analisis sistem dinamik dimensi 2 untuk model host …digilib.unila.ac.id/55237/3/skripsi tanpa bab...
TRANSCRIPT
ANALISIS SISTEM DINAMIK DIMENSI 2 UNTUK MODELHOST-PARASITOID DENGAN KENDALA PARASITOID
TIDAK DAPAT MENEKAN INANG
(Skripsi)
Oleh
RIZCA MUTHIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2018
ABSTRACT
ANALYSIS OF DYNAMIC DIMENSION 2 FOR SYSTEMS HOST-PARASITOID MODELS WITH CONSTRAINTS WHEN PARASITOID
CANNOT PRESS THE HOST
By
RIZCA MUTHIA
The host-parasitoid model is a dynamic system that can be found in various casesof natural phenomena, such as pests and diseases in plants. Among these modelsthere are a number of parasitoid models with varied cases, for example the host-parasitoid model with parasitoid can suppress the host. In this essay discussed thesolution and dynamics of the host-parasitoid models which has a parasitoidconstraints that cannot suppress the host. Efforts to show the dynamics of themodel discussed are through analysis of fixed points and system stability.
Keywords: host-parasitoid model, parasitoid cannot suppress host, fixed point,stability.
ABSTRAK
ANALISIS SISTEM DINAMIK DIMENSI 2 UNTUK MODEL HOST-PARASITOID DENGAN KENDALA PARASITOID TIDAK DAPAT
MENEKAN INANG
Oleh
RIZCA MUTHIA
Model host-parasitoid merupakan sebuah sistem dinamik yang dapat ditemuidalam berbagai kasus pada fenomena alam, misalnya hama dan penyakit padatanaman. Diantara model tersebut terdapat sejumlah model host-parasitoid dengankasus yang bervariasi, misalnya model host-parasitoid dengan parasitoid dapatmenekan inang. Dalam skripsi ini dibahas solusi dan dinamika model host-parasitoid yang memiliki kendala parasitoid tidak dapat menekan inang. Upayamemperlihatkan dinamika model yang dibahas adalah melalui analisis titik tetapdan kestabilan sistem.
Kata kunci: model host-parasitoid, parasitoid tidak dapat menekan inang, titiktetap, kestabilan.
ANALISIS SISTEM DINAMIK DIMENSI 2 UNTUK MODELHOST-PARASITOID DENGAN KENDALA PARASITOID
TIDAK DAPAT MENEKAN INANG
Oleh
Rizca Muthia
SkripsiSebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar
SARJANA SAINS
PadaJurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2018
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Rizca Muthia, anak ketiga dari empat bersaudara yang
dilahirkan di Metro pada tanggal 19 Juli 1997 oleh pasangan Bapak Yuswan
Darizal dan Ibu Mashuda.
Penulis menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK PKK I Yosodadi
Metro Timur pada tahun 2003. Sekolah dasar di SD Negeri 04 Metro Timur pada
tahun 2009. Sekolah menengah pertama di SMP Negeri 04 Metro pada tahun
2012. Sekolah menengah atas di SMA Negeri 04 Metro pada tahun 2015.
Pada tahun 2015 penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
Jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswi, penulis ikut serta dalam organisasi
Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNILA sebagai anggota aktif
bidang kaderisasi dan kepemimpinan. Pada tahun 2018, sebagai bentuk aplikasi
bidang ilmu di dunia kerja, penulis telah melaksanakan Kerja Praktik (KP) selama
40 hari di kantor Badan Pengelola Pajak dan Retribusi Daerah Kota Bandar
Lampung. Dan pada tahun yang sama, sebagai bentuk pengabdian kepada
masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32
hari di Desa Wana, Kecamatan Melinting, Kabupaten Lampung Timur.
Kata Inspirasi
“The future belongs to those who prepare for it today”(Malcolm X)
“Fighter who lost it usually is a fighter who already think notdeserve to win”
(Napoleon Bonaparte)
“You don’t have to be great to start, but you have to start to begreat”
(Zig Ziglar)
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah Wasyukurillah.
Puji dan syukur tiada hentinya terpanjatkan kepada Allah S.W.T dimana tiada kata
yang lebih mampu mewakili setiap rasa bahagia yang ingin tercurahkan, penulis
persembahkan skripsi ini untuk kalian orang tersayang :
Kedua orangtuaku yang selalu memberi semangat dan pengorbanan yang tulus,
motivasi dan bimbingan serta selalu mendoakan untuk keberhasilan penulis.
Kakak-kakak, adikku dan keluarga besar yang selalu memberi semangat, motivasi,
menjadi pendengar selama penulis mencurahkan keluh kesah dan mendoakan
setiap waktu untuk keberhasilan penulis.
Dosen pembimbing dan pembahas yang sangat berjasa dan selalu memberikan
motivasi serta semangat kepada penulis.
Sahabat-sahabat tersayang, terimakasih atas kebersamaan, keceriaan, canda, tawa,
do’a dan semangat yang telah kalian berikan.
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil’alaamiin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin
serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Sistem
Dinamik Dimensi 2 Untuk Model Host-Parasitoid Dengan Kendala Parasitoid
Tidak Dapat Menekan Inang”. Shalawat serta salam tak lupa kepada Nabi
Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bimbingan,
bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini
penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc. selaku Dosen Pembimbing I, yang
senantiasa selalu membimbing dan memberikan arahan, ide, kritik dan saran
serta semangat kepada penulis selama proses pembuatan skripsi ini.
2. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Pembimbing Akademik dan Dosen
Pembimbing II, yang telah memberikan bimbingan dari awal hingga akhir
menjadi mahasiswa serta arahan, ide, semangat, kritik dan saran yang
membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembahas, terima kasih atas
kesediaannya untuk membahas, memberikan saran dan kritik yang
membangun dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Buyah dan ibu tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa,
dorongan, nasihat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak
tergantikan hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada
di depan.
8. Mahkota, jungan dan adikku yang selalu mendengarkan keluh kesah dan
selalu menyemangati penulis hingga terselesaikannya skripsi ini.
9. Sahabat-sahabat sejak SMA: Selvi, Laila, Bella, Deby, Rani, Nadia, Fitry,
Adel, Ajeng, yang selalu memberi semangat dan tempat penulis berkeluh
kesah.
10. Sahabat-sahabat seperjuangan: Purwanti, Salma, Anisa, Lelvi, Vina, Sela,
Agung Hidayat, Della, Aulia Putri, Aulia Rahman, Bagus, Adhe, Wilma,
Nurlitta Widoarti yang selalu menemani hari-hari penulis selama
menjalani masa perkuliahan.
11. Teman-teman KKN: Pipit, Dina, Mei, Kak Aldi dan Fajri terimakasih
untuk kebersamaan dan dukungan yang telah kalian berikan.
12. Teman-temanku Matematika 2015, terimakasih telah memberikan warna
dan keceriaan kepada penulis selama menjadi mahasiswi.
13. Abang dan yunda matematika yang tak bisa disebutkan satu persatu.
14. Almamater tercinta Universitas Lampung.
15. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Bandar Lampung, Desember 2018
Penulis,
Rizca Muthia
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .......................................................................... i
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................... 2
1.3 Manfaat Penelitian .................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Dinamik .................................................................... 4
2.2 Persamaan Diferensial .......................................................... 5
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 6
2.4 Kestabilan Sistem di Sekitar Titik Equilibrium ..................... 7
2.5 Model Umum Mangsa dan Pemangsa.................................... 8
2.6 Inang dan Parasit .................................................................. 9
2.7 Respon Fungsional Holling Tipe II Untuk Interaksi Inang
dan Parasit ............................................................................ 10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian.................................................. 14
3.2 Metode Penelitian ................................................................... 14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil ....................................................................................... 16
4.1.1 Model Inang-Parasitoid Kondisi Saat Parasitoid Tidak
Berhasil Menakan Inangnya...................................... 16
4.1.2 Titik Equilibrium ...................................................... 18
4.2 Pembahasan.................................................................................. 19
4.2.1 Analisa Titik Equilibrium ......................................... 19
4.2.2 Geometri Solusi Sistem ............................................ 24
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Solusi ( )h t dan ( )p t untuk t [0.7] ..................................... 24
2. Grafik Solusi Hubungan antara ( )h t dan ( )p t ............................... 25
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Model matematika merupakan cabang matematika yang mengkaji penerapan
matematika yang berkenaan dengan kehidupan sehari-hari. Model matematika
juga berperan dalam menyelesaikan masalah riil secara efektif dan efisien
misalnya penerapan dalam bidang biologi, pertanian dan entomologi. Contohnya
yaitu model matematika pada interaksi host dengan parasitoid.
Terdapat sejumlah sistem persamaan yang digunakan dalam pemodelan
matematika, misalnya persamaan diferensial. Ditinjau dari interaksi host dengan
parasitoid, model matematika yang dinyatakan dalam persamaan diferensial,
sistem persamaan diferensial dan sistem dinamik merupakan cara yang cocok
dalam menggambarkan interaksi antara host-parasitoid.
Parasitoid adalah serangga yang hidup dengan cara menumpang dan mengambil
sari-sari makanan dari host. Host adalah organisme yang menampung parasit
yang umumnya menyediakan makanan dan tempat berlindung. Host merupakan
sejenis serangga hama yang menyerang tanaman. Host menyebabkan kerugian
2
petani karena berkurangnya produktivitas pertanian, kerusakan tanaman dan
kerugian secara ekonomis.
Penggunaan bahan-bahan kimia seperti pestisida dan insektisida pada tanaman
pertanian selain menyebabkan kerusakan tanaman juga menyebabkan hama
menjadi kebal terhadap pestisida (resisten). Hal ini bisa menyebabkan dampak
kerusakan lingkungan dan ekonomi bagi petani. Untuk itu diperlukan cara untuk
mengendalikan populasi hama yang alami. Seperti yang kita ketahui, banyak
sekali tanaman yang diserang oleh host. Baik tanaman rumah kaca, jambu mete,
mangga, dll yang diserang oleh host. Kebanyakan dari petani atau pemilik
tanaman menggunakan parasitoid untuk mengurangi populasi host. Parasitoid
merupakan jenis serangga yang digunakan secara luas untuk mengendalikan host
yang menyerang tanaman. Parasitoid digunakan sebagai musuh alami atau
pengendali hayati bagi host. Oleh karena itu, peneliti disini akan meneliti laju
pertumbuhan antara host dan parasitoid dengan menggunakan sistem persamaan
diferensial. Sehingga dapat menganalisis laju pertumbuhan host-parasitoid
tersebut.
1.2 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan memberikan informasi tentang dinamika sistem host-
parasitoid dengan kendala parasitoid tidak dapat menekan inang.
3
1.3 Manfaat Penelitian
Penelitian ini selain dapat digunakan sebagai refrensi dalam membahas sistem
dinamik host-parasitoid dengan kendala parasitoid tidak dapat menekan inang,
juga memberikan teknik mengeksplorasi secara numerik dinamika model host-
parasitoid melalui kajian titik tetap dan kestabilan sistem.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Dinamik
Secara umum sistem dinamik adalah pemodelan sebuah masalah nyata secara
matematis dengan menggunakan persamaan diferensial yang di dalam
persamaannya mengandung parameter-parameter yang saling berhubungan.
Sistem dinamik dipengaruhi variabel-variabel yang saling berkaitan dan berubah
terhadap waktu (Perko, 2001).
Sistem dinamik dibedakan menjadi dua yaitu sistem dinamik autonomous dan
nonautonomous (Campbell dan Haberman, 2008). Sistem diamik autonomous
adalah sistem dinamik yang secara eksplisit tidak bergantung terhadap waktu.
Sistem dinamik autonomous dapat dinyatakan sebagai berikut :
= ( , ) (2.1) = ( , ) (2.2)
Dimana dan secara eksplisit merupakan fungsi yang bebas dari peubah t
(Giordino, Weir dan Fox, 2003). Sedangkan sistem nonautonomous adalah sistem
5
dinamik yang secara eksplisit bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik
nonautonomous dapat dinyatakan sebagai berikut :
= ( , , ) (2.3) = ( , , ) (2.4)
Dimana fungsi dan bergantung pada variabel bebas t (Perko, 2001).
2.2 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak
bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ini
adalah beberapa contoh persamaan diferensial :
1.2
22
6 0d y dy
x xdx dx var.bebas = x , var.tak bebas = y
2. sinxy e x var.bebas = x , var.tak bebas = y
3.2
23 10 4
d Q dQQ
dt dt var.bebas = t , var.tak bebas = Q
4.2 2
2 20
V V
x y
var.bebas = ,x y , var.tak bebas = V
Persamaan diferensial memainkan peranan penting dalam matematika, terutama
aplikasi dalam bidang rekayasa Hukum Newton tentang gerak misalnya,
dinyatakan secara matematis dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan
diferensial yang didasari pada banyaknya peubah diferensial yang terlibat, dapat
diklasifikasikan dalam dua kelompok yaitu persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial.
6
Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) adalah suatu
persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x)
adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y
dinamakan variabel tak bebas. Persamaan diferensial dalam contoh (1), (2) dan
(3) adalah contoh Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah suatu persamaan diferensial yang
mempunyai dua atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial dalam contoh (4)
adalah persamaan diferensial parsial (Waluya, 2006).
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai eigen dan vektor eigen sistem dinamik dapat digunakan untuk mempelajari
keadaan dinamik dari suatu sistem khususnya sistem linear. Misalkan adalah
matriks × , maka vektor yang tidak nol di ℝ disebut vektor eigen dari
jika adalah kelipatan skalar dari , yaitu := (2.5)
untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai eigen dari .
Persamaan = dapat dituliskan sebagai berikut := (2.6)− = 0 (2.7)( − ) = 0 (2.8)
7
Persamaan ( − ) = 0 memiliki pemecahan tak nol jika dan hanya jika( − ) = 0 tidak memiliki invers, akibatnya ( − ) = 0 (Anton,
1988).
2.4 Kestabilan Sistem di Sekitar Titik Equlibrium
Kestabilan suatu sistem linear dapat dilihat dari nilai eigen sistem tersebut. Pada
persamaan diferensial orde satu = ( ) dimana yaitu dengan solusi awal
( , ) pada waktu dan dengan kondisi awal (0) = , pernyataan berikut
bernilai benar :
1. Nilai dimana memenuhi ( ) = 0 maka nilai disebut sebagai titik
equilibrium.
2. Titik equilibrium dikatakan stabil jika untuk setiap > 0 dan > 0,sedemikian hingga jika ∥ − ∥ < maka∥ ( , ) − ∥ < untuk
setiap ≥ 0.3. Titik equilibrium dikatakan stabil asimtotis jika titik equilibrium tersebut
stabil dan selain itu untuk > 0 sedemikian hingga lim → ∥ ( , ) − ∥= 0 dengan ketentuan bahwa ∥ − ∥ <4. Titik equilibrium dikatakan tidak stabil jika terdapat radius > 0 dengan
ciri untuk sebarang > 0 terdapat posisi awal memenuhi ∥ − ∥ < ,
berakibat solusi ( ) memenuhi ∥ − ∥ ≥ untuk setiap ≥ 0 (Olsder,
2004).
8
2.5 Model Umum Mangsa dan Pemangsa
Dalam sebuah model yang membahas kehidupan dua spesies yang bertindak
sebagai mangsa dan pemangsa, kedua spesies saling mempengaruhi secara
signifikan. Asumsikan jika terdapat berlimpah spesies yang dimangsa, maka
pertumbuhan populasi pemangsa akan menjadi lebih cepat karena ketersediaan
makanan yang berlebih. Sebaliknya jika pertumbuhan spesies yang dimangsa
lambat maka spesies pemangsa akan banyak yang mati karena kekurangan
makanan. Salah satu model interaksi antara kedua spesies, yang dapat terjadi
pemangsa dan yang dimangsa adalah ketika tidak ada interaksi antar spesiesnya
tersebut. Pertumbuhan spesies yang dimangsa dinotasikan dengan ( )x t adalah :
dxax
dt (2.9)
Dimana 0a merupakan konstanta pertumbuhan. Dalam hal ini diasumsikan
bahwa persediaan makanan cukup tak terbatas untuk spesies yang dimangsa
sehingga pertumbuhannya tak terbatas yang berarti tak ada spesies yang mati.
Seperti dalam model pertumbuhan spesies yang dimangsa, dalam hal
pertumbuhan spesies pemangsa notasikan dengan y( )t , diberikan dengan:
dycy
dt (2.10)
Dimana c adalah konstanta penurunan. Alasan mengapa dalam hal ini terjadi
penurunan adalah karena pada dasarnya akan mati kelaparan karena tak ada
makanan. Sekarang kita mencoba model yang ada kaitannya antara spesies yang
dimangsa dan pemangsa. Dasarnya interaksi diperhitungkan dengan fakta bahwa
9
pemangsa akan memakan spesies yang dimangsa. Dengan demikian interaksinya
akan menghasilkan sistem sebagai berikut :
dxx xy
dt
(2.11)dy
cy xydt
Dimana 0 adalah konstanta interaksi. Parameter merupakan aksi
penurunan dalam populasi yang dimangsa sebagai akibat adanya spesies
pemangsa yang memakannya. Konsekuensinya akan terjadi pertumbuhan pada
spesies pemangsa dengan adanya ketersediaan makanan. Sistem di atas dikenal
sebagai sistem Lotka-Volterra (Waluya, 2006).
2.6 Inang dan Parasit
Secara umum, parasit dapat didefinisikan sebagai organisme yang hidup pada
organisme lain, yang disebut inang, dan mendapat keuntungan dari kehidupan
inang yang ditempatinya, sedangkan inang menderita kerugian. Parasitology
merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari tentang kehidupan parasit.
Kehidupan parasit memiliki keunikan karena adanya ketergantungan pada inang.
Mempelajari parasit memerlukan pengertian tentang konsep simbiosis atau hidup
bersama antara dua organisme. Ada beberapa jenis bentuk simbiosis, antara lain,
yaitu komensalisme dimana pada hubungan ini kedua organisme yang
bersimbiosis masing-masing memperoleh keuntungan dan tidak ada yang
dirugikan, sedangkan mutualisme adalah kedua organisme mendapatkan
10
keuntungan, dan jika salah satu diantaranya tidak tersedia maka tidak akan terjadi
kehidupan.
Parasitisma merupakan suatu bentuk hubungan antara dua organisme yang
berlainan jenis yang satu disebut inang sedangkan yang lainnya disebut parasit,
dimana parasit sangat bergantung pada hidup atas pengorbanan inangnya, baik
secara biokimia maupun secara fisiologi. Selanjutnya menambahkan bahwa sifat-
sifat esensial yang dimilki oleh bentuk hubungan tersebut adalah:
1. Adanya ketergantungan fisiologo parasit terhadap inangnya.
2. Inang yang terinfeksi berat akan mengalami kematian.
3. Distribusi frekuensi parasit pada populasi inang umumnya overdispers, yang
berarti bahwa varians (S2) dari populasi parasit jauh lebih besar dari rata-rata
(X) populasi parasit.
Di dalam hubungan parasitisme, organisme parasit memanfaatkan organisme
lainnya (inang) sebagai tempat hidup untuk melangsungkan sebagian besar siklus
hidupnya. Inang seringkali merupakan tempat tinggal sekaligus sebagai sumber
makanan bagi parasit. Dengan kata lain, parasit memiliki ketergantungan yang
sangat tinggi terhadap kondisi organisme lain yang dijadikan sebagai inangnya
(Arbi dan Vimono, 2010).
2.7 Respon Fungsional Holling Tipe II untuk Interaksi Inang dan Parasit
Sebelumnya akan ditunjukan terlebih dahulu model dasar mangsa pemangsa dari
dua interaksi populasi diberikan oleh persamaan Lotka-Volterra, yaitu :
11
*dhmh a hp
dt
(2.12)*dp
qp ra hpdt
Dalam sistem persamaan di atas p adalah populasi pemangsa (parasitoid) dan h
adalah populasi mangsa (host). Persamaandh
dtmenyatakan perubahan populasi
mangsa terhadap waktu dan persamaandp
dtmenyatakan perubahan populasi
pemangsa terhadap waktu. Konstanta *, , ,m a q r semua bernilai positif, dengan m
adalah angka pertumbuhan murni dari populasi mangsa, q adalah angka kematian
murni dari populasi pemangsa, *a adalah angka penangkapan mangsa oleh
pemangsa (angka kematian dari populasi mangsa), r adalah angka pertumbuhan
dari populasi pemangsa, sedangkan hp adalah lambang interaksi antara mangsa
(host) dan pemangsa (parasitoid).
Dalam kehidupan yang nyata saat ini, model persamaan Lotka Volterra di atas
sudah tidak relevan karena populasi mangsa tidak selamanya meningkat atau
populasi pemangsa tidak selamanya menurun dan dalam interaksi terdapat saling
respon antara mangsa dan pemangsa. Selanjutnya, akan diberikan pembentukan
respon fungsional Holling tipe II interaksi inang- parasitoid berdasarkan model
dasar interaksi mangsa- pemangsa persamaan Lotka Volterra. Representatif dari
populasi mangsa yang ditangkap pemangsa dari model Lotka Volterra adalah
*a h yang tidak bergantung waktu pemangsaan, kemudian*a h dinamakan aN .
Berdasarkan asumsi yaitu terjadi respon antara mangsa dan pemangsa, mangsa
12
merespon pemangsa sehingga pemangsa memerlukan waktu untuk menangkap
mangsa.
Selanjutnya aN dimodifikasi menjadi representatif baru ( bN ) yang bergantung
waktu mencari mangsa, angka penangkapan mangsa, dan populasi mangsa yang
tersedia. Hal ini menyatakan bahwa populasi mangsa yang ditangkap per
pemangsa akan berbanding lurus dengan angka penangkapan mangsa oleh
pemangsa ( *a ), populasi mangsa yang tersedia ( h ), dan waktu yang digunakan
untuk mencari mangsa ( sT ). Parameter ini tidak bergantung pada populasi
mangsa, sehingga diperoleh persamaan :
*b sN a hT (2.13)
Dengan bN populasi mangsa yang ditangkap pemangsa per satuan waktu. Selain
itu, seluruh waktu yang tersedia bagi pemangsa untuk mencari dan menangani
mangsa dilambangkan dengan T , sedangkan waktu yang digunakan untuk
mencari mangsa dilambangkan dengan sT dan waktu yang digunakan untuk
menangani mangsa (mengejar, menangkap, mengolah, memakan, mengolah dan
mencerna) dilambangkan dengan hT . Parameter hT ini bergantung dengan
populasi mangsa yang ditangkap pemangsa yang dinamakan aN sehingga
diperoleh persamaan:
*as hT T T N (2.14)
Dari persamaan (4.2) dan (4.3) diperoleh hubungan sebagai berikut :
13
*
* *
* *
* *
*
*
*
( )
(1 )
(1 )
(1 )
b h a
b h a
b h a
ab h
b
ba
hb
b
N a h T T N
N a hT a hT N
N a hT N a hT
NN a hT a hT
N
a hTN
Na T h
N
N a h
T bh
Dengan *ah
b
Na T b
N dan bN
Tadalah laju pemangsaan predator atau populasi
mangsa yang ditangkap pemangsa per satuan waktu bergantung mangsa.
Selanjutnya persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk :
*
( )1
a hf h
bh
(2.15)
Dengan b menyatakan waktu untuk menangani satu inang, ( )f h menyatakan
banyaknya inang yang diserang parasitoid per satuan waktu atau banyaknya inang
yang diparasit, *a menyatakan angka penyerangan inang oleh parasit. Persamaan
(2.15) merupakan respon fungsional Holling tipe II untuk interaksi inang dan
parasit (Anggreini, 2016).
15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2018/2019 melalui
pendekatan studi pustaka. Penelitian dilaksanakan di Jurusan Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Untuk merealisasikan ketercapaian tujuan penelitian, sejumlah refrensi yang
berkaitan dengan topik yang dibahas, diobservasi dan dikaji. Selain itu untuk
memudahkan penyelesaian aritmatika yang dijumpai selama penelitian
berlangsung digunakan perangkat lunak mathematica.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian adalah sebagai berikut:
1. Melalui buku dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini, dipelajari
dan dipahami model karakteristik interaksi inang dan parasit.
2. Mengkaji proses pemodelan matematika host-parasitoid, khususnya untuk
kasus parasitoid tidak dapat menekan inang.
15
3. Mengupayakan diperolehnya solusi model tersebut untuk kemudian dilakukan
analisa model.
4. Melakukan interpretasi model matematika yang dibahas dalam penelitian ini.
62
V. KESIMPULAN
Dari bagian hasil dan pembahasan disimpulkan bahwa model interaksi host-
parasitoid pada sistem yang dibahas dengan asumsi bahwa laju pertumbuhan
maksimum host lebih besar dari laju pertumbuhan parasitoid diperoleh jumlah
populasi host dan parasitoid masing-masing adalah0( ) r th t h e dan
0 0( t ) ( )r t r trp p e h t e
a
. Selain itu jika ( )h t naik secara terus-menerus,
maka ( )p t akan turun mencapai kepunahannya.
DAFTAR PUSTAKA
Anggreini, D. 2016. Local Stability Analysis of a Mathematical Model of theinteraction of Two Populations of Differential Equations (Host-Parasitoid).5(1): 9-14.
Anton, H. 1988. Aljabar Linear Elementer. Erlangga, Jakarta.
Arbi dan Vimono. 2010. Hubungan Parasitisma Siput Thycacrystallina danBintang Laut Biru Linckia Laevigata di Perairan Ternate Maluku Utara.Jurnal Oseanologi dan Limnologi di Indonesia. 36(2): 227-242.
Campbell, S. L & Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equationswith Dynamical System. Princeton University Press, New Jersey.
Giordano, F.R, M. D. Weir & W. P. Fox. 2003. A First Course in MathematicalModeling. Brooks/Cole, USA.
Olsder, G.J & Woude.J.W. 2004. Mathematical System Theory. VVSD,Netherland.
Perko, L. 2001. Differential Equations and Dynamical System. Springer-Verlag,New York.
Waluya, Budi. 2006. Persamaan Diferensial. Graha Ilmu, Yogyakarta.