Apuntes de Estadstica Aplicada y Estadstica II Conceptos y Definiciones Bsicas

Carreras: Informtica

Contabilidad Profesor: Andrs ScottSegn Syllabus del I.U.G.T.TTULO I Captulo I INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES1. Definiciones Fundamentales1.1 Probabilidad: Es la posibilidad o viabilidad numrica medida entre cero y uno, de que ocurra un evento de manera relativa.

Interpretacin y comentario: Puede ser interpretado como algo indefinible, pero utilizado para expresar, de algn modo, un grado de creencia que se tiene de la ocurrencia de un suceso o evento; evento que puede suceder con base en la experiencia que se tenga de la ocurrencia de uno similar en el pasado, o en base de la consecuencia de un experimento en particular.

Cuando la probabilidad es igual a uno (1) es una probabilidad de certeza absoluta; ejemplo, Cul es la probabilidad de que alguna persona muera? Cuando la probabilidad es igual a cero (0) es una probabilidad de imposibilidad absoluta; ejemplo, Cul es la probabilidad de que alguna persona atraviese nadando el ocano atlntico?

1.2. Evento, Suceso o punto muestral: Es el conjunto de uno o ms resultados de un experimento.

1.3. Resultado: Es la consecuencia de un experimento en particular, es decir es la respuesta a alguna prueba.

1.4. Experimento o Prueba: Es el proceso que lleva a la ocurrencia de uno y solo uno de varias observaciones posibles.

1.5. Espacio Universal: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento, y lo designaremos por U.

1.6. Espacio Muestral: Es el conjunto de todas las probabilidades posibles de un espacio universal particular originado por un experimento, y lo designaremos por S. De esta definicin se desprende que S siempre ser igual a uno ( S = 1)1.7. Resultados Posibles: Es la suma de todos los resultados de eventos que pueden derivarse de un espacio universal (EP0).

1.8. Resultado Probable: Son resultados que se derivan de la ocurrencia de eventos en particular y que forman parte de un espacio universal EPR).

2. Modelos para estudiar las probabilidades :

Modelo Objetivo Probabilidades Clsicas

Modelos

Probabilidades Empricas o Relativas

Modelo Subjetivo

2.1 .- Modelo Objetivo: Establece un proceso para estudiar el clculo de probabilidades a travs de experimentaciones con resultados reales o tomando experiencias en la ocurrencia de eventos en el pasado para aplicarla a la ocurrencia de eventos similares en el presente.

2.1.1 Probabilidad Clsica: Se obtiene el valor de la probabilidad basndose en la suposicin de que los resultados de un experimento son igualmente variable.

2.1.2 Probabilidad Emprica o Relativa: Se obtiene el valor de la probabilidad basndose en la ocurrencia de un evento en el pasado para tomarlo como modelo para determinar la ocurrencia de eventos similares en el presente. Eventos totales ocurridos (ETO). Evento en particular que se estudia para su posible ocurrencia (EPE).

2.2 Modelo Subjetivo: Estudia la probabilidad de la ocurrencia de un evento en particular al asignar un individuo basndose en la informacin disponible.

3 Algunos eventos y sus respectivas probabilidades:

3.1 Eventos Independientes: Son eventos en los cuales la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia del otro.

3.2 Eventos Dependientes: Son eventos los cuales deben su ocurrencia a que previamente haya ocurrido el otro.

3.3 Evento Complementario: Son aquellos eventos que de no ocurrir; los otros si deben ocurrir.

3.4 Eventos Mutuamente excluyentes: Son eventos que al ocurrir da como consecuencia que ninguno de los otros eventos ocurran en ese mismo momento.

3.5 Eventos Colectivamente exhaustivos: Por lo menos uno de los eventos de un espacio muestral debe ocurrir al realizarse un experimento.

3.6 Probabilidad a Priori: Se considera como la probabilidad inicial basada en un nivel de informacin actual.

3.7 Probabilidad a Posteriori: Se considera como una probabilidad revisada en base a informacin adicional.

3.8 Probabilidad Conjunta: Es la probabilidad que mide la posibilidad de que dos o ms eventos ocurran al mismo tiempo (Evento no mutuamente excluyente)

3.9 Probabilidad Condicional: Es la probabilidad cuya ocurrencia depende a que previamente haya ocurrido otro evento (Evento dependiente)

3.10 Probabilidad Complementaria: Es la probabilidad que se obtiene restando a la unidad de que el evento ocurra.

4.- Reglas de la probabilidad4.1. Reglas de la adicin o suma: Matemticamente se define como la unin de conjunto y gramaticalmente con la conjuncin disyuntiva o.

4.1.1 Regla general de la adicin o suma: Aplica para eventos no mutuamente excluyentes.

P (A U B)

= P (A) + P (B) P (A y B)

P (A B)

4.1.2 Regla especial de la adicin o suma: Aplica para eventos mutuamente excluyentes.

P (A U B)

= P (A) + P (B)

P (A B)

4.2 Reglas de la multiplicacin: Matemticamente se define como la interseccin de conjuntos y gramaticalmente por la conjuncin copulativa y.

4.2.1 Regla general de la multiplicacin: Aplica para eventos dependientes.

P (A B)

= P(A) x P (B/A)

P (A y B)

4.2.2. Regla especial de la multiplicacin: Aplica para eventos independientes

P (A B)

= P(A) x P (B)

P (A y B)

5.- Instrumentos de apoyo a las probabilidades5.1 Tablas de contingencias: Tablas que se utilizan para clasificar las observaciones de la muestra de acuerdo con dos o ms caractersticas que se puedan identificar. Estas tablas dan origen a las tablas de probabilidades y tablas de probabilidades condicionales, tiles en la elaboracin del diagrama del rbol y en la aplicacin para el clculo del teorema de Bayes.

5.2 Diagrama del rbol: Es una grfica que se utiliza para organizar los clculos que comprenden varias etapas, cada etapa se representa por ramas las cuales se ponderan por medio de probabilidades.

5.3 Teorema de Bayes: Una probabilidad condicional a posteriori, se obtiene partiendo de una probabilidad a priori inicial basada en un nivel de informacin en el momento la cual es revisada tomando como sustento informacin adicional.

P(An/Bk) = 5.4 Tcnicas de conteo: Pudiendo contar todos los eventos posibles y determinando a travs de ciertos mecanismos el nmero de veces la ocurrencia de algn evento, podemos determinar probabilidades a travs de tcnicas muy sencillas enriquecidas con la teora combinatoria, que nos crea las tcnicas del conteo.

5.4.1 Formula de la multiplicacin: Las maneras posibles de llegar a un resultado final partiendo de una punto inicial, transitando por caminos diferentes y teniendo otros posibles puntos intermedios.

P= a x b x c

5.4.2 Permutaciones absolutas: Es una forma de arreglar u ordenar a la totalidad de los elementos de un conjunto

nPn = n! = n(n-1)8n-2)..2.1

5.4.3 Permutaciones relativas o variaciones: Es una forma de arreglar u ordenar una parte preestablecidas de los elementos que componen un conjunto.

n= totalidad de elementos

r = una parte de los elementos.

5.4.4 Combinaciones: Son arreglos de los elementos de un conjunto sin importar el orden en que se dispongan y evitando que cada arreglo de las partes nos hagan igualdades.

5.4.5 Del exponente: Los casos posibles se obtienen tomando como base el nmero de elementos que presenta el instrumento de experimentacin y como exponente el numero de instrumentos utilizados o el nmero de veces que se experimenta un instrumento

Maneras posibles: Captulo IIDistribucin de Probabilidad1. Distribucin de probabilidad: Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad relacionada con cada uno de ellos.

2. Variable Aleatoria: Resultado obtenido al azar de un experimento y que puede asumir diferentes valores.

2.1 Tipos de variable aleatoria.

2.1.1. Variable aleatoria discreta: Variable aleatoria que puede

asumir solamente valores claramente contables.

2.1.2. Variable aleatoria continua: Variable aleatoria que supone

un nmero infinito de valores dentro de un rango dado.

3. Esperanza matemtica, valor esperado o media de una distribucin de probabilidad discreta: Es un valor tpico que se utiliza para representar la ubicacin central de una distribucin de probabilidad, es decir, es un valor esperado de una variable aleatoria a travs de una media ponderada de todos los posibles resultados en los cuales lo pesos son las respectivas probabilidades de tales resultados.

= [3.1 Varianza y Desviacin Estndar: La varianza es un valor que describe la cantidad de dispersin o variacin de una distribucin cualquiera, y la desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza.

Varianza: Desviacin: Captulo III

Distribucin de probabilidades de variables aleatorias discretas

1. Distribucin de Probabilidades Binomial

Es una distribucin de variables discreta donde existe un nmero fijo de ensayos repetidos (n) y donde cada uno al experimentarlos concluye en slo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, favorables (xito) o desfavorable (fracaso); el resultado de xito de un evento es fijo, los ensayos se realizan con reemplazo, siendo independientes, interesndonos el nmero de xito en n pruebas

P ( x ) = Valor esperado: = ; Varianza: = Operacin de combinacin

= Nmero de ensayos o pruebas

= Variable aleatoria definida como el nmero de xito

= Probabilidad de xito en cada ensayo o prueba

= Probabilidad de fracaso en cada ensayo o prueba y

2. Distribucin de probabilidades Hipergeomtrica

Es una distribucin de variable discreta asociada generalmente con un proceso de muestreo sin reemplazo o sin reposicin en una poblacin finita conocida que contiene una proporcin relativamente grande (0,05 N < n) de esa poblacin, de tal manera que la probabilidad de xito sea perceptible alterada de una prueba a la siguiente, lo que hace que el resultado de un ensayo dependa del anterior.

Valor esperado: Varianza: N: Tamao de la poblacin

n: Tamao de la muestra

X: Probabilidad de xito en cada ensayo o prueba

S: Tamao de lo favorable o exitoso dentro de la poblacin

3. Distribucin de probabilidades de PoissonEs una distribucin de probabilidades discreta que describe el nmero de veces que ocurre un evento durante un intervalo especifico, el cual puede ser de tiempo, distancia, rea o volumen. Valor esperado: Varianza: =Nmero de ocurrencias exitosas de la medida en un intervalo especifico.

e= 2,718281; nmero base de los logaritmo neperianos

X=nmero de xitos.

Problemas propuestos para los Captulos tratados en el Ttulo IProblema 01.- Definir el espacio muestral en los siguientes experimentos: a) Lanzar un dado previamente calibrado. b) Lanzar tres monedas y ver la manera como caen respecto a las caras, c) Familia con tres hijos respecto al sexo, d) Lanzar dos dados previamente calibrado y e) Al extraer dos bolitas que contiene: 4 azules, 3 blancas y 2 coloradas.

Problema 02.- Al lanzar un dado previamente calibrado, cul es la probabilidad de que aparezca en su cara superior: a) Un valor par y b) Un nmero mayor que dos?

Problema 03 .- Al lanzar dos dados previamente calibrados, cul ser la probabilidad de que salgan en su cada valores tales que al sumarlos den como resultado: a) Exactamente 3. b) Mayor que 4. c) Menor o igual a 9 y d) Un mltiplo de 3?

Problema 04.- Se tienen tres lpices cuadrados, (azul, blanco y colorado) cuyos lados estn numerados del 1 al 4, determinando el respectivo espacio muestral se pide obtener la probabilidad de que: a) Una de las caras expuestas presente exactamente el nmero 2. b) Dos de las caras expuesta presenten el nmero 2 y c) Las tres caras sea el nmero 2.Problema 05.- Se introducen en una caja, 4 bolitas azules, 6 blancas, 5 coloradas y 8 doradas, cul es la probabilidad de ganar o perder, si las premiadas son las azules y las doradas?

Problema 06.- Se tiene un juego de naipes espaoles lo suficientemente barajados, cul es la probabilidad de que al extraer del mazo una carta sta sea: a) Un as o un rey. b) Una espada o una sota. c) Un cinco de copa o un oro y d) Una figura o un basto?Problema 07.-Una agencia de viaje con el fin de promover el turismo abre un plan vacacional para 90 personas para que visiten a Canaima y a Los Roques, 44 reservaron cupo con pasaje incluido para ir a Los Roques, 46 a Canaima y 30 a ambos lugares. Si de manera aleatoria seleccionamos una persona, cul es la probabilidad de que viaje a Los Roques o a Canaima?

Problema 08.-Se tienen dos juegos de naipes espaoles, calcular las siguientes probabilidades al extraer dos barajas de manera conjuntas una de un juego y la otra del otro juego: a) Qu las dos sean reyes? b) Qu sean una sota y un basto? y c) Qu sean un caballo de oro o una espada.

Problema 09.- Se lanzan dos monedas y dos dados previamente calibrados, cul es la probabilidad de caiga cara-sello y un mltiplo de 3 al sumar los dos nmeros de las caras superiores de los dados?Problema 10.- Se tiene un juego de naipes espaoles y se realizan tres extracciones sin reposicin o sin reemplazo estudiar, cul es la probabilidad de que en los experimentos siguientes se extraiga: a) Un rey y una sota y un as. b) Un caballo y un siete y un caballo. c) Un as de oro y un oro y seis de copa o de basto y d) Un oro y una espada y un rey de copas.

Problema 11.- En una caja se introducen 4 bolitas azules, 5 blancas y 6 coloradas y se realizan de la caja tres extracciones sin reposicin o sin reemplazo, calcular la probabilidad en los experimentos siguientes: a) De que salga una bolita blanca y una azul y una blanca. b) Todas coloradas. c) Una colorada y colorada y azul y d) Colorada y blanca y azul.

Problema 12.- En una caja se introducen 4 bolitas azules, 3 blancas y 2 coloradas, si extraemos de la caja dos bolitas, Cul es la probabilidad de que sean: a) Del mismo color. b) Las dos azules. c) Una blanca y la otra colorada y d) Una azul y la otra colorada?

Problema 13.- En una caja se introducen las mismas bolitas del problema anterior, si se extraen de la caja tres bolitas, cul es la probabilidad de que sean: a) Del mismo color. b) Dos azules y una blanca. c) Una azul y dos coloradas y d) todas azules.Problema 14.- En una caja se introducen 9 bolitas azules y 6 blancas, si de la caja extraemos 3 bolitas, cul es la probabilidad de que sean: a) De igual color. b) De colores diferentes. c) Dos azules y d) Dos blancas.

Problema 15.- Un juego de naipes espaoles consta de 40 barajas y lo vamos a dividir de manera arbitraria en dos partes iguales. Determinar las probabilidades de los eventos siguientes: a) Cada parte contenga dos caballos. b) Una parte no contiene ningn caballo, la otra parte contiene 4 caballos y c) Una parte contiene un caballo, la otra parte contiene 3 caballos.

Problema 16.- En el torneo de baloncesto profesional local participan 10 equipos, de los cuales al azar se forman dos grupos de 5 equipos cada uno. Entre los equipos se consideran 3 de de mayor calidad. Determinar las probabilidades de los siguientes eventos: a) Los equipos considerados de mayor calidad se encuentran en el mismo grupo y b) En un grupo se encuentran 2 de mayor categora y 1 en el otro.Problema 17.- Un profesor lanza dos dados sobre una mesa, observa los nmeros que salieron y los tapa con la mano para que sus alumnos no los vean, y les formula las preguntas siguientes: a) Probabilidad que uno de los dados muestre un seis o un dos y b) Suponiendo que el profesor les dijo a los estudiantes que en uno de los dados sali el dos, probabilidad que el otro dado muestre el seis.

Problema 18.- En un grupo de 25 estudiantes del I.U.G.T. hay nueve que viajan a Valencia todos los viernes y seis a Maracay y cuatro a ambas ciudades (incluidos entre los anteriores). Si seleccionamos un estudiante al azar y se comprueba que viaja a Maracay, Cul es la probabilidad de que tambin viaje a Valencia?

Problema 19.- Se realiz un estudio sobre el consumo de caf en el rea metropolitana y se seleccionaron de manera aleatoria 300 personas consumidoras del producto para ser encuestadas. Al recibir el material del estudio realizado ste estaba incompleto, sin embargo con la informacin obtenida se puede completar la tabla de datos, (Tabla incompleta al final).

Se pide: A.- a) Completar la Tabla de Contingencia. b) Elaborar la respectiva Tabla de Probabilidades c) Elaborar las Tablas de Probabilidades Condicionales y d) Elaborar un diagrama del rbol.

B.- Si de manera aleatoria se selecciona un consumidor, cul es la probabilidad: a) De que ste tenga entre 40 y 50 aos? b) De que tenga un consumo moderado de caf? c)De que tenga un consumo bajo de caf y su edad sea menor de 30 aos? d) De que tenga un consumo alto de caf y cuya edad est comprendida entre los 30 y 40 aos e) Consumidor moderado de caf que su edad sea menor de 30 aos y f) Consumidor bajo alto de caf

Consumo de caf

Edad (Aos)Bajo

(B1)Moderado

(B2)Alto

(B3)Total

Menos de 30 (A1)322492

De 30 a 40 (A2)75

De 40 a 50 (A3)2420

Ms de 50 (A4)262479

Total90100

C.- Responder: a) Cul ser la probabilidad de seleccionar un consumidor de caf que lo consuma moderadamente si tiene ms de 50 aos? y b) Cul ser la probabilidad de seleccionar un consumidor de caf cuya edad est entre 40 y 50 si lo consume de manera alta.?

Problema 20.- Se consultaron las opiniones de 500 economistas que laboran en: la academia, la industria privada y el sector pblico sobre el futuro de la economa del pas, si sta sera: estable, se expandira se contraera en un futuro prximo. Sin embargo parte de la informacin se extravi, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial: EconomistasSectorEstable(B1)Expansin(B2)Contraccin(B3)Total

Academia (A1)125100

Sec. Privado (A2)35110

Sec. Pblico (A3)254065

Total200

. Se pide: A.- a) Completar la Tabla de Contingencia. b) Elaborar la Tabla de Probabilidades. c) Elaborar las Tablas de Probabilidades Condicionales y d) Desarrollar el Diagrama del rbol.

B.- Si de manera aleatoria seleccionamos un economista, cul es la probabilidad de que ste sea.: a) Del sector privado? b) Que opine que la economa se va a contraer? c) Del sector pblico y que opine que va a ver expansin en la economa? d) Del sector pblico del sector acadmico? y e) De la opinin que la economa va estar estable es del sector privado?.

C.- Responder: a) Cul es la probabilidad de que la opinin sea de que la economa se expande si esta opinin proviene del sector pblico? Y b) Cul es la probabilidad que una opinin provenga del sector acadmico si se opina que la economa se contrae?

Problema 21.- El equipo de bisbol profesional Leones del Caracas, juega el 70,00% de

sus partidos por la noche y el 30,00 durante le da; ganando el 60,00% de los juegos nocturnos y el 70,00% de los juegos diurnos. Segn las pginas deportivas de los peridicos ganaron el partido de ayer; cul es la probabilidad de que el partido jugado haya sido nocturno?

Problema 22.- Una cuarta parte de los residentes de la Urbanizacin Las Abejitas de San Juan de los Morros dejan las puertas de sus garajes abiertas no estando en casa. El vigilante de la entrada a la urbanizacin estima que el 5% de las casa con garajes con las puertas abiertas son robados y el 1% de las casas con los garajes de puertas cerradas. Si hay un robo en un garaje; cul es la probabilidad de que el garaje robado haya tenido la puerta abierta?

Problema 23 .- Se lanzan 3 monedas sobre una mesa, tomando como referencia como cae respecto a cara, se pide: a) Estructurar una Distribucin de probabilidades. b) Obtener la Esperanza Matemticas Valor Esperado y c) Calcular la Varianza y la Desviacin Estndar Desviacin Tpica.

Problema 24.- Un dado se lanza 50 veces, donde cada cara cay como se muestra:

Cara 1 2 3 4 5 6

Veces 7 8 5 9 11 10

Se pide: a) Crear una Tabla de Distribucin de Probabilidades. b) Obtener la Esperanza Matemtica y c) Calcular la Desviacin Estndar.

Problema 25.- Pedro Martnez vende automviles para una agencia consecionaria. Pedro vende el mayor nmero de vehculos los das Sbados y obtiene la Distribucin de Probabilidad para el nmero de automviles que espera vender un da Sbado en particular:

Vehculos vendidos 0 1 2 3 4

Probabilidad: P(x) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

a) Qu tipo de distribucin es sta?

b) Cuntos automviles espera vender Pedro en un Sbado tpico

c) Cul es la Varianza y la Desviacin Estndar de la distribucin? Problema 26 .- De las tres tablas que se presentan al final siendo de variables aleatoria solo una responde a una Distribucin de Probabilidad. a) Identificar la que responde a una Distribucin de Probabilidad y explicar el por qu? De su respuesta y b) Obtener de la verdadera Distribucin de Probabilidad, su Esperanza Matemtica o Valor Esperado, su Varianza y su Desviacin Estndar.

Tabla 1 Tabla 2 Tabla

x 5 10 15 20 x 5 10 15 20 x 5 10 15 20

P(x) 0,3 0,3 0,2 0,4 P(x) 0,1 0,3 0,2 0,4 P(x) 0,5 3 -0,2 0,4

Problema 27.- El servicio de correspondencia de un banco informa que el 85% de los documentos enviados dentro el rea metropolitana se entregan en un perodo de 3 das a partir del momento en que se envan. Se enviaron 7 cartas de manera aleatoria a diferentes partes de la ciudad. Cul ser la probabilidad de que: a) Exactamente 7 lleguen en tres das? b) Exactamente 5 lleguen en tres das? c) Al menos 5 lleguen en tres das? d) A lo sumo 4 lleguen en tres das? y e) Calcular la Esperanza Matemtica o Valor Esperado, la Varianza y la Desviacin Estndar del nmero de documentos enviados que llegarn en un plazo de tres das.

Problema 28.- Las normas de garantas establecida por la industria automotriz sugiere que 20% de los nuevos vehculos se les d un plazo de garanta de ao y medio. Una agencia de ventas de vehculos del rea metropolitana el da sbado vendi 9 vehculos los cuales estn dentro de cualquier tipo de garantas. Cul es la probabilidad de que: a) Ninguno de los vehculos vendidos tengan garanta de ao y medio? b) Exactamente uno tengan esta garanta? c) Menos de cuatro la requieran? d) Cuatro o ms la requieran y e) Calcular la Esperanza Matemtica, Media o Valor Esperado; La Varianza y la Desviacin Tpica o Estndar de esta distribucin.

Problema 29.- Slo el 20% de los empleados de la poblacin civil que presta sus servicios en una base militar portan su carnet de identificacin personal. Si llegan diez empleados, cul es la probabilidad de el guardia de seguridad encuentre: a) Ocho empleados con carnet? b) Cuatro empleados con carnet? c) Por lo menos cuatro con carnet? d) A lo sumo 5 empleados con carnet y e) Entre cuatro y siete empleados inclusive con carnet?

Problema 30.- Resolver el problema anterior pero partiendo de la base que slo el 55% de los empleados portan el carnet.

Problema.- 31 Al Jefe de Recursos Humanos de una empresa comercializadora de materias primas, la Gerencia General lo autoriz par que contrataran 12 personas entre 35, de las cuales 24 tienen ttulos universitarios. Cul es la probabilidad de que 7 de las personas que se contraten tengan un ttulo universitario?

Problema 32.- Cuarenta trabajadores han recibido para su oficina nuevos computadores. Veintisiete trajeron incorporados quemadores de C.D. Si se seleccionan de manera aleatoria 10 trabajadores; cul es la de probabilidad de que el equipo de computacin de 3 trabajadores tengan quemador de C.D.? y la probabilidad de que el equipo de 7 no lo tengan?

Problema 33.- En un curso de Estadstica Instrumental que tiene una matrcula de 72 estudiantes se resuelve nombrar un equipo integrado por 7 estudiantes para que evale unas guas tericas que contienen los concepto que van a ser base de los exmenes parciales. Si el curso posee 46 mujeres; cul es la probabilidad de que 5 mujeres integren el equipo a nombrar? Y 3 hombres?

Problema 34.- Un promedio 16 automviles cada dos minutos ingresan a la parroquia Coche desde la autopista viniendo del centro de la ciudad. La distribucin de ingreso responde a una Distribucin de Poisson. Cul es la probabilidad de que: a) Ningn automvil ingrese en 30 segundos? y b) Por lo menos 2 ingresen en un minuto?

Problema 35.- La central telefnica del I.U.G.T. atiende un promedio de dos llamadas telefnicas por minuto y se sabe que sigue una Distribucin de Poisson. Si la operadora se distrae por un minuto; cul es la probabilidad de que: a) El nmero de llamadas no respondidas sea ninguna? b) Por lo menos una? Y c) Entre 3 y 5 inclusive?

Problema 36.- En el problema anterior suponga que la operadora se distrae por cuatro minutos, responder las mismas preguntas.

Problema 37.- Repuestos Perna C.A. compra repuestos para motores de arranque a uno de sus proveedores que presentan defectos de 3 por cada 100 repuestos. Sal Perna el dueo, necesita comprar 150 repuestos pero no aceptar una probabilidad de ms del 50% de que ms de dos repuestos sean defectuosos. Sal Perna le comprara a dicho proveedor?

TTULO II Captulo IVDistribuciones de probabilidades de variables aleatorias continas1. Distribuciones de Probabilidad Normal:Una distribucin normal la define las caractersticas que muestra su grfica, la cual presenta una forma de campana que tiene una sola cima o vrtice en el centro de la distribucin, por donde pasa un eje vertical que la divide en dos partes iguales para apoyarse en un punto sobre el eje horizontal que lo define la media; esta condicin la hace simtrica y estas partes se expanden o caen a ambos lados llegando a estar infinitamente cerca del eje horizontal por lo cual es una grfica asinttica; la distribucin normal se determina a travs de la media, y la dispersin, variacin o extensin por medio de la desviacin estndar 1.1 Distribucin Normal Estndar Z:No existe solo una distribucin de probabilidad normal, sino ms bien una familia de ellas. Cada situacin en particular presenta su propia distribucin normal, lo cual dificulta su uso. Sin embargo y por fortuna un miembro de la familia puede utilizarse para determinar las probabilidades de todas las distribuciones normales, la que conocemos con el nombre de Distribucin Normal Estndar la cual es nica ya que se define como: La distribucin normal que presenta una media de 0 y una desviacin estndar de 1

Cualquier distribucin normal puede llevarse a una distribucin normal estndar a travs del Valor Tipificado de Z o Variacin Normal Estndar; el cual se define como el numero de desviaciones estndar a los que una observacin est por encima o por debajo de la media es decir mide la distancia entre el valor seleccionado (X) y la media aritmtica (, ) dividida entre la desviacin estndar ,

Ilustracin de la grafica de una desviacin estndar normal.

0,5

0,5Eje de Simetra

= 1

-Cola a la Izquierda

-Z +Z Cola a la Derecha + =MD=Mo Valor tipificado de z o Desviacin Normal Estndar.

La razn de utilizar una campana (Gauss) con las caractersticas sealadas en la grfica (grafica de una distribucin continua estndar normal) para el clculo de probabilidades de una distribucin continua estriba en que el rea encerrada por su grfica se corresponde con una gran aproximacin a la correspondiente probabilidad. El rea total de la curva es igual a 1, distribuida en mitades simtricas de 0,5. el rea igual a 1 coincide con el espacio muestral que es igual a 1 de todos los eventos posibles de un experimento.

Captulo v1. Aproximacin de la distribucin normal a la binomial y distribucin de Student1.1.- Aproximacin e la Distribucin normal a la binomial. Para calcular el xito o el fracaso de una serie de n ensayos de una distribucin binomial recurrimos a su frmula o su respectiva tabla; sin embargo si n es demasiado grande, que exceda a los confines de cualquier tabla, debemos ir a la aplicacin de una frmula lo cual resulta altamente engorrosa, y es por ello que se dise el mtodo alternativo de usar la distribucin normal para aproximarse a la distribucin binomial. Esta aproximacin se considera lo suficiente precisa si y Si esta prximo a 0,50, valor que se toma como factor de correccin de continuidad, f.c.c. = 0,5 y se define como el valor de 0,5 restado o sumado, segn sea el caso, a un valor seleccionado cuando una distribucin de probabilidades binomial (discreta) se calcula por medio de una distribucin de probabilidad normal (continua) Manera de aplicar el f.c.c.

No.ProbabilidadVocabloFormaConsideracin

1ProbabilidadDe que al menos ocurra X( x 0,5 )Ya que X >

2ProbabilidadDe que a lo ms que ocurra X( x + 0,5 )

Ya que X

1.2.-Distribucin de probabilidades t de Student:Al igual que la distribucin normal, la distribucin t presenta en su grfica una forma de campana simtrica, pero ms achatada y con mayor rea en los extremos o colas donde se encuentran las zonas crticas o de rechazo. No existe una sola distribucin t, sino una familia de sta debido a que las desviaciones estndar se modifican a medida que aumenta el tamao de la muestra, acercndose a la distribucin normal.

Esta distribucin se utiliza bajo las condiciones siguientes:

a) la muestra es pequea, es decir n