árbol, si la distancia del campesino a la base del árbol árbol, si la distancia del campesino a la base del árbol es de 9m ,y el ángulo con que observa el panal es de es de 9m ,y el ángulo con que observa el panal es de 45º. Hallar la altura del árbol45º. Hallar la altura del árbol

1,67m

9m

45º)

P9P9. . Un ingeniero agrónomo observa la parte más alta de Un ingeniero agrónomo observa la parte más alta de un árbol gigante con un ángulo de elevación de 60º, , un árbol gigante con un ángulo de elevación de 60º, , valiéndose de un teodolito si la altura de este es de 1,55m, valiéndose de un teodolito si la altura de este es de 1,55m, y el ingeniero se encuentra separado 13m de la base del y el ingeniero se encuentra separado 13m de la base del árbol .¿Cuál es la altura del árbol?árbol .¿Cuál es la altura del árbol?

1,55m= 13m

= 60º

P 10.P 10. Un Ingeniero Ecologista sorprendido por el Un Ingeniero Ecologista sorprendido por el tamaño de un árbol ,intenta medirlo si su talla es de 1,5m y tamaño de un árbol ,intenta medirlo si su talla es de 1,5m y se encuentra separado 5m del árbol, hallar la altura de este se encuentra separado 5m del árbol, hallar la altura de este si el ángulo con que observa la parte mas alta es de 82º?si el ángulo con que observa la parte mas alta es de 82º?

(82º

P 11P 11. Un niño observa la cabeza de un gigante . Un niño observa la cabeza de un gigante basquetbolista con un ángulo de elevación de 37º y los basquetbolista con un ángulo de elevación de 37º y los piespies de estede este con un ángulo de depresióncon un ángulo de depresión de 16º,si el de 16º,si el niño se encuentra alejado 2,40m del deportista .¿Cuál es niño se encuentra alejado 2,40m del deportista .¿Cuál es la altura del gigante?la altura del gigante?

37º)

16º)

2,40m

P12. P12. Una persona observa la parte mas alta de un Una persona observa la parte mas alta de un edificio con un ángulo de elevación de 45º, y el techo edificio con un ángulo de elevación de 45º, y el techo del sexto piso con un ángulo de elevación de 37º .Hallar del sexto piso con un ángulo de elevación de 37º .Hallar el número de pisos que tiene el edificioel número de pisos que tiene el edificio

A B

C

D

37º )45º

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓNÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

1.1. El ángulo de elevación con que se observa la parte El ángulo de elevación con que se observa la parte superior de un edificio es de 15º , acercándose 30m.se superior de un edificio es de 15º , acercándose 30m.se encuentra que el ángulo de elevación es el doble del encuentra que el ángulo de elevación es el doble del anterior.¿cuál es la altura del edificio?anterior.¿cuál es la altura del edificio?

2.2. Desde un punto ubicado a 3m del suelo se observa la Desde un punto ubicado a 3m del suelo se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 60º alejado de él 8de 60º alejado de él 8√3m√3m.¿Cuál es el tamaño del .¿Cuál es el tamaño del árbol?árbol?

3.3. Un asta de bandera colocada en el techo de la Un asta de bandera colocada en el techo de la Municipalidad de Ferreñafe ,es observada desde el Municipalidad de Ferreñafe ,es observada desde el suelo con un ángulo de 60º su punta, y la parte suelo con un ángulo de 60º su punta, y la parte superior del local con 30º .Hallar la longitud del asta si superior del local con 30º .Hallar la longitud del asta si el punto desde el cual se observa está separado 6m de el punto desde el cual se observa está separado 6m de la base del local.la base del local.

PROBLEMAS PROPUESTOS (2)PROBLEMAS PROPUESTOS (2)

4. 4. Una persona observa un poste con un ángulo de Una persona observa un poste con un ángulo de elevación elevación ββ, cuando la distancia que los separa , cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercera parte, el ángulo de se ha reducido a la tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado. ¿Cuál es el valor del elevación se ha duplicado. ¿Cuál es el valor del ángulo ángulo ββ??

5. Desde un punto del suelo se observa el techo del 5. Desde un punto del suelo se observa el techo del noveno piso de un edificio con ángulo de elevación noveno piso de un edificio con ángulo de elevación de 37º y la parte superior del mismo con un ángulo de 37º y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 53º.¿Cuántos pisos tiene el de elevación de 53º.¿Cuántos pisos tiene el edificio? edificio?

6. Desde la parte más alta de un edificio de 30m de 6. Desde la parte más alta de un edificio de 30m de altura se observan con ángulos de depresión de 30º altura se observan con ángulos de depresión de 30º y 60º la parte superior e inferior de otro edificio y 60º la parte superior e inferior de otro edificio .Encontrar la altura de dicho edificio..Encontrar la altura de dicho edificio.


77. . Una antena de teléfono se encuentra plantada en lo Una antena de teléfono se encuentra plantada en lo alto de un edificio de 18 m de altura .Si un estudiante alto de un edificio de 18 m de altura .Si un estudiante ve con un ángulo de 53º el extremo de la antena y con ve con un ángulo de 53º el extremo de la antena y con un ángulo de 45º el techo del edificio ¿Cuál es la un ángulo de 45º el techo del edificio ¿Cuál es la altura de la antena?altura de la antena?

8. El ángulo de elevación con la cual se observa la parte 8. El ángulo de elevación con la cual se observa la parte superior de un edificio es de 18º 30´ , acercándose superior de un edificio es de 18º 30´ , acercándose 50m. Al edificio el nuevo ángulo de elevación es de 50m. Al edificio el nuevo ángulo de elevación es de 37º. Calcular la altura del edificio.37º. Calcular la altura del edificio.

9. Desde lo alto del cerro de Tres Tomas se observa en 9. Desde lo alto del cerro de Tres Tomas se observa en la misma dirección a dos personas con ángulos de la misma dirección a dos personas con ángulos de depresión de 37º y 45º .Hallar la distancia que separa depresión de 37º y 45º .Hallar la distancia que separa a las personas si la altura del cerro es de 60ma las personas si la altura del cerro es de 60m


10. Desde la parte superior de un edificio de 28m de 10. Desde la parte superior de un edificio de 28m de altura , se observa la parte superior de otro edificio altura , se observa la parte superior de otro edificio con un ángulo de elevación de 37º y la parte inferior con un ángulo de elevación de 37º y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45º .Hallar la altura con un ángulo de depresión de 45º .Hallar la altura de dicho edificio.de dicho edificio.

11. Desde la cima de un cerro se observa un objeto con 11. Desde la cima de un cerro se observa un objeto con un ángulo de depresión de 60º . Si dicho objeto un ángulo de depresión de 60º . Si dicho objeto dista 20 dista 20 √3 m del pie del cerro. ¿Cuál es la altura del √3 m del pie del cerro. ¿Cuál es la altura del cerro?cerro?

4.4. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48m Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48m de altura , se observa que el ángulo de depresión de de altura , se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 30º .Calcular la distancia a la que un bote es de 30º .Calcular la distancia a la que esta el barco.esta el barco.

Joven estudiante dame tiempo y te demostraré queJoven estudiante dame tiempo y te demostraré que no hay problemano hay problema

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