INITIATION À LA MÉCANIQUE

CÉLESTE(PREMIÈRE PARTIE)

LE GÉNIE DE KEPLER

ANAP

Document ANAP Serge Rochain

1) Le ciel et tout ce qu’il contient tourne autour de la Terre ? NON!

2) La Terre tourne autour du Soleil ?

Non, pas vraiment,

pourquoi ?

Imaginons deux Soleils identiques en orbite l’un autour de l’autre

Analogie

L’égalité : P1.L1 = P2.L2

Calcul : distance Terre-Soleil = 150 millions de km

Rayon solaire 698 000 km et masse de 333000 fois la Terre

Question : A quelle distance sous la surface du Soleil se

trouve le centre de masse du système Terre-Soleil ?

Ce n’est pas la Terre qui tourne autour du Soleil, mais le couple Terre Lune et la trajectoire de son centre de masse est une sinusoïde Qui trace la

même sinusoïde avec le centre de masse Soleil-Terre-Lune près du centre du Soleil

(Points rouge)

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Passons au calcul

Kepler qui n’en a pas compris la raison a

constaté que pour un corps en orbite de masse négligeable en regard de la masse de celui autour

duquel il orbite, il existe le

rapport suivant R3/T2 = K

Toutes les planètes ont une masse négligeable

comparée à celle du Soleil

De même la Lune comme tous les satellites que nous envoyons en orbite ont une

masse négligeable en regard de celle de la Terre

R3/T2 = K signifie que ce rapport R3/T2 est une constante pour tous

les objets dans un système où ces objets orbitent autour d’une

masse importante

Mais combien vaut cette constante K ?

Et bien cela ne dépend que des unités choisies !

Nous pouvons choisir les unités pour que K soit toujours égal à 1

Donc décidons que R3/T2 = 1 Puisque cette constante est valable pour toutes les planètes elle l’est

donc pour la Terre. La période orbitale de la Terre est de 1 an

donc R3/12 = 1

R ne peut donc qu’être égal à 1Donc 13/12 = 1

Mais quelle est cette unité qui assigne la valeur 1 à R ?

C’est l’unité qui mesure la distance Terre-Soleil et qui

n’est donc ici ni le mètre ni le km ni n’importe quelle autre unité de mesure de distance

usuelle, c’est la distance Terre-Soleil elle-même que l’on appelle UA pour Unité

Astronomique Et si R3/T2 = 1 alors R3 = T2

Conséquences ?

Connaissant la distance au Soleil d’une planète on peut aussitôt en déduire la période orbitale

(sidérale) en extrayant la racine carré du cube de la distance

et réciproquement, connaissant la période sidérale d’une

planète on obtient aussitôt sa distance au Soleil en extrayant la racine cubique du carré de la

période

1) Observer deux passage consécutifs au méridien de la planète depuis le Soleil

2) Observer deux passage consécutifs au méridien d’une même étoile depuis la planète elle-même

3) Seule solution réaliste : Observer deux passages consécutifs au méridien de la planète depuis la Terre ce qui nous fournira notre commune période synodique et nous en déduirons la période sidérale de la planète

Mais comment savoir la période sidérale d’une

planète ?

Vous connaissez ce problème amusant ?

Sur une montre à aiguilles, à quelles heures les

aiguilles se recouvrent-elles exactement ?(à 10 secondes près)

Le temps écoulé entre deux superpositions d’aiguilles s’appelle la

période synodique

(1TdC/60) t – (1TdC/720)t = 1TdC(1TdC/60 – 1TdC/720) t = 1TdC et en divisant par (1TdC) t1/60 – 1/720 = 1/t = 0,0152781/0,015278 = 65,45 minutes

C’est donc à chaque heure entière majorée de 5,45 minutes que les deux aiguilles se recouvriront exactement0 h; 1h5,45 mn; 2h10,91mn; 3h16,3635mn; 4h21818; 5h27,2725mn; 6h32,727mn….

Choisissons l’unité de temps minute.

La grande aiguille fait 1 tour de cadran (1TdC) en 60 minutes, alors que la petite le parcourt en 12 heures, soit 720 minutes. La grande aiguille distance la petite dès le départ de la cours et la rattrape lorsqu’elle aura fait exactement un tour de cadran de plus en un temps t. Ceci se traduit par l’équation suivante :

Au bout de la grande aiguille mettez la Terre et au bout de la

petite mettez Mars

(2p/pT) t – (2p/pP)t = 2p

Divisons par 2p et t

Si planète extérieure 1/ pT - 1/pP = 1/t

Si planète intérieure 1/ pT + 1/pP = 1/t

Prenons le cas de Mars, planète supérieure (ou extérieure) et déterminons sa période

synodique «t» à partir de sa période sidérale de 1,8808 années terrestres

1/ pT - 1/pM = 1/t

pT = 1 donc 1/ pT = 1 et pM = 1,8808

Nous avons donc 1 – 1/1,8808 = 0,4683 = 1/t

et «t» = 1/0,4683 = 2,1353 = période synodique de Mars

Mais le problème à résoudre est inverse, car ce que nous observons est la période synodique et nous devons

en déduire la période sidérale

Les règles algébriques donnent tout de suite la

solution

si 1 - 1/pM = 1/t

t étant la période synodique que nous

connaissons par l’observation,

Alors 1- 1/t = 1/pM

1- 1/t = 1/pM

et pour Mars, nous avons donc

1-1/2,1353 = 0,5317 = 1/pM

pM = 1,8808 (années-terrestres) = période

sidérale

Déterminez la période sidérale à partir de la période synodique

pour quelques planètes

Planètepériode

synodique / Terre

Période sidérale

Mercure 0,3173Vénus 1,5987

Mars 2,1354 ?

Jupiter 1,0921Saturne 1,0352Uranus 1,0120

Neptune 1,0061

Périodes sidérales

Planètepériode

synodique / Terre

Période sidérale

Mercure 0,3173 0,2408

Vénus 1,5987 0,6152

Mars 2,1354 1,8808

Jupiter 1,0921 11,861

Saturne 1,0352 29,446

Uranus 1,0120 84,011

Neptune 1,0061 164,79

Maintenant en vertu de R3=T2

Déterminez la distance au Soleil

Planète

Période

sidérale

Distance au

Soleil

Mercure 0,2408

Vénus 0,6152

Mars 1,8808 ?

Jupiter 11,8608

Saturne 29,4463

Uranus 84,0114

Neptune 164,7930

Distance des planètes au Soleil

PlanètePériode sidéral

e

Distance au

Soleil Mercure 0,2408 0,38711Vénus 0,6152 0,72334Mars 1,8808 1,52367

Jupiter 11,8608 5,20088

Saturne 29,4463 9,53572

Uranus 84,0114 19,1819

Neptune 164,7930 30,0579

Maintenant un petit problèmePourquoi dit-on qu’un satellite géostationnaire doit orbiter à

36000 km au-dessus de la surface du sol ? Justifiez le .

Rappel : La Lune boucle son orbite à 384000 km du centre de la Terre en 27,3 jours, et le diamètre de la Terre est de 12700 km.

Réponse

3840003√27,32

−6350=36000𝑘𝑚

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Serge Rochain