analisis matematico de la logica- george boole

7/30/2019 Analisis Matematico de La Logica- George Boole

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G E O R G E B O O L E

ANALISIS MATEMATICODE LA LÓGICA

E N S A Y O D E U N C Á L C U L O D E L R A Z O N A M I E N T O

D E D U C T I V O

Έ πικο ινω νοΰ σι δέ πά σαι αί έιασ τήμ αιάλληλα ι ς κα τά τά κοινά. Κ οινά δέ λέγω , οίςχρώ νται ώ ς έκ τούτω ν άποδεικνύντες άλλ' ουπερί ώ ν δεικνΰουσ ιν, ούδε ο δεικνΰουσι

Α ιακ τοτίΕ ^ Α η α Ι . Ρο-ϊί.,.ΙΐΙ). I, οαρ. XI.

TRADUCCION Y NOTAS DE

A R M A N D O A S T I V E R A

0 58N S T I T U T O D E F I L O S O F Í ADE LA

FA C U LTA D D E H U MA N ID A D ES Y C IEN C IA S D : E LA ED U C A C IÓ N

U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E L A P L A T A

1 9 6 0



H O M E N A J E D E L A F A C U L T A D D E H U M A N I D A D E S YC IEN C IA S D E LA ED U C A C IÓ N A L SESQ U IC EN TEN A R IO D E LA

R EV O LU C IÓ N D E MA Y O .

Queda hecho el depósi toque previene la ley 11.723

Impreso en la Argentina — Printed in Argentina



A D V E R T E N C I A

Las notas que complementan esta vers ión no agotan loscomentarios posibles de esta obra, breve pero densa, que refle-

ja cabalmente el p en sa m ien to lógico de su au tor. E n nue stro

libro La lógica matemática, su m étodo y sus aplicaciones in tenta-

mos completar la labo r iniciada aquí , estudiand o preferentem ente

las proyecciones de la o bra de Boo le en la m ate m átic a, la física y

la biología contemporáneas.

Las notas del autor se consignan al pie de página, señaladas

con asteriscos; las n ues tras l leva n núm eros correlativos.La traducción ha sido realiza da direc tam en te de la edición de

B. Blackwell de 1948, que reproduce el texto original de 1847.

E L T R A D U C T O R .



P R E F A C I O

Al dar esta obra a la publicidad, considero necesario señalarque especulaciones similares a las expuestas aquí han ocupadomis pensamientos en dist intas épocas. En la pr imavera de este

año, impulsado por el interés que produjo la controversia entreSir W. Hamilton y el profesor De Morgan (*), me decidí a reasu-mir el hilo —casi olvidado— de antiguas investigaciones. Me pa-reció que aunque la Lógica puede ser considerada con referencia ala idea de cantidad (*) implica, además, un sistema de relacionesmás profundas. Si bien es l ícito examinarla desde afuera comovinculada, a través del número, con las intuiciones de espacio ytiempo, también lo es el considerarla desde adentro como basada

en hechos de otra naturaleza que t ienen su fundamento en la cons-ti tución de la mente (2) . Los resultados de este punto de vistay de las investigaciones que ha sugerido han sido incluidos en esteEnsayo.

En general, a los autores Ies está vedado prescribir la maneraen que sus obras debieran ser juzgadas; por mi parte, me aventuroa exigir dos condiciones a aquellos que emprendan la tarea de esti-mar los méri tos de esta obra. La pr imera es el abandono de toda

noción preconcebida acerca de la imposibilidad de esta investiga-ción que pudiera interferir el espíri tu sincero e imparcial querequiere la búsqueda de la verdad. La segunda es que su juiciosobre la totalidad del sistema tío se funde en el examen de una solaparte de la obra, ni esté condicionado a su conformidad con algúnsistema ya aceptado, considerado como modelo de referencia, ya partir del cual se le niegue interés.

(*) V. pág. 89



10 G E O R G E B O O L E

Las pretensiones del método a constituirse en un cálculo delrazonamiento deduct ivo se fundamentan en los teoremas genera lesform ula do s y des arro llado s en los últ imos capítulos de este l ibro,cuyos resul tados consideramos originales.

En lo que a mí respecta, no deseo ni me cabe el derecho deanticipar un juicio acerca del valor del sistema. La significaciónde una teoría no está determinada solamente por su verdad sino,además, por la importancia de su tema y por la extensión de susapl icaciones. Y, por encima de todo esto, algo depende tambiénde la arbi t rar iedad de la opinión públ ica.

Si la ut i l idad de la apl icación de formas matemáticas a laciencia Lógica fuera una mera cuestión de notación, me conside-rar ía sat isfecho basando la defensa de este Ensayo en un pr in-cipio establecido por un competente autor contemporáneo: "Siem-pre que la naturaleza del asunto permita, s in r iesgo, conducir elrazonamiento mecánicamente, el lenguaje debe ser tan mecánicocomo sea posible; en caso contrario, debe hacerse de manera queno pu eda prestarse sino m uy dif íci lme nte a un empleo pura-

m en te m ec án ico " (*). L a ciencia de la Lógica difiere de to daslas otras en un aspecto; la perfección de su método es par t icular-mente est imable como una evidencia de la verdad especulat ivade sus pr incipios.

El reemplazo del razonamiento vulgar , o la sumisión de ésteal rigor de las formas técnicas, sería la últ ima aspiración de quienconoce el valor de esa labor intelectual y esa lucha que imprimena la mente un vigor atlético, y la enseñan a bregar con las dificul-

tades y a confiar en sí misma en cualquier contingencia.

Lincoln, octubre 29 de 1847.

(*) St . Mi l i : System of Log ic, Iialiocinative and Inductive, Vol. I I , p. 292.



I N T R O D U C C I O N

Quienes e stá n inform ado s del e stado actual de lateoría del Algebra Simbólica saben que la validez de

los procedimientos de análisis no depende de la inter-pretación de los símbolos util izados, sino exclusivamen-te de las leyes de su combinación ( 3). Todos los sistemasde interpretación que no afectan la verdad de las rela-ciones supuestas son igualmente admisibles y tanto esasí que el mismo método, según un esquema interpre-tativo, representa la solución de un problema sobre

propiedades de nú m eros, en u na segu nd a interpretación,resuelve un problema geométrico y, en una tercera, so-luciona una cuestión de dinámica o de óptica ( 4). Esteprincipio es, en realidad, de fundamental importanciay se puede afirmar con certeza que los recientes pro-gresos del Análisis puro han sido favorecidos en buenaparte por su influencia en la dirección de las investiga-

ciones (5

).No obstante, el reconocimiento cabal de las conse-

cuencias de esta importante doctrina ha sido retardado,en cierta medida, por circunstancias accidentales. Entodas las formas conocidas del Análisis ha ocurrido quelos elementos a determinar han sido considerados comomensurables por comparación con algún modelo pre-

fijado. La idea predominante ha sido la de magnitud




o, dicho más estrictamente, la de razón numérica. Laexpresión de la magnitud, o de las operaciones sobremagnitudes, ha sido la finalidad expresa para la cualfueron creados los símbolos del Análisis y la razón deque se investigaran sus leyes. De este modo, tanto lasabstracciones del Análisis moderno como los diagramasintuitivos de la Geometría clásica han favorecido elcriterio de que la Matemática es esencialmente, y tam-bién realmente, la ciencia de la magnitud.

La consideración de la perspectiva, ya establecida,que involucra el verdadero principio del Algebra de lossímbolos nos l leva a inferir, sin embargo, que esta con-clusión de ningún modo es necesaria. Si toda interpre-tación existente muestra que l leva implícita la idea demagnitud, sólo por inducción podemos asegurar queotra no sea posible. Y cabe dudar de que baste nuestraexperiencia para legitimar esa inducción. Se puede afir-mar que la historia del Análisis puro es demasiado re-cien te para perm itirnos fijar l ímite s a la extensión desus aplicaciones. A lo sumo, podríamos conceder a lainferencia un alto grado de probabilidad y afirmar, conrazón, la suficiencia de la definición a la cual nos haconducido el principio establecido. Y considerarla con

justicia como el carácter distintivo del verdadero cálculo,porque es un método que se apoya en el empleo de sím-bo los regid os por leye s com binatorias generales y cono-cidas, cu yo s resultados a dm iten un a interpretación nocontradictoria. El asignar una interpretación cuantita-tiva consistente a las formas existentes del Análisis esel resultado de circunstancias que determinaron a aque-



ANÁL ISIS M AT E M ÁT ICO DE L A L O G ICA 1 3

lias formas, pero esa interpretación no debe ser consi-derada un a con dición un ivers al de l Aná lisis (6).

Tomando como fundamento este principio general ,me propongo establecer el Cálculo de la Lógica para elque reclamo un lugar entre las formas conocidas delAnálisis Matemático, prescindiendo del hecho de que,en la actu alidad , sea único tan to por su objeto comopor sus instrumentos ( 7). Lo que hace posible la Lógicaes la existencia de nociones generales en nuestras men-tes: nuestra capacidad para concebir una clase y desig-nar sus miembros individuales por medio de un nombrecomún. La teoría de la Lógica y la teoría del lenguajeresultan, así , íntimamente relacionadas. Un intento afor-tunado de expresar las proposiciones lógicas por mediode símb olos — cu y as leye s combinatorias podrían ba-sarse en las leyes de los procesos mentales que repre-sentan— sería un paso en el camino hacia un lenguajefilosófico (8). Pe ro és te es un criterio que no es necesariodesarrollar aquí con detalle (*).

Supuesta la noción de clase, mediante un acto men-tal podemos separar de cualquier colección concebible

(* ) Es t e pun t o de v i s t a ha s i do muy b i en fo rmul ado por B l anco Whi t e

en una de sus Letters: " L a Ló gica es, en su m ay or par t e , un a colección dereglas t écnicas basadas en la c las i f icac ión. El s i logismo no es más que e l resul -tado de una c las i f icac ión de las cosas , que la mente cons t ruye natura l y nece-sa r i amen t e a l conf i gura r un l engua j e . Todos l os t é rmi nos abs t r ac t os son c l a -s i fi caciones; o , m ejo r aún , son los ró tulo s de las c lases es table c idas por l a me nte" .(Mémoirs of the Rev. Joseph Blanco White. Vol. I I , p. 163. V. tam bié n unal úc i da i n t roducc i ón en l a obra de l D r . La t ham First Outlines of Logic applied,(o Language y en la Germán Grammar de B ecke r , e t c . E l pun t o de v i s t a opues t opuede verse en Eternal and Inmutable Morality, B ook IV , C hap . I I I , de C ud-worth).



1 4 G E O R G E B O O L E

de objetos los que pertenecen a la clase dada y conside-

rarlos independientemente de los otros. Se puede con-cebir repetidamente éste u otro acto similar de elección.El grupo de los individuos puede ser l imitado más aúnescogiendo mentalmente entre el los los que pertenecena otra clase reconocida, en manera análoga a la consi-derada primeramente. Y este procedimiento puede serrepetido con otros elementos de diferenciación hastallegar a un individuo que posea todos los caracteresdistintivos que se han tenido en cuenta y sea, al mismotiempo, miembro de todas las clases enumeradas. Ensu esencia, este método es similar al que util izamos enel lenguaje corriente, toda vez que acumulamos epítetosdescriptivos con el objeto de llegar a una definiciónmás precisa.

Ahora bien, las diversas operaciones mentales —quehemos supuesto realizadas en el caso anterior— estánsujetas a leyes particulares. Es posible considerar entreaquéllas ciertas relaciones nunca desmentidas, tanto enlo que se refiere a la repetición de una operación dadao a la sucesión de diferentes operaciones, como a algunaen particular.

Por ejemplo, es cierto que el resultado de dos actossu ce siv os no es afectad o por el orden en que han sidoejecutados. Y existe, por lo menos, otro par de leyesque serán señaladas cuando corresponda. Para algunos,tal vez estas leyes resultarán demasiado obvias paraser incluidas entre las verdades necesarias, y poco im-portantes para ser destacadas. Y acaso sea en esteEnsayo donde por primera vez han sido mencionadas.




Sin embargo, puede afirmarse con seguridad que si fue-

ran distintas de lo que son, no solo habría que cambiaresencialmente todo el mecanismo del razonamiento sinolas leyes y la estructura misma del intelecto humano.Existiría una Lógica pero sería distinta de la que ahoraposeemos.

Éstas son las leyes elementales sobre cuya existenciay capacidad de expresión simbólica está fundado el mé-

todo de este Ensayo; y cabe presumir que el objetivoperseguido haya sido logrado plenamente. Toda pro-posición lógica, categórica o hipotética, deberá poderser formulada por medio de una expresión exacta y rigu-rosa, y no solamente podrán deducirse las leyes de laconversión y del silogismo sino que, además, se alcan-zará la solución de los más complejos sistemas de pro-

posiciones, la separación de todo elemento propuSfetoy la expresión de su valor en términos de los restantescon todas las relaciones subsidiarias involucradas. Cadaprocedimiento representará la deducción y toda conse-cuencia matemática expresará una inferencia lógica. Lageneralidad del método nos permitirá, asimismo, ex-presar las operaciones arbitrarias del intelecto y llegarasí a la demostración de los teoremas generales de laLógica, análogos y de no menor importancia que losteoremas de la Matemática ordinaria.

Una parte no desestimable del placer que se derivade aplicar el Análisis a la interpretación de la natura-leza exterior, surge de las concepciones que nos permiteformarnos acerca de la universalidad del alcance de la

ley. Las fórmulas generales a las que somos conducidos




parecen conferirle una presencia visible, y la multipli-

cidad de casos particulares a los cuales se aplica de-muestra la extensión de su validez. La simetría, incluso,de su exp res ión ana lítica refleja — y nada h ay en- ellode fantástico— su armonía y su consistencia (9). Claroestá que no pretendemos afirmar hasta qué punto esteEnsayo podrá ofrecer análogas perspectivas placenteras.La estimación de la extensión de tales posibilidades

las dejamos a aquellos que consideren que este tema esdigno de sus investigaciones. No obstante, me aventuroa asegurar que en este trabajo no les faltarán motivospara experimentar ese placer intelectual .

Las leyes que vamos a examinar son las de una delas más importantes facultades de nuestra mente; lasmatemáticas que construiremos son las del intelecto hu-

mano. La forma y el carácter del método, aparte delas consideraciones sobre su interpretación, tambiénserán objeto de estudio. Hay, además, en sus teoremasgenerales, ejem plos edifican tes especialmente val iosospor carecer de excepciones. Y esto se comprueba en losejemplos correspondientes de la Matemática conocida,en los c ua les ese carácter no resulta tan m anifiesto.Los pocos que creen que hay algo en el Análisis que lohace digno de estudio en sí mismo, comprobarán quevale la pena hacerlo bajo una forma según la cual todaslas ecuaciones pueden ser resueltas y sus soluciones in-terpretadas. Y aumentará el interés de este estudio elhe ch o d e qu e las pa rticularidades que se adviertan en laforma del Cálculo representan características correspon-dientes de la naturaleza de nuestro propio pensamiento.



ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA LÓGICA 17

Sería prematuro predecir el valor de este método

como instrumento de investigación científica. Me re-fiero aquí a la teoría del razonamiento y al principio deuna verdadera clasificación de las formas y de los casosde la Lóg ica con sidera da com o ciencia (*). E n u na pri-mera instancia, la finalidad de estas investigaciones es-tuvo limitada a la expresión de la Lógica corriente yde las formas de la sistematización aristotélica, pero

bien pronto resultó obvio que, de este modo, se intro-ducían restricciones puramente arbitrarias que no esta-ban fundadas en la naturaleza de las cosas. E^sta obser-vación fue hecha cuando se nos presentó la cuestióny será discutida en el lugar que corresponda.

Cuando haya que considerar el problema de las pro-posiciones hipotéticas (tema relativamente poco estu-

diado y, más aún, cuando se requiera una interpreta-ción de los teoremas generales del Cálculo habrá quedesestimar, por fuerza, los conceptos antiguos y el cri-terio de autoridad, para considerar el método en sí mis-mo y en los justos l ímites de su aplicación. Hasta ahora,sin embargo, no se ha ensayado nada en particular paraalcanzar resultados nuevos. No obstante, con respecto

a esos resultados que en la época de su descubrimientose presentaron como novedades, conviene observar losiguiente.

D e acuerdo al m éto do que propugnam os en este

(* ) " E s t r i c t a m e n t e u n a ci e n c i a " , t a m b i é n " u n a r t e " ( Elem enta of Logic,d e W h a t e l y ) . E n r e a l i d a d , n o d e b e r í a m o s c o n s i d e r a r t o d o a r t e c o m o ci e nc i aa p l i c a d a , a m e n o s q u e a c e p t e m o s , c o m o " l a m a y o r í a " , q u e e l a r t e e s " c o n -

j e t u r a y d e s i g n i o " — c o m o a f i r m a b a P l a t ó n e n e l Philebus—'



18 O E O B . G E B O O L E

Ensayo, toda proposición lógica puede ser expresada

por una ecuación cuya forma determina las reglas deconversión y transformación que rigen la proposicióndada. Así , la ley que los lógicos l laman de conversións imple es tá determinada por e l hecho que las ecuacionescorrespondientes son s imétricas , es decir que no sonafectadas por un cambio mutuo de lugar de aquel lossímbolos que corresponden a las clases convertibles ( l0) .

Así fueron determinadas las leyes de conversión acep-tadas y, luego, las de otro s istema concebido en formamás elemental y más general . (V. el capítulo De la con-versión de las proposiciones).

Expresando las premisas de un s i logismo por mediode ec uac iones, la el im inació n de. un s ímb olo común deéstas conduce a una tercera ecuación que expresa la

conclusión, que es siempre la más general posible (seao no aristotélica). Entre los casos en los cuales no eraposible inferencia alguna, resultaron dos formas dis-t intas de la ecuación f inal . Transcurrió bastante t iempohasta que se descubrió la explicación de este hecho yse vio que dependía de la presencia o ausencia de unverdadero medio de comparación entre las premisas .

Esta dist inción, que es considerada un hallazgo, es i lus-trada en e l capítulo Sobre los silogismos.

E l ca rácter no exc lusivo de la conclusión disyun tivade un s i logismo hipotét ico se destaca netamente en losejemplos de es ta c lase de argumentos .

Consideramos que el planteo de los problemas lógicosi lustrados en el capítulo Sobre la solución de las ecuacio-

nes electivas es original y nos parece que el método allí




expuesto proporciona los medios para un análisis com-

pleto de cualquier sistema de proposiciones concebible.Un primer paso hacia esa finalidad ha sido dado alenunciar las reglas para la conversión de una propo-sición categórica simple.

Sin embargo, en lo que respecta a la originalidadde cualquiera de estos puntos de vista, tengo la convic-ción de que mis conocimientos de la l iteratura de la

ciencia lógica son escasos, especialmente en lo que serefiere a la Lógica clásica, para sentirme completamenteseguro.

Antes de poner punto final a estas consideraciones,me parece conveniente hacer alguna referencia a lacuestión general del empleo del lenguaje simbólico enla Matemática. Desde antiguo, se han formulado fuertes

objeciones a esta práctica, basadas en que tiende adebilitar las facultades racionales porque elimina la ne-cesidad de pensar y sustituye el esfuerzo personal poruna referencia a fórmulas generales ( n ) .

En la actualidad, el problema del uso de los sím-bolos puede ser examinado desde dos puntos de vistadistintos. En primer lugar, hay que considerarlo en re-

lación con el progreso de los descubrimientos científicosy, en segundo término, como el instrumento de una dis-ciplina del intelecto. Con respecto al primer punto devista, puede observarse que como es el fruto de unalabor cumplida —desde que podemos emplearlo en lasmás arduas tareas— resulta también un corolario nece-sario del estado avanzado de la ciencia, que nos per-mite, más aun nos incita, a buscar la solución a pro-




blemas más elevados que los examinados al principio.

L a inferencia p rác tica es inm ediata; si a través del poderevolutivo de los métodos científicos, descubrimos quela labor emprendida no nos ofrece ya un campo lo sufi-cientemente amplio para la actividad intelectual , la con-ducta más adecuada será proceder a profundizar lasinvestigaciones, buscando en nuevas rutas las solucionesa las dificultades no superadas. Y ésta es, en realidad,

la verdadera ley del progreso científico. Estamos obli-gados a emplear los instrumentos del lenguaje simbólicocaracterístico del grado de progreso que hemos alcan-zado, o de lo contrario habrá que abandonar la espe-ranza de alcanzar futuras conquistas. Y no hay quearredrarse ante la perspectiva de tener que iniciar unomismo nuevos caminos. Aun no estamos tan cerca delos l ímites del conocimiento posible como para temerque pudieran faltarnos objetivos para ejercitar nuestrasfacul tades invent ivas .

Al discutir el segundo y no menos trascendentalproblema de la influencia del uso de los símbolos sobrela disciplina del intelecto, hay que hacer una distinciónfundamental . Puede entrañar consecuencias materialesimportantes el que esos símbolos sean usados con unacomprensión completa de su significado, un perfectoconocimiento de lo que legitima su empleo y con ha-bilidad para extender las formas abreviadas de razo-namiento a las que aquéllos inducen en su desarrollosilogístico total; o que, por el contrario, sean considera-dos simples caracteres que nada sugieren y cuyo uso sebasa en un criterio de autoridad.




La respuesta a esta cuestión será diferente según se

acepte uno u otro de los supuestos mencionados. Enel primer caso, se posee una disciplina intelectual deelevado rango que ejercita no sólo la razón sino, además,la facultad de generalización. En el segundo, no existedisciplina mental alguna. Quizás existiera, por una parte,la máxima seguridad contra el riesgo de una irrazonadaconfianza en los símbolos y, por la otra, cierta negli-

gencia ante su legítimo derecho a que cada tema deMatemática aplicada sea tratado dentro del espíritu delos métodos conocidos en la época en que se l levó acabo su aplicación, bajo la forma más perfecta quedichos mé tod os h ay an asum ido. E l nivel alcanzado porla mente ind ivid ua l implicaría, de este mo do, algunarelación con el orden real del descubrimiento científico

y los métodos más abstractos del Análisis superior se-rían ofrecidos solamente a las mentalidades más aptaspara recibirlos.

La relación establecida en este Ensayo entre la Ló-gica y la Matemática puede justificar, además, algunasconsideraciones sobre el problema, recientemente exhu-mado, del valor respectivo del estudio de estas dos dis-

ciplinas en una educación liberal. Una de las principalesobjeciones que se han formulado contra el estudio dela Matemática en general , no es sino una nueva formade lo que ya se había observado con respecto al uso delos símbolos en particular. Y no es necesario que meextienda más, en este lugar, sobre esta cuestión puesbasta observar que, aunque este punto de vista fuera

de algún provecho, también se opone con igual fuerza




al estudio de la Lógica (12) . Las formas canónicas del

s i logismo aristotél ico son realmente s imbólicas; sólo quesus s ímbolos son de una clase menos perfecta que losde la Matemática. Si son empleados para probar lavalidez de un argumento, reemplazan el ejercicio de larazón con tanta exactitud como lo hace una referenciaa una fórmula del Anális is , Se puede poner en dudaque los hombres hagan uso de los cánones aristotél icos

excepto para i lustrar especialmente las reglas de la Ló-gica; s in embargo, es incuest ionable que cuando la auto-ridad de Aristóteles imperaba en las escuelas europeas,estas aplicaciones se realizaban corrientemente. Y, paraque nuestro argumento sea aceptado, sólo se requiereque se admita que el caso es posible.

Pero este problema ha s ido discutido en planos más

elevados por Wil l iam Hamilton, quien cons idera quela Lógica es una rama de la Filosofía; ésta es, a su vez,"la ciencia de la existencia real" que '' investiga las cau-sas" teniendo como f inal idad básica la investigación del"porqué (to Síou)" en ta nt o q ue la Ma tem ática des-pl iega e l "qué (to Ó T Í ) ' \ En consecuencia, l lega a afir-mar no sólo la superioridad del estudio de la Lógicas ino, más aún, sost iene que es tudiar Matemáticas es ,a la vez, pel igroso e inúti l (*) . Las invest igaciones delmatemático "no desarrollan en él ese agudo olfato, esedel icado —casi inst int ivo— t ino que exige e l es tudioy la discriminación de los f inís imos actos que se cumplenen la penumbra de la probabilidad. Por el contrario,los matemáticos acaban por endurecer su tacto, cegar

(*) V. Edinburgh Review, Vol. LXII, p . 409, y Letter lo A. De Morgan, E s q .




su visión a toda luz, excepción hecha de las más bri-llantes, para captar sólo la férrea cadena de la demos-tración. Pero, fuera de los estrechos límites de su cien-cia , se ven somet idos a una pas iva credibilidad en cual-quier premisa o a un a a bs olu ta incredulidad por todo" (13).

En ap oy o de ést e y de otros ataqu es se hanaducido numerosos argumentos y autoridades (*) .

No intentaré una discusión detal lada de los tópicossugeridos por estas observaciones; mi propósito no esla controversia. Es por eso que no he formulado lasconsideraciones s iguientes con un espíritu de antago-nismo, sino c on la esp era nz a de contribuir a la form a-ción de un criterio justo acerca de tan importante cues-t ión. N o se p ue de hab lar de Sir W . H am ilton s ino conel respeto debido a su talento y erudición (14).

Según se ha visto, la Filosofía es definida como laciencia de la existencia real y de la investigación de lascausas. Y, como no cabe duda acerca del s ignif icado dela palabra causa, se dice más adelante que la Filosofía" inves t iga fundamenta lmente e l porqué". Estas defini-ciones son corrientes entre los autores antiguos. AsíSéneca, una de las autoridades que cita Hamilton, diceen la Epístola LXXXVIII: "E l filósofo bu sca y conocelas causas de las cosas naturales , cuyos números y me-didas son descubiertos y computados por los matemá-

(* ) En gene ra l , l o s a rgument os son me j o res que l a s au t o r i dades . Muchosau t o r es c i t ados por su condenac i ón de l a Ma t emá t i ca (A r i s t ón , Séneca , J e rome ,A gus t í n , C orne l i us A gr i ppa , e t c ) . han apor t ado t e s t i moni os no menos exp l í -c i tos cont ra o t ras c iencias , ent re e l las l a Lógica . El t ra tado del escr i tor ú l t i -m a m e n t e n o m b r a d o De Vanitale Scientiarum segurament e ha s i do c i t ado porer ror (V. cap. CI I ) .




ticos." Cabe destacar, de paso, que cualquiera sea el

grado en que haya prevalecido la creencia en que la tareainmediata de la Filosofía es invest igar causas, en lamisma medida, toda ciencia cuya f inalidad es la inves-t igac ión de leyes ha s ido valorada l igeramente. Es asícómo la Epístola a la que acabamos de referirnos trae,por contraste con la Filosofía, una condenación de laMúsica, la Gramática, la Matemática y la Astronomía,aunque Sir Wil l iam Hamilton c i ta solamente la que seref iere a la Matemática (") .

Ah ora y a p od em os basarnos en la convicción, demuchas mentes esclarecidas y ref lexivas, de que la Filo-sofía no es posible si se la define con la extensión enun-ciada arriba. La tarea de la verdadera ciencia —con-cluyen— consiste en invest igar leyes y fenómenos. Lanaturaleza del Ser, el modo de actuar de la Causa, elporqué —afirman— están más al lá del a lcance de nues-tra intel igencia. Pero no hemos de aprovecharnos dela ventaja de esta posición; por otra parte, no puedeponerse en duda que, sea o no alcanzable el f in de laFilosofía, el ansia que nos impele a buscarlo es unacaracteríst ica innata de nuestra naturaleza superior.Permítasenos suponer que e l problema que ha frustradolos esfuerzos de todas las épocas no está fuera de nues-tras posibil idades y que la "ciencia de la existenciareal" y de "la invest igación de las causas", "este nú-cleo" gracias al cual la "filosofía es aún militante", notrasciende los l ímites del intelecto humano. A pesarde el lo, me s iento obligado a af irmar que, de acuerdo aesa manera de entender la Fi losof ía , la Lógica no forma




parte de ella. Y, siguiendo un principio de clasificaciónestricta, no hay que asociar más la Lógica y la Metafí-s ica s ino la Lógica y la Matemática ( 16).

Si después de lo dicho alguien abrigase alguna dudaal respecto, m e pe rm ito rem itirlo a la evidencia queserá ofrecida en este Ensayo, donde se verá que laLógica, como la Geometría, se basa en verdades axio-máticas (17 ) y que sus teoremas se construyen teniendoen cuenta esa doctrina general de los símbolos que cons-tituyen la base del Análisis hoy aceptado. En la Lógicaaristotélica, será llevado a considerar una colección defórmulas de la ciencia expresada por medio de otra,pero creemos que se trata de un esquema simbólico me-nos perfecto. M e s ien to incl inad o a impugnar la exac-titud absoluta de este paralelismo. No escapa a laconclusión q ue aq uí se a pu nt a com o válida, el que la

Lógica no solamente construye una ciencia s ino tambiéninvestiga el origen y la naturaleza de sus principios.Es ésta una característ ica que no posee la Matemáticaporque, según se afirma, "la investigación del origeny la naturaleza de sus principios está enteramente fuerade su dominio" (Review , p. 415). Pero, ¿sobre qué basese podrá mantener esta dist inción? ¿Qué definición del

término "ciencia" será lo bastante arbitraria como paraadmitir estas diferencias?

La aplicación de estas conclusiones a la cuestiónque nos atañe es clara y decisiva. La disciplina mentalproporcionada por el estudio de la Lógica como unaciencia exacta es, en esencia, la misma que se derivadel estudio del Análisis .




¿Se afirma, pues, que la Lógica o la Matemáticapueden reemplazar a una perfecta disciplina intelectual?El más cuidadoso y desprejuiciado examen de este pro-blema me lleva a dudar de que tal criterio pueda sos-tenerse. Creo que debe ser desechada la pretensión deexclusividad de cualquiera de ellas, pero también deberechazarse la idea de que pueda llenar esa función otraciencia que quiera arrogarse un carácter exclusivo se-mejante. Una importante observación, que ha sido apun-tada más de una vez, es que una cosa es l legar a premisascorrectas y otra la deducción de sus consecuencias ló-gicas, y que los problemas de la vida dependen más delas primeras que de las segundas. El estudio de lasciencias exactas puede enseñarnos éstas y proporcio-narnos una preparación general en cuanto a conoci-mientos y práctica para alcanzar aquéllas, pero para sucompleto y perfecto cumplimiento se requiere la unióndel pensamiento y la acción en el terreno de la Lógicapráctica, es decir en la arena de la vida humana.

Estoy convencido de que con el progreso de nuestroconocimiento de la verdadera ciencia se pondrá de ma-nifiesto una creciente armonía entre sus diversas ramas.Por eso, el criterio que lleva a desechar una de ellas,si es consistente, debe conducir al rechazo de las otras.Y, en realidad, muchas de las autoridades citadas quese pronunciaron contra la Matemática han sido másexplícitas aún en su condenación de la Lógica. SegúnChian Aristo, "la ciencia natural está por encima denosotros y la ciencia Lógica no nos concierne". Cuandoestas conclusiones se basan, como ocurre a menudo, en




una profunda convicción acerca de la importancia y

la preeminencia del estudio de la Moral, admitimos laspremisas pero nos vemos obligados a objetar la infe-rencia. Porque —como acertadamente lo dijera un autorclásico—• "es característico de las ciencias liberales quenos preparen para la virtud pero no que nos conduzcanhacia ella"; y la expresión de Melancthon "abcuntstudia in mores" ya ha pasado a ser un proverbio. Ade-

más, existe un campo común donde se encuentran todoslos sinceros buscadores de la verdad y allí intercambianlas palabras con las qu e Fla m ste ed celebraba a New to n:"Las obras de la Eterna Providencia serán mejor com-prendidas a través de nuestra labor conjunta".

(r) Boole se refiere a la polémica que sostuvieron el filósofo SirWilliam Hamilton (1788-1856) y el matemático y lógico AugustusDe Morgan (1806-1871), que se originó cuando aquél acusó a éstede haberle plagiado su idea de la cuantificación del predicado. Ajuicio de Hamil ton, no bastaba la implíci ta aceptación de que elpredicado de las proposiciones af i rmativas es par t icular y el delas negativas universal: los predicados deben cuantificarse explí-citamente. Ello equivale, en suma, a determinar s i es la totalidado una parte del predicado la que concuerda o difiere del sujeto.La cuant i f icación t rajo necesariamente la dupl icación del cuadroclásico de las proposiciones, desde que el predicado de cada unade éstas puede ser universal o par t icular :

1. Todas las X son todas las Y2. Ninguna X es ninguna Y3. Todas las X son algunas Y4 . Ninguna X es alguna Y

5. Algunas X son todas las Y




6. Algunas X no son ninguna Y

7. Algunas X son algunas Y8. Algunas X no son algunas Y.

l ias proposiciones 1-2 son toto-totales; las 3-4 toto-parciales;las 5-6 parti-totales y las 7-8 parti-parcíales. En la tabla se sucedenlas proposiciones en un orden al ternadamente posi t ivo-negat ivo.El arzobispo Thomson redujo estas formas a 6 (V. W. S. Jevons:Lógica, Madrid, Pegaso, 1941, p. 174) y G. Bentham a 5 (V. F.B a r o n e : Alie origini delta lógica fórmale moderna, Filosofía, Torino,

Anno X, Fascicolo III , Lugl io 1959, p. 433) .La polémica empezó a raíz de la publicación del artículo de

D e M or ga n On the Structure of the Syllogism. . e n 1857. En unapén dice a dicho ar t ículo, su a uto r se refer ía m uy correctamentea los estudios de Hamilton sobre la cuantificación del predicadoy a sus propias contribuciones al tema. La ponderación de juiciode De Morgan no impidió la exasperada violencia de Hamil ton,que lo acusó repetidamente de plagiario y de ignorar los rudi-

mentos más elementales de la Lógica. A propósito de esta cuestiónde la pr ior idad, var ios t ratadistas (E. W. Beth, C. I . Lewis, L.Liard, S. Jevons) han observado que la doctr ina de la cuant i f i -cación fue expuesta por muchos autores, entre el los: AmmonioSaccas, G. de Shyreswood, J . Bentham, Leibniz, Lambert , Holland,Cas t i l lon, De.Morgan, G. P loucquet y W. Thompson (V. J . Fer ra-t e r M or a : Diccionario de Filosofía, Bs. As., Editorial Sudameri-ca na , 4a . E dic ión , 1958, p. 1093; C . I . Lewis-. A Survcyof Symbolic

Logic, Berkeley, University of California Press, 1918, p. 36, y F.Barone, op. cit . , pp. 433-434.) La disputa sobre la prioridad, quet iene un interés meramente histór ico, se prolongó durante variosaño s. Com o ocurrió en casos análogos (por ejemplo en la discu-sión sob re la p ate rn ida d del cálculo infinitesimal), la controver-sia en tre H am il ton y D e M organ cont inuó después de haberdesaparecido sus protagonis tas .

Liard sostuvo, con un entusiasmo excesivo, que la reforma

de la Lógica formal llevada a cabo por los lógicos ingleses del siglo




XIX tuvo su punto de partida en la teoría de la cuantificación delpredicado (V. L. Liard: Les logiciens anglais contemporains, París,F. Alean Editeur, 4iéme Edition, 1901, p. 38.) La opinión de Liardhabría sido heredada por Bochenski y por Lewis-Langford, a juiciode Barone (op. cit., p. 448). No obstante, Lewís (op. eit., p. 37)concluye que el único mérito de Hamilton fue haber puesto elacento en el punto de vista de la extensión, lo que favoreció eldesarrollo ulterior de la Lógica simbólica. En una obra posterior,escrita en colaboración con Langford (Symbolic Logic, New York& London, T h e C en tu ry Co ., 1932, p. 7), se lee que la idea "es

simple y de escasa importancia para la lógica exacta", como loprueba el que "ningún uso de ella se haya hecho en los estudiosactuales". L. Couturat declaró, en 1914, que la "demasiado fa-mosa cuantificación del predicado no tiene nada de común conla Logística" (Ap, Barone, op. cit . , p. 437). El mismo Barone sos-tiene la "irrelevanza dei contributi hamáltoniani per la constitu-zione del la nuova lógica fórmale aperta ai problemi matematici"(op. cit . , p. 437). Considerada desde el punto de vista déla Lógi-

ca Cuantificacional Su perio r, la teoría de la Cu antificacióu delpredicado resulta ingenua y superficial .

(2) La fundamentación de la Lógica en las " leyes del pensa-miento" fue ampliamente expuesta por Boole en un libro posteriortitulado An Investigation of the Laws of Thought on which are foun-ded the ma thematical theories of logic and probab ilities, publicado en1854 (V. la edición de Dover Puhlicaüons Inc., U.S.A.), en el que

se propuso "inv est iga r las leyes fu nd am en tal es de las operacionesmentales por medio de las cuales se cumple el razonamiento; ex-presarlas en el lenguaje simbólico de un cálculo y, sobre esa base,establecer la ciencia de la Lógica. Crear el método de esta disci-pl ica y fundamentar en él un método general para la apl icaciónde la teoría matemática de las probabi l idades; f inalmente, recogeren el desarrollo de estas investigaciones algunos indicios proba-bles acerca de la na tu ral ez a y con stitución de l pensam iento h u-

mano". (Op. cit., p. 2.)



25G E O R G E B O O L E

(3) Se puede definir la Aritmética como la teoría de los númerosnaturales y de las operaciones de adición y sustracción que los re-lacionan. El Algebra clásica es la teoría de las operaciones nece-sar ias para resolver una ecuación, o también, la teoría general delas ecuaciones. Así como el Algebra es una generalización de laAri tmética, el Algebra Abstracta lo es con respecto a aquél la, porser el resultado de un doble proceso de abstracción: a) generaliza-ción de la noción de nú m ero ( indep endientem ente, por supuesto,de las conocidas "extensiones" del campo natural) y b) genera-lización del concepto de operación. En las álgebras abstractas, en

lugar de números se consideran míes abstractos y en vez de opera-ciones leyes de composición. Los entes abstractos son objetos cua-lesquiera y las leyes de composición son procedimientos regularesque a dos elementos de un dominio permiten asociar un nuevoelemento. Las propiedades fundamenta les (conmutat iva , asocia-t iva, etc.) que deben cumplir estas leyes se l laman, axiomas, y,mediante e l los , se def ine una estructura algebraica.

Es posible, en consecuencia, definir un álgebra abstracta como

el estudio de ciertas leyes de composición, de sus propiedadesfundamentales (axiomas) y de sus consecuencias, con independen-cia de la naturaleza de los entes a los cuales estas leyes se refieren.Es obvia, pues, la importancia de la noción de ley de composición{interna y externa) y su carácter eminentemente pr imit ivo, en elsent ido formalis ta del término. El álgebra moderna se puede ca-rac teriz ar como u na teoría de e struc turas , lo que po sibili ta las ex-tensiones sucesivas del respectivo dominio. En dichas extensiones

la forma de los cálculos permanece constante variando, en cambio,la naturaleza de los entes, que constituyen las aplicaciones posiblesde la es t ructura abs t rac ta . Hay una despreocupación por los entesy una local ización del interés en las relaciones. Una de las ventajaslógicas de la teoría de las estructuras algebraicas reside en la iden-t idad estructural : dos conjuntos pueden difer i r en sus elementos,en las propiedades de las operaciones definidas entre ellos, perosi t ienen en común los axiomas (es decir , las propiedades funda-menta les) per tenecerán a l mismo t ipo de es t ructura .




En nuestro l ibro La lógica matemática, su método y sus aplica-ciones nos hemos refer ido a la inf luencia de los matemáticos ylógicos ingleses de l siglo X I X en la creación del álgebra m od ern a.Cabe ahora destacar , dentro de ese movimiento, la importanciade la obra de Boole: su teoría del Algebra Simbólica encierra yala idea que darla origen después a la doctrina de las álgebras abs-tractas. Nos referimos a su concepto del valor de las leyes de lacombinación de los símbolos con independencia del significado yde las interpretaciones de éstos. Es fácil ver, incluso, la analogíaentre la expresión booleana "leyes de combinación" y el concepto

actual de leyes de composición.

(4) Aquí se plantea —y por cierto que con mucha precisión— ,el carác ter neutral de las est ructuras frente a las posibles interpre-taciones de los símbolos. El Algebra Simbólica, como el AlgebraModerna, se ocupa de relaciones definidas entre símbolos (latticeso treülis, según la no m en cla tur a c ontem porán ea) , que, ul ter ior-mente, pueden ser aplicadas a dist intos conjuntos de entes (ma-teria) que veri f ican las leyes establecidas en la est ructura (forma).

Análogamente, la Lógica Simbólica actual se considera un len-guaje antes que una teoría, es decir , un conjunto de signos y dereglas para su manejo y no un sistema de proposiciones sobre objetos.Más aún que un lenguaje —dice Carnap— es un "esqueleto delenguaje". (V. su libro Introduction to Symbolic Logic and Its Appli-cations, New York, Dover Publ icat ions Inc. , 1958, p. 1) .

(5) La determinación de cier tas leyes de composición refer idas

a entes cualesquiera, con independencia de sus aplicaciones posi-bles y s in tene r en cu en ta n úm eros, m agnitud es ni medidas, ca-racter iza al Algebra Abstracta frente al Algebra Ordinaria. Poreso, la contribución de la escuela inglesa, en la cual ocupa un lugarde privilegio Boole, ha sido sintetizada por E. T. Bell como "lacomprensión del álgebra como álgebra, es decir como el desarrolloabstracto de las consecuencias de una serie de postulados sin unainterpretación o aplicación obligada a números o a cualquier otracosa". (V. Los grandes matemáticos, Buenos Aires, Losada, 1948,




p. 510) . Cier to es que la formalización creciente de la Matemática

h a fa vo rec ido la p rolifera ción de Las álgebras ab stracta s, sobretod o cua nd o se to m a aL pie de la let ra la expresión cantoriana deque la esencia de la Matemática reside en su l iber tad. Sin embargo,no hay que olvidar que el carácter convencional de los postuladosque definen una estructura, no signif ica que la elección de aquél lossea completamente arbi t rar ia : l a genera l ización matemát ica debeorientarse en el sent ido de que las teorías clásicas const i tuyancasos part iculares dentro de los nuevos dominios abstractos defi -

nidos. Esta act i tud concuerda, en su esencia, con el pr incipio deE. H. Moore, citado por M. Fréchet en su conocido libro Les espacesabstraits (Gauthier-Villars, París, 1028, p. 16) y con el principiode Hankel , que es el fundamento lógico y epistemológico de todagenera l ización matemát ica . (V. nues t ro t rabajo El método axio-mático, en "Revista de la Facul tad de Ciencias Económicas ' dela Universidad de Buenos Aires, Año III, N° 27, pp. 813-859, espe-cialmente las pp. 823-833).

(6) La clásica concepción de la Matemática como ciencia dela magnitud o de la cant idad ha s ido sust i tuida por las modernasdefiniciones "ciencia de los conjuntos" o "ciencia de las est ructurasabstractas" . Por otra par te, hay discipl inas matemáticas como laTopología (General o Conjunt is ta y Combinatoria o Algebraica)en las cuales la cantidad no interviene. Las figuras geométricasposeen cier tas propiedades cualitativas, independientes de la me-dida y la magnitud, que son estudiadas en esta moderna rama de

la Geometr ía, def inida por M. Fréchet y Ky Fan como "el estudiode las propiedades topológicas, pr incipalmente, de los invariantestopológicos" , (V. Introducción a la Topologie Combinatoire. TomeI., Paris, Vuibert , 1946, p. 13). Una propiedad es l lamada topológica

cuando se la puede expresar por medio de la noción de cont inuidade invariante topológico si se conserva en todo homeomorfismo. Sede nom i na homeomorfismo a una t ransformación biunívoea y bi-co nt in ua . E n consecuencia, dos f iguras se dirán hom eomorfas s i

se pue de pa sar de u na a o tra por medio de un homeom orfismo. La




Topología —llamada por Poincaré Analysis Situs y estudiada ya

por Euler bajo la denominación de geometría de situación— esuna geometr ía cual i tat iva.

(7) El cálculo de la Lógica es el Algebra de la Lógica o Algebrade Boole, que luego se transformó en lo que se denomina actual-mente Algebra de Boole-Schroeder. Se ve que Boole, buen mate-mático, considera que la Lógica es un capítulo de la Matemática;su discípulo Jevons defendió —como lo hacen los logicistas con-temporáneos— la tesis opuesta. La posición de Boole, a este res-

pecto, lo enfrentaba a Hamil ton quien, como se verá más adelante,hacía depender la Lógica de la Filosofía.

(8) Resurge el viejo proyecto leibniziano de un lenguaje f i lo-sófico exacto c on stru ido m ed ian te s ignos y algoritmos m atem á-ticos, cuyo antecedente más lejano sería Ramón Llull (1235-1315),autor de una ciencia más general que la Lógica y la Metafísica,el Ars Magna que se basaba en los s iguientes pr incipios:

a) Un conjunto de conceptos básicos agrupados en seis clasesde a nueve, que co nst i tuía n el alfabeto del arte; b) ciertas técnicasy procedim ientos pa ra relacio nar y c om binar los conceptos: artecombinatoria; c) un sistema simbólico constituido por signos l i-terales y f iguras geométr icas (unas f i jas y otras móviles) . La f ina-lidad del Ars Magna era teológica y metafísica antes que lógica,aunque no se le puede negar su importancia también desde esteúl t imo punto de vista. La obra de Llul l adquir ió gran difusión enel Renacimiento, pero como un instrumento racional al que se le

babía amputado toda f inal idad teológica. (V, una síntesis intro-ductoria en J . Carreras y Artau: De Ram ón Llull a los modernosensayos de formación de una lengua universal, Barcelona, Consejode Invest igacione s Cien t í f icas, 1946).

Descartes —que condenó la excesiva boga del lulismo— re-tomó, s in embargo, la idea de un ar te invent iva o "máquina parapensar" de estructura matemática y l legó a creer que su Geometr íaAnalítica era esa mathesis universalis.

Leibniz, en su precoz ensayo Dissertatio de Arte Combinatoria,




escrito a los veinte años como un resultado de sus lecturas del

Ars Magna, retoma y replantea el problema luliano; reduce losconceptos complejos a conceptos simples irreductibles que serían"el al fabeto de los pensamientos humanos". Luego, por sucesivascombinatorias, se obtienen los términos complejos (binarios, ter-narios, etc.) . El proyecto de Leibniz se puede sintetizar en doscaracteres básicos: a) la característica universal, un lenguaje ideo-gráfico universal para la expresión científica y b) un cálcalo delrazonamiento, o cálculo universal, aplicable a todas las ciencias.

La afinidad entre Leibniz y Boole ha sido señalada tambiénpor F. Barone en su l ibro Lógica fórmale e lógica trascendental. I .D a Leibniz a K a n t (Torm o, Edizioni di "Fi losofía" , 1957, p. 4)donde confronta expresiones de ambos autores acerca de la s igni-f icación del cálculo para la Lógica y la Matemática.

Sin embargo, en su l ibro, ya citado, An Jnvestigation of theLaws of Thought, es do nd e desa rrolla en form a com pleta su teoríadel simbolismo: El lenguaje no es sólo un medio para expresar elpensamiento, s ino e l verdadero ins t rumento de la razón humana.El lenguaje está constituido por signos o símbolos, que son suselementos más analít icos. Ivas palabras son signos que represen-tan: a) los objetos, b) las operaciones mentales creadoras de con-ceptos, c) las relaciones de acción, pasión o cualidad y d) las emo-ciones de la mente perceptora. Un signo es una marra arbi t rar iaque posee una interpretación determinada y que es suscept ible decombinarse con otros signos de acuerdo a ciertas leyes. Todas lasope racion es qu e el lengu aje cum ple como instrum ento del razona-

m ie n to se pu ed en llevar a cabo por medio de un sistema de signoscompuesto de los s iguientes elementos:

I o ) Símbolos l i terales —x, y, etc.— que representan las cosasque sometemos a nuestras concepciones.

2 o) Signos de operaciones K — , X— que representan aque-llas operaciones de la mente por medio de las cuales son combi-nados los conceptos de las cosas.

3Ü) El s igno de ident idad: —.




Estos símbolos de la Lógica están sometidos a ciertas reglasque concuerdan, en parte, con las leyes que rigen los símbolos co-rrespondientes del Algebra. (V. G. Boole, op. cit., especialmente,los capí tulos II y III) .

(9) Es tas consideraciones pertenecen a la Estét ica ma temá-tica: la belleza lógica del Análisis reside en sus estructuras abs-tractas y se revela a través de la simetría, el orden y la armonía.El gran matemático G. Birkhoff (V. su l ibro Medida estética, Ro-sario, Edición de la Facultad de Ciencias Matemáticas, del Litoral,

1945) propuso una matematización de la Estét ica que sintet izóen una fórmula —denominada, precisamente , "medida es té t ica"—:

donde M, O y C son variables medibles y s ignif ican: M, la medidaestética que es la razón de O , el orden, sobre C, la complejidad delobjeto. La experiencia estética se debe a "un grado excepcional

de interrelaciones arm on iosa s de ntr o del ob jeto " (op. cit. , p. 2).Boole se refiere a la belleza "interna" implícita en la armoníalógico-matemática de las relaciones abstractas expresadas en lasfórmulas del Análisis. Algunas de sus expresiones revelan, además,un platonismo implíci to, por ejemplo, cuando alude a la "presenciavisible" de la ley. El punto de vista es similar al del matemáticoHermi te cuando, a l refer ir se a un t r iángulo, escribía : " . . . e s t af igura t iene cier ta naturaleza, o forma, o determinada esencia quees inmu table o etern a, q ue yo no h e inventa do y que no dependede mi me nte"' . (V. E . T . Bell , op. cit . , p. 532), Es te "m isticismo "—como lo denomina l igeramente Bel l— no es otra cosa que rea-lismo platónico. (V., además, las obras de A. Lautmann, ITardy,Keyser y, especialmente, las de A. Coomaraswammy).

(vo) Las proposiciones cuant i f icadas (V. Nota 1) pueden serconvertidas directamente, sin que sea necesario distinguir entre laconversión sim ple y la conv ersión po r ac cidente. Recu érdese que ,

en la Lógica clásica, se admitían 3 modos de conversión: los dos




mencionados y la conversión por contraposición. La teoría de laconversión no se a cep ta íntegram ente en la Lógica actual . (V. ela r t . de Church en D . Ruñes : Dictionary of Philosophy, New York,Phi losophical Library, 1942, p. 176) .

O1) H e aq uí u na dir ect a alusión a la crít ica que el filósofoWil l iam Hamil ton formuló cont ra la Matemát ica , cuya violenciamotivó que Bel l la cal i f icara como "el más famoso de los ataquessalvajes que ha suf r ido la Matemát ica" . Hami l ton, cuya prepa-ración matemática era menos que mediocre, tenía una concepción

uni la tera lmente cuant i ta t iva de la Ar i tmét ica y la Geometr ía .En su ar t ículo t i tu lado On the Study of Mathematics, publicadoen el N° 126, de enero de 1826, de la Edinburgh Review , replica aun ensayo de W. Whewell sobre la importancia de la Matemáticaen la e duc ación liberal. (V., en el ensayo ya citado de F. B aronesobre Los orígenes de la Lógica formal, el parágrafo Filosofía eLógica neüo Hamilton). Contrapone e l "método matemát ico" a l"m éto do f i losófico" y l lega a la conclusión de que " la M atem ática

«s una ciencia ár ida, mecanicista y abstracta" . Para sostener suaser to t rae numerosas ci tas de autores clásicos y modernos. Comobien lo señala Boole en esta Introducción, esos mismos autoressirven para demostrar la tesis contrar ia a la que sost iene Hamil ton,desde que, con parecidos argumentos, condenan también la ense-ñanza de la Lógica (y de otras ciencias), cuya primacía sobre laMatemática defendía el irascible fi lósofo. (En las pp. 512-514 dellibro mencionado de E. T. Bell , pueden leerse los gruesos epítetosque dedica Hamil ton a la Matemática. Una visión general delproblema de las relaciones entre la Fi losofía y la Matemática enel S iglo XIX, V. en S loria delta lógica delle scienze csalte, de F .Albergamo, Gius. Laterza & Figl i , 1947, Cap. VI) .

No hay que confundir al f i lósofo escocés Wil l iam Hamil ton(1788-1856) — a quien nos h^mo s referido en esta No ta— con elmatemático Wil l iam Rowan Hamil ton, creador de la teoría de los•cuaternios o cuaterniones, números cuadridimensionales que no

cumplen la propiedad conmutat iva de la mult ipl icación, ley ma-




temática que establece que el producto de varios factores es inde-

pendiente del ord en de éstos, es decir qu e a X b = b Xa. En e lAlgebra de los cuaterniones, a X b b X a.

(12) V. la Nota 11.

(13) Tres escuelas de la ant igua Grecia se plantearon el proble-ma de las relaciones entre la Lógica y la Filosofía: a) los estoicos,que negaban que la Lógica formara parte de la Filosofía; b) losperipatét icos, que af i rmaban que la Lógica era sólo un instrumento

de la Filosofía, y c) los platónicos, para quienes la Lógica era,a la vez, un instrumento y una parte de la Fi losofía. Lukasiewiczreproduce un argumento de los per ipatét icos, conservado por Am-monius en sus Comentarios a los 'Ava^u-mcá irp¿rspa: "Si se con-sideran silogismos cuyos términos son concretos —como hace Platóncuando prueba si logíst icamente la inmortal idad del alma— la Ló-gica será, entonces, una parte de la Filosofía; pero si se formulanlos silogismos com o m er as reglas refe ridas a letras, por e jem plo:"A es predicado de toda B, B de toda C, luego A es predicado de

toda C" —como lo hacen los peripatéticos, siguiendo a Aristó-teles— en ese caso la Lógica debe ser considerada un instrumentode la Fi losofía. La parte f inal del texto gr iego ci tado por Luka-siewicz es la demostración (silogística) de la inmortalidad del alma.El lógico polaco se apoya en ese texto para destacar el carácterformal de la s i logíst ica ar is totél ica y su e struc tura m atem ática;sólo pertenecen a la Lógica las leyes silogísticas formuladas me-diante variables (forma) y no la materia (últ j) expresada en tér-

minos concretos. Basta considerar la demostración de la tesisplatónica para comprobar su intención metaf ís ica y el caráctermeramente instrumental de la demostración. El problema quepreocupaba a los griegos, también suscitaba el interés de Booley sus contemporáneos (y nos inquieta a nosotros mismos): ¿cuálesson las relaciones entre la Lógica y la Filosofía? Para resolverlo,habrá que determinar previamente e l campo y e l obje to de ambasdisciplinas y, con ello, se fa ci lit ar á la solución de los pro blem as

conexos de la au ton om ía de lóg ica y de su vinc ulación con la



33G E O R G E B O O L E

M ate m áti ca (V., m ás ad ela nte , las N ota s 15 y 16) . Otro medio de

acceso al problema es el examen de la significación de los denomi-nados "principios lógicos "en sus t res posibles planteos: a) metaf í -sico, b) ontológico y c) lógico. (Hay, además, el punto de vista sico-lógico que desest imamos por su t r ivial idad y porque su refutaciónes bien conocida). A este respecto, las cuestiones fundamentalesqu e d eb en ser co nsiderada s s on: 1) ¿Existe un orden jerárquicoentre los dist intos puntos de vista?; 2) ¿La adopción de uno deellos significa la exclusión de los otros?, y 3) ¿El orden jerárquico

es compatible con la validez simultánea de los tres criterios enun-ciados, en sus niveles respectivos? En la Lógica Matemática con-temporánea sólo se acepta el punto de vista lógico, que se bifurcaen dos planos: a) el específicamente lógico, o logístico y b) el me-talóg ico. P a ra los lógicos actua les, los "principios lógicos" sonaxiomas, teoremas o expresiones metalógicas, y en cualquiera deestos casos, meras fórmulas de significación análoga al de otrasexpresiones (sentencias, frases o expresiones bien formadas) de uns is tema axiomát ico. E l principio de identidad se convierte en la

ley lógica de identidad, es decir, en una tautología; el mismo caminoseguirán el principio de no contradicción y el de tercero excluido.Algunos de los principios —como el de identidad— se introducenmás frecuentemente como teoremas, debido a su ester i l idad desdeel punto de vista deduct ivo. (Entre las pocas excepciones a estapráctica, M. L, Roure cita a Lukasiewicz que anota la ley deidentidad como un axioma de su sistema formalizado de la si lo-gística aristotélica (V. Lukasiewicz, op. cit . , p. 88). Tampoco la

validez universal de los principios se ha conservado dentro de laLogís t ica : e l tertium non datur ha sido restringido por los intuicio-nistas . Convert idos en axiomas, teoremas o sentencias metaló-gicas, los principios han perdido su significación metafísica: sonmeras fórmulas con las cuales se opera mecánicamente. Por ejem-plo: l a ident idad se puede formular x ^ x o pupo también" ( f ) f x fy"• E s decir que la equ ivalen cia (bicondicional) sepuede expresar mediante una condicional. La justificación lógica

de esta derivación es inmediata si se aplican ordenadamente las le-



A N Á L I S I S M A T E M Á T I C O D E L A L O G I C A 3 9

yes de susti tució n, con traposición y doble negación. Sin embargo,la expresión de la identidad por la fórmula "(/) fx z>fy"tropieza conalgunos inconvenientes en las aplicaciones de la Lógica porqueestá basada en el principio de los indiscernibles de Leibniz (l lamadoley de extensionalidad) (V. I . M. Bochenski, op. Précis de LogiqueMathématique, Pays-Bas , F . G. Kroonder , p . 49) . Tampoco esaceptada por los intuicionistas porque su derivación incluye laley de doble negación, rechazada por esta escuela a raíz de susrestricciones al tertium non datur. En la obra de Aristóteles seencuentran formulaciones lógicas y metalógicas de los principios

(V. Bochenski, op . cit . , p p . 38-41), pero tam bién enco ntram osformulaciones metaf ís icas (V. Aristotle's Metaphysics, A . RevisedText with and Introduction and C omm entary by D. Ross, Oxford,At the Clarendon Press, 1953, 1006 a y 1011 b). Sin embargo, laprimera formulación metafísica del principio de identidad se en-cuentra ya en repl tpvcreüi? de Parménides. (Untersteiner, siguiendoa Chemiss, af i rma que Parménides habría usado incluso el tertiumnon datur. V. Parmenide , Testimoníame e Frammenti. A cura di

Mario Untersteiner , Firenze, La Nuova I tal ia , 1958, pp. CXLIV-CXLV): o TÍO? IO-TLV re Kdíl a);- ou k Icrrt jui] elvcu (Diels, F. V. S.,28 B 2, 3) que se suele tra du ci r com o "e l ser es y no pued e no ser")Conviene m ás la expresión "el. en te " (estrictam ente "lo en te")más próxim a a l griego TO OV. L a p al ab ra españ ola "s er " es m ásimprecisa y se presta al equívoco ser-ente. García Bacca traduce,con un sentido más metafísico que fi lológico: "del ente es propioser y del ente no es propio no ser" (V. Los presocráticos, T. I . ,

México, El Colegio de México, 1943, p. 116 y siguientes). EnTrspl (Jnxrswg- se comprueba que el principio de identidad es unaconsecuencia (o una explanación) de la infinitud y eternidad delEnte es ingénito (cryÉvijxo^) e imperecedero (áv<íi"Xe0pov) y eterno(áráXso-rov): el Ente es idéntico a sí mismo porque es la perma-nencia absoluta, fuera del t iempo (atemporal idad) y del espacio(anespacialidad). Usando un término corriente en teoría de grupos,diríamos que la identidad se deriva de la invariancia del Ente.

El principio (princip ium, dpxh)

es el Primero en una sucesión




cuyos e lementos dependen de El. El principio está separado de lose lementos (como e l Uno de Plotino, y el Ente de Parménides) : esla esencia, la raíz, la "fuente" , el "or igen", la causa, el fundamentoin fin ito U n o (ev), Un ico (¿¿auv^evés-) de todo lo finito (ip x ^ xávrwv)»' Apxh es el #7mpov de Anaximandro, el fuego de Hercálito, el aguade Tales , e l aire de Anaximcn.es; principio infinito y trascendenteque asume diversas formas pero que es Una Real idad: La Misma.

La Lógica Matemática es hoy una discipl ina autónoma, inde-pendiente de la Filosofía, pero para alcanzar el rango de cienciaposi t iva ha pagado un elevado t r ibuto: la aniqui lación de los pr in-

cipios, la ruptura total con la Metafísica, la relativización de laverdad t ransmutada en un juego mecánico, su asimilación a uncálculo y su multiplicación en "lenguas" formalizadas. Los lógicoscontemporáneos, en su gran mayoría, son ant imetaf ís icos y, enel me jo r d e los casos, conservan un a curiosa "ne utral id ad" f ilosó-fica que, en el fondo, es nominalista y a-metafísica (salvo escasí-simas excepciones). En una recensión crít ica de la Lógica Mate-mática de Fer ra ter Mora-Leblanc (obra c i tada) , ( ¡arda Bacca

apuntaba que la Metalógica es "sospechosamente pariente de laMetaf ís ica" . En real idad, la Metalógica está en las ant ípodas dela Metafísica y ha tenido su origen en la negación de ésta. La seme-janza es exterior, sobre todo porque ha debido acometer los viejosproblemas metafísicos en su versión metalingüística; es, en rea-l idad, un ersatz de la Metaf ís ica. (V. nuestro t rabajo Caracteresantimetafísicos del pensamiento contemporáneo, en el N°. 9 de laRevista de Filosofía de la Universidad Nacional de La Plata) .

Los principios de identidad, no contradicción y tercero ex-cluido se pueden formular en tres niveles: metafísico, ontológicoy lógico, que se ordenan jerárquicamente: pr imero, el plano me-tafísico, luego el ontológico y después el lógico. Los dos últ imosdep end en d el pr ime ro :1a inf ini tud de ró ov (metafís ica) fun dam en tael ens est ens (principio ontológico) y éste el x = x (principio ló-gico). No es posible eliminar completamente los principios pormás que se extreme la formalización: reducidos a teoremas de uncálculo reaparecen en la identidad de los objetos-signos o en la




no-contradicción, que sigue siendo el talón de Aquiles al que sereducen, en últ ima instancia, las propiedades de un sistema axio-

mático. La Lógica es el reflejo de los principios trascendentes enel orden de la manifestación; su racionalidad se funda en la inte-ligibilidad del Principio (que es la Verdad o la Real idad) .

(14) En la controversia Hamil ton-De Morgan, Boole terció enfavor de este últ imo que tenía la razón de su parte (y que, además,era su amigo). Tal vez en su excesiva amabilidad —más notableaún si se la compara con la agresividad que trasuntan las expre-

siones de Hamilton— deje traslucir cierta ironía.O5) V. la nota 11.

(16) La c on stitució n de la Lógica como ciencia autóno m a eindependiente es la culminación de un proceso cuyos pasos másimportantes fueron el antisicologismo de Erege y Husserl y elabandono de la fundamentación ontológica. La ruptura con laMetafísica, a la que se refiere Boole, fue polémica y hasta agresiva

en la declaración de principios del Círculo de Viena y también enlos pr imeros l ibros de C ar na p (V., por ejem plo, The Logical Syntaxof Language y La Science et la Métaphysique devant Vanalyse logiquedu langage), en la obra de Reichenbach (V., sobre todo, La filosofíacientífica), de A. J . Ayer (V. Language, Truth and Logic) y Tarski(V. Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Scien-ces) y del propio Lukasiewicz (V. Aristotle's Syllogistic), paraasumir una expresión más prudente en las úl t imas obras de Carnapy Quine (a pesar de su nominal ismo).

Perdidas sus bases ontológicas e incorporando símbolos, algo-r itmos y m étod os d e inspiración m atem ática , la Lógica se fueaproximando cada vez más a esta ciencia, hasta tal extremo quese planteó el problema de discutir los límites —si es que existen—•entre la Matemática y la Lógica. (Digamos, de paso, que la dis-t inción -—propuesta por algunos autores— entre variable lógicay variable matemática no resuelve el problema porque, en ese caso,buena parte de las discipl inas matemáticas modernas deberían ser




absorbidas por la Lógica) . Para el logicismo, la Matemática esuna rama de la Lógica: los conceptos y los teoremas matemáticos

se definen y se demuestran, respect ivamente, por medio de con-ceptos y teoremas lógicos; en suma, los entes matemáticos se deri -van de nociones lógicas. Los antecedentes de la escuela logicistase remontan a Leibniz, en cuya obra lógica ya estaban implíci taslas ideas básicas del logicismo. (A ello se debe, sin duda, la simpatíade Couturat y Russel l por Leibniz que se concretó en sendos l ibros,sobre la lógica del genial fi lósofo y matemático alemán. Merececi tarse también a Dedekind, autor del método de las "cor taduras"

para la definición de los números reales, y continuador de Weier-trass en la dirección conocida como la "aritmetización de la Mate-mát ica" . Los verdaderos fundadores del movimiento fueron Fregey Russell , este últ imo jefe indiscutido de la escuela. La obra deRusse l l -Whi t ehead Principia Mathematica puede ser consideradala "biblia" del logicismo. B. Russell intentó solucionar el grave pro-blema de las paradojas mediante varios ensayos que precedierona la creación de la teoría de los t ipos: a) la teoría zigzag, b) la

teoría de la l imitación de la extensión y c) la teoría de la supresiónde las clases. (V. sendas exposiciones y críticas a estas tres teoríasen F . Gra l i ay : Le formalisme logico-matkématique et le problémedu non-sens, Societé d'Editions "Les Bellos Lettres", París, 1957,Cap. I I , y H. Poincaré : Science et méthode , Flammarion, París ,pp. 203-206).

Un primer esbozo de la teoría de los t ipos fue expuesto en unApéndice del l ibro Los principios de la Matemática (V. la trad.

cast . , Espasa-Calpe Arg. S. A., Buenos Aiies, 1948, pp. 638-644).Ya Poincaré había sostenido que las ant inomias se or iginan enun círculo vicioso, y Russell , compartiendo la opinión del grancrít ico de la Logística, formula el "principio del círculo vicioso":"Una expres ión que contenga una var iable aparente no puedeformar parte del campo de la var iable y debe pertenecer a unt ipo di ferente" ; o , d icho de ot ro modo, "Ninguna tota l idad puedecontener miembros que sólo sean definibles en términos de esatotal idad, o que la involucren o la presupongan". En la teoría




de los t ipos se consideran tres órdenes o planos: a) el de las pro-posiciones, b) el de las funciones (o predicados) y c) el de las clases.Como lo ha explicado Wiener, no es necesario jerarquizar apartelas relaciones po rqu e se redu cen a clases y, ade m ás, como no ha ydiferencia esencial entre b) y c), quedan dos jerarquías: la de lasproposiciones y la de las funciones (Y. F. Grahay, op. cit., p. 44).La finalidad de Ru sse ll parec e habe r sido : "desu stancializar yjerarquizar las clases77 (V. E . W. Beth: Les fondements logiquesdes mathématiques, Gauthier-Villars, París, 1950, p. 108).

La teoría de los t ipos establece una jerarquía que comienza

con el tipo cero al cual per tenecen los " individuos" ("objetos" o"nombres propios") . Estos desempeñan únicamente la función desujetos. Las propiedades (que no sean propiedades de propie-dades) o, lo que es lo mismo,, las clases, pertenecen al tipo uno:son propiedades de los individuos que pueden ocupar el lugar delsujeto y tam bi én del pred icad o, p ero en este últ imo caso su res-pectivo sujeto deberá pertenecer al t ipo cero. Las propiedades depropiedades (o funciones de funciones) pertenecen al tipo dos y

pueden desempeñar la función de sujeto o de predicado; en esteúltimo caso, su respectivo sujeto debe pertenecer a los t ipos unoo cero. E sta orden ación se puede expresar tam bién en términos deelementos (tipo cero), clases (tipo uno), clases de clases (tipodos), etc., etc. Ninguna clase puede incluirse a sí misma comoelemento (autoinclusión de una clase) o, dicho en otros términos,ninguna prop iedad pu ede ser at r ibu ida a s í mism a (autopredi-cación de un predicado), porque si esta ley de la teoría no es res-petada se cae en el sinsentido. Algunos autores (Y. J. FerraterMora, Lógica matemática, F. C. E., México-Buenos Aires, 1955,pp. 157-164) exponen la teoría de los t ipos en dos versiones: unaintensional y otra extensional.

Pero Ramsey, re tomando una observación de Peano "Exemplode Richard non pert ine ad mathematica sed ad l ingüist ica" (V.E. W. Beth., op. cit . , pág. 170), clasificó las antinomias en lógicas(como las de Bural i -Fort i , Cantor y Russel l ) y semánticas (comola de Ric har d y la del ' 'me nt i ro so ") , concluyendo q ue la teoría




de los t ipo s no ba st a pa ra el iminar estas úl t imas. (En real idad,l l amsey l a s denominaba psicológicas, lingüísticas o epistemológicas).

En efecto, el enunciado "yo miento" o "x miente" (versión deRussel l ) t iene un sujeto de grado cero y un predicado de grado-uno y, s in embargo, la paradoja subsiste. (Según Bochenski , Pablode Venecia —1372-1428—, filósofo y teólogo, encontró 14 solu-ciones a la paradoja del mentiroso. Por otra parte, los lógicos esco-lásticos conocieron y estudiaron las antinomias; por ejemplo, elpadre Luis de Lossada en la obra Institutiones Dialec ticae, vulgoSumm idae, ad primam partem Phüosophi Curms pertinentes, Sal-

manticae, 1721, reeditada en 1741 y 1882; y Juan Roig GironelLaS. I . (en la actual idad) propone un t ratamiento metaf ís ico de lasant inomias a t ravés de la noción de analogía. (V. La antinómicasolución de las antinomias o paradojas lógicas, en Pensamiento,Madrid, 1954, Vol. 10, N° 39, pp. 287-309). V., asimismo, el tra-ba j o de V e a t c h : Metaphysics and the Paradoxes, Review of Me-taphysics 6, 199-218, 1952), También A. Koyré se apartó de losmétodos logísticos al sostener que las paradojas se resuelven sim-

ple m en te m ed ian te la d is t inción husser l iana entre "sinsent ido" y"contrasent ido". A raíz de su ar t ículo "The Liar" publ icado enPhilosophy and Phenomenological Research, J. Bar-Hillel sostuvouna polémica con él que fue recogida en dicha revista (V. TheRevival of the Liar, por J. Bar-Hillel y Reply por A. Koyré, en elVol . VIII , N° 2, pp. 245-255. V. también, A. Koyré Epiménide,le menteur, París , Hermana et Cié Edi teurs , 1947). En el mismoaño, presentamos una comunicación t i tu lada Análisis epistemo-lógico del pensamiento paradójico , donde intentábamos —con inde-

pendencia de los t rabajos de Koyré— resolver las paradojas pres-cindiendo del aparato logíst ico, y en nuestra comunicación Epi-ménide s, el m entiroso, presentada al Inst i tuto de Ciencias de laEducación "Ricardo Rojas" , en 1958, es tudiamos e l aspecto meta-físico de las paradojas. El mismo Russell agregó, entonces, lateoría de los grados, transformando la teoría de los t ipos en la teoríaramificada, así l lamada porque los t ipos —excepto el cero— seramifican en órdenes o grados. La nueva teoría intenta jerarquizar




las funciones proposicionales: se denomina función proposicionalelemental o d e grado cero a la que no contiene ninguna variableaparente. Es una función proposicional de grado uno la que po-see una o va rias var iable s apa rente s cuyos valores son indi-viduos; y función proposicional de segundo grado la que mencionavariables aparentes cuyos valores son funciones proposicionalesde grado uno. La regla correspondiente establece que no se puedentratar en el mismo plano proposiciones equivalentes a funcionesproposicionales de distinto orden. La teoría ramificada consigueeliminar tam bié n las an t ion om ias sem ánticas, pero creó dif icul tades

de orden matemático que obl igaron a Russel l a complicar la másaún, agregándole dos axiomas: el de reductibil idad y el de infinitud.(V. Max Black: The Nature of Mathematics, London, Routledgeand Kegan Paul Ltd., 2nd Impression, 1950, p.p 107-118). Elmismo Ramsey y Chwistek, en sendos l ibros, demostraron quees prefer ible ab an do na r la co mp lej idad de la teoría ramificada yretornar a una teoría simple de los t ipos. (V. P. Ramsey: TheFoundations of Mathematics and other Logical Essays, Routledge

and Kegan Paul, London, 1950, reimpresión de la edición de 1931;y L . Chwis tek: The Limits of Science, London, Routledge andKegan Paul Ltd., 152-154). En lo que se refiere al axioma del infi-ni to, cabe observar que no es una ident idad (una tautología) , esdecir que no se t rata de un postulado puramente lógico. La adjun-ción de este axioma quiebra la unidad del programa logicista queestablece que hay que derivar (no consideramos aquí la distinciónmoderna ent re "der ivabi l idad" y "demost rac ión") la Matemát icade la Lógica partiendo de pfltetulados estrictamente lógicos, esdecir sin incluir axiomas matemáticos. Aparte de que es muy dis-cutible la originalidad de la teoría de los t ipos, desde que hay queadmitir la influencia de ideas previas de Frege y el antecedenteno desest imable const i tuido por la teoría homónima de Schroeder ,se puede re tro tra er su idea básica ha sta la vieja concepción aris-totél ica de los individuos como sustancias de pr imer grado y delas especies como sustancias de segundo grado. (V. E. W. Beth,op. cit., p . 168-169). La doctr ina de Russel l ha s ido objeto de



4 6 G E O R G E B O O l , E

diversas crít icas que se tradujeron a veces en nuevas teorías que,de algún modo, la mejoraban, como las teorías simples de lost ipos de Chwistek y l lamsey y la más reciente de Quine (V.New Foundations for Mathem atical Logic, publicada en Frorna Lógical Point of View, ya citado y un a crítica de la doc-tr in a d e Quine en el l ibro y a citado de Gra hay , desde la p. 59en adelante) .

(17) La axiomática ha evolucionado desde sus comienzos intui-t ivos en los Elementos de Eu cl ides h asta los s is temas formales purosde la Lógica y la Ma tem átic a contem poráneas. 1) La axiomática

intuitiva se basa en la noción clásica de axioma: una proposiciónevidente que se conoce por intuición, igual que los conceptos fun-damentales de la teoría. 2) En la axiomática formal los conceptosfundamenta les se convier ten en los entes primitivos y las proposi-ciones axiomáticas en /unciones proposicionales o postulados. Ejem-plo: la axiomática del número natural de G. Peano, que constade tres signos primitivos, 0 (cero), N (número natural) y JS (suce-sor) y de 5 pos tulado s : ¿ j . — ÍV(0); A2. N(x) =>x N(S(x)). N(x)

=>. (N{y) a , \[S{x) = sm => [x = y}}]; A s. - N(x) =>x ~ [S(x)= 0] ; A * . — F(Q¡)\N(x)F(x) =>* F{S{x))} [N{x) =>, F{x)}. Estospostulados se leen así : A%. — Cero es un núm ero; Ai. — El su-cesor de un número es un número. A 3 . — Dos números que t ienenel mism o sucesor son iguales. A i . — Cero no es el sucesor de nin-gún número, y A 5 . — Si una propiedad es verdadera con respectoa 0 y si también lo es para un número natural cualquiera, y para susucesor , la propiedad será verdadera para todos los números (pr in-

cipio de inducción completa). Son bien conocidas las crít icas deB. Russel l (V. Introducc ión a la filosofía ma temática, Buenos Aires,Losada S. A., 1945, pp. 18-23) que se pueden sintetizar diciendoque Peano no definió el campo de los números naturales, comoera su propósito, sino la noción general de sucesión. Dicho en otrostérminos, la axiomática de Peano es monomórfica porque todossus modelos posibles son progresiones y éstas son isomórficas entresí . Por otra par te, Th. Skolem demostró que existen, además dela sucesión fundamental de los números naturales , otros modelos




de la axiomática de Peano (y de otras axiomáticas similares) (V.Peano's Axioms and M odels of Arithmetics, en Mathematical Inter-pretations of Formal Systems, por Skolem y otros, North HollandPublishing Co m pa ny , A m sterda m , 1955, pp. 1-14) . Además, Churchdemostró (en 1936) que la axiomática de Peano es indecidible yRosser (en el mismo año) que es esencialmente indecidible. R.Martin destaca que esta indecidibilidad no depende del axiomade recurrencia, como lo ha n dem ostra do Rostow ski y Robinsonen 1953 (Y. R. Mart in: Raisonnement mathématiqa.e et réairrenee,en Les Etudes Phi losophiques, París , Press Univ. , Nouv. sér ie,

11 i eme A nn ée, N ° 2 1956, p. 252. 3) U n sistema formal puro es unconjunto de teoremas o tesis obtenidas a par t i r de una sucesiónde signos o términos por medio de un conjunto f ini to y bien de-terminado de reglas de formación y reglas de derivación. Los signosy términos indefinidos const i tuyen el alfabeto de la axiomática;las expresiones bien formadas o fórmulas se construyen mediantelos signos sometidos a las reglas de formación, y se obtienen otrasfórmulas, l lamadas teoremas o tesis, aplicando a las primeras las

reglas de derivación, l l amadas t ambién reglas de transformación,deducción o demostración. L a axiomática formalizada o sistema formalpuro elimina toda referencia a cualquier campo de significaciones ex-terior al sistema, con lo que se busca desterrar los últ imos restosintuit ivos: es un lenguaje, const i tuido por un alfabeto (los signos),ciertas palabras (conjuntos de s ignos) y expresiones (fórmulas).Se lo denomina lenguaje-objeto para distinguirlo del sistema designos por medio del cual nos referimos al sistema formalizado

que se llama metalenguaje. Generalmente, el metalenguaje es ellenguaje común (cualquier lengua moderna) más algunos símbolosartificiales creados ad-hoc. La teoría completa de un lenguaje-objeto es la Semiótica, que se formula en un metalenguaje, y sedivide en Sintaxis, Semántica y Pragmática. La Sintaxis es elestudio de las relaciones formales entre los signos, la Semánticaconsidera, además, los designata y la Pragmática incluye tambiénal hablante.

Una axiomática formalizada debe cumplir cier tas condiciones:



4 8 C E O R C E B O O L E

1) consistencia, 2) independencia, 3) saturación, 4) deeidibilidad

y 5) completicidad. 1) Una axiomática es consistente si no se puedederivar en ella una fórmula y su negación. Esta definición es sin-táct ica; desde un punto de vista semántico, la consistencia serelaciona con la interpretación y se define así: una teoría es consis-te n te (sem ánticam ente) s i y sólo si t iene un modelo . Se llamamodelo o representación de un sis tema axiomático a un conjuntode objetos que sat isfacen los axiomas del s is tema. Los objetosno t ienen por qué ser "concretos" desde que pueden pertenecera otra teoría, cualquiera sea el grado de abstracción de ésta (V.

una definición más general de modelo en G. Kreisel : Models,Translations and Interpretations, en la obra citada MathematicalInterpretations of Formal Systems). A. Church (V. Introduction toMathematical Logic, Vol. I , Pr inceton, New Jersey, Princeton Uni-versity Press, Second Printing, 1958, pp. 327 y seq.) distinguee n t r e consistencia con respecto a la probabilidad y consistencia conrespecto a las consecuencias; esta últ ima es una definición semán-t ica. Hace la misma dist inción para las otras propiedades de la

axiomática. 2) Se prueba la independencia de un sistema de axiomassi la negación respectiva de cada uno de ellos forma, con los axio-mas restantes, sistemas consistentes. (Esta definición, como lasde las demás propiedades, también puede ser formulada desdeun punto de vista semántico) . 3) El s is tema está saturado si agre-gando al conjunto de axiomas una fórmula (que no sea un teo-rema) se obt iene una contradicción. 4) Una teoría es decidible sila solución del - problema de la decisión es positiva; se llama pro-

blema de la decisión al que consiste en determinar si existe unprocedimiento mecánico de decisión para una teoría dada. Un pro-cedimiento de decisión para una axiomática formalizada es un méto-do qu e nos pe rm ite decidir, en cada caso part icular , s i una fórmu laes o no u n teor em a del sistem a. Se pued e d efinir, adem ás, laindecibilidad esencial: una teoría es esencialmente indecidible sies co ns iste nte y si un a extensión consistente de dicha teoría esindecidible. (V. S. C. Kleene: Introduction to Metamathematics,Pr inceton, D. Van Nost ram Comp. Inc . , p . 437, y también A.




Tarski y otros Indecidable Theories, Aras terdam Nor th Hol land

Publ., 1953). 5) Un sistema es completo si para cualquiera de susfórmulas se puede probar que es o no un teorema del sistema.Todo sistema completo es decidible, pero un sistema puede serdecidible sin ser completo.

La denominada "prueba de Godel" establece que todo cálculoque posibilite la form aliz ación de la A ritmé tica es incom pletopor la existencia, en él , de por lo menos una fórmula indecidibleo, dicho en otros términos, que no puede ser, a la vez, consistentey completo. Mediante un procedimiento propio de ar i tmet izaciónde la Sintaxis , demostró por vía matemática su célebre teoremay construyó una fórmula indecidible, que af i rma su propia inderi-vabilidad. (La expresión es análoga a la de la paradoja del menti-roso, con la diferencia que en vez de referirse a la verdad se refierea la derivabilidad). Si bien es cierto que los resultados de Gódelhan mostrado las l imitaciones de la formalízación y la imposibi-l idad de la axiomatización total de la Lógica y la Matemática,no hay que in terp retar los como el f racaso del programa meta-

matemático de Hilbert: cumplir una formalización estricta de lasteorías matemáticas, inclusive de sus demostraciones, siguiendo elmodelo del cálculo lógico; los objetos de la metamatemática ser íanlos símbolos y las fórmulas (objetos-signos), desprovistos de todocontenido significativo. Lograda la formalización, Hilbert creíaposible una teoría objetiva de la demostración, l lamada teoría dela prueba o metamatemática , cuyo problema central sería la demos-tración de la consistencia del sistema formalizado. Otras cuestiones

importantes son el problema de la decisión y el de la completicidadde la teoría. ¿Cuál es la ubicación de Boole dentro del movimientoformalis ta? Sin duda, Boole había visto claramente la importanciade una axiomática formalizada, aunque él mismo no llegara a for-mularla. Pruebas de ello son su concepción estructural de las re-laciones operatorias, su teoría del signo y la analogía que cree vis-lumbrar entre la axiomática geométrica, el Análisis y la LógicaSimbólica, en la Introducción. Por supuesto que recién con Hilbert

se cons igue dis t ingui r ent re Matemát ica y Metamatemát ica y




esta importante decisión fue necesaria para l legar , años más tarde,

a los resul tados de Godel . Cier to es , por otra par te, que entre Booley Hilbert hay una cadena de lógicos y matemáticos que jalonaronel largo camino hacia la formalización, pero ello no disminuyela importancia del aporte de Boole a la const i tución de las álgebrasabs t rac tas y a la fundamentación logís t ica de la Matemát ica .

Bochenski def ine un sistema formalizado como "un sistemaaxiomático cuyas reglas se ref ieren exclusivamente a la forma grá-fica de las expresiones y cuyos axiomas y reglas han sido formu-lados expl íci tamente. "El s is tema debe ser desarrol lado única-mente mediante las reglas dadas y s in referencia alguna al sent idode las expresiones. El sistema carece de significado, pero es sus-cept ible de "recibir diversas interpretaciones" (V. Précis de logique

mathématique, op. cit . , p. 29). Es cierto que esta definición escompletamente "neutral" , pero no lo es menos que por eso mismoha favorecido las pos ic iones nominal i s tas ext remas .



P R I M E R O S P R I N C I P I O S

Representaremos el Universo con el s ímbolo 1, ola unidad, que comprenderá toda clase concebible de

objetos de existencia real o no (1S) . Establecemos comopremisa que el mismo individuo puede encontrarse enmás de una clase, porque puede poseer más de una cua-l idad común con otros individuos. Mediante las letrasX,Y,Z, s imbol izamos los miembros individuales de lasclases; X se aplica a todo miembro de una clase en cuantomiembro de esa clase particular e Y a todo miembro

de otra clase en cuanto miembro de dicha ciase, y asísucesivamente conforme al lenguaje corriente en lostratados de Lógica.

Además , concebimos una c lase de s ímbolos x,y,z, conlos s iguientes caracteres:

El s ímbolo x, que opera sobre cualquier sujeto quecomprenda individuos o clases , el ige —supondremos—

todas las X que cont iene dicho sujeto (19) . Análogamen-te, el símbolo y, que opera sobre cualquier sujeto, eligedel mismo todos los individuos de la clase y compren-didos en el la, y así sucesivamente.

Cuando no se expresa sujeto alguno, suponemos quese sobreentiende 1 (el Universo) , y tendremos:

x = x, ( i )




en ten dien do por el sentido de cada término la elección,den tro del U niver so, de toda s las X que éste contiene,s iendo el resultado de esta operación en lenguaje común,la clase X, es decir la clase de cada uno de cuyos miem-bros es una X.

De estas premisas se s igue que el producto xy re-presenta, sucesivamente, la elección de la clase Y, y laelección, dentro de esta clase, de aquellos individuosde la clase X contenidos en Y, obteniendo como resul-tado la clase cuyos miembros son, a la vez, X e Y. Y ,de la misma manera, e l producto xyz representa unaoperación compuesta en la cual los respect ivos e lementosson la selección de la clase Z, y la elección dentro deel la de los individuos de la clase Y contenidos en ella,y, en el resultado así obtenido, la selección de todoslos individuos de la clase X que éste contiene: el resul-

tado f inal es la clase común a X, Y y Z.Des i gn arem os a x,y,z, £Símbolos elect ivos" por la

naturaleza de la operación que el los representan. Y l la-maremos "función e lect iva" a una expres ión que con-t iene s ímbolos e lect ivos y 1 'ecuación electiva" a unaecuación cuyos miembros son funciones e lect ivas .

No será necesario entrar a analizar ahora la opera-ción mental que hemos representado por el s ímbolo elec-t ivo. No se trata de una abstracción (en la acepcióncorriente del término), porque no perdemos de vistalo co nc ret o en ning ún m om en to; podría ser referidamejor al ejercicio de las facultades de comparación yatención. Nuestra f inal idad actual apunta más biena las ley es de com binación y sucesión que rigen sus




resultados y a este respecto basta expresar lo si -

guiente:I o) El resultado de un acto de elección es indepen-

diente de la agrupación o clasificación del sujeto. Así,es indiferente que de un grupo de objetos consideradoscomo una total idad el i jamos la clase X o dividamos elgrupo en dos partes, elijamos de ellos las X separada-mente y luego conectemos los resultados en una con-

cepción de conjunto.Podemos expresar esta ley matemáticamente por me-

dio de la ecuación:

x(u + ij) — xu -f XV, (20)

donde u + v representa el sujeto indiviso y u y v suspartes constituyentes.

2 o) El orden en que son representados dos actossucesivos de elección es indistinto.

Si de la clase de los animales elegimos las ovejas,y de las ove ja s las qu e tie ne n cuernos; o, si de los ani-males elegimos los que tienen cuernos, y entre éstos lasovejas, el resultado es el mismo: en ambos casos l le-gamos a la clase ovejas con cuernos.

La expresión simbólica de esta ley es:

xy ~ yx.

3 o) El resultado de un acto dado de elección reali-zado dos veces, o cualquier número de veces en suce-sión, es el resultado del mismo acto realizado una vez.

Si de un grupo de objetos elegimos las X, obtene-mos una clase cuyos miembros son todos X. Si repe-

timos la operación en esta clase no se seguirá ningún




cambio: e l ig iendo las X. tenem os el total . Así obten-

d rem os :xx = x,

o x2 = x;

y suponiendo que la misma operación se hubiera reali-zad o n veces , tendríamos

xn = x, (2l)

que es la expresión matemática de la ley establecidamás arriba (*) .Las l eye s q ue he m os es tab lec ido bajo formas s im-

b ó l i casx{u + v) — xu + xv, (I)

xy = yx, (II)

xn = x, (III)

son suf ic ientes para fundamentar e l Cálculo (22

). De laprimera ley resulta que los s ímbolos elect ivos son dis-tributivos; de la segunda, que son conmutativos. Estaspropiedades las poseen en común con los s ímbolos decantidad y, en virtud de ellas, todos los procesos del Al-gebra común son aplicables a este s istema. El único ysuficiente axioma implícito en esta aplicación es que las

(* ) La func i ón de l s í mbol o e l ec t i vo x ea e legi r individuos comprendidosen la c lase X. Supongamos que l a c l a se X abarque e l universo; entonces , cual -qu i e r a s ea l a c l a se F . t endremos :

xy = y.

L a f u n c i ó n d e x es aquí equivalente a l s ímbolo +> en una a l menos de susinterpre tac iones , y l a l ey de l índice (3) da

que e s l a p rop i edad conoc i da de e se s í mbol o .




operaciones equivalentes realizadas con sujetos equiva-lentes producen resultados equivalentes (*).

A la tercera ley (III) la l lamaremos "la ley delíndice". Esta ley es característica de los símbolos elec-tivos y reviste gran importancia porque nos permitereducir nuestros resultados a formas convenientes parasu interpretación.

Del hecho que los procesos del Algebra puedan seraplicados a nuestro sistema no debe inferirse que la

(* ) En gene ra l , l o s l óg i cos a seguran que t odo r azonami en t o depende , enúl t ima ins tancia , de la apl icac ión del dictum de omni et nullo, de Aristóteles."Lo que e s p r ed i cado umver sa l men t e de cua l qu i e r c l a se de ob j e t os puedese r p r ed i cado , de l a mi sma manera , de cada uno de l os ob j e t os comprend i dosen d i cha c l a se" . Se acep t a , s i n embargo , que e l dictum no es apl icable en formainmedia ta en todos los casos , y que, en la mayoría de el los, es necesario unproceso previo de reducción. ¿Cuáles son los e lementos involucrados en eseproceso de r educc i ón? Prec i s ament e , son , más una pa r t e de l r azonami en t o

general que el dictum m i s m o .O t ro med i o de cons i de r a r e l a sun t o cons i s t e en r e so l ve r t odo r azonami en t o

en una apl icac ión de uno u ot ro de los cánones s iguientes :

1) Si dos té rminoB con cu erd an con uno y e l mis mo tercero , conc uerdanentr e sí . ,

2) Si un té rmino concuerda y o t ro no con uno y e l mismo tercero , los dospr i meros no concue rdan en t r e a i .

Pe ro , l a ap l i cac i ón de e s t a s normas depende de l os ac t os men t a l e s equ i va -l en t e s a aque l l os que e s t án comprend i dos en e l p roceso de r educc i ón a l que

acabamos de refer i rnos . Tenemos que e legi r individuos en las c lases , con-ve r t i r p ropos i c i ones , &e . , an t e s de ap rovechamos de su o r i en t ac i ón . C ua l qu i e rexp li cac ión de l p roceso de r a zo nam i en t o e s i nsu f i c i en t e , po rque no r ep resen t ani l as l eyes de la operac ión que rea l iza la monte en dicho proceso ni l as ver -dades p r i mar i a s que r econoce y ap l i ca .

C abe p r e sumi r que l a s l eyes en cues t i ón e s t én r ep resen t adas adecuada -men t e por l a s ecuac i ones fundament a l e s de e s t e C á l cu l o . La p rueba de e l l ose encon t r a r á en su capac i dad pa r a expresa r p ropos i c i ones y exh i b i r l o s r e su l -tados de sus procesos ; de todo resul tado a l que se pueda l l egar por medio delr a z o n a m i e n t o c o m ú n .




interpretación de una ecuación electiva no sea afectadapor dichos procesos. La expresión de una verdad nopuede ser negada por una operación legítima, pero síl imitada. La ecuación y = z implica que las clases Yy Z son equivalentes miembro a miembro. Multipl i-quémosla por un factor x y tendremos:

xy — xzf

que expresa que los individuos comunes a las clases X

e Y son también comunes a X y Z, y viceversa. Esta esuna inferencia perfectamente legítima, pero el hecho quedenota es menos general que el afirmado en la propo-sición original.

(18 ) E l concepto de "u nive rso" , o "universo de discurso" —comolo denomina Boole en An Investigation. ..— proviene de De Morgan

y ha pe rdurado has t a hoy . En su Formal Logic se lee que "en lamayor parte de las proposiciones el campo del pensamiento esmucho menos extenso que el universo total" por eso "el campototal de un tema de discusión es —'desde el punto de vista de ladiscus ión— lo que he denominado un universoque posee ciertaextensión, es decir , que comprende "un campo de ideas que esexpresado como conteniendo la total idad del asunto en discusión".(V. L. S. Stebbing: A Modern Elementary Logic, London, Methuen

& Co. L td. , F o u rt h Ed i t ion, 1949, pp. 91 y seq.). A la mismaobra pertenece el siguiente texto, reproducido por Lewis en sul ibro, ya ci tado, A Survey of Symbolic Logic% p. 37: "Consideremosun par de nombres contrar ios como hombre y no-hombre. Esevidente que ambos representan todo lo imaginable o real en eluniverso. Pero los contrar ios del lenguaje común no abarcan eluniverso total sino una idea general. Así, con respecto a los hom-bres, inglés y extranjero son contrar ios: cada hombre debe ser

una de las dos cosas, ningún hombre puede ser ambas a la vez.




Lo mismo puede af i rmarse de las nociones de entero y fracciona-r ios, entre los números, de par y miembro de la Cámara de losComunes, entre las personas de un reinado (Inglaterra) , de machoy herríbra en tre los anim ales , etc., etc . C on el obje to de es presareste pensamiento; supongamos que la idea total que aquí consi-deramos es el universo (que signif ica, s implemente, la total idadcuyas par tes es tar los examinando) - y llamamos contrarios en ocon respecto a ese universo a las parejas de nombres que nada t ienende com ún pero q ue co nt iene n entre am bos la idea en consideración".

Boole desarrol ló con mayor extensión el concepto de universode discurso en su l ibro citado ut supra (pp. 47-48 y 166-167). Enla Proposición II determina el valor y la significación de los sím-bolos 0 y 1: " . . . la clase rep res en tad a por 1 deb e ser el Universoporque es la única clase en la cual se encuentran iodos los indivi-duos que existen en cualquier clase. La significación de 1 (el uni-verso de discurso) es explicado por Boole con conceptos —y hastacon expresiones— sem ejan tes a las de D e M orga n; " . . . jun to conla idea de un a clase cu alquie ra de obje tos como hombres la men-

te imagina la id ea de u n a clase co ntrar ia de ente s que no sonhom bres . . . " y " . . . el Univ erso to ta l está c onstituido por las dosclases reu nid as' ( loe. cit . , p. 48 ). Fin alm en te, explicará el alcancede 1 con res pe cto ' a l t iem po (op. c it . , pp . 166-167).

En la lógica contemporánea, se emplean como sinónimos lasexpresiones "universo de discurso" y "dominio de individuos"(o, s implemente, "dominio") de un sis tema. La expresión " indi-viduos" equivale a lo que Carnap l lama "los objetos básicos con-

siderados en un sis tema l ingüíst ico dado" (V. R. Carnap: Intro-duction to Symbolic Logic and its Applications, ya cit . , p. 4) ytambién al tipo cero de la teoría de los t ipos de B. Russell (V. Nota15). El empleo de la expresión "universo de discurso" es más fre-cuente en Algebra de clases (aunque, como veremos, se usa, porextensión, también en otias disciplinas, como la Lingüística con-temporánea) , y se la puede definir como "una clase no vacía" .Hugues Leblanc (V. An Introduction to Deductive Logic, New York,

John W iley an d Sons, In c., 1955, p. 95) define un universo de




discurso D como un conjunto no vacío de entes y "proposiciónverdadera en un universo de discurso dado" a aquel la en la cuallos valores de sus variables son miembros de D. Se puede definirla clase universal mediante una propiedad como la ident idad, vál idaumversa lmente pa ra cua lqu ie r ob je to : V = def. x(x = x). Se sueleident i f icar "universo de discurso" y "clase universal" (V., pore j emplo , J . Fe r r a t e r Mora : Lógica matemática, México-BuenosAires, F. C. E., 1955, p. 120, y el ensayo de A. Church sobre Al-gebra de clases en el ya ci tado Dictionary of Philosophy, edi tadopor Ruñes, donde af i rma que la clase universal comprende la tota-

l idad del universo de discurso) . La confusión parece haber empe-zad o en 1881, con Joh n Yen n (Y. Symbolic Logic, London, Mac-millan and Co., 1894, 2nd. Edition, pp. 245-255). Sin embargoDe Morgan —de quien Venn tomó el concepto— advier te sobreel riesgo de incurrir en falacias si se hace esa identificación. S.Langer (V. An Introduction to Symbolic Logic, 2nd. Edition, NewYork, Dover Publ icat ions Inc. , 1953, pp. 170-171) destaca quela falacia se presenta cuando los elementos de D (universo de dis-

curso) son clases. Si son individuos, la clase más extensa que esdable formar, puede coincidir con D, pero cuando relacionamosclases entre sí la clase más extensa 1 no es D sino un elemento deD, similar a cualquier otro objeto del dominio. Sea E dicho ele-m en to, su relación con 1 es c 1, pero con respecto a D, tene-m os E e IX E n consecuen cia, t ienen sentido las expresiones 1 e Do 1 e l , p ero no D c ú o h l .

Si definimos universo de discurso con un criterio exteusional

conjunt is ta (clase o conjunto no vacío de individuos) es evidenteq u e D puede ser f ini to o inf ini to y también que existen varios"universos", s iendo estas conclusiones perfectamente compatiblesdesd e un p un to de v ista lógico. Ah ora bien, s i sé analiza esta no-ción con referencia a las proposiciones existenciales, se puedepresentar —según algunos lógicos posi t ivis tas— el problema dela existencia real de ciertos universos de discurso. Dicha existenciaser ía absurda desde que fuera de "es te mundo" , na tura l y em-pírico, no existen otros posibles. (V., por ejemplo, S. Stebbing,




A Modera Introduction to Logic, Lond on, M ethuen & Co. Ltd . ,

Seventh Edition Reprinted 1953, p. 55-50). Es fácil ver, sin em-bargo, que la dif icul tad desaparece si se def ine adecuadamentela noción de existencia.

Eugenio Coseriu (V. Determinación y entorno, Hamburg , Ro-manistisches Jajnrbuch, VII Band, 1955-56, p. 55) define el uni-verso de discurso, dentro de la moderna Lingüística, como "elsistema universal de significaciones al que pertenecen un discurso(o un enunciado ) y qu e de term ina su val idez, y su sent ido". E notros términos, es el contexto significativo y convencional, el planode significaciones, que confiere sentido a una expresión del dis-curso. Coseriu, forzado por las exigencias de la Lingüística (enúl t ima instancia, ciencia de los hechos del lenguaje) , adopta unadefinición "por comprensión". (Compárese con la definición ci-tada de H. Leblanc) .

(29) Lewis h a o bse rva do (V. A Su rv ey . . . , op. cit . , p. 52) queBoole no distingue entre la operación de elección y el resultado

de esta operación: x representa, a la vez, la operación de eleccióny la clase de todas las x. A propósi to, recordemos que en Ari tmé-tica se distingue entre adición (la operación) y suma (el resultadode dicha operación). Sin embargo, en la teoría de series la palabraserie designa, a la vez, la operación y el resultado de esa operación;equivocidad análoga a la que gravita sobre el término elección queusa Boole.

(20) La expl icación de la fórmula:

x{u + v) = xu + XV

en términos de Boole, sería: x(u + v) significa elegir, en la clase x>

los objetos pertenecientes a la clase u o a la clase v, que es lo queexpresa el segundo miembro de la igualdad xu + xv. Esta expre-sión se puede traducir como la elección, en x, de los objetos perte-necientes a u(xu), luego la de los pertenecientes a v(xv) y, f inal-mente, la reunión de las dos elecciones (xu + xv). Como Boole

no aceptaba más que la disyunción exclusiva (x aut y), sólo podía




con siderar la ley d istr ibu tiv a en el Algebra num érica, que es laque acabamos de expl icar . En Logíst ica, hay otra ley dist r ibut ivaque relaciona las operaciones de conjunción y disyunción, y quese formula as í , a lgebra icamente :

x + (uv) = (x + u)(x + y) .

Boole ¿no podía aceptar esta últ ima ley por dos razones: I o ) por-que no es válida en el Algebra corriente y 2 o) porque es precisointroducir previamente la disyunción no-exclusiva (x vcl y). StanleyJevons fue el encargado de hacerlo general izando, de este modo,

las relaciones distributivas entre las operaciones lógicas de con-junción y disyunción. Hilbert señalaba que las denominaciones"producto lógico" y "suma lógica" son incorrectas , justamenteporque estas operaciones lógicas t ienen propiedades dist intas desus homónimas matemáticas. En efecto, las operaciones (mate-máticas o lógicas) se definen a través de sus propiedades o leyes;y, com o hem os visto, hay u na ley dist r ibut iva que se cumple enla Lógica pero que carece de validez en las operaciones análogas

de la Matemát ica . (V. D. Hi lber t y W. Ackermann: Principiesof Mathematical Logic, Chelsea Publ, Comp., New York, 1950,p. 7) . Una simple comprobación numérica aclarará la cuest ión:

a) 2(3 + 4) = (2 X 3) + (2 X 4) ,

p o r q u e :

2 X 7 = 6 4 - 8 = 14;

en cambio :

b ) 2 + (3 X 4 ) (2 + 3 X 2 + 4 )

p o r q u e :2 + 12 s* 5 + 6.

(21) Esta ley establece una diferencia entre el Algebra de Booley el Algebra corriente, aunque si se l imita el campo de existenciade las variables a los números 0 y 1, también resulta válida enes ta úl t ima; en efecto , 0 .0 — 0 y 1.1 — 1, lo que ya sabía Husserlcuando escribía: "el cálculo algebraico se reduce al cálculo lógico

si la sucesión de los números naturales se circunscribe a 0 y 1.




(V. S. Bachelard: La logique de Husserl, Presses Universitairesde Frailee, París, 1957, p. 84). Un pensamiento similar fue expre-sado por Boole en An Investigation (op. cit. pág. 37).

x.x — x significa que si elegimos en el universo de discurso (1)los objetos de la clase a; y, en seguida, reiteramos esa operación,no se obtendrá una clase nueva, sino, otra vez, la clase x. La leydel índice coi4esponde a la propiedad que los lógicos actuales lla-man idempotmte (que es cumplida por la conjunción y la dis-yunción dentro del cálculo sentencial) . En An Investigation (op.cit .) la ley del índice se presenta modificada: en vez de

xn— x

tenemos solamente

x2 = x.

La razón del cambio parece haber sido que la forma genera-lizada no siempre se puede interpretar lógicamente. Por ejemplo,x3 = x no es interpretable lógicamente, porque las expresionesequivalentes: .

x ( l — x)(l + x ) = 0,x( l — x) (— 1 — x) = 0,

exigen la inter pre tac ión de los fac tore s 1 + x y — 1 —x. El pri-mero de ellos no se pu ed e in ter pr eta r porq ue la adición de un aclase cualquiera a; al universo de discurso (1) es inconcebible; yel segundo t am po co es interp reta ble porq ue el s ímbolo — 1 noestá sujeto a la ley x(l — x) = 0 , que es vál id a para todo s ímbolo

dentro del sistema de Boole. Como dice Boole (V. op. cit . , p, 50)existen operaciones posibles para el matemático que son ajenas alcampo lógico y a;3 = x es una de ellas. (Y, desde luego, tambiénlo es xn = x). Como en el desarrollo de los cálculos se puedenpresentar expresiones algebraicas no interpretables lógicamente,pero que conducen a resultados finales con sentido lógico, Booleexplica que tales expresiones son intermedias y comparables alsímbolo -yj—1 en la trigon om etría, igualm ente ininterp retable pe-

ro conducente a una expresión f inal con sent ido matemático. En




el cap. V de su obra, ya ci tada, An Investigation. . ., al establecerlos pr incipios fundamentales del razonamiento s imbólico, destacaen cursiva que "De hecho, es posible poner a un lado la interpre-tación lógica de los símbolos de una ecuación dada; convertirlaen símbolos cuantitativos susceptibles de poseer solamente losvalores 0 y 1; realizar con ellos todos los procedimientos que exigela^solución y, finalmente, resti tuir a dichos símbolos su interpre-tación lógica (op. cit . , p. 69-70).

A p a rt ir de la ley d el índice, se llega a la ley de contradicción(o "ley de dualidad", como la l lama Boole), derivada algebraicar

mente de la pr imera. Si :x2 = x,

puedo escr ibi r :x — x2

— 0

y , s a c a ndo f a c t o r c om ún :

• x(\ - *) = 0

Su po ng am os qu e x s imboliza " la clase de los hom bres", luego1 — x será la de los no-h om bres y — x ) será una clase cuyosmiernbros son, a la vez, hombres y no-hombres. Ahora bien, estaclase no existe (lo que se expresa por el símbolo 0) porque un indi-viduo no puede ser hombre y no-hombre, lo que es s imbolizadopor la ecuación:

x(l —x) = 0

que se traduce así: es imposible que un individuo posea y no po-

sea una misma propiedad. (V. Boole, op. cit . , p. 49-51), formula-ción que, en esencia, reproduce la del principio de no contradic-ción, tal como f igura en la Metafísica de Aristóteles.

(22 ) De acuerdo a las manifestaciones de su creador, el AlgebraSimbólica (que hoy l lamamos Algebra de Boole, dis t inguiéndoladel Algebra de Boole-Schroeder y de las álgebras abstractas mo-dernas) es un sis tema matemático abstracto cuyas leyes se ref ierena símb olos inin ter pre tad os y cuyo significado no interesa. (V. las




notas 3, 4 y 5) . Es evidente, s in embargo, que Boole interpretalos símbolos electivos de dos maneras: una algebraica, según lacual dichos símbolos son variables cuyos valores posibles son sólo0 y 1; y otra lógica, que traduce los símbolos electivos en claseslógicas (aunque Boole no lo declare explícitamente). Desde estesegundo punto de vista, algunas expresiones y cier tas operacionesno son interpretables lógicamente. El escol lo es salvado en formaprovisoria por el propio Boole quien explica cómo, en tales casos,se suspende m om en tán eam en te la in terpre tac ión de las expre-siones u operaciones intermedias del cálculo para hacerlo al final,

desde que las combinaciones simbólicas últ imas son una conse-cuencia deducida de las premisas. (V. la nota 21 y An Investiga-tion, pp. 69-70).

No obstante el lo, Lewis (V. A Survey..., pp. 55-56) objetaa Boole su inconsecuencia con respecto a los principios por élmismo estatuidos. En efecto, según la regla formulada en la p. 70de yin Investigation..., Boole debería haber desarrollado su Al-gebra sin considerar la significación lógica de los símbolos electivos

y, recién al término de las respectivas operaciones, interpretarloscomo clases lógicas, señalando, a la vez, los límites de dicha inter-pretación,. Es decir que el desarrollo del sistema abstracto debióhacerse con un criterio neutral y considerar separadamente lasdos interpretaciones, la lógica y la ma tem átic a ; lo que no siemprelogra cumplir Boole.



D E L A S E X P R E S I O N E S Y S UI N T E R P R E T A C I O N

U na propos ic ión (23) es una oración que afirma o

niega; por ej . , Todos los hombres son mortales, Ningunacriatura es independiente.

Una proposición posee necesariamente dos térmi-nos (24) , como hombres, mortales; el primero de ellos,o aquel del que se habla, es el sujeto; el último, o loque se af irma o niega del sujeto, es el predicado. Ambostérminos es tán conectados por la cópula, es, o no es, o

por cualquier otra forma del verbo sustantivo.El verbo sustantivo es el único verbo aceptado en

Lógica; todos los otros se pueden reducir al verbo sercon un participio o adjet ivo, por ejemplo, Los romanosvencidos; la palabra vencidos es a la vez cópula y pre-dicado, s iendo equivalente a fueron (cópula) derrotados(predicado) .

Una propos ic ión puede ser af irmat iva o negat iva (25)y también universal o particular. En consecuencia, te-nemos en total cuatro clases de proposiciones categó-ricas puras .

I o ) U niver sal -af irm at iva, com únm ente representa-da por A.

Ejemplo , todas las X son T .




2 o) Un iversa l-nega tiva, corrientemente representa-

da por E.Ejemplo , Ninguna X es Y.

3o) Particular-afirmativa, habitualmente simboliza-da por I .Ejemplo, Algunas X son Y.

4 o) Pa rticular-n egativa , com únm ente representadapor O (*).

Ejemplo , Algunas X no son Y.

1. Expresar la clase no-X, es decir la clase que in-cluye a todos los individuos que no son X.

La clase X y la clase no-X juntas constituyen elUniverso. Pero el Universo es 1 y la clase X está de-terminada por el símbolo x, en consecuencia la clase

no-X se puede representar por el símbolo:1 — x. (26)

Luego, el símb olo 1 — x } unido a un sujeto dado,tendrá la función de elegir en dicho sujeto todas lasno-X que contiene.

Y, análogamente, así como el producto xy expresatoda la clase cuyos miembros son a la vez *X e y , el

símbolo y( 1 —• x) representará la clase cuyos miembrosson Y pero no X, y el símbolo (1 — x) (1 — y ) toda laclase cuyos miembros no son ni X ni Y.

2. Expresar la proposición Todas las X son Y (27).Como toda s las X existentes se encuentran en la clase

(*) Es ta c las i f icac ión ha s ido tomada, con l igeras var iantes , de los Tra-

t a d o s d e A l d r i c h y ' W h a t e l y .




Y, es obvio que extraer del Universo todas las Y y deel las escoger todas las X es lo mismo que elegir directa-m en t e t od as l a s X del Universo.

xy = x,

- y ) = 0. (IV)

Z. Expresar la proposición Ninguna X es F.

Af irmar que n inguna X es Y es lo mismo que decir

que no existen términos comunes a las clases X e Y.Como todos los individuos comunes a dichas clases sonrepresentados por xy, resulta que la proposición Nin-g u n a X es Y puede ser expresada por la ecuación:

xy = 0. (V)

4. E xp re sar la pro po sición A lgun as A" son Y.Si a lgunas X son Y hay algunos términos comunes

a las clases X e Y, Formemos con es tos términos unac lase independiente V a la que corresponderá un sím-bolo e lect ivo propio v . Luego:

v ~ xy. (VI)

Y com o v incluye todos los términos comunes a lasclases X e Y, podemos interpretar este s ímbolo indis-

t i n t am en t e com o Al gu n as X o Algunas Y.5. Expresar la propos ic ión Algunas X no son Y.En la ecuación anterior , sust i tuyamos y por 1 — y

y t en d rem os :v = x ( l - y ) , (VII)

s iendo la interpretación de v indis t intamente AlgunasX o Al gu n as n o - Y.




Las ecuaciones anteriores constituyen la teoría com-

pleta de las proposiciones categóricas; nada más cabeesperar en lo que respecta al empleo del análisis para ladeducción de las inferencias lógicas. No obstante, puederesultar satisfactorio referirse a algunas formas particu-lares qne se deducen de las ecuaciones tercera y cuartay que son susceptibles de aplicaciones similares.

Si multipl icamos la ecuación (VI) por x, tenemos

vx = x2

y = xy,en virtud de (I II ).

Comparando con (VI) , obtenemos• V = vx, *

O 0(1 — s ) = 0. (VIII)

Y mult ipl icando (VI) por y, y reduciendo de manerasemejante, tenemos

v = vy,

o t;(l — y) = Q. ( IX)

Comparando (VIII) y (IX),vx — vy — v. (X )

Y, además, comparando (VIII) y (IX) con (IV), te-nemos como equivalente de este sistema de ecuaciones

las proposiciones Todas l a s V son X.Todas l a s V son Y.

El sistema (X) puede reemplazar a (VI), o la simpleecuación:

vx = vy, (XI)

puede también ser usada, asignando a vx la interpre-




tac ión Algunas X y a vy Algunas Y. Sin embargo, se

observa que el s istema no expresa mucho más que lasimple ecuación (VI) de la cual se ha derivado. En rea-l idad, ambas expresan la proposición Algunas X sonY } pero el s istema (X) no implica que la clase V incluya

*iodos los términos que son comunes a X e Y.Del mismo modo, de la ecuación (VII) que expresa

la propos ic ión Algunas X no son Y, deducimos el sis-

t e m a : vx = v{\ — y) = v, (XII)

do nd e la interpretación de — y) es Algunas no-F.Desde que ,%n es te caso , vy = 0, hay que tener cuidadode interpretar vy como Algunas Y.

Si mult ipl icamos la primera ecuación del s istema( XI I ) , p or e j em p l o

vx = v ( l — y),por y , t enemos

vxy = vy(l — y);vxy = 0, (X III)

que es una forma que se puede presentar ocasional-mente. Pata interpretarla, no es necesario volver a laecuación primitiva porque la condición gracias a la cual

vx representa Algunas X nos mostró, en virtud de (V),que su s ignif icación será:

Algunas X no son Y,

comprendiendo e l suje to todas las X que se encuentran

en la clase V.Umversalmente, en estos casos, la diferencia de for-

ma implica una diferencia de interpretación con res-



ANÁL ISIS M AT E M ÁT ICO DE L A L Ó G ICA 6 9

pecto al símbolo auxiliar v, y cada forma es interpretable

por sí misma. Además, estas diferencias no introducenen el Cálculo innecesarias confusiones. Al contrario, deaquí en adelante se verá que confieren a sus conclusionesuna precisión y una determinación que, de otro modo,no se podrían asegurar.

Finalmente, destacamos que todas las ecuaciones pormedio de las cuales se expresan las verdades particu-

lares, se deducen de una ecuación general cualquiera,que expresa una proposición general cualquiera, de lacual aquellas proposiciones particulares son deduccio-nes necesarias.

Todo el lo ya ha sido mostrado parcialmente peroes ejemplificado en forma mucho más completa en elesquema siguiente.

La ecuación generalx = y t

implica que las clases X e Y son equivalentes miembroa miembro; qu e cada individ uo perteneciente a una deellas también pertenece a la otra. Multipliquemos laecuación por * y tendremos

x2

= xy;x = xy,

que implica, por (IV), que todas las X son Y . Multi-pliquemos la misma ecuación por y y tendremos, aná-logamente :

V = xy;

que significa que todas las Y son X. Tomemos cualquie-




ra de estas ecuaciones, la última por ejemplo, y escri-

biéndola bajo la forma:( 1 — 3 ) 7 , = 0 ,

podemos considerarla como una ecuación en la cual y,4¿na ca nt id ad des con ocid a, aparece expresada en térmi-n os d e x. Cuando volvamos a tratar la solución de lasecuaciones electivas (y el resultado se puede verificaraquí por sustitución), se podrá ver que la solución más

general de es ta ecuación es :y = vx,

que impl ica Todas las Y son X y Algunas X son Y.Mu l t i p l i can d o p or x, ob t en em os :

vy ='vx,

que impl ica , indis t intamente, Algunas Y son X y Al-

g u n a s X son Y, que es la forma particular a la quel l egamos anter iormente .

Para facilitar la consulta, el resultado anterior yalgunos otros serán clasificados en la Tabla anexa, cuyaprimera columna contiene proposiciones, la segundaecuaciones y la tercera las condiciones de la interpre-tación final. Cabe señalar que las ecuaciones auxiliares

for m ula da s en es ta colum na no son independientes: estánimplicadas en la segunda columna o en la condiciónpara la interpretación de v. Pero se ha creído prudenteescribirlas por separado por razones de facilidad y con-veniencia. Además, es bueno tener presente que, aunquese hayan dado tres formas diferentes para la expresiónde cada una de las propos ic iones particulares, todas están

incluidas en realidad en la primera forma.



ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA LÓGICA 7 1

T A B L A

La clase X xLa clas&- n o -X 1 — x

Todas las X sonY

Todas la s Y sonX

Todas las X s on |Y J

Ninguna X es |Y ' J

Todas las Y son iX

Algunas X sonY

Ninguna Y esX

Algunas no - X 1

son Y

Algunas X sonr

x = y

x i l — y) = 0

xy = 0

y = vx

y = y(l —• x)

vx = algunas X

v(l — a?) = 0.

v(l —- x) = algunasno-X

vx =¡ 0

v = xy v ~ algunas X o al-gunas Y.

ó vx = vy vx = algunas X, vy= algunas Y

6 — y) = 0 — s) = 0,

v(l — y) = 0




v — algunas X, o al-

gunas no -YA l g u n a s X n o ^ ó M c = t/(l— y) vx = algunas X, v

son Y (1 — 2/) algunas no-F

y ( l — 3 ) = 0 , vy — 0

(23) Ar ist ót ele s de fin ía la proposición (áirópavtus- o Hyog-

áiro<pávTtxog-) como una "oración en la cual reside la verdad o lafalsedad". Sin embargo, no todas las oraciones poseen esta pro-

piedad: "la plegaria es una oración pero no es una proposición,porque no es ni verdadera ni fa l sa" (V. De Interpretatione V, 17 a,en The Works of Aristotle translated into English under the Edi tor-ship of W. D. Hoss, London, Oxford Univ. Press, 1050). La pa-labra XÓ70sr es t raducida también como "discurso", "enunciado"o "expresión" y, en la versión inglesa dirigida por Ross, se anota"sentence". En el texto de Boole, nosotros hemos t raducido esta pa-labra como "oración", s iguiendo la interpretación corr iente, que

es la que usa el autor . Una versión real izada desde el punto devista de la Logíst ica, hubiera prefer ido "sentencia 3 ' (V. Lógicamatemática, de Ferrater Mora-Leblanc, p. 21, obra ya ci tada) o" f r ase" (Y . G . S t ah l : Enfoque moderno de la Lógica clásica, Edi-ciones de la Universidad de Chile, 1958, Santiago, p. 71) o quizástambién "enunciado" (Y. Ferrater-Mora-Leblanc, loe. ci t . ) . Asítambién I . M. Bochenski (V. Ancient Formal Logic, North-Hol landPublishing Company, Amsterdam, 1951) al t raducir a Aristóteles

inte rpr etá nd olo desde un pu nto de vista semiótico. En su librom en cio na do , clasifica loM símbolos en atómicos (páo-stg-) y molecu-lares (~k6701). La "sentencia" (á-n-tupavait;) pertenece a estos últi-m os . L as se nten cias se clasifican, a su vez, en atóm icas y molecu-lares. Entre las primeras se encuentran la afirmación (xaTáípcurt?)y la negación (áiró^paa-L^) (V. I. M. Bochenski, op. cit., p. 28).

La definición de proposición propuesta por Boole corresponde,en r ea lida d, a lo qu e Aristóteles den om inaba irp^aaig-: un a oración

que afirma o niega algo de algo (irpóracrig- /ueu o{iv íar\ \6707



ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA LÓGICA 7 3

xara^ctrtKÓg- dirocpariHog- Tiv^g- x a rá r ( V . I, 24 a 16-17,en la edición anotada de Ross de Aristolle's Prior an Posterior

Analytics, A t th e Clare ndo n Press, 1949, Oxford). Como lo se-ñala Lukasiewicz (V. op. cit., p. 3) en este sentido, tambiénla conclusión es irpÚTaaig- porque afirma algo acerca de algo. (Aris-tóteles dice: T O ¿ S ov^Trípotapa T I xará rcvó? E Q T I U (V. la ediciónci tada de 'Ross, 53 a 8-9) .

Es posible q ue Boole enc ontra ra m ás "sin táct ica" — y, porello, más conveniente para su sistema— la definición de -irpóraaL^que la de &irt¡<pavaporque esta últ im a util iza los valores verda d-

falsedad, que le confieren a la "sentencia" un sent ido "semántico".Es cierto, por otra parte, que Aristóteles reconoce que la afirma-ción y la negación son usadas, a veces, en reemplazo de la verdady la falseda d, res pe ctiv am en te; sin emb argo, el estagiri ta distin-gue ené rgicam ente am b as relaciones (V. Boche nski, op. cit .,P . 31).

R. Carnap (V. Introduction to Semantics, Cambridge-Massa-chusetts, Harvard University Press, 1948, 235) destaca que el

término "proposición" es usado para expresar una "sentencia de-clarativa", o también como "lo que es expresado (significado,formulado, representado, designado), por una sentencia declarativa". El primer uso, asimila la proposición a la sentencia, el últ imodistingue la proposición como "lo expresado" por una sentencia.La mayor parte de los lógicos contemporáneos emplean la pro-posición en el segundo sentido (inclusive el propio Carnap), si-guiendo una interpretación que se remonta a Aristóteles . En uno

de sus úl t imos t rab ajo s , Carn ap usa "sentence" y "s ta tem ent"como sinónimos y con el significado de sentencias declarativas(indicativas, proposicionales) (V. Empiricism, Semantics, and Onto-logy, en la obra colect iva edi tada por L. Linky Semantics andthe Philosophy of Language , The University of Il l inois Press atUrbana, 1952, p. 209).

(24) La premisa está const i tuida por dos elementos que Aristó-teles denomina "términos" (opoi)- El significado original de opog-,




o de su correspondiente lat ino terminus es "límite" y éste es elsent ido de los dos '6poi de la premisa. El sujeto y el predicado sonel principio y el fin de las premisas, es decir sus l ímites: "éste ese l verdadero s igni f icado de 'ópog-; hay que evi tar cuidadosamentela identificación de esta palabra lógica con expresiones sicológicaso metaf ís icas Como "idea", "noción", "concepto" (Y. Lukasie-wicz, op. cit., p. 3). Bochenski ha señalado que, a veces, Aristótelesem ple a com o sinón imo de op w /iV, definición (Y. Bochenskiop. cit . , p. 33).

(25

) La p ro posi c ió n o Xó-yos- á;rc^avTi«o$r) pu ede sera f i r m a t i va (karzipaai?, affirmatio) o negativa (á-ró^ao-tr, negado).Aunque ambas expresiones son de Aristóteles, no fue él quien lasutil izó p or p rim era vez ni tamp oco son palabras de uso lógicoexclusivo. El término naráspaatg parece haber sido introducidopor el Pseudo-Dionisio en su Teología Mística que es, en realidad,una Teología Negativa (V. en nuestro t rabajo Caracteres antimeta-físicos del pensamiento contemporáneo el parágrafo t i tulado Objeto

y método de la Metafísica, en la Revista de Filosofía de la Facultadde Humanidades de La P la ta , TS° . 9) .

(26) 1 — x es la clase complemento de x, el conjunto de losindividuos que no per tenecen a x y que sumados a ella nos da 1(el universo de discurso):

x + (1 — x) =1

1 — x es el universo menos las x, es decir todos los individuos

que no son x. Por ejemplo, si la clase de los romanos es a', 1 — .rserá la clase de los no-romanos. Actualmente, se suele usar parael complemento de clases el símbolo de la negación colocado sobrela let ra que designa la clase negada:

A

y se def ine as í :

A = def . x — (x s A)




La fó rm ula x + (1 — x ) = 1 es la expresión del principio de

tercero excluido as í como x( l— x) — 0 simboliza el principio deno contradicción (V. Nota 21) . Se pueden deducir algebraicamenteambas fórmulas, operando con los s ímbolos como si fueran varia-bles y cons tantes numér icas :

a) — x) = x + l — x = 1

b) x( l — x) = x — xx, por la propiedad distributiva, pero como:

xx — x, por la ley del índice, tenemos que:

x — x — 0.

(27) Boole no introdujo la relación de inclusión; Schroeder—que entró en contacto con el cálculo de Boole en 1877 y lo teníaen muy elevada est ima— sust i tuyó la cópula de igualdad por lade snbsunción, quedando reservado a Peirce el mérito históricode haber introducido la relación de inclusión. En lugar de ella, se ;

usa en el texto la relación de igualdad (=¡). Por ejemplo, x = ysignifica que las clases x e y t ienen idénticos miembros; por eso,

la proposición "Todo .Y es Y" se represe nta xy = x, o, también—' y) = 0 , que signif ica " lo que es x pero no y es igual a cero".Las cuatro proposiciones típicas de la lógica clásica se expresan así :

Todo x es y: x = vy o x( l — y) = 0

Ningún x es / / : x — v(l —y) o xy = 0

Algún x es y: vx = wy o v —_x¡j

Algún x no es y: vx = — y) o v = x(l — y)

Hemos tomado este cuadro de la obra de Lewis ya ci tada(p. 57) corrigiendo la tercera l ínea de la segunda columna queestá equivocada en el texto. A juicio de este autor, la interpre-tación del coeficiente v como "algún" es arbi t rar ia porque puedeser nulo. Por su parte, E. W. Beth considera que la simbolizaciónde "Algún x es y" como ivx = vy es inadecuada, siendo la correctaxy ^ 0 (V. E . W. Beth: The Origin and Growth of Symbolic Logic,Synthése, Vol. VI, N" 7-8, May 1947-May 1948, Netherlands,

p. 271).



D E L A C O N V E R S I O N D E P R O P O S I C I O N E S

Se dice que una proposición ha s ido convertida cuan-so sus términos se han traspuesto; cuando no se hacenada más se denomina conversión s imple; por ejemplo:

Ningún hombre virtuoso es t irano, es convertida enNingún t irano es hombre virtuoso.

Los lógicos reconocen también la conversión per ac~cidens, o por l imitación, por ejemplo,

Todos los pájaros son animales , es convertida enAlgunos animales son pájaros .

Y la conversión por contraposición o negación , comoTodo poeta es hombre de genio , es convertida enEl que no es hombre de genio no es poeta.

Toda propos ic ión puede ser consecuentemente con-vertida por alguno de estos tres procedimientos, a saberE en I s implemente , A y O por negación, A y E porl imi tac ión .

Las formas canónicas primarias ya determinadaspara la expresión de las proposiciones son:

T od as l a s X son YN i n g u n a X es YA l g u n a s X son YA l g u n a s X no son Y

7x ( l - y ) = 0,

xy = 0,v = xy,v = x{l — y)

AEIO

Examinando es tas expres iones , observamos que E




e I son simétricas con respecto a x e y, de manera tal

que si x es cambiada en y, e y en x, las ecuaciones re-sultan inalteradas. En consecuencia, E e / pueden serinterpretadas como:

N i n g u n a F e s I ,Algunas Y son X,

respectivamente. Así l legamos a la regla conocida delos lógicos que dice que las proposiciones particulares

afirmativas y universales negativas admiten ser con-vertidas s implemente.

Las ecuaciones A y O se pueden escribir bajo lasformas:

(1 — 2/) |1 — (1 — s)¡ = 0,« = (1 — y) |1 — ( l - s ) l .

Ahora bien, éstas son precisamente las formas quehabríamos obtenido si hubiéramos cambiado, en esasecua ciones, la a; en 1 — y y la y en 1 — x, que repre-sentarían el cambio, en las proposiciones originales, delas X en no-F y de las Y en no-X, resultando las pro-posiciones:

Todas las no-F son no-X,Algunas no-Y no son no-X (a) .

O, por simple inversión del orden de los factores enel segundo miembro de 0, y escribiéndola en la forma:

v = (1 — y)x,

podemos interpretarla, por / , comoAlgunas no-F son X,

que es, en realidad, otra forma de (a). En consecuencia,




se sigue la regla que las proposiciones universales afir-

mat ivas y part iculares negat ivas admiten una conver-s ión negativa, denominada también conversión por con-trapropos ic ión .~~ L as ecu ac ion es A y E, escritas en las formas:

(1 — y)x = 0,vx = 0,

t ienen como solución las formas respectivas:

x = vy,x = v(l — y),

cuya corrección puede ser evidenciada sust i tuyendo es -tos va lores de x en las ecuaciones a las cuales pertene-cen, y observando que dichas ecuaciones son satisfechascon absoluta independencia de la naturaleza del s ímbolo

IK L a prim era soluc ión pue de ser interpretada com o:Algunas Y son X,

y la segunda:

Algunas no-Y son X.

De donde resulta que las proposiciones universalesafirmativas y universales negativas son convertibles porl imitación, o , d icho de otro modo, per accidens.

Las precedentes son las leyes de conversión acep-tadas por el Arzobispo Whately. Los autores dif ieren,sin embargo, acerca de la admisibilidad de la conver-s ión negat iva. La cuest ión depende de que admitamosel uso de términos como no-X, no-Y. Concordando conlos que piensan que tales términos deben ser admitidos,aun cuando cambien la calidad de la proposición, me




veo obligado a observar que la clasificación actual de

losmismos es equivocada y deficiente. Así la conversión

de Nin gun a X es Y en Todas las Y son no-Á", aunqueperfectamente legít ima, no es reconocida en el esquemaanterior. En consecuencia, convendría estudiar la cues-t ión en forma más completa.

Aunque intentáramos deducir del s i s tema de ecua-ciones que hemos obtenido las leyes de la conversión y,además, de la transformación general de las proposi-ciones, deberíamos reconocer los siguientes elementosdiferentes cada uno de ellos relacionado con un pro-ceso m ate m átic o dis t into .

I o) La negación de un término, es decir el cambiode X en no-X, o de no-X en X,

2 o) La traducción de una proposición de una calidad

;i otra, com o si ca m biá ra m os:Todas las X son Y en Algunas X son Y. A en I,lo que sería legít imo; o:

Todas las X son Y en Ninguna X es Y. A en E, loque sería i legít imo.

3o) La conversión s imple de una proposición.

Las condiciones a las cuales deben sujetarse estos

procesos para realizarse legítimamente, se pueden de-ducir de las ecuaciones que expresan las proposiciones.

T en em os :

Todas las X son Y — y) = 0. ANi n gu n a X e s Y xy — 0 E

Escr ibamos E bajo la forma:

®|1 — (1 — y)\ = 0,




y es interpretable, por A, como:

Todas las X son no-F,de modo que podemos cambiar:

N i n g u n a X es Y por Todas las X son no-F.

De la misma manera , A interpretado por E da:N i n g u n a X es no-F,

o sea que es posible cambiar:

Todas las X son F en Ninguna X es no-F.

De estos casos extraemos la siguiente regla: unaproposición universal afirmativa es convertible en unauniversal negativa y viceversa, por negación del pre-dicado.

N u e v a m e n t e t e n e m o s :

Al gunas X son Y v = xy,

Algunas X no son F v = x(l — y).

Estas ecuaciones difieren de las consideradas ante-riormente sólo por la presencia del término v. En con-secuencia, es aplicable el mismo razonamiento y l le-gamos a la regla: una proposición particular afirma-tiva es convertible en una particular negativa, y vice-versa, por negación del predicado.

Supongamos la proposiciones universales:

Todas las X son FNinguna X es F

3(1 - y) - 0,xy = 0.

Multipl icando por v obtenemosvx(l — y) = 0,

vxy ~ 0,




que son interpretables como

Algunas X son YAl gu n as X no son Y

Por io tanto, una universal af irmativa es converti-ble en una particular-afirmativa y una universal-nega-t iva en una particular negativa, s in negación del sujetoo del predicado.

Combinando la regla anterior con la ya probada

de la con ver sión s imp le, l legam os al s iguiente s istemade leyes independientes de transformación.

I o ) Una propos ic ión af irmat iva puede ser cambiadaen su correspondiente negat iva {A en E, o I en 0 ) ,y viceversa, por negación del predicado.

2 o) Una proposición universal puede ser cambiadaen su correspondiente proposición particular (A en I,o E e n 0 ) .

3 o) En una proposición particular af irmativa o uni-versal negativa, los términos pueden ser convertidosm u t u am en t e .

Donde la negación de un término equivale a l cambiode X en no-X y viceversa, y no debe ser interpretada

como si afectara la calidad de la proposición.Toda transformación válida se puede reducir a las

reglas anteriores . En consecuencia, tenemos:

Todas las X son Y,

Ninguna X es no-F por la primera regla ,

Ninguna no-F es X por la tercera regla ,

Todas las no-F son no-X por la primera regla ,




lo que es un ejemplo de conversión negativa. Nuevamente,

N i n g u n a X es Y,N i n g u n a Y es X (tercera regla),T o d a s l a s Y son no-X (primera regla) .

que es el caso ya deducido.



D E L O S S I L O G I S M O S

Un si logismo está compuesto de tres proposiciones;la última de ellas, denominada la conclusión, es una

consecuencia lógica de las dos primeras llamadas laspremisas; por ejemplo,

Todo s i logismo t iene tres y sólo tres términos, delos cuales el que es sujeto de la conclusión es l lamado

el término menor, el predicado de la conclusión términomayor y el restante, común a ambas premisas, es de-nominado término medio. Así, en la fórmula precedente,Z es el término menor, X el mayor e Y el término medio.

La f igura de un s i logismo depende de la s ituacióndel término medio con respecto a los términos de la con-clusión . Las diver sas f iguras aparecen en el esquema anexo.

la. Fig. 2a. Fig. 3a. Fig. 4a. Fig.

PremisasI To da s las Z son Y.í Todas las Y son X.

Conclusión, Todas las Z son X.

Y XZ YZ X

X YZ YZ X

Y XY ZZ X

X YY ZZ X

Cuando designamos las tres proposiciones de un s i lo-gismo por sus símbolos usuales (A,E,I,0) y en su orden

real , decimos que determinamos el modo del s i logismo.




Así el si logismo formulado anteriormente como ilustra-ción pertenece al modo AAA de la primera figura.

Los modos de todos los silogismos corrientementeaceptados como válidos están representados por mediode vocales en los siguientes versos mnemotécnicos:

Fig . 1. — bArbArA, cElArE nt, dA rlI, fE rlO queprioris.

Ffe . 2 . — cEsA rE, cAm EstrEs, fEs tlnO , bArOkO,secundae .

Fig . 3 . — Tert ia dA rA ptl , d l sA m ls , dA tl sI ,fElAptOn, bOkArdO, fErlsO, habet: quarta insuperaddi t .

F ig . 4 . — brAmAntlp , cAmEnEs, d lmArls , fEsApO,frEsIsOn.

La ecuación mediante la cual expresamos cualquierproposición referente a las clases X e Y, es una ecuación

entre los símbolos x e y, y la ecuación con la cual expre-samos toda proposición referente a las clases Y y Zes una ecuación entre los símbolos y y z. Si de dos ecua-ciones como éstas el iminamos y, el resultado, si es queno se anula, será una ecuación entre y y z y puede serinterpretado en una proposición referente a las clasesX y Z. Y, en consecuencia, constituirá el tercer miem-

bro, o conclusión, de un silogismo en el que las dos pro-posiciones dadas son las premisas.

El resultado de el iminar y de las ecuaciones:

ay + b = 0,a'y 4- b' = 0, (XIV)

es la ecuación:ab' — a'b = 0. (XV)




Ahora bien, s iendo las ecuaciones de las proposi-

ciones del primer orden con respecto a cada una de lasvariables involucradas, todos los casos de el iminaciónque vamos a considerar serán reducibles al caso ante-rior, reemplazando las constantes a, b, a', b', por fun-ciones de x,z y el s ímbolo auxil iar v.

En la elección de las ecuaciones para expresar nues-tras premisas, la única restricción es que aquéllas no

sean ambas de la forma ay = 0, porque en esos casosla el iminación, sería imposible. Cuando ambas ecuacio-nes son de esta forma es necesario resolver una de ellasy es indistinto cuál elegimos para ese propósito. Si laque elegimos es de la forma: xy = 0, su solución será:

y = v(l — x) t ( X V I )

si es de la for m a (1 - — x ) y — 0, la solución será

y — vx, ..... (XVII)

y éstos son los únicos casos que se pueden presentar.La razón d e esta exc epc ión se verá m ás adelante.

Por razones de uniformidad, en la expresión de lasproposiciones particulares , nos l imitaremos a las formas:

vx = vy Al gu n as X son Y,

vx = — y) Al gu n as X no son Y.

Estas formas poseen una analogía más estrecha con| (XVI) y (X V II ) qu e las otras form as que pueden seri usadas.

Entre las fórmulas a desarrollar (28) y los cánonesaristotélicos se observan, excepcionalmente, algunas di-

ferencias sobre las cuales conviene advertir al lector.




Para la correcta comprensión de este respecto, es

atinado señalar que la estructura esencial de un silo-gismo es, en cierta medida, arbitraria. Suponiendo queel orden de las premisas esté establecido y, en él, quededeterminada la dist inción entre el término mayor y elmenor, es sólo una cuest ión de elección cuál de los dostendrá precedencia en la conclusión. Los lógicos handecidido esta alternativa en favor del término menor

pero es fácil ver que se trata de una convención. Si seacepta que el término mayor ocupara el primer lugaren la conclusión, se puede construir un esquema lógicoque, en algunos casos, puede ser menos convenienteque el existente aunque, en otros, resulta superior. Loque se ha perdido en barbara se ganará en bramaniip.La conveniencia res ide quizás en el ordenamiento acep-

tado (*) , pero se debe tener presente que es solamenteun orden.

El nuevo método que vamos a exponer está referidoa un esquema de ordenamiento en mayor medida quea otro, en consecuencia dará siempre la conclusión másgeneral, debiendo observarse sólo su validez abstractaconsiderada como el resultado del razonamiento puro.

Y, en consecuencia, a veces seremos espectadores deconclusiones que un lógico llamaría informales peronunca de expresiones que el razonamiento est ime falsas .

Los cánones aristotélicos, sin embargo, junto a la

(* ) E l pun t o de v i s t a con t r a r i o fue sos t en i do por H obbcs . E l p rob l emah a s i d o d i s c u t i d o o b j e t i v a m e n t e p o r H a l l a m e n s u Introduction lo the literature,of Europe, vol . I II , p. 309. En el uso retórico del s i logismo la superioridad

pa rece s e r i n sepa rab l e de l a f o rma r echazada .




restricción del orden de los términos de una conclusióntambién l imita su naturaleza y esta l imitación t ienemayores consecuencias que la primera. Por un cambiode figura, podemos reemplazar la conclusión particularde bramantip por la conclusión general de barbara; pero110 podemos de este modo reducir a una regla inferenciascomo:

Algunas no-X no son F .

Sin embargo, existen casos en que esas inferenciaspueden ser realizadas con legitimidad y, de hecho, sesuelen presentar frecuentemente en los argumentos norestringidos. Mas, si una inferencia de este tipo, o decualquiera otra naturaleza, es legítima en sí tambiénse verá que lo es en los resultados de nuestro método.

Restringiendo el canon de interpretación, podemos

circunscribir los resultados que hemos formulado den-tro de los l ímites de la lógica escolástica, pero ello equi-valdría solamente a restringirnos a usar una parte delas conclusiones que nos permiten nuestros anális is .

La clasif icación que hemos de adoptar es puramentematemática; más adelante consideraremos el ordena-miento lógico al cual corresponde. Bastará, como refe-

rencia, nombrar las premisas y las respectivas figurasen que se basan.

la. Clase. — Fo rm as en las que no entra v.

Aquel las que admiten una inferencia con AA,EA,

Fig. 1 ;AE,EA, Fig. 2; AA,AE y Fig. 4.

E j . : AA, Fig. 1, y, por mutación de premisas (cam-bio de orden) A A, Fig. 4.



m G E O R G E B O O L E

Todas las Y so n X, y{ 1 — x) = 0, o (1 — x ) y - 0T od as l a s Z so n Y, z( 1 — y) = 0, o zy — 2 = 0

- r E l im inan do y , por (XV ) , t enemos:z{ 1 — x) = 0,

Todas las Z son X .

Un modo conveniente de efectuar la e l iminación dela y es escribir la ecuación de las premisas de maneraq u e y aparezca sólo como un factor de un miembro de

la primera ecuación y como un factor del miembroopuesto en la segunda y luego mult ipl icar las ecuacio-nes omit iendo la y . Adoptaremos es te método.

E j . : AE, Fig. 2, y, por mutación de premisas, EA y

Fig. 2.T od as l a s X son Y, x ( l — y) = 0, o zx = xyN i n g u n a Z es Y zy ~ 0, zy — 0

zx = 0Ni n gu n a Z es X .El único caso en el que no existe inferencia es AA y

Fig. 2.Todas las X son Y, x ( l — y) — 0, x = xyTodas las Z son Y, z( 1 — y) = 0, zy = z

xz — xz:. 0 = 0

2a. Clase. — Cu an d o v es introducida para solucio-nar una ecuac ión .

Los casos válidos determinables directa o indirec-tamente (*) por las reglas aristotél icas son AE, Fig. 1;AA, AE, EA, Fig. 3; EA, Fig. 4.

( * ) D e c i m o s directa o indirectamente porque, en cier tos casos, se requierel a mut ac i ón o conve r s i ón de l a s p r emi sas . A s i , A.E (Fig. 1) se resuelve en Fe-




Los casos válidos que no son determinables por esteprocedimiento son: EE, Fig. 1; EE, Fig. 2; EE, Fig. 3;EE, Fig. 4.

E j em p l o : AE , Fig . 1, y , por m uta ció n de premisas,EA, Fig. 4.

Todas las F son X, y( 1 — x) = 0, y ~ vx (a)N i n g u n a Z es F, zy 0, 0 = zy

0 = vzx

.*. Algunas X no son Z.La razón que nos impide interpretar vzx = 0 como

Algunas Z son no-X, es que la interpretación de vxcomo Algunas X ya es tá determinada para los térmi-nos reales de la primera ecuación (a); representando va Algunos, sólo con respecto a la clase X.

La razón del empleo de una solución de una de las

ecuaciones primitivas puede verse en las observacionessobre (XVI) y (XVII) . Si hubiéramos solucionado lasegunda ecuación en lugar de la primera, tendríamos:

r (1- x)y = 0,v{\—z) = y, (a),

, v(l — z){\ — x) = 0, (b),Algunas no-Z son X:

Aquí hay que observar que la segunda ecuación (a)fija el sentido de v(l — z) como Algunas no-Z. El s ig-nif icado completo del resultado (b) es que todas las

sapo (Fig . 4) o en Fer io (Fig . 1) . Ar i s tó te les y sus cont inuadores descar taronl a cua r t a f i gu ra por cons i de r a r l a só l o una modi f i cac i ón de l a p r i mera ; pe ros i endo é s t a una mera cues t i ón de fo rma , cada uno de l os e squemas puede s e rl l amado ar i s to té l ico .




n o -Z que se encuentran en la clase Y están en la clase

X y es evidente que éste no podría ser expresado deotra manera .

E j . 2 : AA, Fig. 3:

T od as l a s Y son X, y( 1 — z ) = 0, y = vx

T o d a s l a s Y son Z, y ( l — z) = 0, 0 = y(l — z)

0 = ¿>x(l —• z): . Algunas X son Z.

Si hubiéramos resuelto la segunda ecuación, ten-dríamos como resultado Algunas Z son X. La formade la ecuación f inal particulariza a qué X o a qué Zse refieren, y esta observación tiene carácter general.

La s iguiente , EE, Fig. 1, y, por mutación, EE,Fig. 4, es un ejemplo de un caso válido no determinablemediante las reglas aristotél icas .

N i n g u n a 7 e s I , xy = 0, 0 = xyN i n g u n a Z es Y, zy — 0, y = y(l — z)

0 - vil — z)xAlgunas no-Z no son X

Sa. Clase. — Cu an d o v se encuentra en una de lasecuaciones, pero no es introducida como solución.

Los casos válidos determinables en forma directa oindirectamente por medio de las reglas aristotélicas sonAI, El, Fig. 1; AO, El, O A, IE, Fig. 2; AI, AO, El,EO, IA, IE, O A, OE , Fig. 3; IA, IE, Fig. 4.

Aquellos que no se pueden determinar por este pro-ced imiento son OE, Fig. 1; EO, Fig. 4.

Los casos en los que ninguna inferencia es posible




son AO, EO, IA, IE, OA, Fig. 1; AI, EO. IA, Fig. 2;

OA, OE, AI, El, AO, Fig. 4.Ejemplo 1: AI, Fig. 1, y, por mutación, IA, Fig. 4,

Todas las F son X, y( 1 — x) = 0Al gunas Z son F, vz = vy

V2(l — x) ~ 0Algunas Z con X.

Ejemplo 2: AO, Fig. 2, y, por mutación, OA, Fig. 2.Todas las X son F, x{\ — y) = 0, x — xyAlgunas Z no son F, vz = t>(l — y), vy = v(l — z)

vx = vx(l — z)vxz = 0

Algunas Z no son X .

Se verá que la interpretación de vz como Algunas Zestá implicada en la ecuación vz = t>(l — y) que puedeser considerada como la expresión de la proposiciónAlgunas Z no son F.

Los casos no determinables por medio de las reglasaristotélicas son OE, Fig. 1 y, por mutación, EO, Fig. 4.

A l gunas Y no son X vy = v(\ — x)N i n g u n a Z es F 0 = zy

0 = v(l — x)zAlgunas no-X no son Z.

La ecuación de la primera premisa nos permite, eneste caso, interpretar v{l — x) pero no nos autoriza a

hacer lo propio con vz. Tomamos como ejemplos dos




casos en los cuales ninguna inferencia es posible de

s iguientes:AO, Fig. 1, y, por mutación, OA , Fig. 4.

Todas l a s Yson X, y{ 1 — x) = 0, y( 1 — x) = 0

A l g u n a s Z no vz = v{ 1 — y)(a) u ( l — z) = vy

son Y, z)( l— x) = 00 = 0

desde que la ecuación auxiliar es, en este caso, t?(l—z) = 0.Prácticamente no es necesario —aunque satisface—

realizar esta reducción. La ecuación (a), ya se ha visto,def ine vz como Algunas Z pero no define y(l — z), enconsecuencia debemos detenernos en el resultado de laeliminación (6) y conformarnos con decir que no essusceptible de ser interpretada como una relación entre

las clases X e Y.

Tenemos como segundo ejemplo AI, Fig. 2, y, pormutación, IA, Fig. 2.

Todas l a s X son Y, x( l — y) ~ 0, x - xyA l g u n a s Z son Y , vz — vy, vy — vz

vx = vxz

d(1 — z)x =00 = 0 ,

sien do , en es te caso, la ecuación auxiliar — z) = 0.

En realidad, en todos los casos de esta clase en loscuales no es posible la inferencia, el resultado de la eli-minación es reducible a la forma 0 = 0. En consecuencia

no es necesario abundar en ejemplos.



ANÁL ISIS M AT E M ÁT ICO DE L A L Ó G ICA 93

Clase. — C u a n d o v entra en ambas ecuaciones.

Ninguna inferencia es posible en ningún caso, peroexiste una dist inción entre los casos válidos que es ca-racterística de esta clase. Ls dos divisiones son:

I o ) Cuando el resultado de la el iminación se puedereducir a la forma 0 = 0 por medio de las ecuacionesauxiliares. Los casos son II, OI, Fig. 1; II, 00, Fig. 2;II, 10, OI, 00, Fig. 3; II, 10, Fig. 4.

2o

) Cuando el resultado de la el iminación no se puedereducir a la form a 0 = 0 por medio de las ecuacionesauxiliares.

Los casos son 10, 00, Fig. 1; 10, OI, Fig. 2; OI,00, Fig. 4.

Tomemos, como un ejemplo del primer caso, II,Fig. 3.

A l g u n a s X so n Y, vx — vy , vx = vyA l g u n a s Z so n Y, v'z = v'y, v'y = v'z

vv'x = vv'z

Ahora bien, las ecuaciones auxil iares v{\ — x) =0,— z) = 0 , d an vx = v, v'z = v'. Sust i tuyendo, te-

nemos :

w' = vvr,0 = 0.

Como un ejemplo del últ imo caso, tenemos IO, Fig. 1.

Algunas F son X, vy = vx, vy = vx

Algunas Zno son Y, v'z ~ v'(l—y), v'(\ — z) = v'y

vv'{\ — z) = vv'x

Si las ecu acio ne s auxil iares son — x) =0, í/(1— z)

= 0, lo anterior se reduce a vv' = 0.




Todos los casos s imilares se pueden reducir a esta

forma. Su interpretación es que las clases v y v' no tienenmiembro común, lo que es evidente. La precedente cla-s if icación está basada exclusivamente en dist incionesmatemáticas . Puede inquirirse ahora a qué divis iónlógica corresponde.

Los casos válidos de la primera clase comprendentodos aquellos en los cuales de dos premisas universales

se extrae una conclusión universal . Vemos que incluyenlas premisas de barbara y celarent de la primera figura,d e cesare y camestres en la segunda y de bramantip ycamenes en la cuarta. Las premisas de bramantip hansido incluidas porque admiten una conclusión univer-sal , aunque no en la misma f igura.

Los casos legítimos de la segunda clase son aquellos

en los que una conclusión particular sólo es deduciblede dos premisas universales .

Los casos válidos de la tercera clase son aquellos enlos cuales una conclusión se deduce de dos premisas,siendo una universal y la otra particular.

La clase cuarta no t iene casos válidos.

Entre los casos en que no es posible inferencia de

ninguna naturaleza, encontramos seis en la cuarta clase,distinguibles de los otros porque el resultado de la eli-minación no asume la forma 0 = 0 .f A l gu n as Y son X , 1 J Algu nas Y no son X, 1

t A l g u n a s Z no son Y, I l Algun as Z no son Y, J

Algunas X son Y, )

Algunas Z no son Y, J



A N Á L I S I S M A T E M Á T I C O D E L A L Ó GIC A 9 5

y los tres restantes que se obtienen por mutación de las

premisas. Se podría suponer que existiera alguna pecu-liaridad lógica para responder a la peculiaridad mate-mática a la que nos hemos referido, y en realidad hayuna digna de ser señalada. Si examinamos cada par depremisas en el esquema precedente, encontraremos quevirtuoimente no existe el término medio, es decir no haymedio de comparación en ninguno de los términos. Así,

en el primer ejemplo, se establece que los individuos delos que se habló en la primera premisa pertenecen a laclase F, pero aquellos a los que se hizo referencia enla segunda pertenecen —según se af irma virtualmente—a la clase no-F; por ninguna transformación legít ima,o conversión, podríamos modif icar este estado de cosas.Sin embargo, se podrá establecer una comparación con

la clase Y en una premisa y con la no-F en la otra.Ahora bien, además de los seis precedentes , en cadacaso se encontrará un término medio expresado o im-plicado. Elegiré dos de los casos más difíciles:

E n AO, Fig. 1, por ejemplo:

T od as l a s Y son X,Algunas Z no son F ,

tenemos, por conversión negativa de la primera pre-misa,

T od as l a s n o - X s on n o - F ,A l g u n a s Z no son F,

y e l término medio es entendido ahora como no-F.N u e v a m e n t e , e n EO, Fig. 1,

N i n gu n a F e s X ,

Algunas Z no son Y,




una conversión probada de la primera premisa (Vid.

De la Conversión de las Proposiciones) que da:Todas las X son no-F ,Algunas Z s on n o - F ,

y el término medio, que es el verdadero medio de com-paración, es evidentemente no-F, pero, como las no-Fde una premisa pueden ser diferentes de los de la otra,ninguna conclusión puede extraerse.

En consecuencia, la condición matemática en cues-tión —la irreductibilidad de la ecuación final a la forma0 = 0— representa adecuadamente la condición lógicade la inexistencia de término medio, o medio común decomparación, en las premisas dadas.

T en go par a m í qu e la distinción producida por lapresencia o ausencia del término medio, en el estricto

sentido aquí establecido, no ha s ido señalada antes deahora por los lógicos. Esta distinción, aunque real ydigna de atención, no es de ningún modo obvia y podríahaber pasado desapercibida en el ejemplo dado a noser por la peculiaridad que le confiere su expresiónmatemática. Lo que se presenta como original en estecaso es la prueba de la existencia de combinaciones depremisas en las que no existe absolutamente ningúnmedio de comparación. Cuando existe ese medio decomparación, o verdadero término medio, la condiciónde que su cuantif icación en ambas premisas juntas debesobrepasar a la cuantif icación como un todo s imple,ha s ido mostrada hábil y claramente por el Profesor DeMorgan al señalar su necesidad para la inferencia válida,(Cambridge Memoirs, Vol. VIII, Part. 3). E, induda-




blemente, éste es el verdadero principio del silogismo

considerado desde el punto de vista de la Aritmética.Y a he m os dich o que sería fact ible imp oner condicionesde interpretación que restringieran los resultados de es-te cálculo a las formas aristotélicas. Esas condicionesserían:

I o ) Convenir en no interpretar las formas v( l — z) ,®(1 — z).

2 o) Acordar el rechazo de toda interpretación en laque el orden de los términos violara la regla aristotélica.

O, en lugar de la segunda condición, se podría con-venir en que estando determinada la conclusión, si fueranecesario se podría cambiar el orden de las premisaspara hacer formal el silogismo. En realidad, del caráctergeneral del s istema, resulta manif iesto que éste puede

ser construido para representar cualquier esquema con-cebible de lógicíi , imponiendo las condiciones apropia-das al caso considerado.

Hemos descubierto que, en cierta clase de casos, esnecesario reemplazar las dos ecuaciones que expresanproposiciones universales por sus soluciones; y parececonveniente destac'ar que hubiera sido admisible ha-

berlo hecho (*), en todos los ejemplos, de manera quecada caso del silogismo, sin excepción, pudiera ser tra-

(* ) C onv i ene i l us t r a r e s t e c r i t e r i o con un e j empl o . En Barbara:

T o d a s l a s Y son X, y = vxT o d a s l a s Z son Y, z = v'y

Z — vv'x

: . To da s l a s Z son X.




tado por ecuaciones comprendidas en las formas ge-

nerales :y = vx, ó y — vx = 0 A,

y = v(l — x), ó y + ux — V = 0 E,vy ~ vx, vy — vx = 0 l,vy - vil — x), vy + vx •— V= 0 0 .

A h ora mu l t i p l i cam os l a ecuac i ón r e su l t a n t e por 1 — que da

x ( l — x) = 0,

y , en consecuenc i a , l a mi sma conc l us i ón Todas l a s Z son X.

Algunos e jemplos suplementar ios de la apl icac ión, en e l t exto , de l s i s temade ecuaciones a l a demost rac ión de teoremas genera les será , quizás , conve-n i e n t e .

C o n s i d e r e m o s q u e y sea e l t é rmino a e l iminar y que x represente indis -t i n t amen t e cua l qu i e r a de l os t r e s s í mbqfos , po r cons i gu i en t e cada una de l a secuaciones de las premisas de cualquier s i logismo puede ser escr i t a ba jo laf o r m a :

ay + bx = 0, (a)

s i l a p r emi sa e s a f i rma t i va ; y en l a f o rma :ay +b( 1—x) = 0, (S)

s i es ne ga t iva , s iendo a y & co ns tan tes o expres iones de la for m a ± v. P a r aproba r l o en de t a l l e , exami nemos cada c l a se de p ropos i c i ones hac i endo a ys u c e s i v a m e n t e s u j e t o y p r e d i c a d o .

A , T o d a s l a s Y son X, y — vx = 0, (y )T o d a s l a s X so n Y, x — vy = 0, (5)

E , N i n g u n a Y es X, xy = 0,N i n g u n a X es K, y — r ( l — x) = 0, (e)

I , A l g un as X son F ,A l g u n a s Y so n X, vx — vy = 0, ( f )

O , A l g u n a s Y no son X, vy — i>(l — x) = 0 , ( T ¡ )A l g u n a s X n o s o n Y, vx = v(l — y),

vy—v{ 1 — x) = Ü. (8 )

L as ecu acio nes a f i r m at iv as (y) , (&) y ( f ) , per ten ecen a (a), y l as ecua-cion es ne g at iv as (s) , (T¡) y (0) , a (p) . S e pu ed e ve r qu e las dos ecuacio nes nega -




Tal vez sea mejor e l s i s tema que hemos empleado

realmente, porque dist ingue los casos en los que v sólopuede de aquel los en los que debe ser empleada. Pero,

t i vas son seme j an t e s pe ro ex i s t e una d i f e r enc i a de i n t e rp r e t ac i ón . En l a p r i -mera :

' V v( l — x) — A l g u n a s n o - X ,

en l a ú l t i m a : *»(1 — x) = 0.

La ut i l idad de las dos formas genera les de referencia (a) y (£) se despren-de rá de l a ap l i cac i ón s i gu i en t e .

Io) U na conclusión alcanzada a partir de dos proposiciones afirmativas esafirmativa.

Por ( a ) t enemos pa r a l a s p ropos i c i ones dadas :

ay + bx = 0,a'y + b'z = 0,

y e l i m i n a n d o :ab'z —a 'bx — 0,

que es de la forma (a) ; de donde, s i hay una conclus ión, es af i rmat iva .

2 o) Una conclusión deducida de una proposición afirmativa y una negativaes negativa.

Por (« ) y ( £ ) , t enemos pa r a l a s p ropos i c i ones dadas :

ay + bx = 0,a'y -j - b'(l — z ) - 0 ,

a'hx — ab'(l — z) = 0,

que es l a fo rm a D e do nd e la conclus ión, s i exi s te , es neg at iv a .

3 o) Una conclusión derivada de dos premisas negativas implicará una ne-gación {no-X, no-Z) tanto del sujeto com o del predicado y, en consecuencia, seráinadmisible en el sistema de Aristóteles, aunque válida en sí misma.

Si endo l a s p r emi sas :a'y + b'(l — x ) = 0,

a'y + 7/(1 — z) = 0,l a conclus ión se rá :

ab'(l — z) — a'b( l — x) = 0,

que se puede i n t e rp r e t a r so l amen t e como una p ropos i c i ón que t i ene una ne -

gación en c ad a térm ino . .



1 0 0 G E O R G E B O O L E

para la demostración de ciertas propiedades generales

del silogismo, el sistema precedente resulta muy con-

4 ° ) Teniendo en cuenta sólo aquellos silogismo s en los que la conclusión es

la más general que puede ser deducida de las premiaos —si, en un silogismo aris-

totélico, Id premisa menor es cambiad a en calidad (de afirmativa a negativa o de

negativa a afirmativa), sea o no cambiada en cantidad— no se puede deducir

conclusión en la misma figura.

U n a p r o p o s i c i ó n a r i s t o t é l i c a n o a d mi t e u n t é r mi n o d e l a f o r ma n o - Z e n e ls u j e t o . S i c a mb i a mo s l a c a n t i d a d d e l a p r o p o s i c i ó n me n o r d e u n s i l o g i s mo ,

l a t r a n s f e r i m o s d e l a f o r m a g e n e r a lay + bz = 0,

a l a f o r m a g e n e r a l :

• a'y + í>' (1 — z) = 0;

véase (a ) y (£ ) , o v iceversa . Y , por cons igu ien te , en l a ecuac ión de l a con-c l u s i ó n h a b r á u n c a m b i o d e z en 1 —- z, o v icevers a , lo que equ iva len te , e ine m b a r g o , a u n c a m b i o d e Z en no~Z o de no - Z en Z.

A h o r a b i e n , e l s u j e t o d e l a c o n c l u s i ó n o r i g i n a l d e b e h a b e r i n v o l u c r a d o u n a

Z y n o u n a n o - Z , l u e g o e l s u j e t o d e l a n u e v a c o n c l u s i ó n i mp l i c a r á u n a n o - Zy l a c o n c l u s i ó n n o p o d r á s e r a d m i t i d a d e n t r o d e l a s f o r m a s a r i s t o t é l i c a s e x c e p t op o r c o n v e r s i ó n , l o q u e e x i g i r í a u n c a mb i o d e f i g u r a .

L a s c o n c l u s i o n e s d e e s t e C á l c u l o a o n s i e mp r e l a s má s g e n e r a l e s q u e p u e d e nd e r i v a r s e , y , e n c o n s e c u e n c i a , l a d e mo s t r a c i ó n a n t e r i o r n o d e b e s u p o n e r s eq u e p u e d e s e r e x t e n d i d a a u n s i l o g i s mo e n e l c u a l s e d e d u c e u n a c o n c l u s i ó np a r t i c u l a r c u a n d o e s p o s i b l e u n a u n i v e r s a l . E s t e e s e l c a s o d e bramantip, sólod e n t r o d e l a s f o r m a s a r i s t o té l i c a s , y e n t o n c e s la t r a n s f o r m a c i ó n d e bramantipe n camenes, y v i c e v e r s a , e s e l c a s o r e s t r i c t i v o c o n t e mp l a d o e n l a p r o p o s i c i ó np r e l i m i n a r d e l t e o r e m a .

5 ") Si sustituimos la premisa m e n o r de un silogism o aristotélico p or s ucontradictoria no se puede d educir ningun a conclusión dentro de la mismafigura.

A q u í s ó l o e s n e c e s a r i o e x a m i n a r e l c a s o d e bramantip porque todos loso t r o s e s t á n d e t e r m i n a d o s p o r l a ú l t i m a p r o p o s i c i ó n .

C a m b i a n d o l a m e n o r d e bramantip p o r s u c o n t r a d i c t o r i a , t e n e mo s . 1 0 ,F i g . 4 , q u e n o a d m i t e i n f e r e n c i a l e g í t i m a .

E s d e c i r q u e e l t e o r e ma e s v e r d a d e r o s i n e x c e p c i ó n . E n ma n e r a a n á l o g a ,

s e p u e d e n d e m o s t r a r m u c h o s o t r o s t e o r e m a s g e n e r a l e s .




veniente por su simplicidad y por la mutua analogía

de sus formas. Lo aplicaremos al teorema siguiente (*).Dadas las tres proposiciones de un silogismo, de-mostrar que existe un orden en el que pueden ser colo-cadas legítimamente y determinar dicho orden.

Todas las formas dadas más arriba para la expresiónde proposiciones son casos particulares de la forma ge-neral :

a + bx + cy — 0.Supongamos, para las premisas del si logismo dado,

las ecuaciones:a + bx + cy = 0 (XVIII)

a' + b'z + c'y = 0, (XIX)

(* ) Es t e e l egan t e t eo r ema me fue comuni cado por e l R eve rendo C har l e sGraves , Fellow y Pro feso r de Mat emá t i cas en e l Tr i n i t y C o l l ege (D ub l i n ) , a

qu i en deseo expresa r aqu í mi p ro fundo r econoc i mi en t o por su ace r t ad í s i moanál i s i s de la pr imera par te de ee te l ibro y por a lgunas apl icac iones nuevasde l mé t odo . E l e j empl o s i gu i en t e de r educc i ón ad impossibile f igura ent re e l los :

M o d o a r e d u c i r Baroko Todaa l a s X son Y, \ — y — f ' ( l — x )

A l g u n a s Z no son Y vz = — y)

, , . Alg un as Z no son X vz —vv'( 1 — x )

M o d o r e d u c i d o Barbara T o d a s l a s X son Y 1 — y = v'(l—x)T o d a s l a s Z son X 3(1 — x) = 0

T o d a s l a s Z son Y z{ 1 — y) = 0.

La conc lus i ón de l mo do r educ i d o e s l a con t r ad i c t o r i a de l a p r emi sa menorsupr i mi da . Luego , e t c . H ay que des t aca r que l a p rueba ma t emá t i ca de l a spropos ic iones cont radic tor ias es que a l e l iminar un s ímbolo e lec t ivo de susecuaciones e l o t ro s ím bolo e lec t ivo tam bié n desapare ce . La reducción ostensivade Baroko y Bokardo carece de di f icul tad .

El Profesor Graves sugiere e l empleo de la ecuación x = vy para la expre-s ión pr imar ia de la propos ic ión Todas las X so n Y y observa que mul t ip l i -c a nd o a m b o s m i e m b r o s p o r 1 — y o b t e n e m o s x ( l — y) = 0 , q ue es l a ecuación

que es tablec imos en e l t exto , s iendo la pr imera una solución de és ta .




luego , e l iminando yy tendremos como conclusión:

ac' — a'c + bc'x — b'cz = 0 , ( XX)Si tomamos és ta como una de nuestras premisas y

cualquiera de las ecuaciones originales , por ejemplo(XVIII) , como la otra, y e l iminando un término comúnx de el las obtenemos un resultado equivalente a la res-tante premisa (XIX) , resulta que hay más de un ordenen el que las proposiciones pueden ser escritas legítima-

m e n t e ; pero si ello no ocurre sólo es válido un ordena-miento único .

Efectuando, luego, las e l iminaciones , tenemos:

bc(af + b'z + c'y) - 0 , (X X I)

que equivale a (XIX) mult ipl icado por un factor be.Ahora, examinando el valor de este factor en las ecua-ciones A, E y I, O, encontramos que en cada caso es vo — v. Pero es evidente que s i una ecuación que expresauna proposición dada es mult ipl icada por un factorextraño derivado de otra ecuación, su interpretaciónestará l imitada o resultará imposible . De es te modo,o no habrá resultado en absoluto o el resultado seráu n a limitación de la proposición restante.

Sin embargo, si una de las ecuaciones originales fuera:x — y 6 x — y = 0,

el factor be sería — 1 y no limitaría la interpretaciónde las otras premisas. Por consiguiente, si el primermiembro de un s i logismo fuera interpretado como larepresentación de la proposición doble Todas las Xson Y y Todas las Y son X, el orden de las otras pre-

misas sería indiferente .



ANÁL ISIS M AT E M ÁT ICO DE L A L Ó G ICA 1 0 3

Una forma más general de la invest igación anterior

podría ser la expresión de las premisas por las ecua-ciones :

a + bx + cy + dxy = 0 , ( XXI I )o! + b'z + c'y + d'zy = 0 , ( XXI I I )

Después de la doble e l iminación de y y x, tendríamos:

(bc~ ad)(a' + b'z + c'y + d'zy) = 0;

y se vería que el factor be — ad debe, en cada caso, o

desaparecer o expresar una l imitación del s ignif icado.La determinación del orden de las proposiciones es

lo suf ic ientemente obvia .

(28) El método de desarrol lo de una función es expuesto en elCap. V de An Investigatión. . . Se l lama f unción de x —f(x)— a unaexpresión algebraica que contiene un símbolo x; cuando la expresión

contiene dos símbolos — f (x ,y )— se dice que es una función de x e y1 + xetc., etc. V erb igra cia: 1 — x , son funciones de x\ pero

1 — xx + y .

x — y7 son funciones cíe x e y.x — 2 y

Si en una función / (x) sus t i tu imos x por 1 el resultado se ex-presa / ( l ) y, an álog am ente, s i sust i tuimo s x por 0 escribiremos/(O). Siendo x un símbolo lógico, o una variable algebraica cuyos

únicos valores son 0 y 1, se dice que una función f(x) está desarro-Hada cuando se la ha reducido a la forma ax + b(l — x); a y bdeben estar determinados de manera tal que el resul tado sea equi-valente a la función de la cual dicha forma fue derivada. La reglageneral del desarrollo de una función consta de dos partes: laprimera se relaciona con los constituyentes de la expansión, lasegunda se refiere a la determinación de los coeficientes respec-tivos (V. las reglas en Boole: An Investigation..., pp . 75-76, y

en Lewis, op . cit . , p . 59 ). W



D E L A S P R O P O S I C I O N E S Y L O S S I L O G I S M O SH I P O T E T I C O S

Una proposición hipotética se define como la resul-

t an t e d e dos o más proposiciones categóricas unidas poruna cópula (o conjunción). Las diferentes clases de pro-posiciones hipotét icas se denominan, a partir de sus con-jun cion es respe ctiva s, condicional (s i) , disyu ntiva (o) , etc.

En las proposiciones condicionales, la proposicióncategórica de la que resulta la otra se llama antecedentey la resultante de és ta consecuente.

Existen dos y solamente dos fórmulas del s i logismocondicional .

I o ) La cons truct iva:Si A es B, entonces C es D,A es B , en consecuencia C es D.

2 o ) La destruct iva:S i A es B, entonces C es D.

C n o e s D, en consecuencia A no es B.

Un dilema es un silogismo condicional complejo, convarios antecedentes en la mayor y una menor disyun-t i va .

Si examinamos cada una de las formas del s i logismocondicional expresado más arriba, veremos que la va-

l idez del argumento no depende de ninguna considera-




ción que tenga conexión con los términos A, B, C, D, en

cuanto representantes de individuos o de clases. Dehecho, podemos representar las proposiciones A es B,C es D, por medio de los símbolos arbitrarios X e Y,respectivamente, y expresar nuestros silogismos en for-mas como las siguientes:

Si X es verdadera, entonces Y es verdadera,X es verdadera, en consecuencia Y es verdadera.

De esta manera, lo que vamos a considerar no sonobjetos o clases de objetos sino las verdades de las pro-posiciones, es decir de esas proposiciones elementalesque están incorporadas en los términos de nuestras pre-misas hipotét icas.

Podemos adecuar a los s ímbolos X, Y, Z, que repre-sentan las proposiciones, los símbolos electivos x, y, z,

en el sentido s iguiente:El Universo hipotético, 1, comprenderá todos los

casos concebibles y las circunstancias anexas.El s ímbolo elect ivo x, junto a cada sujeto que ex-

prese dichos casos, elegirá aquellos en los que la propo-sición X es verdadera y del mismo modo en lo que res-pecta a Y y Z.

Si nos l imitamos a considerar una proposición dadaX manteniendo en suspenso cualquier otra estimación,sólo serán concebibles dos casos: I o ) que la proposicióndada sea verdadera y 2 o) que sea falsa (28).

(ÍS) Ba sán do se , en e l pr inc ip io obv io de que un a propos ic ión es ver dad erao f a l s a, y ap l i cán do l o t am bi é n a a se r c i ones r e f e r en t e s a hechos fu t u ros , l o ses to i cos i n t en t a r on fu nd a r l a do c t r i n a de l des t ino . Se ha r e fu t ad o e s te a rgu-

m e n t o o b s e r v a n d o q u e i m p l i c a " u n a b u s o d e l a p a l a b r a verdad, cuyo s igni -




Estos casos constituyen la total idad del Universo

de la p rop osició n, de m anera que como el primero estádeterminado por e l s ímbolo e lect ivo x el último lo estápor el s ím bo lo 1 — x,

Pero, s i se aceptan otros planteos, cada uno de estoscasos se resuelve en otros, particularmente menos ex-tensos, cuyo número dependerá de la cantidad de con-sideraciones exteriores admitidas. Así, si relacionamos

las proposiciones X e Y, el número total de casos concebi-bles se encon trarán exp uestos en el esquema siguiente.

Casos Expresiones electivasI o ) X verdadera , Y ver- V

dadera xy2 o ) X verdadera , Y falsa — y)3 o ) X falsa, Y verdad era (1 — x)y

4o

) X falsa, Y falsa (1 — x) (1 — y) ( X X I V )

f i cado p r ec i so e s i d quod r e s t est. Una aserc ión sobre e l fu turo no es n i ver -d a d e r a n i f a l s a " . {Necesidad y predestinación, de Coples ton, p . 36) . Sin em-ba rgo , s i e l ax i oma es t o i co fue r a p r e sen t ado ba j o l a f o rma : "Es c i e r t o que unacon t ec i mi en t o t endrá l uga r o no t endrá l uga r " , l a r e fu t ac i ón an t e r i o r nol ogra r í a encon t r a r l a d i f i cu l t ad s eña l ada . I va r e spues t a ap rop i ada t endr í a quese r que n i nguna de f i n i c i ón merament e ve rba l puede de f i n i r l a cues t i ón ace r cade cuá l s ea e l cu r so y l a cons t i t uc i ón r ea l de l a N a t u r a l eza . C uando a f i rmamosqu e e s c i e r t o que un hec ho t end rá o no luga r , suponemos t ác i t am en t e que e l

orden de los acontec imientos es necesar io y que e l Futuro no es s ino una evo-l uc i ón de l P r e sen t e ; po r cons i gu i en t e , e l e s t ado ac t ua l de l a s cosas de t e rmi nacompl e t amen t e e l que vendrá . Y é s t a e s ( por l o menos en l o que r e spec t a al a conduc t a de l os agen t e s mora l e s ) l a ve rdade ra cues t i ón d i spu t ada . Expues t oen su fo rma p rop i a , e l r azonami en t o e s t o i eo no i mpl i ca un abuso de l engua j es i n o u n a petitio principii.

H abr í a que ag rega r que , en l a ac t ua l i dad , l o s i l umi nados de f ensores del a doc t r i na de l a N ec es i dad , con t em pl an do e l f in como seña l ado sól o en y a t r a -vés de l os med i os , r epud i an ace r t adament e e sas consecuenc i a s p r ác t i cament ee n f e r m i z a s q u e s o n e l r e p r o c h e f o r m u l a d o a l F a t a l i s m o .




Si agregamos las expresiones elect ivas para los dos

primeros ca sos del esq ue m a pr ece den te, la suma seráx, que es e l s ím bo lo elect ivo ade cua do para el caso másgeneral en que X es verdadera con independencia detoda consideración acerca de Y; y si añadimos las expre-s iones elect ivas en los dos últ imos casos s imultánea-mente, el res ulta do será 1 — •x que es la expresión elec-tiva apropiada al caso más general en que X es falsa.

De es ta manera, la extens ión del Universo hipoté-t ico no depende absolutamente del número de las cir-cunstancias consideradas. Y conviene destacar que, in-dependientemente de que dichas circunstancias sean po-cas o muchas, la suma de las expresiones elect ivas querepresentan todos los casos concebibles seguirá siendola un idad . C on side rem os, e n con secuen cia, las tres pro-

posiciones X , l lueve; Y, graniza; Z , hiela. Los casosposibles son los siguientes: r

Casos Expresiones electivas

1°) Llueve, graniza y hiela xyz

2 o) Llueve y graniza, perono hiela xy{l — z)

3 o) Llueve y hiela, pero nograniza xz( 1 — y)

4 ) H iela y gran iza, perono l lueve zy ( 1 — s )

5 o) Llueve, pero ni granizani hiela O x ( l — y ) ( l -•2)

6 o ) Graniza, pero ni l lueve

ni hiela y{ 1 - * ) ( ! -




7°) Hiela, pero ni graniza

ni l lueve 2(1 — x)(l — y)8 o ) Ni l lueve, ni graniza nih ie la (1 — g ) ( l — g )

1 = suma

Expresión de las proposiciones hipotéticas

Expresar que una proposición dada X es verdadera.

E l s ímbo lo 1 — x elige los casos en los que la pro-pos ic ión X es falsa. Pero, si la proposición es verdadera,no existen tales casos en su Universo hipotét ico, porcons igu iente:

1 — x = 0,o X = 1, ( XXV)

Expresar que una proposición dada X es falsa.El s ímbolo e lect ivo x elige todos aquellos casos en

los cuales la proposición es verdadera, de manera quesi la proposición es falsa:

£ = 0 , - (X XV I)

Y, en todos los casos, habiendo determinado la ex-presión elect iva adecuada a una proposición dada, af ir-

mamos la verdad de esa proposición igualando la ex-presión elect iva a la unidad, y su falsedad igualandola misma expres ión a 0 .

Expresar que dos proposiciones, X e Y, son s imul-t án eam en t e verd ad eras .

El s ímbolo elect ivo apropiado a este caso es xy,por consiguiente la ecuación considerada es:

xy = 1 , (XXVII )



ANÁ LISIS MA TEM ÁTIC O DE LA LÓGICA If ljÉk

Expresar que dos propos ic iones , l e F , son s imul-

táneamente fa lsas .Evidentemente , la condic ión será:

(1 — s ) ( l — y) - 1,

o x + y — xy = 0 , ( X X V I I I )

Expresar que la proposición X es verdadera o laproposición Y es verdadera.

Afirmar que una u otra de las dos proposiciones es

verdadera equivale a decir que no es verdad que ambasson falsas . Como la expresión elect iva adecuada a lasmismas, s iendo ambas falsas , es (1 — x)(l — y), la ecua-ción requerida será:

( i , a 0 ( l y) ~ 0 ,

o x+y — xy = 1 , ( X X I X )

Y, mediante consideraciones indirectas de esta na-turaleza, se pueden expresar todas las proposiciones dis-yuntivas por numerosos que sean sus miembros. Pero,en la práctica, será siempre preferible la regla generalsiguiente.

Regla. — Considérese cuáles son los casos distintos ymu tuamente exclusivos en los cuales está implícito, en elenunciado de la proposición dada, que algunos de elloses verdadero e iguálese a la unidad la suma de sus expre-siones electivas. Esta será la ecuación de la proposicióndada.

En efecto, la suma de las expresiones elect ivas paratodos los distintos casos concebibles será la unidad. Pero,como todos es tos casos son mutuamente exclus ivos yse ha af irmado en la proposición dada que algún caso




—de un conjunto dado de ellos— es verdadero, resulta

que todos los que no están incluidos en dicho conjuntoson falsos y que sus expresiones electivas son, respec-tiv am en te , igua les a 0. Luego, las urna de las expresio-n es ele ct iv as p ara los casos restantes, es decir aquellosque están incluidos en el conjunto dado, será iguala la unidad. En consecuencia, alguno de esos casosserá verdad ero pero, com o se excluyen m utuam ente, es

imposible que más de uno sea verdadero. De donde, laregla en cuestión.Y, en la aplicación de esta regla, hay que observar

que si los casos considerados en la proposición disyun-tiva dada no son mutuamente exclusivos, deben serresueltos en una serie equivalente de casos que sí losean.

D e este m od o, si consideramos la proposición delejemplo anterior, X es verdadera o Y es verdadera,y suponemos que sus dos miembros no son exclusivoshasta el punto que en la enumeración de los casos po-sibles calculamos que las proposiciones X e Y son ambasverdaderas, entonces los casos que integran el Universode la proposición con sus expresiones electivas son:

Io

) X verdadera e Y falsa, x{\— y)2 o ) Y verdadera y X falsa, y(l — x)3 o ) X verdadera e Y verdadera, xy

y la suma de todas estas expresiones electivas, igualadasa la unidad, da:

x + y — xy = 1 ( X X X )

como antes. Pero si suponemos que los miembros de




la proposición disyuntiva son exclusivos entonces losúnicos casos a considerar son:

I o ) X verdadera, Y falsa, z( l ~y)2 o) Y verdadera, X falsa, y( 1 — x)Y la suma de estas expresiones electivas, igualada

a 0, dax — 2xy + y = 1 ( X X X I )

Los ejemplos adjuntos i lustrarán mejor este método.

Expresar la proposición X no es verdadera o y noes verdadera, siendo sus miembros exclusivos.

Los casos mutuamente exclusivos son:I o ) X no verdadera, y verdadera, y(l — x)2 o) Y no verdadera, X verdadera, x(l — y)

y la suma de ellos, igualada a la unidad, da:

s — 2xy + y = 1 , ( X X X I I )que es igual a (XXXI), y de hecho las proposicionesque representan son equivalentes.

Expresar la proposición X no es verdadera o Y noes verdadera, no siendo sus miembros exclusivos.

A los casos considerados en el último ejemplo, hayque agregar el siguiente:

X no verdadera, Y no verdadera, (1 — x )( l — y).La suma de las expresiones electivas da:

x ( l — y) + y(l - x) + (1 - x)(l - y) = 1,o xy = 0 , ( X X X I I I )

Expresar la proposición disyuntiva X es verdadera,o Y es verdadera, o Z es verdadera, siendo sus miem-bros exclusivos.




Aquí los casos mutuamente exclusivos son:

I

o

) X verdadera, Y falsa, Z falsa, x ( l -— y ){ 1 — z ) }2 o ) Y verdadera, Z falsa, X falsa, y{l — z)(l— x),B°) Z verdadera , X falsa, Y falsa, «(1 — x )( l — y),

e, igualando la suma de las expresiones electivas a 1,después de la reducción obtenemos:

x -)r y 2 (xy + yz 4- zx) +

• = ( x x x r v )

La expresión de la misma proposición cuando sus.miembros no son exclusivos, será:

(1 — . x) ( l - y)(l - z) = 0 , (XXXV)

Y es fácil ver que nuestro método es aplicable a laexpresión de toda proposición semejante cuyos miem-bros estén sujetos a cualquier cuantificación específica

y a la condición de exclusión.Expresar la proposición condicional Si X es ver-

dadera Y es verdadera.Esta expresión implica que todos los casos de X

verdadera son también casos de Y verdadera. Los pri-meros están determinados por el símbolo electivo x ylos úl t imos por y, por consiguiente, en virtud de (IV),

t e n e m o s :x ( l - i j ) = ü, (X X X VI)

Expresar la proposición condicional Si X es ver-dadera Y no es verdadera.

La ecuación, será evidentemente,

xy = 0 , (XXXVII)

que es equivalente a (XXXIII) y, en real idad, la pro-




posición disyuntiva X no es verdadera o Y no es ver-

dadera y la proposición condicional Si X es verdaderaY no es verdadera, son equivalentes.Expresar que Si X no es verdadera Y no es verda-

dera.E n ( X X X V I ) , r e e m p l a c e m o s x por 1 — x e y por

1 V y y tendrem os:(l~x) y = 0.

Los resultados obtenidos admiten ser verificados envarias formas diferentes. Bástenos examinar en modomás detenido la ecuación:

x — 2xy + y = 1 , ( X X X V I I I )que expresa la proposición condicional X es verdaderao Y es verdadera, siendo, en este caso, sus miembrosexclusivos.

En primer término, supongamos que la proposiciónX sea verdadera, entonces x = 1, y sustituyendo te-nemos :

1 — 2y + y = 1 — y 0, o y = 0,que significa que Y no es verdadera.

En segundo lugar, supongamos que X no sea ver-dadera, entonces x = 0 y la ecuación correspondiente

será: ~ y = 1 ( X X X I X )

o sea que Y es verdadera. Podemos proceder en maneraanáloga suponiendo que Y sea verdadera o que Y seafalsa.

Además, en virtud de la propiedad x2 = x, y2 = y,podemos escribir la ecuación en la forma siguiente:

. — 2 xy + y2

= 1,




y, extrayendo la raíz cuadrada, obtenemos:

x — y = ± 1, (XL )que representa el caso real, porque si X es verdaderao falsa Y será, respectivamente, falsa o verdadera, yt e n e m o s :

x = 1 ó 0,y = 0 6 1,

x — y = 1 ó — 1

El análisis de los otros casos no presentará dificul-t ad es .

Ejemplos de silogismo hipotético

El tratamiento de cada una de las formas de s i lo-gismo hipotético consistirá en formar las ecuaciones de

las premisas y eliminar el símbolo o los símbolos que seencuentren en más de una de el las . El resultado obte-nido será la expresión de la conclusión.

I o ) S i logismo disyunt ivo.

O X es verdadera o Y esverdadera (exclusivas) , x -b y — 2xy = 1X es verdadera, x = 1

En consecuencia , Y no esverdadera, y — 0X es verdadera o Y es ver-dadera (no exclusivas) , x + y •—• xy = lX no es verdadera, x = 0En consecuencia Y es ver-

dad era, y = 1




2 o) Si logismo condicional constructivo.

Si X es verdadera, Y es verda-dera, x (l — y) = 0X es verdadera, x = 1En consecuencia Y es verdadera , .'. 1 —- y = 0

o y = 13 o) Si logismo condicional destructivo.

S i X es verdadera Y es verda-

dera , as(l — y) — 0Y no es verdadera, y = 0En consecuencia X no es verda-dera x = 0

4 o) Dilema constructivo simple, la premisa menorexclusiva.Si X es verdadera,Y es verdadera, z ( l — y) = 0 , ( X L I )Si Z es verdadera,Y es verdadera, z( 1 — y) = 0 , ( X L I I )X es verdadera, oZ es verdadera, x + z — 2xz — 1, (XLII1)

De las ecuaciones (XLI), (XLII) , (XLIII) , tenemos

que eliminar x y z. Por cualquier procedimiento quelo hag am os, el resultad o es:

-y = i;

lo que significa que la proposición Y es verdadera.

5 o) Dilema constructivo complejo, la premisa me-nor no exclusiva.

Si X es verdadera, Y es ver-

dadera, x(l — y) = 0




S i W es verdadera Z es ver-

dadera ,X es verdadera o W es ver-dadera , X + w — xw = 1

w(l — z) = 0

Eliminando £ de es tas ecuaciones , tenemos:

y + z — yz = 1,

que expresa la conclusión F es verdadera o Z es ver-

dadera, s iendo los miembros no exclusivos.

6 o ) Dilema destructivo complejo, la premisa menorexc lus iva .

S i X es verdadera Y es ver-dadera , z ( l — y) = 0S i W es verdadera Z es ver-

dadera, ... w(l — z) = 0Y no es verdadera o Z no esverdadera, y + z — 2 yz = 1

Hay que e l iminar y y z de las ecuaciones prece-dentes . El resultado es :

que expresa la conclusión X no es verdadera o Y noes verdadera, s iendo los miembros no exclusivos.

7 o ) Dilema destructivo complejo, la premisa menorno exclus iva.S i X es verdadera Y es verda-dera, x(\ — y) = 0S i W es verdadera Z es verda-

dera, w(l — z) = 0

xw — 0,




Y no es verdadera o Z no es ver-

dadera, yz = 0

El iminando y y z t en em os :

xw — 0,

que indica la misma conclusión del ejemplo anterior.

De éste y de otros casos similares, resulta que seano no exclusivos los miembros de la premisa menor deun dilema los miembros de la conclusión (disyuntiva)

nunca son exclusivos. Este hecho parece haber escapadoa la observación de los lógicos .

Las anteriores son las principales formas del silo-gismo hipotético reconocidas por los lógicos. Sería fácil ,s in embargo, ampliar la l ista especialmente mediantela fusión de los cara cteres disyu ntiv os y condicionalen la misma proposición; el s iguiente es un ejemplo.

Si X es verdadera, enton-ces Y es verdadera o Z es ver-dadera, x ( l — y — z + yz) = 0

Y no es verdadera, y = 0En consecuencia , s i X es

verdadera Z es verdadera, x(l — z) = 0

Lo que los lógicos l laman una proposición causal es enrealidad un silogismo condicional cuya premisa mayor

ha s ido suprimida.

La aserción La proposición X es verdadera porque

la proposición Y es verd ader a, eq uiv ale a la aserción:

La propos ic ión Y es verdadera.

En consecuencia la proposición X es verdadera, y




estas dos proposiciones son la premisa menor y la con-clusión del s i logismo condicional:

S i Y es verdadera, X es verdadera,; Y es verdadera,

En consecuencia X es verdadera.

Y, de este modo, las proposiciones causales se con-sideran incluidas entre las aplicaciones de nuestro mé-todo general .

Nótese que hay una familia de proposiciones dis-yuntivas condicionales que no pertenecen, en rigor, ala clase considerada en este capítulo. Estas proposi-ciones son aquellas en las cuales la fuerza de la partículadisyuntiva o condicional se apoya en el predicado dela proposición como si , hablando de los habitantes deuna is la particular, dijéramos que todos el los son euro-

peos o asiáticos; s ignif icando que es verdadero de cadaindividuo el ser europeo o asiát ico. Si adjudicamos els ímbolo e lec t ivo x a los habitantes , y a los europeos yz a los asiáticos, la ecuación correspondiente a la pro-posición anterior será:

x = xy + xz, o — y — z) =0, (a)

a la cual debemos agregar la condición yz = 0, desde

que ningún europeo es asiát ico. La naturaleza de loss í m b o l o s x,y,z, está indicando que la proposición per-tenece a aquellas que hemos denominado anteriormentecategóricas. Muy dist inta de la precedente es la propo-sición Todos los habitantes son europeos o todos sonasiát icos . Aquí la partícula disyuntiva separa proposi-ciones. El caso es el que ya ha sido considerado en




(XXXI), en este mismo capítulo; y los símbolos por

medio de los cuales ha sido expresado, aunque estánsujetos a las mismas leyes de (a), tienen una interpre-tación completamente dist inta (*) . !

La distinción es real e importante. Es posible re-presentar por medio de signos electivos toda proposiciónque pueda ser formulada en un lenguaje; y las leyesde combinación de dichos símbolos son las mismas en

todos los casos. Pero, mientras en una clase de ejem-plos los símbolos hacen referencia a colecciones de ob-jetos, en la otra se refieren a las verdades de las pro-posiciones consti tuyentes .

(* ) A l gunos au t o r es , en t r e e l l os e l D r . La t ham ( First Quilines) , cons ideran<¡ue l a ún i ca func i ón de una con j unc i ón e s conec t a r proposiciones, n o palabras•N o es t oy de acue rdo con e s t e c r i t e r i o . La p ropos i c i ón Todo an i ma l e s r ac i ona lo i r r ac i ona l , no puede r educ i r s e a Todo an i ma l e s r ac i ona l o t odo an i ma l e si r rac ional - La pr imera per tenece a l as propos ic iones ca tegór icas puras , l aú l t i ma a l a s h i po t é t i ca s . En l a s p ropos i c i ones singulares, t a les convers ionespodr í an pe rmi t i r s e . Es t e an i ma l e s r ac i ona l o i r r ac i ona l e s equ i va l en t e a Es t ean i ma l e s r ac i ona l o es i r r ac i ona l . Es t a pecu l i a r i dad de l a s p ropos i c i ones singu-lares cas i j u s t i f i ca r í a que l a s ub i cá r amos , a pesa r de s e r r ea l men t e un i ve r sa l e s ,en una c l a se s epa rada como l o hacen I t amus y sus con t i nuadores .



P R O P I E D A D E S D E L A S F U N C I O N E S EL EC T IV A S

Como los s ímbolos elect ivos se combinan de acuerdoa las leyes de la cantidad podemos, gracias al teoremade M aclau rin, desarrollar (28) una función dada <¡>(x),

en potencias crecientes de x, con excepción de los casosconocidos en que no se cumple. Así , tenemos:

4>(x) = * ( 0 ) + > ' ( 0 ) » H — x2 + &c., (XL IV)1 .2

Pero , como x2 = x, x3 = x, &c., entonces:

= 0(0) + x\<f>'(fl) + + &c.| , (XLV )1.2

Si , en (XLIV) hacemos x = 1, tenemos:

= *(G) + *'(0) + — — + <fcc.,1 .2

e n t o n c e s :

d/'ÍO) ¿'"(O')

« '(o ) + — f - + — — + &c. = - m (»)í.z L.A .Ó

Sustituyendo este valor por el coeficiente de x enel segundo miembro de (XLV), tenemos (*) :

*{x) = *(0) + 1 *(1) — *(0) 1 x, (XLVI)

(*) Aunque es te t eorema y los s iguientes han s ido demost rados sólo paraaque l l a s f o rmas de func i ones que son desa r ro l l abas med i an t e e l t eo r ema de

Mac l aur i n , s e l a s puede cons i de r a r ve rdade ras pa r a fo rmas cua l e squ i e r a como




que emplearemos también en la forma:4>{x) = <j>{l)x + *(())(1 — x), ( X L Y I I )

Toda func ión de x en la cual las potencias enterasde dicho s ímbolo estén implicadas separadamente sereducen, por este teorema, al orden primero. Las can-t idades <¡>(0), </>(l), se denominarán módulos de la fun-ción <¡>(x). Tienen gran importancia en la teoría de lasfunciones elect ivas, como se desprende de las propo-

siciones s iguientes .Re v e r á e n l a s a p l i c a c i o n e s . L a r a z ó n d e e s t e h e c h o p a r e c e s e r q u e , co mo l a sf u n c i o n e s e l e c t i v a s r e s u l t a n i n t e r p r e t a b l e s s ó l o a t r a v é s d e u n a f o r m a d e a m -p l ia c ió n , n o s e p r e s e n t a d i f i c u l t a d a l g u n a e n l a i n t e r p r e t a c i ó n .

E l desa r ro l lo de <J>(x) t ambién se puede de te rminar a s f . Por l a conoc idaf ó r m u l a p a r a l a e x t e n s i ó n e n f a c t o r i a l e s :

A2<XO) ,. 4>(x) = <M0) + A<K 0)x 4 x( x — 1) + &c .

1.2

P e r o , s i e n d o x u n s í mb o l o e l e c t i v o , x ( x — 1 ) = 0 , p o r c o n s i g u i e n t e t o d o alos té rm in o s qu e s ig uen a l se gu nd o se an ul an . T a m b ié n : A<¡>(0) = <{)(1) — 4>(0),e n t o n c e s :

4>|z = 4>(0)¡ + {«t»(i)— <K 0)jx.

E l ma t e má t i c o p u e d e i n t e r e s a r s e e n e l h e c h o q u e é s t e n o e s e l ú n i c o c a s o e ne l c u a l u n a e x t e n s i ó n s e d e t i e n e e n e l s e g u n d o t é r m i n o . L a a m p l i a c i ó n d e l a s

( d í i d Y1)f u n c i o n e s o p e r a t i v a s c o m p u e s t a s $ í b x y . J -f l - 1 .{ dx J I \ dx f j

r e s p e c t i v a m e n t e :

4>(x) +4>'(x)

( V i d . Cambridge Mathematical Journal, Vol . IV , p . 219) .

so n

y;




Proposición 1. Dos funciones cualesquiera 4>{x), <>(x)son equivalentes si sus módulos correspondientes soniguales .

Esta es una consecuencia evidente de la última pro-posición. Porque desde que:

*(x) - *(o) + s *( i) —= m — m\x,

es ev id en te qu e si $( 0) — <K0), <í»(l) = $ (1), la s dos

extensiones serán equivalentes y, en consecuencia, lasfunciones que representan también lo serán.La conversa de esta proposición es igualmente ver-

dadera .Si dos funciones son equivalentes sus correspon-

dientes módulos son iguales .Entre las aplicaciones más importantes del teorema

anterior, destacaremos la siguiente:Supongamos que se quiere determinar para qué for-mas de la función <¿>(x) es satisfecha la ecuación siguiente:

\f¡>(x)\n =

Aquí obtenemos, de inmediato, la expresión de lascondiciones en cuest ión:

|*(0)|" = *(0) . W l)l * - *(1) , (XL V III)

Nuevamente, supongamos que se quiere determinarbajo qué condiciones se satisface la ecuación siguiente:

¿(xH(x) = x(x) ,

El teorema general nos da, de inmediato:

*(0 H (0) = x(0). * (1H (1) - x ( l ) . (XL IX )

Este resul tado puede ser demostrado igualmente sus-




tituyendo <¿(x), 4>(x), xW por sus formas ampliadas,e igualando los coeficientes de la ecuación resultantereducida adecuadamente .

Todos los teoremas precedentes pueden ser exten-didos a funciones de más de un s ímbolo. Porque, comolos dist intos s ímbolos elect ivos se combinan entre s íde acuerdo a las mismas leyes como símbolos de canti-dad, podemos extender, primeramente, una función dada

con respecto a cualquier s ímbolo particular que con-tenga y, luego, ampliar el resultado a cualquier otrosímbolo y así sucesivamente, s in tener en cuenta elorden de las extens iones .

Así , s iendo la función dada <f>(xy), t enemos:

<t>{xy) = <¿(xo) + |<¿(xl) — 4>(xó)\y,

y ampliando los coeficientes con respecto a x, y redu-

ciendo,4>(xy) = <¿>(00) + ¡<¿(10) — <í>(00)| x + j<¿(01) — <¿(00) \y

+ |<¿(11) — <¿(10) — <¿(01) + <¿(00)1 xy, (L)

expres iones que podemos formular mediante la e legante

forma s imétr ica:

<t>(xy) = <¿(00) (1 — x) (1 — y) + <¿(01)Í/(1 — x)

+ <¿(10)x(l — y)+ 4>{\l)xy, (LI)donde tenemos , de acuerdo con e l lenguaje ya empleado,<¿(00), <¿(01), <¿(10), <¿(11), como módulos de la funciónoixy). . ,

Observando las formas generales precedentes , severá que son equivalentes todas las funciones de dosvariables cuyos módulos correspondientes son iguales .




De este modo, las condiciones de las que depende

que sea satisfecha la ecuación:\<¡>{xy)\n = <(>{xy)

resultan ser:

|*(o o)|» = 0(0 0), 10(01)!" = * (o i) ,10(10))" = 0 (10) , |0(11)1« = 0 (11), (LII)

Y las condiciones de las que depende que sea satis-fecha la s iguiente ecuación:

, • *(xy)ty(xy) = x(xy),s o n :

0(00)4» (00) = x( 00 ), 0(01 )^(01 ) = x (01),0 (10)^(10) = x ( 1 0 ) , 0 (11)^(11) = x (U) , (LUI)

Es muy fáci l determinar, por inducción de (XLVII) ,y (LI) , la forma general de la función elect iva ampliada.Es evidente que s i el número de s ímbolos elect ivos esm, el número de los módulos será 2m, y sus valoresseparados serán obtenidos intercambiando, de todos losmodos posibles, los valores 1 y 0 en los lugares de loss ímbolos elect ivos de la función dada. Los diversos tér-minos de la extensión de los cuales los módulos s irvende coeficientes se formarán, en consecuencia, escribiendopara cada 1 que aparezca bajo signo funcional el sím-bolo e lec t ivo x, etc., al cual representa, y para cada 0el cor respond iente 1 — x, etc., y, considerándolos comofactores , el producto de los mismos mult ipl icado porel módulo del cual han s ido obtenidos, constituye untérmino de la extens ión.

De esta manera, s i representamos los módulos detoda func ión e lec t iva 4>(xy.. .) por ah a2 . . . a r, la fun-




ción misma, cuando es ampliada y ordenada con refe-

rencia a los módulos, asumirá la forma:4>(xy) = «iíi + a2t2 . . . + artr (LIV)

en la cual U,l2,. . . tr son funciones de x,y ,. . . red ucid asa factores de las formas x,y,...l — x,X— y , . . . e tc.Las funciones sat isfacen individualmente las relacionesdel índice:

t\ = U, tn2 = t2, &c. (LY)

y las demás relaciones:UU = 0 . . = 0, &c. (LV I)

el producto de dos cualesquiera de el las se anula.Esta característ ica podrá inferirse rápidamente obser-

vando las formas particulares (XLVII) y (LI) . Así , en laúlt ima, tenemos para los valores de tht2,etc., las form as:

xy, x(l — y), ( 1 — ( 1 — x ) ( l — y);

y es evidente que las mismas satisfacen la relación delíndice y que todos sus productos se anulan. LlamaremosU, ¿2, • • • a las fun cion es con st i tuyen tes de 4>(xy) y defi-niremos la peculiaridad de anulación de los productosbinarios diciendo que esas funciones son exclusivas. Y ,en realidad, las clases que representan son mutuamenteexc lus ivas .

La suma de todos los const i tuyentes de una funciónampliada es la unidad. Se obtendrá una demostraciónelegante de esta proposición desarrollando 1 como fun-ción de todos los s ímbolos eledtivos propuestos .

Así , s i en (LI) suponemos <t>(xy) = 1, tenem os

<¿(11) = 1, •

,¿(10) = 1, «¿(01) = 1, <¿(00) = 1,




y (LI) da:

1 = xy + x(l — y) + (1 — x)y + (1 — x)(X — y),(LVII)

Es obvio, en verdad, que aunque los s ímbolos invo-lucrados sean numerosos, cuando la suma de los cons-t ituyentes es igual a la unidad, todos los módulos de launidad son la unidad. Estamos ya en condiciones deconsiderar la cuestión de la interpretación general de

las ecuaciones electivas. Para ello, nos resultarán muyúti les las proposiciones s iguientes .

Proposición 2. Si el primer miembro de la ecuacióngeneral <t>{xy. . . ) — 0, es ampliado en una serie de tér-minos , todos e l los de la forma ai, siendo a el módulode la función dada, tendremos para cada módulo nu-mérico de la función a que no se anule, la ecuación:

ai = 0,y las interpretaciones combinadas de estas ecuacionesexpresarán la significación total de la ecuación origi-na l .

Porque representando la ecuación bajo la forma:a¿i + a2¿2. . . -f aTtT = 0, (LV III)

Mult ipl icando por h tenemos , por (LVI):

fl!Íi - 0, (L IX )

donde s i ai es una constante numérica dist inta de cero:

k = 0,y análogamente para todos los módulos dis t intos decero. Y como de estas ecuaciones constituyentes pode-mos formar la ecuación dada, sus interpretaciones ex-

presarán s imultáneamente su s ignif icación plena.




De manera que si la ecuación dada fuera:

x — y = 0, X e F son idénticas, (LX )te ndría m os <¡>(11) = 0, <¿(10) - 1, <¿(01) = — 1, <¿(00) == 0, es decir que la ampliación (LI) asumiría la forma

x{\ — ?/) — y{\ — x) = 0,

donde, por el teorema anterior:x{l — y) = 0 , T o d a s la s X son 7 ,y{ 1 — x) = 0 , T o d a s la s Y son X ,

resultados que son, al mismo tiempo, equivalentes a( L X ) .

Puede ocurrir que la satisfacción simultánea de lasecuaciones así deducidas requiera que uno o más de lossímbolos electivos sea igual a cero. Esto sólo implicala no existencia de una clase, puede suceder tambiénque se l legue a un resultado final de la forma:

1 = 0,

que indicaría la existencia del universo lógico. Talescasos sólo se presentarán cuando intentemos unir pro-posiciones contradictorias en una simple ecuación. Lamanera en que parece eludirse la dificultad en el resul-tado es característica.

Resulta de esta proposición que las diferencias en lainterpretación de las funciones electivas dependen úni-camente del número y de la posición de los módulosiguales a cero. Ninguna modificación del valor de unmódulo, excepto el que ocasiona su anulación, producecambio alguno en la interpretación de la ecuación quelo contiene. Si entre el número infinito de los distintosvalores que nos está permitido asignar a los módulos




distintos de cero en una ecuación dada, un valor cual-quiera fuera preferido, será la unidad porque cuandotodos los módulos de una función o son 0 ó 1, la funciónmisma sat is face la condición

\4>{xy.. .)in = 4>{xy...),con lo que se introduce a la vez la simetría en nuestroCálculo y se nos proporciona modelos fijos de referencia.

Propos ic ión 3 . S i w = <j>{xy. . .),w,x,y,. . . son sím-

bolos elect ivos y el segundo miembro fuera ampliadoy ordenado completamente en una serie de términosde la forma at, podremos igualar separadamente a 0cada término en e l que e l módulo a no satisfaga la con-dición :

an = a,

y dejar como valor de w la suma de los términos res-

t an t e s .Como la naturaleza de la demostración de esta pro-posición, no es afectada por el número de los términosdel segundo miembro nos l imitaremos, por razones desimplicidad, a suponer que sean cuatro y admitimosque solamente los módulos de los dos primeros sat is-facen la ley del índice.

Tenemos , por cons igu iente:w = a j í + a42 H- a3¿3 + a4¿4, (LXI)con las relaciones

al = ai, an2 = a2,

sumadas a los dos conjuntos de relaciones que conectanfi ¿2, h, í4 , de acuerdo con (LV) y (LVI).

E levando a l cuadrado (LXI) , t enemos:w — a

xti -f- a

2¿2 + a\t

z+ a\U,




y res tando (L X I) : ^(al — a3)Z3 + (a j — a4)¿ 4 = 0;

y, admitiendo por hipótesis que los coeficientes de estostérminos son dist intos de cero, tenemos por la propo-sición II:

¿3 = 0, ¿4 = 0, (L X II )

donde (LXI) resu l ta :

z — aiti + a2t2.

La uti l idad de esta proposición se verá más ade-lante . VL .Propos ic ión 4 . Las funciones U t2.. . ír, mutuamente

exclus ivas , nos darán s iempre:^(ajíi + a2t¿. . . + aTtr) = ^(a^h + ty{a2)t2.. . + ^(a r)í r,

( L X I I I )cualesquiera sean los valores de ai, a 2 , . . . aT, o la forma

d e * ' 'Rep res en t em os l a f u n c i ón aA + a2í2 + artf por:

<¡>{xy).. .), .entonces los módulos CLidi,. . . aT, estarán dados por lasexpres iones:

«¿ ( 11 . . . ) , «¿ ( 10 ) , ( . . . ) <¿ ( 00 . . . ) .

T a m b i é n

4>(aiíi + a 2f2 . . - + artr) = . .)|= ${<¿(11.. .)\xy... + 4»10(1O)1®(1 — y)...

+ * |* (0 0 )| ( 1 — s ) ( l - y ) . . -= ty((h)xy. . . + ^(a2)x( 1 — y). . . +

+ 4 K ) ( 1 — ® )(1 — y ) - - -= 4(a0fi + <Ka2)£2. . . + * (a r K, ( L XI Y)

No sería dif íci l ampliar la l ista de propiedades inte-




resantes como las expresadas en los ejemplos anteriores .Pero bastan para nuestros requerimientos actuales las

que hemos comunicado. La proposición s iguiente ser-virá de i lustración de su uti l idad.

Proposición 5. Cualquiera sea el proceso de razo-namiento que apliquemos a una proposición s ingulardada, el resultado será la misma proposición o una l i -mitación de e l la .

Representemos la ecuación de la proposición dadabajo su forma más general:

avti + a%U... + a rtr = 0, (LXV)

que se resuelve en tantas ecuaciones de la forma t = 0como módulos dis t intos de 0 exis tan.

Ahora bien, la transformación más general de estaecuación es :

<Ka¿i + a,t2... + artr) = <K0) (L X Y I)a c ond ición de q ue atrib uy am os a ^ un carácter com-pletamente arbitrario, permitiendo además incluir nue-vos s ímbolos e lect ivos que tengan cualquier relación su-puesta con los originales .

El desarrollo de (LXVI) da, por la últ ima propo-s ic ión:

^(ai) íi - f ^ (a jk - . . + = *(0) .

Para reducirla a la forma general de referencia, sóloes necesario observar que como:

t i +e r = 1,

podemos escribir en vez de ^(0):

«KOXfc + í , . . . + ¿ r ) ,



A N Á L I S I S M A T E M Á T I C O D E L A L Ó G I C A 1 3 1

donde, su st i tu ye nd o y por traspos ic ión: *

|<KaO — M \ T I + | — <M\T2.. . ++ j*(a2) — K0)| /r = 0.

De donde resulta que s i a es cualquier módulo de la

ecuación original , el módulo correspondiente de la ecua-

ción transformada será:

<Ka) —

Si a = 0, en to n ce s <|>(a) — ^(0) = $(0) — ^(0) = 0,

donde no hay nuevos términos en la ecuación transfor-mada y , en consecuencia , tampoco hay nuevas propo-siciones dadas por la igualación a 0 de sus miembroscon s t i t u yen t es .

N u ev am en te , desde que — ^(0) pueden seriguales a 0 s in que a lo sea, debe haber términos en laecuación transformada que ya estaban en la primitiva.

Por consiguiente, algunas de las verdades que perte-necían a la proposición original pueden desaparecer porcompleto en la interpretación del resultado f inal .

F in a lm e n te , si 4)(a) — <K0) no es igu al a 0, habráuna constante numérica o deben es tar impl icados nuevossímbolos elect ivos. En el primer caso, el término en elque se encuentre dará:

t = 0,que es uno de los integrantes de la ecuación original;en e l ú l t imo caso tendremos:

/ 0 j4(a — m\t = o,

donde t t iene un factor l imitante. La interpretación deesta ecuación es , en consecuencia, una l imitación de

la interpretación de (L X V ).




La finalidad de la última investigación se presentará

en manera más evidente al matemático que al lógico.Como de cualquier ecuación matemática se puede de-ducir un número infinito de otras, parece necesario se-ñalar que cuando la ecuación original expresa una pro-posición lógica todo miembro de la serie derivada, auncuando haya sido obtenido por extensión bajo un signofuncional , admite una interpretación consistente ye x a c t a .

(29) E. W. Beth (V. op. cit . , p. 273) observa que Boole aceptala demostración de este teorema de MacLaurin, a pesar de queno parece digna de gran conf ianza .



D E L A S O L U C I O N D E L A S E C U A C I O N E SE L E C T I V A S

Cualquiera sea la manera en que un símbolo electivo,

considerado desconocido, esté involucrado en una ecua-ción dada, es posible asignarle su valor total por mediode los símbolos electivos restantes tomados como cono-cidos. Cabe señalar que dichas ecuaciones, debido a lanaturaleza misma de los símbolos electivos, son nece-sariamente lineales y sus soluciones tienen una analogíamuy estrecha con las de las ecuaciones diferenciales

lineales; en una, símbolos electivos arbitrarios ocupanel lugar de las constantes arbitrarias de la otra. Enprimer lugar, i lustraremos el método de solución pormedio de ejemplos particulares y, luego, lo aplicaremosa la investigación de teoremas generales.

D ad o (1 — x)y = 0, (Todas las Y son X), determi-nar y en términos de x.

C o m o y es una función de x, podemos suponer quey = vx + í / ( l •— x) (siendo ést a la expresión de unafunción arbitraria de x)y quedando por determinar losmódulos v y Ten em os, entonces:

(1 — x)\vx + — = 0,o, en una multipl icación real:

v'il — x) = 0:

que debe ser generalmente verdadera; sin imponer nin-




guna restricción a x, debemos suponer v' — 0, no ha-

b iendo condic ión l imi tat iva de v, tenemos:y = vx, ( L XVI I )

Esta es la solución completa de la ecuación. La con-dición de ser y un símbolo elect ivo exige que v tambiénlo sea (desde que debe satisfacer la ley del índice),siendo arbitraria su interpretación en otras relaciones.

Análogamente, la solución de la ecuación xy = 0,

es :y = v( 1 — x) ( L X V I I I ) .

D ad o (1 — x)zy — 0 (Todas las Y que son Z son

X), d et erm i n ar y. •C o m o y es una función de x y z, podemos suponer

q u e :y ~ v ( 1 — x ) ( 1 — z) + v' (1— x) z + v" x (1—z) 4- xz

Y s u s t i t u yen d o , ob t en em os :?/(l - -x)z = 0,

luego v' = 0. La solución completa es , en consecuencia:y = v(l — x ) ( l — z) + v"x(l — z) + v'"xz, ( L XI X)s i en d o vf

} v", v'", símbolos electivos arbitrarios; y lainterpretación rigurosa de este resultado es que TodaY es no-X y no -Z o X y no-Z, o X y Z. Merece des-

tacarse que la ecuación anterior, debido a su formalineal , puede resolverse agregando las dos solucionesparticulares con referencia a x y z; y, reemplazando las

¡ (kn istantes arbitrar ias q ue cada una im plica por unafunción arbitraria del otro s ímbolo, el resultado es:

y = x<¡>{z) + ( l - ^ ( x ) , (L X X )

Para mostrar que esta solución es equivalente a la




otra solo basta sustituir las funciones arbitrarias <¿>(2),

4»(a0 por sus equivalentes:voz w'(l — z) y w"x + w"'[\ — i ) ,

o b t e n e m o s :

y = wxz -h (w r + w")x(l—z) + w'"(l — x)(l — z).

Considerando el carácter completamente arbitrariode w f y w", podemos reemplazar su suma por un s ím-bolo s imple w' , donde:

y = wxz + w'x( 1 — z) + w n,(\ — z ) ( l — z),

q u e con cu erd a con ( L XI X) .

La solución de la ecuación wx(l — y)z = 0, expre-

sada por medio de funciones arbitrarias , es:

2 = (1 — w)4>{xy) + (1 — x)fy(wy) 4 - y x ( w x ) , ( L X X I )

Estos ejemplos pueden servir para poner de rel ievela analogía existente entre las soluciones de las ecua-ciones elect ivas y las del orden correspondiente de ecua-ciones diferenciales l ineales. Así, la expresión de la in-tegral de una ecuación diferencial parcial por funcio-nes arbitrarias o mediante una serie con coeficientesarbitrarios , está en estrecha analogía con el caso pre-sentado en los dos últ imos ejemplos. Llevar más lejosesta comparación sería más una curiosidad que una ana-logía úti l . Preferimos considerar el problema de la so-lución de las ecuaciones elect ivas bajo su aspecto másgeneral: ése será el objeto de las invest igaciones s i-gu ientes .

Resolver la ecuación general 4>(xy) = 0, con refe-

r e n c i a a y .




S i am p l i am os la ecuación dada con respecto a x e yr

t e n e m o s :0 ( 0 0 ) (1 — x) ( l — y) + 0 ( 0 1 ) (1 — x)y + *(10)¡e(l —y )

+ 4>(ll)xy = 0 ( L X X I I )

s iendo los coeficientes 0(00) , etc. , constantes numéricas.

La expresión general de y, como función de x, es:

y = vx + v'(l — x) ,

s i endo v y v' s ímbolos desconocidos a determinar. Sus-

t i tuyendo es te va lor en ( L X X I I ) , o b t e n e m o s un resul-

t ad o que p u e d e ser escrito en la forma siguiente:

[0(10) + ¡0(11) — 0(lO) j4r + [0(00) +

¡ 0 ( 0 0 ) — 0(OO)|^](1 — x) = 0;.

y , con el objeto de satisfacer esta ecuación sin restrin-

gir de n i n gú n m od o la generalidad de x, tenemos:

- 0 ( 1 0 ) + ¡ ¿ n i ) • 0(10):?' = o,

0(00) + )0(O1) — 0(00) ¡r' - 0,

d e d on d e d ed u c i m os :

0(10) , J 0(00)

0(10) — 0(11) 'V 0 ( 0 1 ) — 0 ( 0 0 ) '

l u ego :

= 0 ( 1 Q ) ^ | 0(00) -j }

V ^(10) — 0 ( 1 1 ) x ^(00) — 0(01) (

( L X X I I I )

S i hubiéramos ampl iado la ecuación general con res-

p ec t o a y solamente, habríamos obtenido:

0 ( x O ) 4- j 0 ( x l ) — 0 ( x O ) ¡ y = 0 ;

pero puede haber alarmado a quienes no están acos-



A N Á L I S I S M A T E M Á T I C O D E L A L Ó G I C A 1 3 7

tumbrados al mecanismo de Algebra Simból ica e l que

hayamos deducido de es ta ecuac ión:4>(xi))y = >

</»(xO) —• 4>{xl)

debido al carácter aparentemente s in sentido del se-gundo miembro. Tal resultado, s in embargo, hubieras ido perfectamente legí t imo y la expansión del segundomiembro nos hubiera dado la solución obtenida más

arriba. En el s iguiente ejemplo, emplearé este método yme permito aconsejar a quienes pueda parecerle dudoso,que verif iquen sus conclusiones por el método anterior.

Resolver la ecuación general $(xyz) ~ 0, o, en otraspalabras, determinar el valor de z como función dex e y.

Ampliando la ecuación dada con respecto a z, te-

n e m o s :4>(xyo) + \<¡>{xyl) — <¡>(xy0)\z = 0;

4>(xy0)

"Z<f>(yx0) — <t>(xtjl) " " ( L X X I Y )

y desarrollando el segundo miembro como una funciónd e x e y, con el auxilio del teorema general, l legamos a:

0(110) 0(100)x y + — T T T T ^ — y )

0(110) — 0(111 ) 0(100) — 0(101)

0(010)+ — — (1 — X)y

0(010) — 0(011)

0(010) 0 (000)+ T T T T T ( i — s ) y +

0(010) — 0(011) 0(000) — 0(001)

( L X X Y )




y ésta es la solución completa requerida. Por el mismo

método podemos resolver una ecuación que impliquecualquier número dado de símbolos electivos.En la interpretación de cualquier solución general

de esta naturaleza se pueden presentar los siguientescasos .

Siendo constantes los valores de los módulos <¿>(00),^(Ol), etc., uno o más de los coeficientes de la solución

0 1pu ed e asum ir la form a o . E n el primer caso,0 0

0el sím bo lo ind efinid o —— pu ede ser reemplazado por

un símbolo electivo arbitrario i\ En el último, el término

1

que es m ult ipl icado por un factor — ( o por cualquier

constante numérica excepto 1), puede ser igualado se-paradamente a 0, lo que indicará la existencia de unaproposición subsidiaria. La evidencia de lo antedichosurge de (LXII) .

E j e m p l o : d a d o x ( l — - y ) = 0, Todas las X son Y,

determinar y como una función de x .Con s id eremos <¡>{xy) = x ( l — y ) , luego 0(10) = 1,0 ( 1 1 ) = 0, 0(01) = 0, 0(00) = 0; de donde, por la( L X X I I I ) :

1 0 0y — X ( 1 x ) = X ^ — ( 1 — x)

1 — 0 0 — 0 o

= x + — x) , (LX XV I)




siendo v un símbolo electivo arbitrario. La interpreta-

ción de este resultado es que la clase Y consiste de todala clase X con un resto indefinido de no-X. Este restoes indefinido en el más alto sentido, es decir que puedevariar desde 0 hasta la totalidad de la clase de las no-X.

Ejemplo: Dado x ( l — z) + z = y (la clase Y con-siste de la clase total Z, con esas no-Z en cuanto son X)encontrar Z .

Aquí <}>(xyz) = x{\ —• z) — y z, donde tenemos elsiguiente conjunto de valores para los módulos:<¿(110) = 0, 0(111) = 0, 0(100) = 1, 0(101) = 1,0(010) = 1, 0(011) = 0, 0(000) = 0, 0(001) = 1,

y sustituyendo en la fórmula general (LXXV), tenemos:0 1

e = — xy + — x ( l — y) + (1 — z)y, (LXXVII)

el coeficiente infinito del segundo término indica laecuación:

x ( l — y) = 0 , Todas las X son Y;y reemplazando el coeficiente indeterminado del pri-mer término por v (símbolo electivo arbitrario), tenemos:

z — (1 -—• x)y + vxy,

cuya interpretación es que la clase Z está constituidapor todas las Y que no son X y por un resto indefinidode Y que son X. Por supuesto que este resto indefinidopuede ser igual a 0. Los dos resultados que hemos obte-nido son inferencias lógicas (no muy obvias) deducidasde las proposiciones originales y nos proporcionan todala información que contienen con respecto a la cíase

Z y a sus elementos constituyentes.




E j em p l o : d ad o x — y( 1 — z) Jrz(\ — y). La clase

X está formada por todas las Y que son no~Z y todasla s Z q u e s o n n o - Y . La clase Z es requerida.

T e n e m o s :

4>{xyz) = x — y(l — z){l — y),

0(1 10 ) = 0, 0(1 11 ) - 1, 0(100 ) = 1, 0(101) = o,

0(0 10 ) - — 1, 0(0 11 ) = 0, 0(000) = 0, 0(001) - — 1

d e d on d e , s u s t i t u yen d o en ( L XXV) :z = s ( l — y) + y ( l — x ), ( L X X V I I I )

cuya interpretación es , la clase Z está constituida portodas las X que no son Y y todas las Y que no son X;inferencia es tr ictamente lógica.

E j e m p l o : D a d o y\\ — 0(1 — x ) ¡ = 0 , T od as la s Yson Z y n o - X .

Procediendo como anteriormente para formar losmódulos y sust i tuyendo en las fórmulas generales , te-n e m o s :

1 0 02 = —xy + — x(\ — y)-\-y(l— x) + — (1 — x) (l — y),

o

z = 2/(1 — x) + *JX (1 — y) 4- v'il — x) (1 — y)= 2/(1 - x ) + (1 — y)4>(x), ( L X X I X )

con la relación xy ~ 0; de donde resulta que Ninguna Yes X y que la clase Z está formada por todas las Y queno son X y por un resto indefinido de no-Y.

Este método, en combinación con e l de Lagrange

denominado de los mult ipl icadores indeterminados , pue-




de ser aplicado con mucha elegancia al tratamiento delas ecuaciones s imultáneas . Los l ímites que nos hemosfijado sólo nos permiten presentar un único ejemplo,pero el tema es merecedor de invest igaciones ulterio-res.

Dadas las ecuac iones x(\ — z) =0, z ( l — y ) =0,T od as l a s X son Z, Todas las Z son Y, determinar elvalor total de z con todas las relaciones subsidiariasq u e con ec t an x e y.

Su m an do a la primera ecuación, la segunda mu l-t ipl icada por una constante indeterminada X, tene-m os :

— z) + — y) = 0,

y determinando los módulos y sus t i tuyendo en (LXXV) ,

z = xy + — í— x(l — y) + (1 — x)y, ( L X X X )1 — X 0

d e d on d e d er i vam os :

z - xy + «?(1 —x)y,

con la relación subsidiaria:

x(l-y)=0;

la primera expresión significa que la clase Z está for-mada por todas las X que son Y con un resto indefi-nido de no-X que son Y; la últ ima ecuación expresaque Todas las X son Y. Esta es, en realidad, la con-clusión del silogismo del cual son premisas las dos pro-pos ic iones dadas .

Asignando un sent ido apropiado a nuestros s ím-




bolos , todas las ecuaciones que hemos analizado admi-

t irían ser interpretadas mediante proposiciones hipoté-t icas , aunque parece suficiente el haberlas consideradocomo ejemplos de proposiciones categóricas .

Esta característ ica de los s ímbolos elect ivos en vir-tud de la cual toda ecuación electiva se puede reducira un sistema de ecuaciones ti ~ 0, U = 0, etc. , construi-das de manera tal que todos los productos binariost\t<¿, hUy etc., se anulan, representa una doctrina ge-neral dentro de la Lógica referida al análisis último delas proposiciones, de la cual convendría ofrecer algunai lustración.

Cualquiera de es tos const i tuyentes U,t2, etc. con-s is ten solamente de factores de las formas x,y,... 1 — w,1 — z, etc . E n con secu en cia, representa, e n proposi-ciones categóricas , una clase compuesta, es decir unaclase definida por la presencia de algunas cualidadesy por la ausencia de otras.

Ca da e cua ción co nst ituy en te h ~ 0, etc. , expresauna negación de la existencia de alguna clase definidade ese modo, y las diferentes clases son mutuamenteexc lus ivas .

De este modo, todas las proposiciones categóricas sepueden resolver en una negación de la existencia de ciertasclases compuestas, no siendo ningún miembro de dichaclase miembro de otra.

La proposición, Todas las X son Y, expresada porla ecuac ión x(\ -— y) = 0 , se resuelve en la negaciónde la existencia de una clase cuyos miembros son Xy n o - F .



ANÁL ISIS M AT E M ÁT ICO DE L A L Ó G ICA13 8

La propos ic ión Algunas X son Y, expresada por

v = xy, se resuelve como sigue, desarrollándola:v — xy — vx(l — y) + vy( 1 — x)+ t?(l — x ) (1 — y) — xy{\ — v);

vx{\ — y) =0, vy(l — x) =0,v{l — x){\ — y) = 0 , (1 — v)xy = 0.

Las tres primeras implican que no existe clase cuyosmiembros pertenezcan a c ierto desconocido "Algunas",

y son Io

) X y n o - F ; 2o

) Y y n o - X; 3o

) no-X y no -Y .La cuarta s ignif ica que no existe clase cuyos miembrossean X e Y, s in pertenecer a este desconocido "Al-gunas" .

Del mismo anál is is resulta que todas las proposi-ciones hipotéticas se pueden resolver en negaciones de lacoexistencia de la verdad o falsedad de ciertas aserciones.

Así la proposición, s i X es verdadera Y es verdadera,se resue lve por su ecuac ión x ( l — y ) = 0 , negando quecoexistan la verdad de X y la falsedad de Y.

Y la propos ic ión, X es verdadera o í e s verdadera,ambos miembros exclusivos, se resuelve en una nega-ción primero, de que X e Y sean ambas verdaderas,y segundo, de que X e Y sean ambas falsas .

Pero, cabe preguntarse ¿no se necesita algo más queun s istema de negaciones para la constitución de unaproposición afirmativa? ¿No se requerirá algún ele-mento pos i t ivo? Indudablemente, se neces i ta uno; yeste elemento posit ivo es reemplazado en las proposi-ciones categóricas por la suposición (que puede ser con-siderada como un requisito previo del razonamiento en




estos casos) de que hay un Universo de concepciones

y que cada individuo en él contenido pertenece o no ala clase propuesta; en las proposiciones hipotét icas , porla suposición (que es también un requisito previo) deque existe un Universo de casos concebibles y que todaproposición dada es o verdadera o falsa. En realidad,la cuestión de la existencia de concepciones (eí gen)es previa a cualquier declaración acerca de sus cuali-

dades o relaciones (t í ían) —Aristóteles , Anal. Post.l ib. II , Cap. 2.

De lo anterior, parecería deducirse que las propo-siciones pueden ser consideradas como basadas, a lavez, en un fundamento pos i t ivo y negat ivo. Dichopunto de vista no es extraño, sin embargo, al espíritudel razonamiento deduct ivo ni inadecuado a su mé-

todo; este últ imo procede s iempre por l imitaciones, entanto que el primer considera lo particular como deri-vado de lo general .

Dem ostración del método de los mu ltiplicadoresindeterminados aplicado a las ecuaciones electivas

simultáneas (30

).

Para evitar innecesarias complicaciones, bastaráconsiderar el caso de tres ecuaciones con tres s ímboloselect ivos, que son las más generales de esta clase. Severá que el caso es caracterizado por cualquier notaqu e af ec te la naturaleza- de la dem ostración, que pu-

diera presentarse en la discusión del problema más ge-




neral. E n dicho problem a, el núm ero de ecuaciones y

el número de variables son ambos i l imitados.Sean las ecuaciones dadas:4>(xyz) = 0, $(xyz) - 0, x(xyz) = 0, (I)

Multiplicando las ecuaciones segunda y tercera porlas constantes arbitrarias h y Je, y sumándoselas a laprimera, obtenemos:

<t>(xyz) + hot(xyz) + kx(xyz) = 0, (II)

donde se ve que, resolviendo esta ecuación con res-pecto a toda variable z por el teorema general (LXXV)obtendremos, no sólo el valor general de z con inde-pendencia de h y de k, s ino además todas las relacionessubsidiarias que pueden exist ir entre x e y independien-t e m e n t e d e z.

Si r epr esen tam os la ecu ació n general ( II ) bajo la

forma F(xyz) = ü, su solución se puede escribir, por(LXXV) , en la s igu iente forma:

xy x( l — y)z~ m u ) ñ i ó i ) "

1 : 1 — —^ ( 1 1 0 ) F{ 100)

+ F(011) F(001)1 1F( 0 1 0 ) F ( 0 0 0 )

y hemos visto que cualquiera de estos cuatro términospuede ser igualado a cero, cuyo módulo, que podemosrepresentar por M, no satisface la condición M n~ = Mo, lo que es aquí lo mismo, su módulo no t iene otro valor

que 0 ó 1.




C o n s i d e r e m o s el m ód u l o ( s u p on gam os M, (del pri-

1

mer término , a saber: — v asignando alF{ 1 1 1 ) "

1 :

^(100)

s ímbolo F su sent ido completo , tenemos:

1M l = — —

^ _ _ 0 ( 1 1 1 ) + ^ ( 1 1 1 ) 4- k x { 1 1 1 )

7 ( 1 1 0 ) + ¿ < > ( 1 1 0 ) + & x( H « )

E s ev i d en t e que la condición M\ — Mx no puedeser sat is fecha a m e n o s que el miembro de la derechasea independiente de h y de ¡c; si ése fuera el caso, ten-

dríamos la func ión:

0 ( 1 1 1 ) + ¿ 4 , ( 1 1 1 ) + fcx(lll)

0(110) + h<¡>( 110) + A;x(110)

independiente de h y de k.

S u p o n g a m o s que:

0(111) Ul ) + ¿ x ( l l l ) __

0 (110) + ¿4,(110) + fcx(HO) ~~

s iendo c independiente de h y de k; tenemos, simplifi-can d o las fracciones e igualando los coeficientes:

0(111) - C 0 ( 1 1 O ) , <K111) = c 4,(110), x ( l l l ) - cx(UO);

luego, e l iminando c:

0(111) ^ 0(111) = x ( l l l )

0(110) " 4,(110) x(110) '




que es equivalente a l s i s tema tr iple:

0 ( 111 ) ^( 110 ) — 0 ( 110)^ ( 111) = 0 ]- K l l l ) x ( l l O ) — o ( 1 1 0 ) x ( l l l ) = o f (I II )

x ( l l l ) 0 ( l l O ) — x (110) <V( lll ) - Oj

y resulta que s i cualquiera de estas ecuaciones no essat is fecha, e l módulo M 1 no satisfará la condiciónM'¡ — M i, p or lo tan to el primer térm ino del valor de2 deb e ser igualad o a 0 , y tendrem os:

xy = 0,

una relación entre x e y independiente de z.

Si desarrol lamos en términos de z cada par de ecua-ciones primit ivas ( I ) , tendremos:

4>(xy0) + \ <í>{xyl) — <¡>{xyQ)\z = 0,

; ${xy0) + \$(xyl) — $(xy0)\z = 0, .

x(xy0) + \x(xyl) — x(xy0)\z = 0,y e l im i n an d o s u ces i vam en t e z de cada par de estas ecua-ciones , tenemos

<¡> (xyl)^(xyü) — é(xy0)^(xyl) = 0.

ty(xyl)x(xy0) — ty(xy0)x(xyl) =0,

x{xyl) <f>(xy0) — x(xy0) <t>(xyl) = 0,

que expresan todas las relaciones entre x e y formadaspor la e l iminación de z. Desarrollándolas, y escribiendoel primer término en forma completa, tenemos:

10(111)^(110) —0(110)^(111)^?/ - f &c, - 0 ,

^ ( l l l ) x ( l l O ) — 4 ( 1 1 0 ) x ( l l l ) N + & c. = 0,

] x ( l l l ) 0 ( l l O ) — X (11O)0(111);^ 4- &c. = o ,

y resulta de la proposición (II) que si el coeficiente




de xy en cualquiera de estas ecuaciones no es igual a

cero, tendremos la ecuaciónxy = 0,

pero los coeficientes en cuestión son los mismos que losprimeros miembros del sistema (III) y los dos con-juntos de condiciones concuerdan exactamente. De estemodo, en lo que respecta al primeé término del desa-rrollo, el método de coeficientes indeterminados con-

duce al mismo resultado que la eliminación ordinaria;y es obvio que siendo similar la forma se aplicará elmismo razonamiento a todos los otros términos.

Supongamos, en segundo lugar, que las condicionesIII) son satisfechas en forma tal que M\ es indepen-

diente de h y de k. Asumirán indistintamente las for-mas equivalentes:

1 1 1

0(110) 4(110) x(110)

Estas son las formas exactas del primer módulo enlos valores desarrollados de z, deducidas simplementede la solución de las tres ecuaciones primitivas. Si este

0valor común de M\ es 1 o — — v, el término será

0conservado en z\ para cualquier otro valor constante(excepto 0) tenemos una relación xy = 0, no dada porel iminación pero deducible simplemente de las ecua-ciones primitivas, y en forma análoga para todos los

otros términos. De este modo, en cada caso la expre-



ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA LÓGICA 1 4 9

sión de las relaciones subsidiarias acompaña necesaria-

mente al proceso de solución.Si lo sometemos a consideración, es evidente queuna prueba similar se aplicará a la discusión de un sis-tema indefinido así como al número de sus símbolosy de sus ecuaciones.

(30 ) . Este método complica el cálculo más que lo facil i ta. Liv

ut i l ización de algori tmos complejos y, en general , de un aparatoalgebraico excesivo, dificulta la comprensión lógica de ciertas ex-presiones simbólicas usadas por Boole. Schroeder simplificó etcálculo lógico suprimiendo las operaciones " inversas" ( la resta yla división) e introdujo otras modif icaciones que lo perfeccio-naron, como la dualidad de las operaciones de adición y multipli-cación y el pa rale lism o en tre el 1 y el 0. El cálculo de Boole, asímodif icado, se conoce con el nombre de Algebra de Boole-Schroeder

o Algebra clásica de la Lógica.



P O S T S C R I P T U M

Durante la impresión de esta obra, se me han ocu-rrido algunas consideraciones y explicaciones que son

agregadas aquí .Las observaciones acerca de las relaciones entre la

Ló gic a el Le ng ua je (pág. 13) son apenas lo suficiente-mente expl íc i tas . Sostengo que ambas dependen, fun-damentalmente, de nuestra habil idad para formar no-ciones generales mediante la facultad de abstracción.El lenguaje es un instrumento —no indispensable— de

la Lógica.A las observaciones sobre Causa (pág. 22) quieroagregar lo s iguiente: Considerando la Causa como unantecedente invariable en la Naturaleza (que es el puntode vista de Brown) asociado o no a la idea de Poder,como ha sido sugerido por Sir John Herschel, el cono-cimiento de su existencia es un conocimiento expre-

sado adecuadamente por la palabra que (TO & TI.) , no porporqué (ró Storl) Cabe destacar que las dos más grandesautoridades dentro de la Lógica (moderna y antigua)aceptan esta últ ima interpretación aunque dif ieren am-pl iamente en su apl icación a la Matemática. S ir Wil l iamHamilton sost iene que la Matemática muestra sólo e lque (TÓ Ó TI); Aristóteles, en cambio, decía: El porqué

pertenece a los matemáticos porque el los poseen las




demostraciones de las Causas . (Anal. Post., lib. I,cap. XIV) . Hay que aceptar que e l punto de vis ta deAristóteles es consistente (aunque erróneo) con el sen-tido que, en varias partes de sus escritos, asigna vir-tualmente a la palabra Causa, a saber el de un antece-dente en la Lógica; es decir que s ignif ica af irmar quelas premisas son la causa de la conclusión. Me pareceque este punto de vista confiere aún a sus invest iga-ciones f ís icas mucho de su carácter peculiar.

Reconsiderando, pienso que el criterio sostenido enla pág. 96, acerca de la presencia o ausencia de unmedio de comparación, podría deducirse fáci lmente dela doctrina del Profesor De Morgan, por consiguiente,de cl ino pro clam arm e su descubridor. Se puede desta-car, s in em bar go, la form a en qu e sepresenta en estel ibro.

Creo prudente cambiar la opinión expresada en laspáginas 97,98. El s istema de ecuaciones al l í expuestopara formular las proposiciones de un s i logismo es siem-pre preferible al empleado anteriormente, ante todo por

6 su g en er alid ad y lueg o por su fácil interpretación.

En virtud del principio de que una proposición esverdadera o fa lsa , todo s ímbolo e lect ivo empleado enla expresión de proposiciones hipotét icas admite sola-mente los valores 0 y 1, que son las únicas formas cuan-t itat ivas de un s ímbolo elect ivo. En realidad, es posi-ble, basándose en la teoría de probabil idades (que espuramente cuant i tat iva) , l legar a un s is tema de mé-todos y procedimientos para el tratamiento de las pro-pos ic iones hipotét icas exactamente igual a los que




hemos formulado. Los dos s istemas de s ímbolos elec-

t ivos y de cant idades contactan (si se nos permite laexpresión) en los puntos 0 y 1. Me parece que en el loes tá im plíc ito qu e la verd ad incondicionad a (categó-rica) y la verdad probable se encuentran para consti-tuir la verdad contingente (hipotét ica) . La doctrina ge-neral de los s ímbolos elect ivos y todas sus aplicacionesmás característ icas son completamente independientes

de cualquier origen cuantitat ivo.



Í N D I C E

Adver tencia '

P r e f ac i oI n t r o d u c c i ó n H

N ot as (1 a 171 27-50

-r» Prim eros principio s J 1

N ot as ( I B a 22.» 56-63

De las expre siones y su interp retac ión ^ •

No tas (23 a 27) 72-75

De la conversión de las proposiciones 76

analisis matematico de la logica- george boole

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