analiza matematyczna repetytorium - pazdro...matematyka próbne arkusze maturalne poziom podstawowy...

Krzysztof KłaczkowMarcin KurczabElżbieta Świda

RE

PE

TY

TO

RIU

MANALIZAMATEMATYCZNA

dla licealistów i studentów

ANALIZA MATEMATYCZNA dla licealistów i studentów REPETYTORIUM

MRAM www.pazdro.com.pl

Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro przygotowała bogaty zestaw tytułów, służących lepszemu przygotowaniu do matury z matematyki na poziomie podstawowym i na poziomie rozszerzonym. Każdy maturzysta, zależnie od indywidualnych potrzeb, znajdzie tu odpowiednią dla siebie pozycję.

ZBIÓR ZADAŃMATURALNYCH

972 ZADANIACentralnej Komisji Egzaminacyjnej

Z ROZWIĄZANIAMI

Lata 2010–2018Poziom podstawowy

Opracował Ryszard Pagacz

7Tomasz Grębski

Praktyczny przewodnik po programie dla każdego

MATEMATYKA

Elżbieta ŚwidaElżbieta KurczabMarcin KurczabMałgorzata Przeniosło

Zakres podstawowy

MatematykaPowtórka przed maturą

Zadania

%

∞~Σ≠

>∆=α

πy½

%

β±%x

Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylkoZadania z rozwiązaniami

Tomasz Grębski

Matem

atyka

123Aleksandra Gębura

MATEMATYKAZadania z rozwiązaniamiZakres podstawowy

Przed maturą

Ponadto zachęcamy do zapoznania się

z naszym przewodnikiem po programie

Wolfram Alpha, który jest nowoczesnym

narzędziem edukacyjnym.

MatematykaMMat

emat

yka Kompendium maturalne

Zakres podstawowy

Aleksandra Gębura

Matematyka

Zadania powtórkowe przed maturąZakres podstawowy

Tomasz Zamek-Gliszczyński

Mat

emat

yka MATEMATYKA

Porady i wskazówki których nie ma w tablicach maturalnych z przykładami ich zastosowania

Tomasz Grębski

MatematykaPróbne arkusze maturalne

Poziom podstawowy

Tomasz SzwedIlona HajdukPiotr Pawlikowski

Zestaw 1.

ax2 +

bx


Poziom podstawowy


Zestaw 2.

ax2 +

bx


Poziom rozszerzony

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab

Zestaw 1.


Poziom rozszerzony

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab

Zestaw 2.

MatematykaMMat

emat

yka Kompendium maturalne

Zakres rozszerzony

Aleksandra Gębura

Matematyka

Zadania powtórkowe przed maturąZakres rozszerzony


Mat

emat

yka

Rozszerz swoje horyzonty

MATEMATYKAdla dociekliwych licealistów

Zadania i nie tylko

Część I


LICZBY

FUNKCJE

CIĄGI

KOMBINATORYKA

GEOMETRIA PŁASKA

TRYGONOMETRIA

GEOMETRIA ANALITYCZNA

ZBIÓR ZADAŃMATURALNYCH

293 ZADANIACentralnej Komisji Egzaminacyjnej

Z ROZWIĄZANIAMI

Lata 2010–2018Poziom rozszerzony

Opracował Ryszard Pagacz


Poziom rozszerzony

Ryszard PagaczPiotr GumiennyAdrian Karpowicz

Zestaw 3.


Poziom rozszerzony

Ryszard PagaczPiotr GumiennyAdrian Karpowicz

Zestaw 4.

STEREOMETRIA

PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

Rozszerz swoje horyzonty

MATEMATYKAdla dociekliwych licealistów

Zadania i nie tylko

Część II



Poziom podstawowy


Zestaw 3.

ax2 +

bx

Spis treści

ROZDZIAŁ 1. Granica i ciągłość funkcji ................................................................... 51.1. Granica funkcji w punkcie ................................................................................ 5 Obliczanie granic funkcji w punkcie ................................................................ 201.2.. Granica.niewłaściwa,.granica.w.nieskończoności,.granice.jednostronne ........ 26. Granica.niewłaściwa.funkcji.w.punkcie ........................................................... 26. Granica.funkcji.w.nieskończoności .................................................................. 29. Granice.jednostronne.funkcji.w.punkcie .......................................................... 371.3.. Asymptoty.wykresu.funkcji.............................................................................. 46. Asymptoty.pionowe .......................................................................................... 46. Asymptoty.poziome .......................................................................................... 50. Asymptoty.ukośne ............................................................................................ 541.4.. Ciągłość.funkcji ................................................................................................ 59. Ciągłość.funkcji.w.punkcie .............................................................................. 59. Ciągłość.funkcji.w.przedziale.liczbowym ........................................................ 68

ROZDZIAŁ 2. Pochodna funkcji ..................................................................................... 822.1.. Pochodna.funkcji.w.punkcie ............................................................................. 82. Interpretacja.geometryczna.pochodnej.funkcji.w.punkcie ............................... 92. Własności.pochodnej.funkcji.w.punkcie .......................................................... 942.2.. Pochodna.funkcji.w.zbiorze ............................................................................. 972.3.. Funkcja.pochodna ............................................................................................. 98. Podstawowe.własności.pochodnej.funkcji ....................................................... 102. Pochodna.funkcji.złożonej ................................................................................ 113. Pochodna.funkcji.odwrotnej ............................................................................. 1222.4.. Zastosowania.pochodnej.funkcji ...................................................................... 124. Pochodna.funkcji.a.monotoniczność.funkcji .................................................... 124. Ekstrema.lokalne.funkcji .................................................................................. 131

Granica i ciągłość funkcji

4

. Ekstrema.globalne ............................................................................................ 142

. Ekstrema.globalne.w.przedziale.domkniętym .................................................. 142

. Ekstrema.globalne.w.przedziale.otwartym ....................................................... 145

. Zadania.optymalizacyjne .................................................................................. 1482.5.. Dalsze.zastosowania.pochodnej ....................................................................... 163. Reguła.de.L’Hóspitala ...................................................................................... 163. Pochodne.wyższych.rzędów ............................................................................. 172. Druga.pochodna.a.wypukłość.funkcji .............................................................. 173. Druga.pochodna.a.ekstremum.lokalne.funkcji ................................................. 181. Badanie.przebiegu.zmienności.funkcji ............................................................. 185

ROZDZIAŁ 3. Całka nieoznaczona ................................................................................ 2003.1.. Funkcja.pierwotna.i.całka.nieoznaczona .......................................................... 2003.2.. Podstawowe.twierdzenia.dotyczące.całki.nieoznaczonej ................................. 2033.3.. Podstawowe.metody.całkowania ...................................................................... 206. Metoda.całkowania.przez.części ...................................................................... 206. Metoda.całkowania.przez.podstawienie ........................................................... 209

ROZDZIAŁ 4. Całka oznaczona ...................................................................................... 2164.1.. Definicja.i.własności.całki.oznaczonej ............................................................. 2164.2.. Interpretacja.geometryczna.całki.oznaczonej ................................................... 2224.3.. Inne.zastosowania.całki.oznaczonej ................................................................. 228

TESTY Test 1...Granica.i.ciągłość.funkcji.……………………………………………….... 233Test 2. Pochodna.funkcji.…………………………………………………………...238Test 3...Całka.nieoznaczona.i.całka.oznaczona.……………………………………...244. .....Odpowiedzi.do.testu.1.…………………………………………………... .. 250. .....Odpowiedzi.do.testu.2.…………………………………………………... .. 250

. .....Odpowiedzi.do.testu.3.…………………………………………………... .. 251


10

Widać,.że.S x S x S x U x S x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }0 0 0 0 0 0= ∪ = ∪− + oraz . Teraz.już.możemy.przyjąć.następującą.definicję:

DEFINICJA 1.Niech.funkcja.f.będzie.określona.w.pewnym.sąsiedztwie.S(x0).punktu.x0.Gra-nicą.funkcji.f w punkcie x0.(lub.przy.x.dążącym.do.x0).jest.liczba.g –.co.zapisu-jemy.lim ( )

x xf x g

→=

0

.–.wtedy.i.tylko.wtedy,.gdy.dla.każdego.ciągu.(xn),.którego

wyrazy.x S xn ∈ ( )0 .oraz.limn nx x

→=

∞ 0,.prawdziwa.jest.równość.lim ( )n nf x g

→=

∞.

Definicję.tę.można.zapisać.symbolicznie:

lim ( ) ( ) lim lim ( ) .x x n n n n nf x g x S x x x f x g→ →∞ →∞

= ∧ = =

∧

00 0⇔ ∈ ⇒

(xn)

def.

Definicję.powyższą.nazywa.się.definicją.Heinego.granicy.funkcji.w.punkcie.

Nazwa tej definicji pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Heinricha Eduarda Heinego (1821-1881), profesora uniwersytetów w Bonn i Halle, zajmującego się różnymi działami analizy matematycz-nej.

PRZYKŁAD 1.Obliczmy.lim ( )

x xf x g

→=

0

,.jeżeli:

a) f (x) = x.+.4..i..x0.=.1,

b) f x x xx

x( ) ,=− +

−=

2

05 6

33i

c) f xxx( ) =

−+

2 42

3

dla.x ¹ –2i x0 = –2.

dla.x = –2

Ad.a).Dziedziną.funkcji.f(x) = x.+.4.jest.zbiór.R..Jest.więc.ona.określona.w.każ-dym.sąsiedztwie.S(1)..Weźmy.zatem.dowolny.ciąg.(xn),.którego.wyrazy.xn Î S(1).oraz. lim .

n nx→∞=1

Mamy.

lim ( ) lim ,n n n

nf x

x→∞ →∞

= =+

↓

5

4

1

lim ( ) lim ,n n n

nf x

x→∞ →∞

= =+

↓

5

4

1

11

zatem.lim ( ) .xf x

→=

15

f x( )1

f x( )2

f x( )3

5

4

–4

Y

x3 x2 x1 X1

2

3

–1–1

–2

1

–2–3–5 4 5 6 7

yx

=+

4

80

Ad.b).Dziedziną.funkcji. f x x xx

( ) =− +

−

2 5 63

.jest.zbiór.R.–.{3}..Tak.więc.jest

ona.określona.w.dowolnym.sąsiedztwie.S(3)..Weźmy.dowolny.ciąg.(xn),.którego.

wyrazy.xn Î S(3).oraz. lim( ) .n nx→∞

= 3..Wtedy. f xx xxn

n n

n( )

( ).=

− +−

2 5 63

Jeżeli. xn 3, ,.to.licznik.i.mianownik.ułamka.dążą.do.zera..Otrzymaliśmy.sym-

bol.nieoznaczony. 00

...Aby.wybrnąć.z.kłopotów,.rozłożymy.licznik.na.czynniki..

lim ( ) lim( )

lim( )( )

limn n n

n

n n

n n

nf x

x xx

x xx→∞ →∞ →∞

=− +

−=

− −−

2 5 63

2 33 nn

nx→∞

= − =

−↓

3 2 1

2

3

,xn −↓

2

3

zatem

lim ( ) .xf x

→=

31

Zauważ,.że.mogliśmy.uprościć.ułamek,.dzieląc.jego.licznik.i.mianownik.przez. xn. –. 3. (nie.dzielimy.przez. zero!),. ponieważ,. dla.dowolnego.n.>.0,.xn Î S(3),. zatem.° ≠xn 3..

f x( )1

f x( )2

f x( )3

Y

x3 x2 x1 X1

–2

1

0 32

yx

x

x=

+−

−2

5

6

3


148

. . oraz

lim lim .x x

f x xx→ →− −

( ) = +

=−

0 0

1∞

. 3). Ponieważ. limx

f x→ −

( ) =−0

∞,.więc.wartość.najmniejsza.tej.funkcji.na.przedzia-

. . le.(0,.2).nie.istnieje,.a.ponieważ. lim ,x

f x→ −( )−

( ) <−2

2 .więc.największą.wartoś-

. . cią. tej. funkcji. jest.wartość.y.=.–2. (dla.x.=.–1)..Rysunek.poniżej. ilustruje.rozwiązanie.tego.zadania.

X

Y

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–1–2–3

y f x= ( )

–4 1 2

Zadania optymalizacyjnePoszukiwanie.ekstremów.globalnych.funkcji.odgrywa.istotną.rolę.w.tzw..zada-niach. optymalizacyjnych.. Chodzi.w.nich. zwykle. o.podanie.warunków,.w.któ-rych.koszty.wykonanych.operacji.będą.najmniejsze.albo.zyski.największe. itp..Przykłady.takich.zadań.optymalizacyjnych.omawiamy.poniżej.

PRZYKŁAD 25.

W.klasie. drugiej. rozwiązywaliśmy. zadanie. o.prostokątnym. kąpielisku,. które.przylega.do.plaży. i.trzeba. tak.dobrać. jego.wymiary,.aby.miało. jak.największą.powierzchnię,. jeśli.długość.pomostu.wynosi.64.m..Rozwiążemy.teraz.to.samo.zadanie,.wykorzystując.wiadomości.o.pochodnej.funkcji.

149

y

x x

Przypomnijmy,.że.oznaczając.przez.x.długość.boku.kąpieliska.prostopadłego.do.brzegu,.a.przez.y.–.długość.boku.równoległego.do.brzegu,.otrzymaliśmy.funkcję.P(x) = x(64.–.2x),.przy.czym.DP.=.(0,.32).

Możemy.teraz.znaleźć.największą.wartość.tej.funkcji.w.tym.przedziale.w.inny.sposób..Znajdźmy.najpierw.punkty.krytyczne.Ponieważ

P x x x x x( ) = −( ) =− +64 2 2 642 ,

więc

P x x D DP P′( ) =− + =4 64 oraz ' .

Zatem

P x x x x′( ) = − + = ∧ ∈ ( ) =0 4 64 0 0 32 16⇔ ⇔, .Obliczamy.P(16).=.512.

Ponieważ. lim lim ,x xP x P x

→ →+ −( ) = ( ) =

0 320 .więc.funkcja.P.osiąga.w.przedziale.(0,.32).

wartość.największą.512.dla.x = 16.

Dla x =.16,.otrzymujemy.y.=.32,.a.więc.pole.powierzchni.kąpieliska.będzie.naj-większe,.jeśli.jego.wymiary.będą.wynosić.16.m.na.32.m.

PRZYKŁAD 26.

Dwie.drogi.przecinają.się.pod.kątem.prostym.w.punkcie.P (rysunek.poniżej).

P


150

Samochód. jadący. drogą. z.zachodu. na. wschód. ze. stałą. prędkością. 60. km/h.przejechał.przez.punkt.P.o.godz..1200..W.tej.samej.chwili.drugi.samochód,.ja-dący.drogą.z.północy.na.południe.ze.stałą.prędkością.80.km/h,.znajdował.się.w.odległości. 50. km.od.P..O.której. godzinie. samochody.były.najbliżej. siebie.i.jaka.była.wtedy.między.nimi.odległość?Oznaczmy.przez.t.czas,.jaki.upłynął.od.godz..1200..Po.upływie.tego.czasu.pierw-szy.samochód.znajduje.się.w.punkcie.60.∙.t.na.wschód.od.P.(taką.bowiem.w.tym.czasie. przebył. drogę).. Natomiast. pierwszy. samochód. znajduje. się. w.punkcie. o.80.∙.t.bardziej.na.południe.w.stosunku.do.punktu,.w.którym.był.o.godz..1200,.czyli.jego.odległość.od.P.wynosi.|50.–.80.∙.t|..Korzystając.z.twierdzenia.Pitago-rasa,.możemy.zapisać,.że.odległość.pomiędzy.samochodami.wynosi

d t t t t t( ) = ( ) + −( ) = ( ) + −( )60 50 80 10 6 5 82 2 2 2 .

Szukamy.najmniejszej.wartości.tej.funkcji..Jej.postać.jest.trudna.do.różniczko-wania.. Żeby. ułatwić. sobie. obliczenia,. zwróćmy. uwagę. na. to,. że. odległość. ta.będzie.najmniejsza.wtedy,.gdy.funkcja

f t t t t t( ) = ( ) + −( ) = − +6 5 8 100 80 252 2 2

osiągnie.najmniejszą.wartość..Wynika.to.stąd,.że.funkcja.d.jest.funkcją.złożoną,.d t g f t( ) ( ( )), .gdzie.funkcja.zewnętrzna.g u u( )10 jest.jest.funkcją.rosnącą,.i.osią-gnie.największą.wartość.tylko.w.tych.punktach,.w.których.funkcja.wewnętrzna. u = f(t).osiągnie.największą.wartość.

Oczywiście.musi.być. t Df≥ = +0 0, , . zatem ∞ ..Możemy. teraz.albo.zastoso-wać.wiadomości.o.trójmianie.kwadratowym,.albo.użyć.pochodnej..Zastosujemy.sposób.drugi..Zauważmy.najpierw,. że. funkcja. jest. ciągła.w.swojej. dziedzinie..Obliczamy

f t t Df′( ) = − = +( )200 80 0, , .' ∞

Stąd

f t t h′( ) = = ( )0 25

⇔ .

Otrzymaliśmy.zatem

f f f xt

25

9 0 25

= ( ) = ( ) = +

→+, , lim .

∞∞

151

t

Y

25

9

0 25

y f t= ( )

Wobec. tego. funkcja. f. osiąga. najmniejszą. wartość. w.przedziale. 0, + )∞ . dla.

t h= ( )25

...Wtedy.odległość.pomiędzy.samochodami.będzie.równa.

d f2

510 2

510 9 30

=

= = ( )km .

Samochody.będą.najbliżej.siebie.o.godz..1224.i.odległość.pomiędzy.nimi.będzie.wtedy.wynosić.30.km.

PRZYKŁAD 27.

Po.parabolicznym.torze,.będącym.wykresem.funkcji.y = x2,.porusza.się.kometa..Znajdziemy.punkt,.w.którym.ta.kometa.będzie.najbliżej.obiektu,.umieszczonego.w punkcie A(0,.1)..Ile.wynosi.najmniejsza.odległość.komety.od.obiektu?

Y

X

6

5

4

3

2

1

0

–1

–3 –2

A

y x=2

–1 21


152

Niech.P(x,.y).będzie.poszukiwanym.punktem..Ponieważ.należy.on.do.paraboli

y = x2,.więc.P(x,.x2)..Oznaczmy.odległość.punktów.P i A przez d..Mamy

d x x x x x( ) = −( ) + −( ) = − +0 1 12 2 2 4 2 .

Należałoby.wyznaczyć.najmniejszą.wartość.tej.funkcji..Ma.ona.jednak.znów

skomplikowaną. do. różniczkowania. postać.. Podobnie. jak. w.poprzednim. przy-kładzie,.tak.i.tu.wyznaczymy.najmniejszą.wartość.funkcji.(uzasadnij,.dlaczego.możemy.tak.postąpić):

f x x x( ) = − +4 2 1.

Ustalmy.teraz. jej.dziedzinę..Ponieważ.punkt.P.może.być.dowolnym.punktem,.więc. musi. być. x Df∈ = − +( )R. , .Zatem ∞ ∞ .. Widać,. że. funkcja. jest. ciągła.w.tym.przedziale.

Obliczamy

f x x x' ( ) = −4 23 .

Zatem.Df ' = Df..Teraz.szukamy.punktów.krytycznych.(będą.to.tylko.miejsca.ze-rowe.pochodnej.funkcji)..Mamy:

f x x x x D x x xf' '( ) = − = ∧ ∈( ) =− ∨ = ∨ =

0 4 2 0 2

20 2

23⇔ ⇔ .

Tak.więc.istnieją.trzy.punkty.krytyczne..Obliczamy

f f f−

=

= ( ) =

22

22

34

0 1, .

Otrzymujemy.również. lim lim .x x

f x f x→− →+

( ) = ( ) = +∞ ∞

∞

22

22

– X

Y

1–1–2

3

2

1

0

y x x= – + 14 2

153

Wobec.powyższych.fakt.stwierdzamy,.że.najmniejszą.wartość.y 34

funkcja

przyjmuje.dla.x x P P=− = −

2

22

22

212

22

12

albo dla Zatem lub . , , , −

=

=, .d d2

22

23

2

x x P P=− = −

2

22

22

212

22

12

albo dla Zatem lub . , , , −

=

=, .d d2

22

23

2

Najmniejsza.odległość.komety.od.obiektu.wynosi. 32

.

PRZYKŁAD 28.

Pojemnik.na.farbę.ma.mieć.kształt.walca.i.pojemność.1.litra..Jakie.wymiary.musi.mieć.ten.pojemnik,.aby.zużyć.na.jego.wyrób.jak.najmniej.materiału?

r r

h

Przy.takich.oznaczeniach.jak.na.powyższym.rysunku.interesuje.nas.najmniejsza.wartość.funkcji,.wyrażającej.pole.P.powierzchni.całkowitej.walca

P r rh= +2 22π π .

Niestety,.jest.to.funkcja.dwóch.zmiennych.r.oraz.h,.a.my.nie.umiemy.obliczać.najmniejszej. wartości. funkcji. wielu. zmiennych. (aczkolwiek. w.matematyce,.ale.na.dużo.wyższym.poziomie,. jest. to.możliwe)..Należy.więc.uzależnić.h.od.r.(lub.odwrotnie).i.w.ten.sposób.otrzymać.funkcję.jednej.zmiennej..Skorzysta-my.w.tym.celu.z.dotąd.niewykorzystanej.danej,.że.objętość.walca.ma.wynosić. 1.litr.=.1000.cm3..Ponieważ.objętość.walca.wyraża.się.wzorem

V r h= π 2 , więc.otrzymujemy

1000 2= πr h,


154

skąd

hr

=1000

2π.

Mamy.więc

P r rr

rr

= + = +

2 2 1000 2 10002

22π π

ππ .

a.dokładniej

P r rr

( ) = +

2 10002π .

Zwróć.uwagę,.że.gdybyśmy.uzależnili.r.od.h,.to.mielibyśmy.

rh

=1000

π,,.(gdyż.nie.może.być.r

h=− <

1000 0π

)

i.wzór.funkcji.byłby.znacznie.bardziej.skomplikowany.

Znamy.już.wzór.funkcji,.teraz.pora.na.ustalenie.jej.dziedziny..Najlepiej.to.zrobić,.określając.takie.warunki,.by.wszystkie.wielkości.występujące.w.zadaniu.miały.sens..Dlatego.też.u.nas.musi.być:.r > 0 i h.>.0.(długości.odcinków.muszą.być.dodatnie).oraz.P(r).>.0.(pole.powierzchni.walca.też.musi.być.dodatnie)..Otrzy-mujemy.więc.układ.nierówności:

r

r

rr

>

>

+

>

01000 0

2 1000 0

2

2

,

,

.

π

π

Widzimy,.że.z.pierwszej.nierówności.wynikają.już.dwie.pozostałe,.zatem.wystar-czy.warunek.r r DP> ∈ +( ) = +( )0 0 0, , . , . czyli Zatem ∞ ∞

Będziemy.więc.teraz.poszukiwać.najmniejszej.wartości.funkcji.P.w.przedziale.(0,.+¥). Funkcja P.jest.ciągła.w.tym.przedziale..Obliczamy

P r rr

rr

rr

′( ) = +

′

= +

′

= −2 1000 2 1000 2 2 10002 2π π π 22

.

Widać,.że.DP' = DPSzukamy.punktów.krytycznych.(w.tym.wypadku.miejsc.zerowych.pochodnej):

P r rr

x D r x D

r

P P′( ) = − = ∧ ∈

− = ∧ ∈( )

=

0 2 1000 0 2 1000 0

10

23⇔ ⇔ ⇔

⇔

π π' '

0002

10 12

3 3π π

⇔ r = .

155

Jest.to.jedyny.punkt.krytyczny.Ponieważ.dziedziną.jest.przedział.otwarty.więc.obliczamy.jeszcze

lim limr rP r r

r→ →+ +( ) = +

= +

0 0

22 1000π ∞

oraz

lim limr r

P r rr→+ →+

( ) = +

= +

∞ ∞∞2 10002π

r

Y

0

y P r= ( )

3101

2�

Zatem.najmniejszą.wartość.funkcja.przyjmuje.dla.r =10 12

3π

...Wtedy.wysokość.

walca.ma.długość.h =10

43 π

.

Puszka.będzie.miała.najmniejszą.powierzchnię.(przy.objętości.1.litra).dla

r h= ≈ [ ] = ≈ [ ]10 12

5 4 10

4

10 93

3π π

, , . cm i cm

PRZYKŁAD 29.

Wioślarz.płynący.łodzią.znajduje.się.w.punkcie.A.jeziora.w.odległości.1.km.od.najbliższego.punktu.B.brzegu.(rysunek.na.str..156).


184

i,.dalej,

x r y= −cos .α

Uwzględniając,.(2).mamy.więc:

(3).3( ) = − = −( )x r r rcos sin cos sin .α α α α

Zatem,.po.uwzględnieniu.odpowiedniego.wzoru.trygonometrycznego,.otrzymu-jemy:

S r r r

r

α α α α α α α

α α

( ) = −( )⋅ = −( ) =

= −

cos sin sin sin cos sin

sin sin

2

2 212

2

Ustalmy.dziedzinę.otrzymanej.funkcji..Wiemy,.że.04

< <απ. (z.rysunku)..Po-

nadto.musi.być: sin , cos sin ,α α α> − >0 0,.co.gwarantuje.nam.dodatniość.dłu-gości.wszystkich.odcinków.i.pola.trójkąta..Koniunkcja.ostatnich.trzech.warun-

ków.zachodzi.dla.04

< <απ ,,.więc.DS′ =

0

4, .π ..Mamy.teraz:

′( ) = −

′

= −( ) =′S r r D DS Sα α α α α2 2 212

2 2 2sin sin cos sin , .

Zatem

′( ) = = ∧ ∈

=S α α α α α0 2 2 04 8

⇔ ⇔cos sin , .π π

Jest.więc.jeden.punkt.krytyczny..Obliczamy:

′′( ) =− +( ) =′′ ′S r D DS Sα α α2 2 22 sin cos , .

Mamy

′′

=− +

<S rπ π π

82

4 402 sin cos ,

a.więc.funkcja.ma.maksimum.lokalne.w.punkcie.a0 8=

π ...Wobec.sin cosπ π8 8

<

mamy:

S rπ π π π

8 8 8 802

= −

>sin cos sin .

185

Ponieważ.ponadto. lim lim ,a

a

S S→

→

+ −( ) = ( ) =

04

0α απ

.więc.funkcja.S(a).przyjmuje.naj-

większą.wartość.w.przedziale. 04 8

, .π π

=dla α .

Największe.pole.będzie.więc.miał.prostokąt,.którego.boki.mają.długości:.°r sin π8

oraz.r cos sin .π π8 8

−

.

Badanie przebiegu zmienności funkcjiWyposażeni.w.tak.bogaty.już.aparat.pojęciowy.możemy.teraz.przystąpić.do.cze-goś,. co. w.pewnym. sensie. stanowi. podsumowanie. i.wykorzystanie. opisanych.metod. rachunku. różniczkowego:. badania. przebiegu. zmienności. funkcji,. czyli.znajdowania.wykresu.bardzo.szerokiej.już.klasy.funkcji..Będzie.ono.przebiegać.w.pewnych.etapach,.które.teraz.omówimy:. 1.. .Wyznaczenie.dziedziny.funkcji.(zapisanie.jej.najlepiej.w.postaci.przedziału.

lub.sumy.przedziałów).. 2.. .Sprawdzenie,.czy. funkcja.ma. istotne.dla.wykresu.własności. (okresowość,.

parzystość,.nieparzystość).. 3.. .Wyznaczenie.punktów.wspólnych.wykresu.z.osiami.układu.współrzędnych.. 4.. .Obliczenie.granic.funkcji.na.krańcach.przedziałów,.z.których.składa.się.jej.

dziedzina..Ewentualne.wyznaczenie.równań.asymptot.wykresu.funkcji.. 5.. .Analiza.pierwszej.pochodnej.(wyznaczenie.pierwszej.pochodnej,.ustalenie.

jej. dziedziny,. wyznaczenie. jej. miejsc. zerowych. i.przedziałów,. w.których.przyjmuje.wartości.dodatnie.i.ujemne).

. 6.. .Analiza. drugiej. pochodnej. (wyznaczenie. drugiej. pochodnej,. ustalenie. jej.dziedziny,.wyznaczenie.jej.miejsc.zerowych.i.przedziałów,.w.których.przyj-muje.wartości.dodatnie.i.ujemne).

. 7.. .Zbudowanie.tabelki.przebiegu.zmienności.funkcji.

. 8.. .Naszkicowanie.wykresu.funkcji.

Jeżeli. z.pewnych. powodów. niemożliwe. jest. wyznaczenie. drugiej. pochodnej.funkcji.lub.jej.dokładna.analiza,.to.czasami.pomijamy.punkt.6..i.wtedy.mówimy,.że.przeprowadzamy.uproszczone.badanie.przebiegu.zmienności.funkcji.

W.punkcie. 7.. zbudujemy. tabelkę. przebiegu. zmienności. funkcji,. która. będzie.zawierać.prawie.wszystkie.informacje.o.tej.funkcji..W.szczególności,.jeśli.wia-domo,. że. funkcja. jest. rosnąca. (malejąca). w.pewnym. przedziale,. a.nie. znamy.jej.drugiej.pochodnej,.to.dla.oznaczenia.tej.własności.będziemy.używać.znaku. � �( ). i. jak. to. robiliśmy.do. tej.pory.w. tabelce,.która.występowała.przy.okazji.


200

ROZDZIAŁ 3.Całka nieoznaczona

3.1. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczonaW.poprzedniej. części. książki. rozwiązywaliśmy. zadania,. które. polegały. na.tym,.że.mając.daną.pewną.funkcję.f,.szukaliśmy.funkcji.f ' ,.czyli.jej.pochodnej..Natomiast. teraz. zastanowimy. się. nad. tym,. czy.można. znaleźć. funkcję,. której.pochodną.mamy.daną..Oczywiście. już. teraz.widzimy,.że.w.pewnych.przypad-kach.jest.to.możliwe..Na.przykład.jeśli.f '(x) = 2x,.to.szukaną.funkcją.może.być. f(x) = x2,.ponieważ.(x2)' = 2x..Ale.–.jak.można.zauważyć.–.nie.jest.to.jedyna.moż-liwa.odpowiedź..Może.przecież.być.też.f(x) = x2.+.4.albo.f(x) = x2.–.2.itd..A.więc.rozwiązań.tego.zagadnienia.jest.wiele.

Jeszcze. trudniej. znaleźć. f,. jeśli.wiemy,. że. f '(x). =. 2sin. 2x..Możemy. co. praw-da.przyjąć,.że.ponieważ.(cos.2x)' .=.–2sin.2x,.więc.(–cos.2x)' = 2sin.2x,.czy-li. może. być. f(x). =. –cos. 2x,. ale. może. być. też. f x x( ) =− +cos2 2 . albo.

f x x( ) =− −cos2 12

itd.

Ale.jak.poradzić.sobie.w.sytuacji,.jeśli.np..f '(x) = x.·.cos.x?

Podsumowując,.możemy.stwierdzić,.że.w.wielu.wypadkach.odpowiedź.na.pyta-nie,.czy.można.znaleźć.funkcję,.której.pochodną.znamy,.jest.twierdząca,.aczkol-wiek.niejednoznaczna.–.szukanych.funkcji.jest.nieskończenie.wiele..Nasuwa.się.nowe.pytanie:.jak.można.to.zrobić?.Czy.można.to.zrobić.dla.dowolnej.funkcji.f ? W.dalszej.części.książki.postaramy.się.odpowiedzieć.na.te.pytania.

Przyjmijmy.najpierw.następującą.definicję:

DEFINICJA 1.Funkcję.F.nazywamy.funkcją.pierwotną.funkcji.f.w.przedziale.I.wtedy.i.tyl-ko.wtedy,.gdy

x IF x f x

∈

′( ) = ( )∧ .

Uwaga:

Jeśli.przedział.I.jest.jednostronnie.lub.obustronnie.domknięty,.to.pochodną.F'(x) w.każdym.z.należących.do.niego.końców.rozumiemy.jako.odpowiednią.pochod-ną.jednostronną.

201

Biorąc.pod.uwagę.wcześniejsze.rozważania,.możemy.sformułować.wniosek.

WNIOSEKJeżeli.funkcja.F.jest.funkcją.pierwotną.funkcji.f.w.przedziale.f,.natomiast.C.jest.dowolną.liczbą.rzeczywistą,.to.funkcja.Φ(x) = F(x).+.C.jest.też.funkcją.pierwotną.funkcji f.w.tym.przedziale.

Wniosek.powyższy.wynika.z.tego,.że.dla.każdego.x Î I.mamy.

F x C F x C F x f x( ) + ′= ′( ) +( )′ = ′( ) = ( ).

Można.również.udowodnić,.że.zachodzi.następujące.twierdzenie.

TWIERDZENIE 1.Jeżeli.F.jest.funkcją.pierwotną.funkcji.f.w.przedziale.I,.to.dowolna.funkcja.pierwotna.Φ funkcji f.w.tym.przedziale.ma.postać.Φ(x) = F(x).+.C,.gdzie.C jest.pewną.liczbą.rzeczywistą.

1234T

Dowód.Z.założeń.mamy.F'(x) = f (x).oraz.Φ'(x) = f (x).dla.x Î I..Rozważmy.funkcję. h(x) = Φ(x) – F(x).Mamy h'(x) = Φ'(x) – F'(x) = f(x) – f (x).=.0.dla.każdego.x Î I.Korzystając. z.wniosku. z.rozdziału. o.zastosowaniach. pochodnej. (str.. 126.),.możemy.stwierdzić,.że.funkcja.h.jest.stała.w.I,.tzn. h(x) = Φ(x) – F(x) = C,.skąd.Φ(x) = F(x).+.C,.gdzie.C.jest.dowolną.liczbą.rzeczywistą..Twierdzenie.zostało.udowodnione.

Powyższe.twierdzenie.oraz.poprzedzający.je.wniosek.pozwalają.nam.powiedzieć,.że.jeżeli.F.jest.dowolną.funkcją.pierwotną.funkcji.f.w.przedziale.I,.to.wszystkie.funkcje.pierwotne.funkcji.f.mają.postać.F.+.C,.zatem.innych.funkcji.pierwotnych.funkcja f.nie.ma.

Tu.mogą.się.nasunąć.pytania:.Którą.z.funkcji.pierwotnych.danej.funkcji.mamy.wybrać?.Co.o.tym.decyduje?Zwróćmy.uwagę,.że.wykresy.wszystkich.funkcji.pierwotnych.danej.funkcji.są.do.siebie.równoległe.(funkcje.te.różnią.się.bowiem.o.stałą)..Na.przykład:.jeżeli.

f(x) = x,. to. funkcje. pierwotne. mają. postać. F x x C( ) = +12

2 .. Na. rysunku. są.przedstawione.wykresy.niektórych.z.nich:


202

X

Y

c =

3c

=1

6

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–4–5 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

Aby.wybrać. konkretną. funkcję,.można. na. przykład. określić.warunek,. aby. jej.wykres.przechodził.przez.dany.punkt.(x0,.y0)..Znajdźmy.w.ten.sposób.wzór.tej.funkcji.pierwotnej.funkcji.f(x) = x,.której.wykres.przechodzi.przez.punkt.(0,.3)..Punkt.ten.musi.należeć.do.wykresu.funkcji

F x x C( ) = +12

2 ,.skąd.3 12

0 32= ⋅ + =C C, . zatem

A.więc.szukaną.funkcją.jest.funkcja

F x x( ) = +

12

32 .

Odpowiedź.na.pytanie,.kiedy.funkcja.pierwotna.funkcji. f. istnieje,.daje.kolejne.twierdzenie.

TWIERDZENIE 2. (Leibniza)

Jeżeli. funkcja. f. jest. ciągła.w.przedziale. I,. to.ma. funkcję. pierwotną.w.tym.przedziale.

1234T

Zwróćmy.uwagę,.że.funkcję.pierwotną.mogą.mieć.również.funkcje,.które.nie.są.ciągłe.na.danym.przedziale.I.(o.takich.powyższe.twierdzenie.nic.nie.mówi).

Na.koniec.przyjmijmy.następującą.definicję:

203

DEFINICJA 2.Całką nieoznaczoną funkcji f.w.pewnym.przedziale.I.nazywamy.zbiór. jej.wszystkich.funkcji.pierwotnych.w.tym.przedziale..Całkę.nieoznaczoną.ozna-czać.będziemy.symbolem

f x dx( )∫ ,

przy.czym.funkcję.f.nazywać.będziemy.funkcją podcałkową,.x – zmienną całkowania,.a.f (x)dx – wyrażeniem podcałkowym.

Jeśli.F.jest.dowolną.funkcją.pierwotną.funkcji.f.w.przedziale.I,.natomiast.C –.do-wolną.stałą,.to.zgodnie.z.twierdzeniem.1..możemy.zapisać

f x dx F x C( ) = ( ) +∫ .

Liczbę.C.nazywamy.stałą całkowania.Jeśli.istnieje.całka.nieoznaczona.funkcji.f.(w.przedziale.I),.to.powiemy,.że.funk-cja f.jest.całkowalna.(w.przedziale.I).

Możemy.więc.napisać. xdx x C∫ = +12

2 .

3.2. Podstawowe twierdzenia dotyczące całki nieoznaczonej

Zauważmy,.że.bezpośrednio.ze.wzorów.na.pochodne.wynikają.następujące.wzo-ry.całkowe.

a) ;0 dx C∫ =

b) , , ;x dx x Ca∫ =+

+ ∈ ≠−+α

αα α

1

11R

c) ln ;1xdx x C= +∫

d)ln

, , ;a dx aa

C a axx

= + > ≠∫ 0 1

e e e) ;x xdx C= +∫

f ) sin cos ;xdx x C=− +∫

233

Test 1.


1.. Niech.W x ax x( ) = − +4 2 1..Wówczas:

.a). dla.dowolnego.a W x W xx x

∈ R lim lim ,→−∞ →+∞

( ) = ( )

.b).dla.dowolnego.a W x W xx x

∈ R lim lim ,→−∞ →+∞

( ) = ( ) =+∞

.c). istnieje. lim limx x

W x W x→−∞ →+∞

( ) = ( ) =−∞.

2. Niech W x x ax b P x x x( ) = + + ( ) = − +2 4 2 1, . .Wówczas:

a) dla dowolnych a bP xW xx

, lim ,∈ R→+∞

( )( ) =+∞

b) dla dowolnych a b W x P xx x

, lim lim ,∈ R→+∞ →+∞

( ) = ( )

c) dla dowolnych a b W x xx

, lim∈ R→−∞

( )−( ) =−2 ∞.

3.. Jeżeli. f xx

x xx

x( )

,

,=

−− −

∈ − −{ }

− ∈ −{ }

2

24

21 2

1 1 2

dla

dla

R

a) lim ( ) ,xf x

2nie istnieje

b) lim ( ) ,x

f x→−1

nie istnieje

c) f.jest.ciągła.w.punkcie.x0 2 .

4.. Jeżeli. f x xx

( ) :=−−

11

.a).ma.asymptotę.pionową.o.równaniu.x.=.1,

.b).ma.asymptotę.pionową.o.równaniu.x.=.–1,

.c). jest.symetryczny.względem.osi.OY.


234

5.. Liczba.a xxx

=+ −

+ −→lim :

0

4 23 3

.a). jest.wymierna,

.b).spełnia.równanie. a a2 14

2 33

+ =− ,

.c). jest.jedną.z.wartości.funkcji. f x x( ) = + ( )2 2002sin .

6.. Rozważmy.równanie:. a a+ =2 .

.a).Równanie.to.ma.dwa.rozwiązania.

.b).Jedynym.rozwiązaniem.tego.równania.jest.liczba

a x x x

x= + − −( )

→+lim .

∞

2 24 1

c) Funkcja f xxx

x

a x( ) = ≠

=

20

0

dla

dla ,.gdzie.a.jest.rozwiązaniem.danego.

. . równania.jest.lewostronnie.ciągła.w.punkcie.x0 = 0.

7.. Jeżeli.a xx

b xxx x

=+

+=

+−→− →+

lim , lim ,∞ ∞

2 12

2 12

to

a) a – b.=.0,

b) a2 – b2.=.0,

.c). punkt.P(a,.b).jest.odległy.od.początku.układu.współrzędnych.o.więcej.niż.3 3

2.

8. O funkcji f. wiadomo,. że. jej. wykres. ma. asymptotę. poziomą. (obustronną). o. równaniu y =. –1. oraz. asymptoty. pionowe. (obustronne). o.równaniach. x = –2 i x.=.1..Wynika.z.tego,.że:

.a). istnieją.skończone.granice. lim lim ,x x

f x f x→− →

( ) ( )2 1

oraz

.b).istnieją.skończone.granice. lim lim ,x x

f x f x→− →+

( ) ( )∞ ∞

oraz

c) f.jest.malejąca.w.przedziale.(1,.∞).

235

9.. Niech. f x x a g x x b a b( ) = + ( ) = + ∈( )2 , , .R .Określmy.funkcję

F xf x xg x x

( ) =( ) ≤( ) >

dladla

00

. .Wówczas

.a). istnieje.taka.para.liczb.a i b,.że.lim lim ,x xF x F x

→ →− +( ) = ( )

0 0.b).dla.dowolnych.liczb.a i b funkcja f.jest.ciągła.w.zbiorze.R.–.{0},

.c). dla.dowolnych.liczb.a i b.takich,.że.a = b funkcja f.jest.ciągła.w.punkcie x0 = 0.

10.. Jeżeli. f x xax

x( ) =( )

∈ −{ } ≠sin , ,

2

23 0 0, Ra to:

.a).dla.dowolnego.a ∈ −{ } ( ) =→+

R 0 1lim ,x

f x∞

.b).istnieje.tylko.jedna.taka.liczba.a Î R –.{0},.dla.której.lim ,x f x→ ( ) =

0

1 1

.c).istnieje.taka.liczba.a Î R –.{0},.dla.której.lim .xf x

→( ) =−

01

11.. Prosta.o.równaniu y = x.jest:

.a).asymptotą.ukośną.(obustronną).wykresu.funkcji. f x x xx

( ) = +cos ,,

.b).asymptotą.ukośną.prawostronną.wykresu.funkcji.g x xx

( ) =−

2

1,,

.c).prostopadła.do.asymptoty.ukośnej.lewostronnej.wykresu.funkcji.g x xx

( ) =−

2

1..

12. Funkcja f xxx

x

a x( ) =

+ −≠

=

2

21 1 0

0

dla

dla jest: :

.a).ciągła.w.punkcie.x0.=.0.dla.każdej.liczby.a.spełniającej.równanie.4a2.–.1.=.0,

.b).ciągła.w.punkcie.x0.=.0.dla.pewnej.liczby.niewymiernej.a,

.c).ciągła.w.zbiorze.R dla a 12

..

13...Niech.f(x).będzie.takim.wielomianem.stopnia.trzeciego,.że. lim lim .x x

f x f x→− →+

( ) = + ( ) =−∞ ∞

∞ ∞ oraz lim lim .x x

f x f x→− →+

( ) = + ( ) =−∞ ∞

∞ ∞ oraz ..Wynika.stąd,.że:

a) f .jest.malejąca.w.zbiorze.R,

b) lim lim ,x x

f x f x→− →+

−( ) =− −( ) = +∞ ∞

∞ ∞ oraz ,

c) funkcja f.może.mieć.2002.miejsca.zerowe.

analiza matematyczna repetytorium - pazdro...matematyka próbne arkusze maturalne poziom podstawowy...

Documents