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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE

Algebra di BooleAlgebra di Booleed elementi di logicaed elementi di logica

Marco D. Santambrogio – [email protected]. aggiornata al 10 Ottobre 2013


ObiettiviObiettivi

• Algebra di Boole Algebra di boole a due valori: algebra

di commutazione Operazioni logiche Espressioni logiche Assiomi e proprietà dell’algebra di

commutazione

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3

• L’algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà ’800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche

• Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso

• Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva)

Cenni all’algebra di BooleCenni all’algebra di Boole


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Algebra Booleana: Algebra Booleana: definizionedefinizione

• Algebra Booleana B è un sistema algebrico identificato dalla sestupla

(B,+,*,’,0,1) dove:

B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni (supporto)

+,*,’ sono le operazioni binarie OR e AND e l’operazione unaria NOT

0,1 sono elementi speciali di B.• 0 è l’elemento neutro rispetto a +• 1 è l’elemento neutro rispetto a *

Assiomi


Algebra Booleana a due valori:Algebra Booleana a due valori:Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione

“Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due valori........è la più utile. Essa è la base matematica della analisi e progetto di circuiti di commutazione che realizzano i sistemi digitali.”

[Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976]

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• Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico

• Operatore logico unario (con 1 operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione

• Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato

Operazioni logiche Operazioni logiche fondamentalifondamentali


• Le variabili dell’algebra booleana a due valori possono assumere solo i due valori 0 e 1

precisamente, se x indica una variabile, è• x = 0 se e solo se x 1• x = 1 se e solo se x 0

• Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,’,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come

• Mentre l’operazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione (NOT) è definita come

Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come ’ (esempio x’), !(esempio !x) o sopra segnando la variabile.

0 11 0

+ 0 10 0 11 1 1

* 0 10 0 01 0 1

Operazioni logiche Operazioni logiche fondamentalifondamentali

‘


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Operatori logici di base e loro tabelle di Operatori logici di base e loro tabelle di veritàverità

A B A and B

0 0 00 1 01 0 01 1 1(prodotto logico)

A B A or B

0 0 00 1 11 0 11 1 1(somma logica)

A not A

0 1

1 0

(negazione)

Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione


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• Come le espressioni algebriche, costruite con: Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C 0 oppure 1 Operatori logici: and, or, not

• Esempi:A or (B and C)(A and (not B)) or (B and C)

• Precedenza: l’operatore “not” precede l’operatore “and”, che a sua volta precede l’operatore “or”

A and not B or B and C (A and (not B)) or (B and C)

• Per ricordarlo, si pensi OR come “” (più), AND come “” (per) e NOT come “” (cambia segno)

Espressioni logiche (o Espressioni logiche (o Booleane)Booleane)


A and B or not C

A B C X = A and B Y = not C X or Y

0 0 0 0 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1

0 0 1 0 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0

0 1 0 0 and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1

0 1 1 0 and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0

1 0 0 1 and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = 1

1 0 1 1 and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = 0

1 1 0 1 and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = 1

1 1 1 1 and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1

Tabella di verità di un’espressione Tabella di verità di un’espressione logicalogica


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A B NOT ((A OR B) AND (NOT A)) 0 0 0 1 1 0 1 1

A B C ( B OR NOT C) AND (A OR NOT C) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0100

0011

1011

0011

0101

0111

00110011

1100

01010101

01010101

10101011

00001111

10101010

10101010

10111011

10101111

Due eserciziDue esercizi


Pausa 5’Pausa 5’

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George Boole


Vero e falso in CVero e falso in C

• In C non esiste un tipo di dato specifico per rappresentare i concetti vero e falso

• Una condizione assume un valore intero pari a 0 se la condizione è falsa 1 se la condizione è vera

• In generale, ogni valore diverso da zero è considerato vero ( 3 ) VERO ( 1 ) VERO ( a – a ) FALSO

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ProblemaProblema

Si scriva un programma in C che, dato un numero, dica se questo è positivo o negativo

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SoluzioneSoluzione

1. Si inserisca N2. N è maggiore di 0?

Vero: N è positivo Falso: N non è positivo

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In C: positivoIn C: positivo

int main(){ int n; printf (“Inserisci un numero\n"); scanf ("%d", &n ); if ( n > 0 ) printf ("Un numero positivo ! \n"); else printf ("Un numero negativo o nullo\

n"); printf ("Fine del programma\n"); return 0;}

condizione


Problema: caratteri Problema: caratteri MaIuScOliMaIuScOli

Si scriva un programma che, preso un carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a video l’equivalente maiuscolo

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MaiuscoloMaiuscolo: esecuzione: esecuzione

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HELP: errori sullHELP: errori sull’’inputinput

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Problema: errori sullProblema: errori sull’’inputinput

• Problema Preso un dato inserito da tastiera Per potervi applicare la trasformazione

di nostro interesse Dobbiamo prima verificare che il dato sia

coerente con quanto ci aspettiamo

• Soluzione Definire l’insieme dei caratteri validi Verificare l’appartenenza del carattere

inserito, all’insieme dei caratterei validi

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PseudocodicePseudocodice

• Dati L’insieme dei caratteri ammissibili

{a, b, c, …, z}

1. Richiedere l’inserimento di un carattere

2. Se carattere inserito corretto3. Allora stampa a video carattere-324. Altrimenti stampa a video un

messaggio di errore

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Condizione da verificareCondizione da verificare

• Dati L’insieme dei caratteri ammissibili

{a, b, c, …, z}

• Il carattere inserito deve essere =>a <= z

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Maiuscolo: Maiuscolo: solo ifsolo if

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Condizione da verificareCondizione da verificare

• Il carattere inserito deve essere X: =>a Y: <= z

• X e Y devono essere entrambe vere

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X Y X and Y

0 0 00 1 01 0 01 1 1(prodotto logico)


Maiuscolo: Maiuscolo: ANDAND

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MaiuscoloMaiuscolo: : codice codice ottimizzatoottimizzato

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MaiuscoloMaiuscolo: esecuzione: esecuzione

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• A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento A è vero che 1 è maggiore di 2 ? (sì o no, qui è no) 0 B è vero che 2 più 2 fa 4 ? (sì o no, qui è sì) 1 A and B è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia

4 ?Si ha che A and B 0 and 1 0, dunque no

A or B è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4 ?Si ha che A or B 0 and 1 1, dunque sì

• OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti “o” ed “e”, e come la negazione “non”, del linguaggio naturale

• Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull’uso di “o”, “e” e “non” (non è molto, ma è utile)

A che cosa servono le espressioni A che cosa servono le espressioni logiche?logiche?


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• Le espressioni logiche (booleane) non modellano: Domande esistenziali: “c’è almeno un numero reale x

tale che il suo quadrato valga 1 ?”x | x2 1 è falso (si sa bene che non c’è) Domande universali: “ogni numero naturale è la

somma di quattro quadrati di numeri naturali ?” x | x a2b2c2d2` è vero (“teorema dei 4 quadrati”) Più esattamente andrebbe scritto:x a,b,c,d | x a2b2c2d2

• e sono chiamati “operatori di quantificazione”, e sono ben diversi da or, and e not

• La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and e not si chiama calcolo proposizionale

• Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il calcolo dei predicati (che è molto più complesso)

Che cosa non si può modellare Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche?tramite espressioni logiche?


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• Tautologia Una espressione logica che è sempre vera, per

qualunque combinazione di valori delle variabili• Esempio: principio del “terzo escluso”: A or not A

(tertium non datur, non si dà un terzo caso tra l’evento A e la sua negazione)

• Contraddizione Una espressione logica che è sempre falsa, per

qualunque combinazione di valori delle variabili• Esempio: principio di “non contraddizione”: A and

not A (l’evento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri)

Tautologie e Tautologie e ContraddizioniContraddizioni


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• Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio:

A B not A and not B not (A or B)

0 0 1 and 1 = 1 not 0 = 1

0 1 1 and 0 = 0 not 1 = 0

1 0 0 and 1 = 0 not 1 = 0

1 1 0 and 0 = 0 not 1 = 0

• Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili

Equivalenza tra Equivalenza tra espressioniespressioni


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Proprietà dell’algebra di Proprietà dell’algebra di BooleBoole

• L’algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità cioè formulabili come equivalenze tra

espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili


Algebra Booleana a due valori: Algebra Booleana a due valori: AssiomiAssiomi

• Gli operatori descritti godono delle proprietà definite dai seguenti assiomi (postulati di Huntington):

Le operazioni di disgiunzione (+) e congiunzione (·) sono commutative, cioè per ogni elemento a,b B

a+b = b+a a·b = b·a Esiste un elemento neutro (o identità) rispetto a +

(indicato con 0) e un elemento neutro rispetto a · (indicato con 1), cioè:

a+0=a a·1=a Le due operazioni sono distributive rispetto all’altra,

cioè per ogni a,b,c B, risulta: a+(b·c)=(a+b)·(a+c) a·(b+c)=(a·b)+(a·c)

Per ogni a B esiste l’elemento a’ B, detto negazione logica o complemento di a, tale che:

a+a’=1 a·a’=0Val e

per

l a s

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l pr o

dot t

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Algebra di Commutazione: Algebra di Commutazione: Proprietà 1Proprietà 1

1: associativaa+(b+c)=(a+b)+c a*(b*c)=(a*b)*c

2: idempotenzaa+a=a a*a=a

3: elemento nulloa+1=1 a*0=0

4: unicità elemento inverso: il complemento di a, a’, è unico

5: assorbimentoa+(a*b)=a a*(a+b)=a


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6: Semplificazionea+a’b = a+b a*(a’+b) = a*b

7: involuzione ((a)’)’ = a

8: Leggi di De Morgan(a+b)’ = a’*b’ (a*b)’ = a’+b’

9: consensoa*b+a’*c+b*c = a*b + a’*c(a+b)*(a’+c)*(b+c)=(a+b)*(a’+c)

Algebra di Commutazione: Proprietà 2Algebra di Commutazione: Proprietà 2


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• Trasformare un’espressione logica in un’altra, differente per aspetto ma equivalente:

not A and B or A (assorbimento) not A and B or (A or A and B) (togli le parentesi) not A and B or A or A and B (commutativa) not A and B or A and B or A (distributiva) (not A or A) and B or A (legge dell’elemento 1) true and B or A (vero and B B) B or A è più semplice dell’espressione originale

• Si può verificare l’equivalenza con le tabelle di verità• Occorre conoscere un’ampia lista di proprietà e si

deve riuscire a “vederle” nell’espressione (talvolta è difficile)

Uso delle proprietàUso delle proprietà


Problemi di fine giornata…Problemi di fine giornata…

• Si scriva un programma in C che richiede l’inserimento di un numero intero positivo, se l’inserimento e’ errato ritorna un messaggio di errore

• Si scriva un programma in C che, dati due caratteri, li ordina in ordine alfabetico “inverso”

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Fonti per lo studio + Fonti per lo studio + CreditsCredits• Fonti per lo studio

Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill• Capitolo 2

• Credits Daniele Braga

• http://home.dei.polimi.it/braga/ Cristiana Bolchini

• http://home.dei.polimi.it/bolchini/didattica/retilogichea/index.htm

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