analisis de señales (fourier)

Universidad Tecnológica Nacional Ingeniería en Sistemas de Información

Facultad Regional Tucumán Cátedra: Comunicaciones

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Núcleo Temático: Naturaleza de las señalesTemas: Señales analógicas y de pulsos. Señales periódicas y no periódicas.Descomposición de una señal por serie y transformada de Fourier, armónicas.Espectro de un tren de pulsos. Ancho de banda de un tren de pulsos.Profesor : Ingeniero Guillermo Mariano Chaile

Naturaleza de las señales

En la naturaleza existen diversas formas de energía que impresionan anuestros sentidos bajo la forma de señales y que actúan de diferentesmaneras. Por ejemplo llegan al oído bajo la forma de señales acústicas o anuestros ojos bajo la forma de señales luminosas. En física se dice que estasseñales se presentan como formas o frentes de ondas que tienen unadeterminada intensidad o potencia y también una composición de frecuenciasde repetición y que al variar en el tiempo cualquiera de estas magnitudes demanera impredecible constituyen señales de información.Cuando se diseñan los circuitos electrónicos para ser utilizados en los sistemasde comunicación, frecuentemente es necesario analizar y predecir elfuncionamiento del mismo mediante el “análisis de señales”, utilizandopoderosas herramientas matemáticas como el “análisis de Fourier” paradeterminar por ejemplo su distribución de potencia y la composición defrecuencias de las señales que transportan información. Estas señales puedenestar representadas por funciones senoidales o cosenoidales de frecuenciasencilla o de forma de onda compleja que se pueden representar por unasumatoria de funciones seno o coseno.

Señales senoidales

El análisis de señales es en esencia el análisis matemático de la frecuencia, elancho de banda ocupado por la señal y el nivel o amplitud de la mismarepresentada por ejemplo por una tensión o una corriente eléctrica. Las señaleseléctricas son variaciones de tensión o de corriente con respecto al tiempo quepueden expresarse por una función seno o coseno o por una sumatoria detodas ellas. Matemáticamente, la forma de onda más sencilla y de unadeterminada frecuencia de una tensión o una corriente eléctrica es:

)()( jv += tsenVtv m ; )2()( jp += ftsenVtv m o )2()( jp += ftsenIti m

)cos()( jv += tVtv m ; )2cos()( jp += ftVtv m o )2cos()( jp += ftIti m

En donde:v(t) = onda de voltaje que varía en forma senoidal o cosenoidal con el tiempoi(t) = onda de corriente que varía en forma senoidal o cosenoidal con el tiempoVm = valor máximo o de pico (Volts)Im = valor máximo o de pico (Amperes)f = frecuencia (Hertz)

tvj = = fase inicial de la señal (radianes)

fT

ppv 22 == = velocidad angular (radianes/segundo)



2

Características de las señales periódicas

Para conocer las características de las señales que se transmiten por losmedios de comunicación es imprescindible el estudio de las señales periódicas.Se dice que una señal es periódica, de período T, cuando resulta:

f(t) = f(t+T) y n

n

n

n

tTtf

ttf

¶+¶=¶

¶ )()(para todo valor de n

En efecto, la siguiente figura nos muestra una señal de estas características,donde T es el período que debe satisfacer la ecuación anterior.

f(t)

t

T T T

La función senoidal de armónica simple

Una de las formas mas comunes de las señales analógicas es la funciónsenoidal de armónica simple. Esta señal es la que se genera cuando unaespira de alambre gira a una velocidad angular constante en el interior de uncampo magnético generado por los polos de un imán. Este equipo se denominaalternador de una espira, y la fuerza electromotriz que se induce en la espiraestá dada por la siguiente expresión:

)()( fv += tsenEte m

donde:

radianeseninicialfasedeángulo

segundosenmedidoperíodoelesf

T

HertzenmedidarepeticióndefrecuencialaesT

f

f

segundoradianesenangularpulsaciónvoltiosenmedidaseñallademáximaamplitudEm

_____

_____;1

_______;1

2

/___

_______

==

====

f

pvv

Como se verá a continuación, cada uno de estos parámetros tiene unsignificado preciso en la forma de onda generada.La siguiente figura representa gráficamente un ciclo completo de revolución dela espira.



3

Las expresiones anteriores representan una forma de onda repetitiva sencilla yde una sola frecuencia. Una forma de onda así representada se llama “onda

periódica” porque se repite en un rango uniforme (es decir, cada ciclo sucesivode la señal tiene exactamente la misma duración de tiempo y exactamente las

mismas variaciones de amplitud que cualquier otro ciclo y cada ciclo tieneexactamente la misma forma).

N

S

e(t)=Em

e(t)=0

Vista frontalS

N

Vista lateralPiezas polaresmagnéticas

Piezas polaresmagnéticas

Sentido de rotaciónde la espira

Tensión inducida nula

Tensión inducida máxima

Alternador de una espira

Em

0º 180º 360º0º

90º

180º

270º

Em

Generación de un ciclo de una señal senoidalarmónica simple

Amplitud

Angulo de rotación

Esta figura representa gráficamente un ciclo completo de revolución de laespira y la tensión que se ha generado en la misma en función del ángulo degiro respecto a las piezas polares del imán permanente, hasta completar unciclo. La rotación continua de la espira genera una señal periódica. Cuando hagirado 360º, decimos que la señal ha completado un ciclo y que en radianesserá igual a .2pPeríodo: es el tiempo que tarda la señal en completar un ciclo. Se representacon la letra T y se mide en segundos.Frecuencia: es el número de ciclos completos que tiene lugar la función en unsegundo y se mide en ciclos por segundo o Hertz. Por ejemplo una frecuenciade 1 Hertz corresponde a 1 ciclo por segundo y una frecuencia de 3 Hertzcorresponde a 3 ciclos por segundo.



4

Representación de una forma de onda senoidal de 1 Hertz

00

Amplitud [V]

1 ciclo

+Vm

Tiempo [seg]

-Vm

10.5

T=1 segundo

0

0

+Vm

-Vm

+Vm

-Vm

+Vm

-Vm

Tiempo

[V]

T=1/3 segundo

1 ciclo

T=1/3 segundo

1 ciclo

T=1/3 segundo

1 ciclo

Representación de una onda senoidal de 3 Hertz

1 segundo

La frecuencia y el período están relacionados por la siguiente expresión:

[ ] [ ]sTHertzf

1= y [ ]f

sT1=

A su vez la frecuencia y la pulsación están relacionadas por la siguienteexpresión:

Tf

ppv 22 ==

sradianes

Una serie de formas de ondas seno, coseno o cuadradas son ejemplos deondas periódicas. Las ondas periódicas pueden analizarse ya sea en eldominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

Dominio del tiempo

Una forma de onda de una señal muestra la forma y magnitud instantánea de laseñal, con respecto a tiempo, pero no necesariamente indica su contenido defrecuencia. Un instrumento que se usa en laboratorios llamado osciloscopio de



5

rayos catódicos nos permite ver formas de onda que varían el tiempo en unapantalla, donde el eje horizontal representa el tiempo y el vertical la amplitud dela señal en ese instante de tiempo.La siguiente figura nos muestra una forma de onda senoidal de unadeterminada frecuencia, con su amplitud máxima o de pico de v voltios, unafrecuencia de f hertz y una fase inicial para t = 0 de cero radianes. Es decir quepara cada instante de tiempo se puede obtener un valor instantáneo de laamplitud de la onda en cuestión cuya envolvente responde a una funciónsenoidal. Obsérvese que durante el período T la función adopta los valoresmatemáticos comprendidos entre 0 y p2 radianes.

)2()( jp += ftsenVtv m

Amplitud [V]

Tiempo [seg]

+Vm

-Vm

+0.707 Vm

-0.707 Vm

00

1/f1/2 f

T = período

1 ciclo

Representación en el dominio del tiempo de una forma de onda senoidal de frecuencia simple.

Valor eficaz de una señal alterna

Para una señal alterna de tipo senoidal, el valor eficaz o efectivo es:

max

max

707.02

1

707.02

1

Ii

Vv

ef

ef

==

==

Físicamente, el valor eficaz de una señal alterna puede interpretarse como elvalor que debería tener una señal de valor constante en el tiempo y queocasione el mismo efecto sobre una carga que la señal alterna.Matemáticamente, para cualquier forma de onda, el valor efectivo o valorcuadrático medio de una función (r.m.s.) está definido como:

ò=T

dttfT

smr0

2)(1

...

Valor medio de una señal

Se define como el valor medio de la señal dentro de un intervalo de tiempo.

ò=T

dttfT

v0

)(1



6

Factor de forma de una señal

Se denomina a la relación entre el valor eficaz de la señal respecto a su valormedio.

vefectivovalor

FF_

.. =Por ejemplo el factor de forma de una onda cuadrada es igual a 1, mientras quepara otras formas de onda puede ser mayor y por lo tanto mayor sudeformación respecto a la onda cuadrada.

Dominio de la frecuencia

Un instrumento de laboratorio denominado analizador de espectros nos permiteanalizar formas de onda en el dominio de la frecuencia y presentarlas en unapantalla. El eje horizontal representa las frecuencias en forma discreta de laseñal y el vertical las amplitudes respectivas de cada una de las señales queintervienen en su composición.Una representación en el dominio de la frecuencia de una onda muestra elcontenido de frecuencias, pero no necesariamente indica la forma de onda o laamplitud combinada de todas las componentes de entrada de información enun tiempo específico.La siguiente figura muestra el espectro de frecuencias para una señal senoidalde una sola frecuencia, con una máxima amplitud de V volts y una frecuenciade f hertz. Recordemos que f = 1/T , siendo T el período o intervalo derepetición de la onda.

Amplitud [V]

Frecuencia [Hz]f

Vm

Representación en el dominio de la frecuencia (espectro) para una onda senoidal de una sola frecuencia.

0

0

Señales complejas periódicas no senoidales

Esencialmente, cualquier forma de onda repetitiva u onda periódica complejano es mas que una sucesión de ondas de tipo seno o coseno. Para analizaruna forma de onda periódica compleja, es necesario utilizar una herramientamatemática llamada “series de Fourier”, desarrolladas en 1826 por el físico ymatemático francés Jean B. Fourier.Toda función periódica que cumpla con las condiciones de Dirichlet, unmatemático alemán nacido 1805, admite ser desarrollada en “Serie de Fourier”.



7

Esto significa que funciones tales como la onda cuadrada, diente de sierra,triangular, etc. Admiten no solo una definición por medio de proposiciones, sinotambién una representación en serie de términos senos o de cosenos.Las series de Fourier resultan uniformemente convergentes y por lo tanto,tienen un conjunto de propiedades muy importantes como por ejemplo, quepueden ser derivadas o integradas término a término, etc.

Condiciones de Dirichlet

Estas condiciones son necesarias y suficientes para que una función f(t) puedase desarrollada en serie de Fourier.

· La función f(t) debe ser periódica, de período T.· La función f(t) debe ser definida y univalente, salvo un número finito de

puntos, en el intervalo de integración.· La función f(t) y su derivada f`(t) deben ser seccionalmente continuas en

el intervalo de integración (o continua por secciones).Toda función que cumpla con las condiciones de Dirichlet admite serrepresentada por una serie de funciones trigonométricas de la forma:

å¥=

++=1

0 )()cos((2

)(n

nn tnsenbtnaa

tf vv (1) donde:

T = Período de la señal f(t) y f1 = 1/T es la frecuencia fundamental para n = 1.

Tf

ppv 22 == pulsación de la señal f(t)

,...3,2,1_)()(2

,...3,2,1_)cos()(2

0_)(2

2/

2/

2/

2/

2/

2/

0

=®=

=®=

=®=

òòò

+

-

+

-

+

-

nparadttnsentfT

b

nparadttntfT

a

nparadttfT

a

T

Tn

T

Tn

T

T

v

v

Los coeficientes an y bn representan las amplitudes de cada una de las señalespara n = 1,2,3,... y los términos entre paréntesis de las funciones seno ocoseno representan las señales armónicas de la función para n = 1,2,3,... queson múltiplos enteros de la señal fundamental de período T y de frecuencia f1=1/T.El coeficiente a0/2 es un término independiente que representa el “valor mediode la función” respecto al período T y físicamente se lo conoce “componente decorriente continua de la señal o de valor constante”.La expresión de f(t) corresponde a la forma o envolvente de la onda y puedeser definida de manera simple para formas geométricas sencillas o si se tratade formas complejas, se requiere una aproximación por ejemplo de tipopolinomial.La determinación de estos coeficientes es un tema matemático que consiste enmultiplicar miembro la expresión (1) por una función auxiliar )2( ftksen p eintegrar m. a m. entre –T/2 y +T/2 y diferenciar respecto a dt para despejarfinalmente an.



8

dtftnsenftksenT

T

).2().2(2/

2/

ppò+

-da un valor 0 para nk ¹ y T/2 para k = n.

El término )2( ftnsenbn p se anula y finalmente podemos obtener an.

De igual manera, multiplicando m. a m. la expresión (1) por )2cos( ftk p eintegrando m. a m. entre –T/2 y +T/2 respecto a dt obtenemos:

dtftnsenftkT

T

).2().2cos(2/

2/

ppò+

-que nos da un valor 0 para nk ¹ y T/2 para k = n.

El término )2cos( ftnan p se anula y finalmente podemos despejar bn.El término a0 se obtiene fácilmente para n = 0, integrando m. a m. la expresión(1) entre –T/2 y +T/2 respecto a dt para obtener el valor medio de la función.

Ejemplo 1: onda cuadrada.

La onda cuadrada puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera,haciendo tx v= para facilitar el cálculo:

ppp2_,1)(

0_,1)(

<<-=<<+=

xcuandoxf

xcuandoxf

1

-1

f(t)

0

0

T/2 T

pi 2pi x

t

Onda cuadrada

Cálculo de a0:

ò ò =+--=-=-++=p p

p

pp

p pppppp 0

22

00 0)20(1

)(1

).1.1(2

2xxdxdxa

Obsérvese que se requieren dos integrales para el cálculo de f(x) para elintervalo entre 0 y T, una entre 0 yp y la otra entre p y p2 . El mismo resultadose hubiera obtenido integrando entre –T/2 y +T/2, es decir entre p- y 0, y 0 yp . Como es de esperar, el resultado de a0 vale cero ya que ambas áreas soniguales y opuestas respecto al eje x en el período de integración.



9

Cálculo de an:

[ ] [ ])2()(2(

1

})()({1

))cos()1()cos()1((1

2

0 0

2

ppp

ppp

p

p pp

p

nsennsenn

nxsennxsenn

dxnxdxnxan

-=

-=-++= ò ò

Nos da un valor de an = 0 para cualquier valor entero de n.Cálculo de bn:

[ ] [ ]ò ò +-=-++=p p

p

pp

ppp 0

22

0 })cos()cos({1

))()1()()1((1

nxnxn

dxnxsendxnxsenbn

)2cos()cos(21(1 ppp nn

n+-=

Para n par: 0)121(1 =+-= pn

bn

Para n impar: pp nnbn

4)121(

1 =++=

Específicamente, .,_,5

4,

3

4,

4531 ntesucesivameasíybbb ppp ===

El resultado final del desarrollo de la onda cuadrada en una serie de Fourier,es:

úûù

êëé +++++= )(

1...)7(

7

1)5(

5

1)3(

3

1)(

4)( tnsen

ntsentsentsentsentf vvvvvp

Este resultado demuestra que la señal de una onda cuadrada se puedeexpresar mediante una suma de infinitas funciones sinusoidales, de diferentesfrecuencias y respectivas amplitudes, compuesta por armónicas impares.

0 ¶ 2¶

Formación de la onda cuadrada con la suma de la fundamental+ la 3a. armónica y de esta última + la 5ta. armónica

La figura muestra una suma de señales senoidales de armónica impar con susamplitudes decrecientes lo que nos permite ver una aproximación de una ondacuadrada.Si se toman solamente algunos términos de la serie, se tendrá unaaproximación de la función, que será más precisa, cuando se consideren más



10

términos. Cuando se tomen infinitos términos, la serie representará fielmente ala función onda cuadrada original.Los canales de comunicaciones, al poseer un ancho de banda acotado o finito,no permiten el pasaje de las infinitas armónicas necesarias para representarfielmente la señal original a la salida de dicho canal.El canal no deja pasar nada mas que hasta una cierta armónica, con lo cual laseñal a salida del mismo se presenta distorsionada o deformada y da lugar aerrores en la determinación de los unos y ceros transmitidos.

Representación de la señal de una onda cuadrada en el dominio de lafrecuencia

bn

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

veces de la frecuencia fundamental

1

4/pi

Espectro de una onda cuadrada

Ejemplo 2: onda diente de sierra.

La figura muestra otra onda periódica de características simple. Haciendo

tT

tftxppv 2

2 11 === , donde f1=1/T es la frecuencia de repetición de la onda

fundamental, podemos expresar convenientemente esta función entre p- ap+ como:

ppp +><-= xcuandox

xf )(

No es conveniente expresar esta onda de 0 a p2 porque esto nos requeriría elplanteo de dos ecuaciones y la segunda no sería enteramente simple. Estoaporta un punto importante del análisis de Fourier. Estos no son, por ningúnmotivo, los únicos límites posibles. Si derivamos esta función podemosobservar que los límites pueden ser cualquier valor de x que estén apartados 1ciclo. Por lo tanto, los límites podrían ser perfectamente entre p- y p+ queutilizaremos para el cálculo.



11

x

f(x)

0 ¶ 2¶¶-

Onda diente de sierra

bn1

¶2/

12

34

56

78

9 f

Espectro de la onda diente de sierra

0

Veces de la frecuencia fundamental

Cálculo de an:

ò ò- - -

úûù

êëé +===

p

p

p

p

p

ppppp )()cos(11

)cos(1

)cos(2

2222

nxsennx

nxn

dxnxxdxnxx

an

0))()((1

)cos()(cos(1

(1

22=-+-= ppppppp nsennsen

nnn

npara cualquier valor

entero de n.Cálculo de a0:

ò-

=-==p

ppppp 0)(

2

11 22220 xdxa

La serie no contiene términos coseno ni término constante.Cálculo de bn:

ò ò- - -

úûù

êëé -===

p

p

p

p

p

ppppp )cos()(11

)(1

)(1

222nx

nx

nxsenn

dxnxxsendxnxsenx

bn

))cos()((2

22pppp nnnsen

n-=

Si n es un número entero par, onsen =)( p y 1)cos( =pn , y pnbn

2-= .

Si n es un número entero impar, onsen =)( p y 1)cos( -=pn y pnbn

2+= .

Por lo tanto:

...4

2;

3

2;

2

2;

24321 pppp -==-== bbbb y el resultado final de la onda diente de

sierra en una serie de Fourier, es:

...)44

13

3

12

2

1(

2)( 1111 +-+-= tsentsentsentsentf vvvvp

Donde observamos que están presentes todos los términos senos, tanto paralas armónicas pares, como impares, siendo la amplitud inversamenteproporcional al orden de la amónica pero con signo cambiado en términosalternos como se puede ver en el espectro de frecuencias.



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Simetría de la onda

Describe su simetría en el dominio del tiempo de una onda, es decir su posiciónrelativa con respecto a los ejes horizontal (tiempo) y vertical (amplitud).Básicamente existen tres clases de simetría: impar, par y de media onda.Hemos visto, evaluando los coeficientes de la serie, que algunas ondas notienen armónicas pares. Algunas ondas no tienen términos coseno, otras notienen términos seno, y otras no tienen término constante. Si pudiéramospredecir, sin efectuar el cálculo de la serie que ciertas ondas no tendrían conseguridad términos en una u otra forma de estas categorías, estaremossimplificando bastante el trabajo. Se puede demostrar que las ondas de ciertostipos de simetría carecen de ciertas armónicas:

1. Las funciones impares tienen solamente términos seno.2. Las funciones pares no tienen términos seno.3. Si hay simetría de media onda, sólo estarán presentes armónicas

impares.

Simetría impar

Haciendo tx v= , podemos definir funciones matemáticas tales como.,...,,)( 53 etcxxxxf = , donde para una función impar, se verifica que:

f(x) = -f(-x) (1)El nombre de “función impar” viene del número en el exponente. Por ejemplo lafunción f(x) =x3 adopta para x = 2, f(x) = 8 y para x = -2, f(x) = -8, por lo tantosatisface la condición (1) y por consiguiente f(x) =x3 es una función impar comolo es también sen(x), etc.

x

f(x)=ax

(a)

x

f(x)=x3

(b)

x x

f(x)=sen x

(c) (d)

f(x)

-x -x -x

P

P´

Q

Q´-x

Ejemplos de funciones impares

Podemos generalizar que la suma de funciones impares es siempre impar. Así,la función f(x) = x+x3 es impar.

Simetría par

Una función es par cuando:f(x) = f(-x)

Las funciones f(x) = x2, x4, x6, etc. son pares. Por ejemplo si f(x) = x2, para x =2, f(x) = 4 y para x = -2, f(x) = 4.



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Podemos generalizar también que la suma de las funciones pares es siemprepar. Así, f(x) = K+x2+x4 es una función par. La constante K está clasificada conlas funciones pares, porque tiene el mismo valor si x es positiva o negativa.

-x x

(a)

-x x

(b) (c) (d)

x

f(x)=x2 f(x)=K+x

2

-x x

f(x)=cos x

-x

f(x)

P

Q

P´Q´

Ejemplos de funciones pares

Debe notarse particularmente y hacer énfasis que las funciones pares no tienennada que ver con las armónicas pares, ni las funciones impares con lasarmónicas impares, a pesar del uso confuso de las palabras. Una función partiene potencias pares de x, mientras que una armónica par tiene múltiplospares de la frecuencia fundamental, y no existe relación entre ellas.

Simetría de media onda

Si una forma de onda periódica es tal que la forma de onda para la primeramitad del ciclo (t = 0 a t = T/2) se repite a sí misma, con excepción del signoopuesto para la segunda mitad del ciclo (T = T/2 a t = T), se dice que tienesimetría de media onda. Por lo tanto se satisface la condición:

f(t)= -f(t+T/2)

f(t)

T/2 T-T/2 0t

Simetríade espejo

Simetría de media onda

El medio ciclo positivoes una imagen espejo e invertidadel medio ciclo negativo

Todas las formas de onda con este tipo de simetría tienen “armónicas pares”igual a cero para los términos seno y coseno de la serie.



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Ejemplo 3:

Se tiene una onda cuadrada que tiene una amplitud máxima de + 4 voltiosentre 0 y T/2 segundos, y – 4 voltios entre T/2 y T segundos. Si el período derepetición de la onda es de 1 micro segundo, se pide determinar:

a) Las amplitudes máximas o de pico y las frecuencias de las primerascinco armónicas impares.

b) El espectro de frecuencia de la señal.c) El voltaje instantáneo total de la señal para diversos tiempos entre 0 y T

y la forma de la onda en el dominio del tiempo.Solución:

a) Por inspección de la forma de la onda ya vista, puede verse que el valorpromedio de corriente continua es de 0 voltios para el términoindependiente a0 ya que la onda tiene simetría impar y de media onda.Por lo tanto, puede escribirse que la serie de Fourier para esta onda es:

úûù

êëé +++++= ...)9(

9

1)7(

7

1)5(

5

1)3(

3

1)(

4)( tsentsentsentsentsen

vtf vvvvvp para

los 5 primeros términos impares y v = 4 voltios.

[ ]Va 09.51416.3

16164*41 ==== pp

[ ]Va 69.11416.3*3

16

3

16

3

4*43 ==== pp

[ ]Va 02.11416.3*5

16

5

16

5

4*45 ==== pp

[ ]Va 73.01416.3*7

16

7

16

7

4*47 ==== pp

[ ]Va 57.01416.3*9

16

9

16

9

4*49 ==== pp

[ ] [ ] [ ]MHzHzsT

f 110*110*1

11 661 ==== -

úûù

êëé==

sradianes

f 611 10*22 ppv

111 3*22*33 ff ppv ==313 ff =

[ ] [ ]MHzHzff 310*32

10*2*3

2

323 6

61

331 ====®= pp

pvpv

[ ] [ ]MHzHzf 510*52

10*2*5 66

5 === pp

[ ] [ ]MHzHzf 710*72

10*2*7 66

7 === pp

[ ] [ ]MHzHzf 910*92

10*2*9 66

9 === pp



15

b)

8

E s p e c t r o d e u n a o n d a c u a d r a d a

0 1 2 3 4 5 76

f

9 [ M H z ]

[ V ]

01

2

3

4

5

c)úúûù

êêëé

+++++=

...)*10*2*9(57.0)*10*2*7(73.0

)*10*2*5(02.1)*10*2*3(69.1)*10*2(09.5)(

66

666

tsentsen

tsentsentsentv pp

ppp

Resolviendo v(t) para varios valores de tiempo t independientes, tenemos lasiguiente tabla:

Tiempo [mseg] V(t)0 0

0.062 4,510.125 3.960.25 4.260.375 3.960.437 4.510.5 0

0.562 -4.510.625 -3.960.75 -4.260.875 -3.960.937 -4.51

1 0

La gráfica muestra los tiempos y los voltajes instantáneos de la ondacalculados que nos da una forma con bastante aproximación de la ondacuadrada. Si se quiere tener una forma mas exacta, es necesario tomar unamayor cantidad de puntos para v(t) con los valores de tiempo.



16

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0.25 0.5 0.75 1t

[micro seg]0

v(t)

Señal en el dominio del tiempo para v(t)

Otras formas trigonométricas de la serie de Fourier

Se puede convertir en otras formas la serie en las que solamente hay términoscoseno, o solamente términos senos o bien términos seno y coseno.Refiriéndonos a los dos términos de frecuencia fundamental, uno funcióncoseno y el otro función seno, pueden sumarse utilizando la siguiente relacióntrigonométrica:

)tancos()()cos(... 122

ab

xbaxbsenxa --+=+Aplicando esta relación a cada uno de los términos de la serie ya vista, esta seconvertirá en:

...)cos(...)3cos()2cos()cos(2

)( .13132121110 +-++-+-+-+= nn tnctctctc

atf qvqvqvqv

donde:22

nnn bac +=n

nn a

b1tan -=qEn estas fórmulas, n es el orden de la armónica, un entero positivo en cadatérmino trigonométrico, y 1v es la pulsación de la armónica fundamental.Usando los símbolos matemáticos para la suma:

å¥=

-+=1

10 )cos(

2)(

nnn tnc

atf qv

También es posible una forma similar de la serie que contenga sólo términosseno:

å¥=

++=1

10 )(

2)(

nnn tnsenc

atf jv

donde:



17

22nnn bac +=

n

nn b

a1tan -=jDonde los coeficientes cn se calculan encontrando los valores de an bn y la fase

nj de manera similar.

La serie de Fourier en forma exponencial

Si la serie de Fourier en forma trigonométrica:

...)3()2()(

...)3cos()2cos()cos(2

)(

131211

1312110

++++++++=

tsenbtsenbtsenb

tatataa

tf

vvvvvv

(1)

La escribimos en forma exponencial:......)( 1111 2

21012

2 ++++++= --

--

tjtjtjtj eAeAAeAeAtf vvvv (2)Teniendo en cuenta las siguientes identidades trigonométricas:

)(2

1)(

)(2

1)cos(

jxjx

jxjx

eejxsen

eex

-

-

--=

+=(3)

Donde j es la parte imaginaria de la forma exponencial compleja de laexpresión.Los coeficientes de la expresión (2) están relacionados como:

)(2

1:);(

2

1

:__);(2

1);(

2

1;

2 1111110

0

nnnnnn jbaAyjbaA

generalenyjbaAjbaAa

A

+=-=

+=-==

-

-(4)

Estas últimas ecuaciones muestran que las A son funciones complejas quetienen una parte real y una parte imaginaria, y que aparecen en paresconjugados *

nn AA =- .La ecuación (2) puede entonces escribirse de manera compacta como:

å å+¥

-¥=

+¥

-¥=

±± ==n n

jnxn

tjnn eCeCtf 1)( v (5)

siendo n un número entero cualquiera, incluso cero, y tx 1v= .Los coeficientes Cn de la serie exponencial se encuentran convenientementemediante la integral:

ò ò -- == p pvpvp

2

0

2

01 )(2

1)()(

2

11 dxexftdetfC jnxtjn

n (6)

donde n es cualquier entero positivo o cero y f(t) es la función periódicatomando como variable independiente el tiempo. La segunda igualdad de laexpresión (6) es equivalente a la primera, excepto que la función f(x) se evalúatomando como variable independiente a x expresada en radianes.La expresión (6) también puede expresarse como:

ò ò- -- == p vvpvvp

2

0

2/

2/

11

11 )(2

)()(2

1 T

T

tjntjnn dtetftdetfC



18

Los cambios de límites de la integral de la segunda igualdad se hacen teniendoen cuenta que matemáticamente, la función también está definida para la partenegativa del tiempo.

ò- -= 2/

2/

1)(1 T

T

tjn dtetf

TC v (7)

Ejemplo 4

Dada la siguiente onda cuadrada donde f(x) = 2 para p<< x0 y f(x) = 0 parapp 2<< x , encontrar la expresión exponencial de la serie de Fourier para esta

función.Desarrollo:Para la determinación de An utilizamos la expresión (6) y evaluamos la integralentre 0 y p, ya que la función vale cero entre p y 2p.

x-x 0-¶ ¶ 2¶

2

f(x)

O nda cuadrada con com ponentede continua

ò ==-== -p ppp 00_;1)02(

2

12

2

1nparadxeA jnx

n

[ ] 0_);1(11

2

2

00

¹--=-== ---ò nparaejn

ejn

dxeA jnjnxjnxn

ppp

ppp

parnparajn

An __;0)11(1 =--= p

imparnparajnjn

An __;2

)11(1

pp =---=Haciendo tx 1v= y sustituyendo valores en la expresión (2) obtenemos lafunción exponencial para una onda cuadrada con componente de continua paran = 0.

...)3

1

3

1(...

21)( 1111 33 +++--+= -- tjtjtjtj eeee

jtf vvvv

p (8)

La expresión (8) es equivalente a la siguiente, teniendo en cuenta lasidentidades trigonométricas y se puede también para n impar expresar como:

å¥=

-- +=+++--+=1

133 )(

41...)

3

1

3

1(...

2

41)( 1111

n

tjtjtjtj tnseneeeej

tf vppvvvv (9)



19

En el caso de una onda cuadrada centrada, sin componente de continua, esdecir C0 = 0, se obtiene la expresión de f(t) restándole 1 a la expresión anterior,es decir:

...)3

1

3

1(...

2)( 1111 33 +++--= -- tjtjtjtj eeee

jtf vvvv

p (10)

å¥=

-- =+++--=1

133 )(

4...)

3

1

3

1(...

2

4)( 1111

n

tjtjtjtj tnseneeeej

tf vppvvvv (11)

Para n impar.Asimismo se puede representar el espectro de frecuencias de las señales, esdecir las amplitudes de cada componente en función de la frecuencia. En estecaso, intervienen matemáticamente las armónicas positivas y negativas paraconformar la expresión f(t).

2¶-x

f(x)

-¶ 0 ¶ x

1

-1

Onda cuadrada sin componentede continua

-5 -4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5

2/¶

-2/¶

jAn

-n n

Espectro de frecuencias

Serie de Fourier para un tren de pulsos rectangulares

El siguiente análisis de la serie de Fourier para una onda cuadrada comofunción par y su espectro, nos servirá posteriormente para el análisis ydesarrollo de un tren de pulsos periódicos rectangulares de ancho variable.

-x x

Onda cuadrada como función par

f(x)

1

¶/2-¶/2¶-¶

-5 -4 -3 -2 -1 0-n 1 2 3 4 5

jAn

n

Espectro de frecuencias

1/¶n



20

La serie de Fourier en forma exponencial para una onda cuadrada comofunción par, se puede verificar como ejercicio que vale:

å+¥-¥=

±+=n

tjnen

tf )1

(2

1)( 1v

p (12)

Donde tx 1v= y n pude adoptar cualquier valor entero positivo o negativo eincluso cero que se desprenden de las gráficas de la función variable en eltiempo y de las amplitudes de cada una de las armónicas en función de lafrecuencia.Los trenes de pulsos periódicos rectangulares se utilizan con mucha frecuenciaen circuitos electrónicos para televisión, radar, computadoras, sistemas decomunicación codificada y para representar ceros y unos en una transmisióndigital. Para determinar qué tan fielmente se transmitirán estos pulsos, a travésde un canal de comunicación en respuesta a su ancho de banda, es necesarioconocer sus componentes de Fourier de frecuencia para observar sucomportamiento a la salida del mismo y ver si la señal es recuperable o no. Untren de pulsos periódicos rectangulares está caracterizado por:

a) Amplitud: es el valor máximo de la señal y se representa por la letra A.b) Período: es el tiempo de repetición de los pulsos, se representa por la

letra T y se mide en segundos. Está relacionado con la inversa de la

frecuencia fundamental: [ ]úûù

êëé=s

fsT

11

1

.

c) Duración: es el tiempo de permanencia del pulso medido por su anchoen segundos y que se representa por la letra griega t (tau).

d) Frecuencia de repetición: es el número de veces que se repiten lospulsos en un segundo, se representa por la letra f y se mide en Hertz.Está relacionada con la inversa del período de repetición de la señal

fundamental: [ ] [ ]sTHzf

1= .

A

t

f(t)

0 T 2T-T-2T __2

__

2

Tren de pulsos periódicos rectangulares

t

2t t



21

Desarrollando la función f(t) mediante la serie de Fourier en forma compleja:

å+¥-¥=

=n

tjnneCtf 1)( v (13)

Donde Cn será igual a:

ò ò--

-

-+-

-- =-=úûù

êëé=== 2/

2/

2/2/

1

2/

2/1

2/

2/)(

1)(

11111

T

T

jnjntjn

tjntjnn ee

TjnA

jne

TA

dtAeT

dtetfT

C tvtvt

t

vtt

vvvv

===--= -tvtvt

vtv

vtvvt

1

1

1

12/2/

1

)2/(2)2/(2)(

2

211

nnsen

TA

nnsen

TA

eeTnj

A jnjn

)(

)(

)2/(

)2/(

1

1

Tn

Tnsen

TA

nnsen

TA

Cn tp

tpttvtvt == (14)

Teniendo en cuenta que T/21 pv = y de la identidad entre una funciónexponencial y una trigonométrica como la (3) ya indicada.La simetría adoptada para la función f(t) posibilita llegar a este resultado quesimplifica el análisis para el desarrollo de la serie en forma exponencial.

å¥-¥=

=n

tjne

Tn

Tnsen

TA

tf 1

)(

)()( v

ptpt

t

En consecuencia, podemos expresar la serie de Fourier para un tren de pulsosperiódicos rectangulares en forma trigonométrica como:

å¥=

+=1

1 )cos()(

)(2)(

n

tn

Tn

Tnsen

TA

TA

tf vptpt

tt(15)

El valor medio de la función f(t) corresponde al primer término de la igualdad, yel resto para la sumatoria de las funciones armónicas )cos( 1tnv , con susrespectivas amplitudes dentro de la envolvente de la función (sen(x))/x .La envolvente que contiene las amplitudes de las enésimas armónicas es unafunción de la forma:

Tn

xdondex

xsenxF

pt== :_;)(

)(

La función F(x) recibe también el nombre de “función sincrónica de x” yrepresenta gráficamente una onda sinusoidal amortiguada cuyas amplitudesvan decreciendo periódicamente.Esta función tiene las siguientes propiedades analizaremos:

· Para 0®x , tomando el límite obtendremos:



22

1

)(

)(lim)(

0)(==

®

T

nT

nsen

xFT

n tp

tppt

· Para ¥®x :

0

)(

)(lim)(

)(==

¥®

T

nT

nsen

xFT

n tp

tppt

· Para p=x , ptv =2

1n, de donde t

pv 21 =n , o sea para cualquier valor

entero de: tpp 22 =

Tn , la función F(x) valdrá cero si n = 1 y t

pv 21 = .

También para n = 2; tp

tpv 42

22 1 == . Igualmente para n = 3 y tp

tpv 62

33 1 == .

En general para, tpv n

n2

1 = aparecerán los mínimos de la función.

En consecuencia, podemos representar gráficamente el espectro defrecuencias para un tren de ondas periódicas rectangulares de la amplitud decada una de la señales de la serie en función de la frecuencia. Las frecuenciasnegativas están representadas matemáticamente, y no tienen sentido físico.La amplitud de cada una de las armónicas que conforman el pulso quedanconfinadas dentro de la envolvente de F(x) y los mínimos se cumplen para

.,6

,4

,2

etctp

tp

tpv = , como fpv 2= , ocurrirá para la frecuencias: .,

3,

2,

1etcf ttt=

0 v

Cn

2¶ 4¶-2¶-4¶__ __ __ __

A /Tt2¶/T

t t t t

Espectro de un tren de pulsos rectangulares

2

Se han representado 6 armónicas en cada uno de los intervalos para valorespositivos y negativos de v .El ancho de banda del tren de pulsos teóricamente es infinito, pero en la prácticapara su transmisión, dependerá del ancho de banda que le ofrezca el canal detransmisión. Si observamos las amplitudes de las primeras armónicas hasta elprimer mínimo vemos que la mayor parte de la energía del pulso se encuentra en



23

este sector y el resto de distribuye dentro de los otros mínimos. Es por ello quepodemos definir el “ancho de banda práctico BW” de un tren de pulsos como:

[ ]HzBW t1= donde se concentra el 90% de la energía del pulso. La expresión t

1

recibe también el nombre de Baudio. La separación de las diferentes armónicas consus respectivas amplitudes, dependerá de la frecuencia de repetición del pulso, es

decir:T

f1

21

1 == pv

, o sea que si el período es muy corto, la separación entre las

rayas del espectro será mayor y si es muy largo estarán más juntas.El ancho de banda práctico que ocupará el pulso dependerá de la inversa de suduración t , que será mayor cuanto mas breve sea su duración. Tenga en cuentaque este análisis lo estamos realizando para valores positivos de frecuencia ya quelos negativos solo tienen significado matemático y no físico.Como ejemplo práctico, podemos ver lo que ocurre ahora con un tren de pulsosperiódicos rectangulares del esquema a) que se usa de partida, haciendo variarprimero su duración luego su periodicidad T, manteniendo constante su amplitud A.Obsérvese que en cada uno de los lóbulos se han distribuido de maneraproporcional el número de armónicas con sus respectivas amplitudes y que esa

cantidad responde a un valor tT

k = . En el ejemplo, k = 3 y por lo tanto estarán

presentes en el primer lóbulo 3 armónicas, donde la amplitud de la tercera vale cero

para t1=f . Aquí se encuentran las armónicas más significativas del pulso. El resto

de las armónicas se distribuyen en los otros lóbulos positivos y negativos, cuyasamplitudes tienden a cancelarse para frecuencias superiores. En teoría, existeninfinitas armónicas para el tren de pulsos periódico.

f(t)

A

t

2

__ 0 __2

t

t t- T 2T

t= T/3

f0

A_3

2A__3

1_ 2 3_ _t t t

C(f)a)

1/T

T=3t

En el esquema b) mantenemos constante el período T original y reducimos el anchodel pulso a la mitad del original. Se observa un aumento del ancho de bandapráctico, una disminución de las amplitudes de las armónicas y un aumento de lacantidad de señales armónicas (rayas del espectro) que se mantienen separadas ydistribuidas en un valor constante 1/T.



24

0-__t2

f(t)

t2

__

A

t

T

t

2Tt

C(f)

0

_A3

_t

=T/6

A/6

t_2 f1

b)

1/T

En el esquema c) duplicamos el período T original y mantenemos constante el anchodel pulso original. Observamos que el ancho de banda práctico se mantieneconstante y las rayas del espectro más juntas por el aumento del período t6=T .Las amplitudes de las armónicas también han disminuido su amplitud respecto a lafigura a).

0-__t2

f(t)

t2

__

A

t

C(f)

0

__2A

_A

_1t _2t

_3 ft

t

T

6

6

c)

T= t6

1/T

Las señales aperiódicas y la Integral de Fourier

Existe una estrecha vinculación entre la respuesta de frecuencia y la respuesta detiempo cuando las señales atraviesan un circuito eléctrico o un canal de transmisión.Del análisis efectuado de una señal variable y periódica en el tiempo mediante laserie de Fourier se ha podido determinar su comportamiento en el dominio de lafrecuencia. Teóricamente es posible realizar el proceso para determinar la funciónf(t) a partir del análisis de las amplitudes de señales discretas en el dominio deltiempo y de esta manera determinar una serie de propiedades de la función f(t) en eldominio de la frecuencia.La extensión de estas ideas se puede realizar mediante el análisis de señalesaperiódicas en el tiempo con la introducción de la “integral de Fourier”.Esto se hace simplemente observando que cualquier función del tiempo (sujetanaturalmente a ciertas amplias restricciones y definiciones matemáticas) definida



25

solamente dentro de cierto intervalo de tiempo definido de T segundos de duración,puede ser desarrollada como una serie de Fourier de período fundamental T, para locual basta con suponer que la función del tiempo se repite a si misma fuera delintervalo de tiempo especificado. A medida que el intervalo de tiempo de interés sehace mayor, aumenta el período de la serie de Fourier. En el límite, cuando elintervalo de interés tiende a infinito, la resultante serie de Fourier se transforma enuna integral de Fourier.Considerando una función periódica f(t), donde:

å òå+¥

-¥= --

+¥

-¥=====

n

T

T ntjn

nn

tjn

tjnn T

ndondedtetf

TCeCeCtf n

2/

2/

2_;)(

1;)( 11

pvvvv (16)

La distancia entre armónicas sucesiva es:Tnn

pvvv 21 =-=D + .

La ecuación precedente para f(t) puede escribirse en la siguiente forma,

multiplicando y dividiendo el segundo miembro por vD , T por vp

D2

como:

å¥-¥=

DD=n

tjn neC

tf vvv)( ò¥¥- -=D dtetf

C tjn nvpv )(

2

1(17)

0 v

v vDv

C

n n+1

n

Espectro de amplitud de una función peródica

Consideremos ahora el caso para límite en que ¥®T para la función Cn. Entonces0®Dv , y las líneas del espectro de la figura se superponen unas con otras, y

obtenemos por lo tanto un espectro continuo. En el límite, para vv ®¥® nT , , lafunción Cn se convierte en una función continua )(vF , donde:

nT CF ¥®= lim)(v

En lugar de la serie de Fourier para una función periódica, tenemos ahora unarepresentación de la función aperiódica f(t) como una “integral de Fourier”, donde lasumatoria de las Cn respecto a vD cuando ¥®n se convierte en una integral de lafunción )(vF y en el límite para 0®Dv , vD se convierte en vd , es decir:

ò ò¥+¥-

¥+¥-

-== dtetfFdondedeFtf tjtej vvpvvv )(

2

1)(__;)()( (18)



26

Los pulsos periódicos rectangulares previamente considerados sirven como un buenejemplo de la transición desde la serie de Fourier hasta la integral de Fourier para elanálisis de un pulso rectangular aperiódico .Cuando ¥®T , todos los pulsos, excepto el que está centrado en t = 0 se alejan delorigen y nos queda una gráfica de tiempo con un solo pulso de amplitud A y anchode t segundos.

__2

t__ 0t2

-

f(t)

A

0

t

t v

F(v)

2¶__t

a) Pulso aperiódico rectangular b) Espectro del pulso aperiódicoen función del tiempo

At

__2¶t-

/2¶

En el gráfico de frecuencias, vv ®n cuando ¥®T , las líneas se juntan, y elespectro de hace continuo. De esta manera, el pulso aperiódico tiene un espectrocontinuo, definido para todas las frecuencias cuando:

nT CF ¥®= lim)(v (19)La función precedente puede obtenerse a partir de la relación:

ò ¥+¥-

-= dtetfF tjvpv )(

2

1)( (17). Donde para un único pulso:

2__0)(

2__,)(

t

t

>=

<=

tparatf

tparaAtf

Sustituyendo los límites de integración de la ecuación (17) por 2/__2/ tt +- y :

[ ]ò--

--- =-=-== 2/

2/

2/2/2/

2/ )2/(222

)(tt

vtvttt

vv vtpvpvpvpv senA

jeeA

ejA

dteA

Fjj

tjtj

2/

)2/(

2)(

)2/()2/()( vt

vtpt

vtvt

pt

vvt

pttv senAsenAsenA

F ===La función )(vF se llama a menudo “transformada de Fourier” de la función f(t) enalgunos tratados matemáticos.

Transformadas discretas y rápidas de Fourier

Muchas formas de onda encontradas en los sistemas de comunicaciones típicos nopueden definirse satisfactoriamente por expresiones matemáticas. De este modo, su



27

comportamiento en el dominio de la frecuencia es de mucho interés para estossistemas para analizar su respuesta en el sistema.A menudo existe una necesidad de obtener el comportamiento en el dominio de lafrecuencia de las señales que se están coleccionando en el dominio del tiempo (esdecir, en el tiempo real). Es por esta razón que fue desarrollada la “transformadadiscreta de Fourier”. Con esta transformada, una señal en el dominio del tiempo semuestrea en tiempos discretos. Las muestras se almacenan en una computadora endonde mediante un algoritmo matemático se calcula la transformada de Fourier.El tiempo de cálculo es proporcional a n2 , donde n es el número de muestras. Paracualquier número razonable de muestras, el tiempo de cálculo es considerable,razón por la cual se han desarrollado algoritmos para el cálculo mediantecomputadoras denominados “transformadas rápidas de Fourier” que se puedenconsultar por Internet y publicaciones del tema de diversos autores.

Bibliografía recomendada:

“Serie e integral de Fourier”. Manuales de la serie Schaum. Editorial Mac Graw Hill.“Transmisión de la información, modulación y ruido”. Mischa Schwartz. Editorial MacGraw Hill.“Teleinformática”. Ricardo Castro Lechtaler y Rubén Jorge Fusario. Editoral Reverté.“Sistemas de Comunicaciones Electrónicas”. Wayne Tomasi. Editorial Prentice Hall.“Circuitos en Ingeniería Eléctrica”. Hugh H. Skilling. Editorial CECSA

analisis de señales (fourier)

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