ANÁLISIS DEL EFECTO DE TAMAÑO DE PROBETA EN LA

RESISTENCIA A LA TRACCIÓN UTILIZANDO DISTRIBUCIÓN DEWEIBULL.

RESUMEN

Una dificultad práctica en la determinación experimental de propiedades mecánicas es obtener probetas estándar del material. El caso particular de tubos de pared delgada, la dimensión del espesor obliga a preparar probetas miniatura, cuyos resultados deben ser validados respecto a las probetas estándar. Con el propósito de determinar el efecto del tamaño de probeta sobre la resistencia a la tracción como propiedad mecánica, se realizó un análisis estadístico aplicando la distribución Weibull de dos parámetros. Los resultados mostraron concordancia con resultados experimentales al utilizar probetas estándar y miniatura obtenidas de un tubo de 25,4 mm de espesor. El análisis mostró que las probetas miniatura presentan valores de resistencia última más altos en un 2,64% que las estándar, así como un mayor coeficiente de variabilidad, con un 2,51% respecto a un 0,67% de las estándar. Por tanto, la aproximación de Weibull describe y predice el efecto de tamaño en la resistencia a la tracción.

ABSTRACT

A common difficult in practice mechanical properties is to obtain material standard test specimens. In thin wall, the short dimension leads to use reduced test probes, and the results have to be validated with respect the standard size probes. In order to determine the effect of the specimen size on the tension strength, a statistical analysis employing a two parameters Weibull distribution was performed. The obtained results showed good agreement with the experimental data, when using standard and miniature probes taken from a 25 mm in thickness pipe. The analysis showed that the miniature probes have higher values of tension strength than the standard ones (up to 2,64%), and higher variability coefficient, 2,51% for the miniatures and 0,67% for the standards. Therefore, the two parameters Weibull distribution can be used to describe and predict the effect on the tension strength.

NOMENCLATURA

Ф Diámetro de probeta de tracción

E Módulo de Young

x Valores promedios para la prueba de tracción

s Desviación estándar

Relación de Poisson = 0,3

YS Punto de fluencia al 0.2%

σUTS Resistencia última

% Porcentaje de elongación

C.V. Coeficiente de variación

F Probabilidad acumulativa de Weibull

V1 Volumen de la probeta miniatura

V2 Volumen de la probeta estándar

m Parámetro de forma de Weibull

0 Parámetro de Escala de Weibull

û Media de la distribución de Weibull

ŝ Desviación estándar de Weibull

INTRODUCCION

En elementos mecánicos fabricados de un solo material es común considerar, desde un punto de vista de diseño, una homogeneidad adecuada en sus propiedades mecánicas. Sin embargo, en la práctica puede resultar que los tratamientos termo mecánicos afecten dichas propiedades, de manera que haya propiedades dependientes de la dirección. Esta situación se vuelve particularmente importante cuando el elemento ya ha sido fabricado y se deben determinar sus propiedades para garantizar su funcionamiento adecuado en operación. De la misma manera, es importante determinar las propiedades como parte de los procesos de análisis de fallas o estudios de confiabilidad asociados a esa operación.

En el caso de tubos de pared delgada, esta condición se hace patente con la necesidad de determinar propiedades mecánicas como la resistencia a la tracción o la tenacidad a la fractura en la dirección del espesor. La imposibilidad de obtener probetas de dimensiones estándar complica el proceso de obtención de las propiedades, ya que únicamente se puede disponer de probetas reducidas. No obstante, los resultados de los ensayos en probetas miniatura tienen que ser validados con base en resultados de probetas estándar.

Una forma de atacar la necesidad de validación de los resultados, es bajo una perspectiva estadística en la que se apliquen funciones especiales para determinar la confiabilidad de los resultados. Tal es el caso de la aplicación de la distribución de Weibull, que puede utilizarse para estudiar el efecto de tamaño y variabilidad en las propiedades mecánicas, bajo la suposición de que las propiedades están relacionadas con los defectos del material distribuidos aleatoriamente. Esto implica, que el promedio de las propiedades mecánicas disminuirán cuando el volumen de la muestra se incremente, debido a la mayor cantidad de material, el cual tendrá mayor posibilidad de contener un defecto mucho mayor que uno de menor tamaño.

El objetivo de este trabajo es determinar el efecto de tamaño de probetas en las propiedades en tracción utilizando la distribución de Weibull. Esto, considerando la importancia de determinar las propiedades mecánicas en tracción de los materiales como un paso preliminar para estimar otras propiedades de mayor aplicabilidad como es la tenacidad a la fractura. Para esta determinación se toma como base la norma ASTME-8, relacionada con el comportamiento mecánico en ensayos normalizados.

MATERIALES Y MÉTODOS

El material utilizado en esta investigación fue un acero tipo API-5L en forma de placa curva que proviene de una sección de tubo de 609,6 mm de diámetro y 25,4 mm de espesor, cuya composición química obtenida por absorción atómica se muestra en la Tabla I.

%C %P %S %Si %Mn %Cu %Ca0,080 0,029 0,010 1,48 0,25 0,009 0,0018

Tabla I. Composición química del acero empleado en la experimentación.

Las propiedades mecánicas en tracción se presentan en la Tabla II. Estas propiedades se obtuvieron de pruebas de tensión uniaxial, tanto en probetas estándar como miniatura, en una máquina servohidráulica Instron® 8503 de 500 kN de capacidad y con celdas de carga intercambiables de 100 kN y 10 kN. Las pruebas en tracción se realizaron en control de carga a una velocidad de 7 MPa/s y la longitud inicial para medir la elongación fue de 5 veces el diámetro de la probeta.

La Figura 1 muestra la geometría de las probetas normalizadas y miniatura para los ensayos de tracción. Se obtuvieron 5 probetas por cada tamaño y orientación.

Orientación de

las Probetas

Ф

(mm)n

E(MPa)

YS(MPa)

UTS(MPa)

%Elongación

x s %C.V. x s %

C.V. x s %C.V. x s % C.V.

Lstd 9 5 202031 1117 0,55 394 3,41 0,87 521 3,65 0,70 28 0,91 3,25

Cstd 9 5 214731 3234 1,51 427 3,87 0,91 538 1,81 0,34 27 1,81 6,70

Lmini 3 5 185756 5003 2,69 442 28,12 6,36 533 5,87 1,10 21 3,89 18,52

Cmini 3 5 206767 9644 4,66 443 41,98 9,48 542 15,99 2,95 20 4,42 22,10

Tabla II. Propiedades mecánicas en tracción del acero empleado en la experimentación API-5L en la dirección Longitudinal (L) y Circunferencial (C).

Figura 1. Geometría y dimensiones de las probetas de tracción

Metalografía

Para la metalografía se cortó una muestra de la placa en las tres direcciones, se montó en baquelita y se pulieron a espejo sus superficies siguiendo el procedimiento de preparación metalográfica. La Figura 2 muestra la microestructura del acero API-5L utilizado para el estudio. En la dirección longitudinal y transversal se observa una estructura bandeada de perlita fina en una matriz ferrítica; mientras que en la dirección del plano de laminación la microestructura muestra una distribución poco uniforme de perlita.

Figura 2. Microestructura del Acero API-5L tomada en las diferentes orientaciones de la placa. En la dirección corta (S) muestra una estructura bandeada de perlita fina y ferrita.

Análisis de Weibull

La distribución de Weibull se aplica tanto para fatiga como a la resistencia en tracción. Existen dos formas muy conocidas de esta distribución, denominadas como de dos y de tres parámetros. La distribución de Weibull para defectos volumétricos se expresa como sigue:

F=1−exp (−1V o

∫v

❑ [ σ−σ µσo ]m

dV ) …………………………1

En la expresión anterior, σ representa el esfuerzo último, σμ el esfuerzo umbral debajo del cual no ocurre la falla, σ0 la resistencia característica definida como el esfuerzo en el cual la probabilidad de falla, F, es 63,2% y V0 el volumen en el cual σμ y σ0 son determinados. Los parámetros m, s0 y sm son de forma, escala y posición o umbral, respectivamente.

La ecuación (1) implica que la resistencia a la tracción se incrementa cuando el volumen disminuye. Si la probabilidad de falla de dos muestras de tensión uniaxial con diferente volumen, V1 y V2, se obtiene la siguiente relación:

(V 1

V 2)

1m=( σ f 2−σ µ

σ f 1−σ µ)……………………2

Aquí, σf1 y σf2 son la resistencia a la tracción a una probabilidad dada. Esta ecuación implica que el material con bajo módulo de Weibull que exhiba resistencia a la falla es particularmente sensible a un cambio de volumen.

La distribución de Weibull de tres parámetros es adecuada cuando un valor extremo no puede tomar valores menores a σµ. Cuando σµ = 0 en la ecuación (1) se obtiene la forma de dos parámetros en la función de distribución de Weibull.

La función de distribución en este caso puede entonces reescribirse como sigue:

F=1−exp (−1V o

∫v

❑

[ σσ o ]m

dV ) …………………3

En el contexto de este estudio, F, representa la probabilidad que la resistencia a la tracción sea igual o menor que σ.

Los parámetros σ0 y m de la función de distribución F son estimados a partir de los resultados de la prueba de tracción en as observaciones y se necesita construir la gráfica de Weibull para obtenerlos, para eso los datos se clasifican del menor al más alto valor. Posteriormente, a cada valor se asigna aproximadamente una probabilidad de acuerdo a su clasificación, como sigue:

F=(i−0,3 )(n+0,4 )

……………………………5

En esta expresión, i representa el valor individual de la muestra y n el número total de muestras.

Los métodos para determinar los parámetros de Weibull son:

a) Regresión lineal

b) Máxima probabilidad o verosimilitud

c) Momentos.

El método de regresión lineal es el más sencillo, pues se puede ajustar la línea de predicción utilizando algún software comercial. En este trabajo se utilizó ese método.

Método de la regresión lineal

Para aplicar la regresión lineal a los datos, previamente se aplicó doblemente la función de logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación 3 con el propósito de aproximar los datos al gráfico de una línea. Una vez aproximados, se aplicó el modelo de regresión lineal,

en la forma de y=mx+b, de lo cual se obtiene:

ln [ ln( 11−F )]=m ln (σ )−m ln (σo)………………………………..6

De este modelo y con base en el método de mínimos cuadrados a los pares de valores(x,y) = ln[ln(1/1-F)] para el modelo de la ecuación 6, se obtienen los parámetros para m y σo.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Tracción Uniaxial

Los resultados muestran diferencias entre los esfuerzos de fluencia y resistencia última en las direcciones L y C de las probetas estándar. Se encontró que el promedio del esfuerzo de fluencia en la orientación C fue 8,4% mayor que en la orientación L y la resistencia última en la orientación C fue 3,26% mayor que en la orientación L. Comparando los valores del límite elástico entre probetas miniatura con probetas estándar en la orientación L, las probetas miniatura fueron 12% más altos que en las estándar. Respecto a la orientación C, no hubo diferencias significativas entre los dos tamaños de probeta. Es interesante observar que las diferencias entre los valores de esfuerzo de fluencia y resistencia última para las direcciones L y C, son mayores entre las probetas miniatura que entre las estándar.

Al comparar el efecto de tamaño en las propiedades de tracción uniaxial se observa que las probetas miniatura tienden a presentar valores más altos que en las probetas estándar. Probablemente, la probeta miniatura tiene menor volumen y menos defectos cristalinos que hacen que se “sature“ de dislocaciones. Por consiguiente, al disminuir la distancia promedio entre las dislocaciones se incrementa la interacción entre ellas y al tener menos defectos se reduce la movilidad de las dislocaciones. Lo anterior se refleja en un mayor endurecimiento por deformación y, por lo tanto, mayor resistencia.

En la orientación longitudinal, la probeta de menor tamaño tiene una resistencia mecánica del 10 al 13% mayor que la estándar. Cabe destacar que la comparación de los resultados obtenidos aquí con los de un estudio similar realizado en acero 1020, muestran concordancia, en el sentido que las propiedades mecánicas se incrementan en los especímenes más pequeños con respecto a los especímenes más grandes.

En general, las probetas miniatura presentaron mayor dispersión en los valores de las propiedades evaluadas, como se refleja en los altos coeficientes de variación. Esta dispersión se explica por el efecto combinado de la orientación de la microestructura y el tamaño relativo de inclusión, definido como la razón del tamaño promedio de inclusión con

respecto al radio total de la probeta.

En resumen, la variación de las propiedades mecánicas en las distintas orientaciones se atribuye al efecto de la anisotropía direccional, debido a la orientación relativa de la perlita bandeada y las inclusiones con respecto a la dirección de la deformación principal y el plano de fractura. Probablemente en las probetas miniatura la anisotropía direccional es más significativa por el menor tamaño de la sección transversal.

Análisis de Weibull

Los resultados de los ensayos de tracción fueron analizados utilizando dos parámetros para ajustar la distribución de Weibull. El ajuste de dos parámetros describe los datos de resistencia de una manera más simple y permite directamente comparar los materiales metálicos porque supone que σμ = 0 (no se tiene un esfuerzo de falla mínimo).

En las figuras 3-6 se muestran las gráficas de probabilidad de las probetas ensayadas. En la figura 3 se comparan las probetas estándar. Por ejemplo, al considerar el 90 % de probabilidad, se observa que la resistencia a la tracción es mayor en la orientación circunferencial que la longitudinal, y el intervalo de confianza en la orientación longitudinal es más amplio que la orientación circunferencial. De la misma manera, en las figuras 4 y 5 se tiene mayor probabilidad de que las probetas miniatura tengan mayor resistencia que las probetas estándar, aunque los intervalos de confianza son más amplios en las miniatura que las probetas estándar.

Por último, la comparación entre las probetas miniatura, la orientación longitudinal probablemente sea menos resistente que la circunferencial, a pesar que se observa mayor intervalo de confianza en ésta última. En la Tabla III se resumen los parámetros m, σ o, media y desviación estándar de la distribución de Weibull. La Tabla muestra que las probetas miniaturas tienen en promedio una resistencia a la tracción de 2,64% más altas que las probetas estándar, de la misma manera, el coeficiente de variación es de 2,51% para las probetas miniaturas y de 0,67% para las probetas estándar

El efecto de tamaño y, por tanto, la presencia de defectos distribuidos en el volumen, se observa al comparar dos probetas de diferente tamaño en la misma orientación. La relación de volumen entre la probeta estándar y miniatura es en promedio de 72 veces. La reducción de la resistencia en las probetas estándar se puede estimar al utilizar la ecuación 2 y utilizando las propiedades de la probeta miniatura. Por ejemplo, si se toma la probeta miniatura en la dirección longitudinal, sus parámetros de Weibull son m=90,61 y σ0= 536,32 MPa. Si se designa la resistencia característica de las probetas estándar como σ02, el volumen de la probeta miniatura como V1 y el tamaño estándar V2, se puede estimar de la ecuación 3 la forma de dos parámetros como:

σ 0,2µ=(V 1

V 2)

1m (σ 01)=511,59MPa

Por consiguiente, se espera un incremento en el volumen por un factor de 72 para producir una reducción en la resistencia de 24,72 MPa. Los resultados experimentales reportados en la tabla II, indican que la reducción en σ0 fue12 Mpa. El error involucrado en calcular los parámetros de Weibull con número de ensayos pequeños es claro. Sin embargo, corresponden a un valor que muestra la tendencia a la disminución en la resistencia en las probetas estándar, respecto de las probetas miniaturas. Por otro lado, la tabla III muestra también que el parámetro de forma es mayor que 2. Un valor de m<1 indica que el material tiene una rapidez decreciente de falla., un valor de m = 0 indica una rapidez de falla constante y un valor de m>1,0 indica una rapidez creciente de falla. El valor de σ0, calculado como el punto que intercepta el eje Y. Por consiguiente, m= 90,61 indica que el material tiende a fracturar con una probabilidad más alta por cualquier unidad de incremento de tensión aplicada.

Probeta m σ0 û ŝ % C.V.

Lstd 140.007764 523.147458 521.016881 4.74820913 0.91133499

Cstd 297.618924 538.601871 537.563277 2.31090695 0.42988557

Lmini 90.6154804 536.322179 532.969791 7.48386238 1.40418135

Cmini 34.7094053 549.721348 541.019245 19.590876 3.6211052

Tabla III. Parámetros de Weibull- 2 Parámetros

Figura 3. Gráfica de probabilidad donde se comparan la orientación en probetas estándar.

Figura 4. Gráfica de probabilidad donde se comparan el tamaño de las probetas en la orientación longitudinal.

Figura 5. Gráfica de probabilidad donde se comparan el tamaño de las probetas en la orientación circunferencial.

Figura 6. Gráfica de probabilidad donde se comparan la orientación en probetas miniatura.

CONCLUSIONES

En elementos mecánicos como tubos de pared delgada, donde el espesor es una dimensión sumamente pequeña comparada con la longitud y diámetro, es necesario utilizar probetas de dimensiones diferentes a las estandarizadas. Esto provoca diferencias en las propiedades mecánicas de acuerdo a la dirección de prueba, mostrando con ello condiciones de anisotropía.

El análisis de Weibull mostró concordancia con los resultados experimentales en el sentido que las probetas miniatura muestran la tendencia de tener los valores de resistencia a la tracción y coeficiente de variación más altos que las probetas estándar.

La determinación del efecto del tamaño se puede obtener estadísticamente, utilizando el modelo de distribución Weibull. No obstante el pequeño número de muestras utilizadas y el error respectivo asociado, este ejercicio permite ver las ventajas de análisis de ese tipo de efectos, mostrando en este caso la predicción de la resistencia a la tracción cuando se presenta un efecto de tamaño de probeta. Esta función puede ser extendida a otros parámetros representativos de la calidad del material, cuyo efecto incida en las propiedades mecánicas o en la funcionalidad de los elementos fabricados.

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