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Introduccion a la Matematica DiscretaLogica proposicional y Algebras de Boole

Luisa Marıa Camacho

Camacho Introd. a la Matematica Discreta 1 / 25

Introduccion a la Matematica DiscretaTemario

Tema 1. Teorıa de Conjuntos.

Tema 2. Logica proposicional y algebras de Boole.

Tema 3. Tecnicas de contar.

Tema 4. Recursion.

Tema 5. Aritmetica entera.

Tema 6. Aritmetica modular.


Tema 2. Logica proposicional y algebras de Boole

Logica proposicional.

Proposicion logica.

Conectores logicos.

Tablas de verdad.

Tecnicas de demostracion.

Algebras de Boole.


Logica proposicional. Proposicion logica

Una proposicion es cualquier enunciado logico al que se le puedaasignar un valor de verdad (V) o falsedad (F) (pero no ambas).

Ejemplos:

“x + 3 es un entero positivo”NO ES UNA PROPOSICION.

“15 es un numero par”SI ES UNA PROPOSICION.


Logica proposicional. Conectores logicos

Las proposiciones simples pueden combinarse mediante las llamadas conectores logicospara formar proposiciones compuestas.

¬ La negacion.

∨ La disyuncion. “o inclusivo”.

∧ La conjuncion. “y”

→ La implicacion. Condicional.

↔ La equivalencia.

Los parentesis. “p ∨ (q → ¬r)”no es lo mismo que “(p ∨ q) → ¬r


Logica proposicional. Tablas de Verdad.

¬pverdad (V) si p falso (F) y falso (F) si pverdad (V).

p ¬pV FF V

p ∨ q

verdad (V) si al menos uno de entre p y qverdad (V) y falso (F) si tanto p como qfalso (F).

p q p ∨ q

V V VF V VV F VF F F

p ∧ q

verdad (V) si p y q verdad (V) y falso(F) si uno de entre p y q falso (F).

p q p ∧ q

V V VF V FV F FF F F



p→ q

verdad (V) si p y q verdad (V) o si pfalso (F) independientemente de q y falso(F) en los demas casos.

p q p→ q

V V VF V VV F FF F V

p↔ q

verdad (V) si p y q toman el mismo valory falso (F) en los demas casos.

p q p↔ q

V V VF V FV F FF F V



Tautologıa si toma el valor verdad independientemente de los valores delas proposiciones que la componen.

Contradiccion si toma el valor falso independientemente de los valores delas proposiciones que lo componen.

Contingencia en los demas casos.


Relacion entre Teorıa de Conjuntos y Logica Proposicional.

conjuntos A A ∪B A ∩B A ⊂ B A = B

proposiciones ¬a a ∨ b a ∧ b a→ b a↔ b

Tablas de pertenencia

Sean A y B conjuntos de X. Sea x ∈ X. Si x es un elemento de un conjunto dadoescribimos un 1 y si x no es elemento del conjunto escribimos un 0. Probar queA ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

A B C B ∩ C A ∪ (B ∩ C) A ∪ B A ∪ C (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1


Logica Proposicional. Aplicaciones

Estructura de decision (o seleccion) en programacion.

Si expresion logica Entonces

acciones por verdadero

Sino

acciones por falso

FinSi

si p entonces A o B,

A y B no necesariamente proposiciones logicas.


Logica Proposicional. Aplicaciones

Ejemplo

if (!(n<8) or (!(m!=2))) n=2*m =⇒ ¬p ∨ ¬q −→ R.p : n < 8,q : m 6= 2,R : n = 2m (no es proposicion).


Logica Proposicional. Ejercicios.

1 Verificar que la proposicion p ∨ ¬(p ∧ q) es una tautologıa.

2 Verificar que la proposicion (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q) es una contradiccion.

3 Se pide:

3.1. Demostrar que “p implica q” y “q implica p” es logicamente equivalenateal bicondicional ”p si y solo si q”; es decir, (p→ q) ∧ (q → p) ≡ p↔ q.

3.2. Demostrar que p↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p).

4 El conector proporcional ∨ se llama disyuncion exclusiva; p∨q y se lee p o qpero no ambos. Se pide:

4.1. Construir una tabla de verdad para p∨q.4.2. Probar: p∨q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) (es decir, puede escribirse en terminos de

los tres conectores originales ∨, ∧ y ¬).


Tema 2. Logica proposicional y algebras de Boole

Algebras de Boole.

Axiomas.

Propiedades.

Ejemplos.

Aplicaciones a circuitos.


Algebras de Boole. Axiomas

El algebra de Boole es un conjunto de elementos, B, que contiene dos elementosespeciales 0 (elemento neutro) y 1 (elemento unidad) sobre el que definimos dosoperaciones binarias cerradas: +,× y una operacion unitaria, ′, que satisfacen lossiguientes axiomas:

Axioma 1: Conmutativa:

{a + b = b + aa× b = b× a

Axioma 2: Asociativa:

{(a + b) + c = a + (b + c)(a× b)× c = a× (b× c)

Axioma 3: Distributiva:

{a + (b× c) = (a + b)× (a + c)a× (b + c) = (a× b) + (a× c)

Axioma 4: Elementos neutros:

{a + 0 = aa× 1 = a

Axioma 5: Inversos:

{a + a′ = 1a× a′ = 0


Algebras de Boole. Propiedades

Jerarquıa de las operaciones:Primer lugar (’), segundo lugar (×) y tercer lugar (+).

Si no da lugar a confusion a× b = ab.

Gracias a la asociatividad se suelen prescindir de los parentesis: a + b + c,a× b× c.

Existe dualidad entre las operaciones + y × y entre los elementos 1 y 0.(Principio de dualidad.)

Unicidad de los elementos neutro y unidad y del complementario.

La operacion unitaria es idempotente, (x′)′ = x.

0′ = 1, 1′ = 0.


Algebras de Boole. Propiedades.

{(x + y)z = xz + yzxy + z = (x + z)(y + z)

Ley de idempotencia:

{x + x = xxx = x{

x + 1 = 1x0 = 0

Ley de absorcion:

{x + xy = xx(x + y) = x{

x + x′y = x + yx(x′ + y) = xy

Ley de Morgan:

{(x + y)′ = x′y′

(xy)′ = x′ + y′


Algebras de Boole. Ejemplos

Ejemplo 1: Algebra de conjuntos.

El algebra de conjuntos es un algebra de Boole, sea X un conjunto, sea P(X) elconjunto de las partes de X. Tomamos B = P(X), el conjunto de elementos, las dosoperaciones binarias, ∪ la union y ∩ la interseccion y la operacion unitaria elcomplementario, siendo su elemento unidad el conjunto universal (el total X) y elconjunto vacıo (∅) su elemento neutro:

A ∪ ∅ = A, A ∩X = A, A ∈ B

A ∪A′ = X = 1, A ∩ ∅ = ∅ = 0, A ∈ B



Ejemplo 2: Algebra Proposicional.

El conjunto B esta formado por dos elementos V y F; las dos operaciones ∨(disyuncion) y ∧ (conjuncion) cuyos elementos identidad son F y V respectivamente.La operacion unitaria es la negacion, ¬.

V ∨ F = V, F ∨ F = F, (suma)V ∧ V = V, F ∧ V = F, (producto)V ∨ ¬V = V = 1, V ∧ ¬V = F = 0, (complementario)



Ejemplo 3: Algebra de conmutacion.

Este algebra es importante en el analisis de circuitos.El conjunto de elementos, B = {0, 1} las dos operaciones (+) y × y la operacionunitaria vienen dadas por:

+ 0 1

0 0 11 1 1

× 0 1

0 0 01 0 1

x x’

0 11 0


Algebras de Boole. Circuitos

Disponemos de un circuito en serie y dos interruptores A y B

Introduzcamos la siguiente notacion:

0 significa abierto o no circula corriente

1 significa cerrado o circula corriente

• representa el conector logico ∧



Disponemos de un circuito en paralelo y dos interruptores A y B




+ representa el conector logico ∨



Disponemos de un circuito con rele y un interruptor A




¬ representa el conector logico ¬


Algebras de Boole.Circuitos

Un circuito esta formado de puertas elementales. Las mas usuales son:

AND equivale a un circuito en serie. El sımbolo por el que se representa es:

OR equivale a un circuito en paralelo. El sımbolo por el que se representa es:

NOT da como salida el estado opuesto al de entrada. El sımbolo por el que serepresenta es:


Algebras de Boole. Ejercicios.

1 Construir un circuito para cada una de las siguientes funciones de conmutacion

a) x + yz; c) x(y + z); e) (x + y) · (z + k);b) xy + zk; d) (x + y) · (x′ + zy′); f) (xy + z) · (k + x′y).

2 Halla las funciones de conmutacion que producen los siguientes circuitos:


Logica proposicional. Algebras de Boole. Bibliografıa.

1 F. Garcıa Merayo, Matematica Discreta.Editorial Thomson, 2a Edicion, 2005.

2 R. P. Grimaldi, Matematicas discreta y combinatoria.Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997.

3 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications.Editorial McGraw-Hill, 2003.


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