analisis de fourier para señales
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El Analisis de señales se estudia usando métodos de Fourier (series y transformadas)TRANSCRIPT
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ANALISIS DE FOURIER PARA EL TRATAMIENTO
DE SEÑALES
Julio MEDINA
XII Encuentro de Matemática y sus
Aplicaciones
EPN- Quito, Ecuador- 28 junio a 2 julio 2010
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1. INTRODUCCION
La noción de señal es bastante amplia y aparece en diferentes
situaciones en las cuales ciertas cantidades varían en el tiempo o el
espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por tanto está
ligada al concepto de función.
El Procesamiento de Señales es una disciplina de las ciencias de la
Ingeniería que desarrolla las técnicas de procesamiento, análisis e
interpretación de señales. Entre las operaciones posibles con las
señales tenemos control, filtrado, compresión de datos,
deconvolución, predicción, etc.
Se pueden procesar señales analógicas (representadas por funciones
continuas) o señales digitales (dadas por funciones discretas). En el
procesamiento de señales existen diferentes ramas dependiendo de la
naturaleza de las señales consideradas (audio, voz, imagen, video).
El procesamiento de señales puede tener diferentes objetivos:
detección de una señal, estimación de los valores de una señal,
codificación, compresión para su almacenamiento y transmisión. Sus
aplicaciones son amplias en telecomunicaciones, audio, video,
imagen (médica, satelital), geofísica.
La Teoría de Señales es la rama matemática que estudia las señales y
los sistemas que los transmiten e involucra herramientas del Análisis
armónico (generalización del Análisis de Fourier), de los espacios
vectoriales, de los procesos estocásticos, entre otras.
En este documento se presentan algunos elementos del Análisis de
Fourier relacionados con el estudio y procesamiento de señales. Dos
son los instrumentos fundamentales: las series de Fourier (que
permiten la representación de una señal como superposición de
ondas de base llamadas armónicos) y la transformada de Fourier,
tanto en su versión continua como en su versión discreta.
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En la sección 2 se aborda los conceptos básicos relativos a las
señales. En las dos siguientes secciones se tratan las series de
Fourier y las transformadas de Fourier, respectivamente. La
“función” delta de Dirac es el tema de la quinta parte. Enseguida se
aborda la transformada discreta de Fourier y la transformada . La
sección 7 concierne a ciertas operaciones del procesamiento de
señales en los cuales se aplica el Análisis de Fourier (espectro,
filtros, muestreo)
2. CONCEPTOS BASICOS
2.1 . Definición de señal
Utilizaremos como definición de señal: la variación en el tiempo o el
espacio de una magnitud física o de otra naturaleza.
Por ejemplo:
La intensidad de la corriente eléctrica
El nivel de gris de los puntos de una imagen
Un electrocardiograma
Un sonido
La evolución del índice de la bolsa de valores
La representación matemática (el modelo matemático) de una señal
corresponde a la noción de función (de una o varias variables:
tiempo, espacio, etc.…). Sin embargo las distribuciones (o funciones
generalizadas) constituyen un modelo más general y satisfactorio.
2.2. Tipos de señales.
Las señales que representaremos por , donde es la
variable independiente, la variable dependiente, admiten
diferentes caracterizaciones:
4
a) Según la presencia o no de elementos probabilísticos:
Estocástica
Determinística (consideradas en este documento)
b) Según la variable independiente
Continua (Analógica) si la variable es continua
Discreta (Digital) si solo está definida para ciertos valores
determinados:
En muchos casos una señal discreta se obtiene por discretización de
una señal analógica, generalmente mediante un convertidor, pero
algunas señales son discretas por su propia naturaleza: edades de una
población, estado en el tiempo de una válvula (abierto o cerrado),
etc.
c) Según la periodicidad
Periódica si se repite cada cierto intervalo de la variable
independiente, dicho intervalo se dice período:
No periódica en el caso contrario
La frecuencia es una medida para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad
de tiempo, por tanto
d) Según la exactitud de los valores
Exacta si los valores de la señal (función) sean reales o
complejos se consideran exactos (precisión infinita)
Aproximada los valores son aproximados, por ejemplo para
poder utilizarlos computacionalmente. La operación de
aproximación de valores exactos se dice cuantificación
Evidentemente una señal puede combinar varios de estos atributos,
los mismos que serán tomados en cuenta para su procesamiento.
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2.3. Algunas señales elementales
a) Escalón unitario de Heaviside
Esta señal se denota por y se define por
La función no está definida en y modela el establecimiento
instantáneo de un régimen constante, por ejemplo la señal obtenida al
cerrar un interruptor en un instante dado y mantenerlo cerrado
indefinidamente.
También se le nota por . Para tener simetría a veces se le asigna
el valor .
b) Señal rectangular
Es la señal, notada , definida por
donde dado.
c) Señal sinusoidal pura (o monocromática)
Se representa mediante donde
es la amplitud
es el pulso o velocidad angular
es el (más pequeño) período
Función escalón unitario
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es la frecuencia (número de veces que este fenómeno periódico
se repite por unidad de tiempo)
es el ángulo de fase es la fase inicial (cuando )
(Más útil que conocer el ángulo de fase es el desfase o diferencia de
fase entre dos instantes)
Aunque los valores de una señal son, en principio, números reales y
la frecuencia un número positivo, por comodidad se utiliza una
función con valores complejos lo que da
Hay que observar que el coseno o cualquier combinación lineal de
seno y de coseno con la misma frecuencia se pueden transformar en
una sinusoide simple y viceversa:
con
Otra representación posible para la sinusoide es
Sinusoide
7
3. SERIES DE FOURIER
Fue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX,
quien encontró que una función periódica se puede representar
como una suma infinita ponderada de términos en senos y cosenos
(la serie de Fourier), mientras que en el caso de funciones no
periódicas la representación se da por medio de una integral (la
transformada de Fourier).
Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática que
estudia la representación de funciones o señales como superposición
de ondas de base (los armónicos). En el caso de las series de Fourier
estos son sinusoidales y por tanto las series son trigonométricas.
A partir de la segunda mitad del siglo XIX se aplica esta teoría a
datos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen, el clima,
la mecánica cuántica o las neurociencias.
Existen también versiones discretas de la serie y de la transformada
de Fourier.
3.1. Polinomios trigonométricos
Una función se dice periódica de período si
La función es periódica con período para
cualquier entero , y lo mismo la función
que se denomina polinomio trigonométrico de grado inferior o igual
a N.
Este polinomio
puede escribirse como combinación lineal de senos y cosenos:
8
donde si
e inversamente
Sea .
Con las operaciones usuales para las funciones es un espacio
vectorial, al cual se le puede dotar del producto escalar
que da origen a la norma =
Se puede mostrar que
y que es una base ortogonal de , espacio de dimensión
Además para todo de donde
que da de manera explícita los coeficientes de Fourier en
función de p.
Los coeficientes y se obtienen por las fórmulas
9
Observación
En razón de la periodicidad de
Por tanto si
p es función par (impar), ( )
3.2. Series de Fourier
Un contexto matemático adecuado para desarrollar el Análisis de
Fourier es el de los espacios de Hilbert (espacios vectoriales
normados, cuya norma proviene de un producto escalar y
completos). Aquí trabajaremos en el espacio de las funciones
continuas por tramos.
Una función es continua por tramos en un intervalo si
admite un número finito de discontinuidades de salto.
Evidentemente, una función continua en un intervalo es continua
por tramos en
Función continua por tramos
10
Sea . Con
las operaciones usuales de funciones es un espacio vectorial. Si
definimos
sucede que no cumple con la
condición de producto escalar (basta tomar una
función que sea nula en salvo en un número finito de puntos)
Para evitar este problema debemos tomar el espacio de las clases de
equivalencias de la funciones de , donde la relación de
equivalencia se define por
. Este
es un espacio vectorial euclidiano (dotado de producto escalar). Para
simplificar el lenguaje y la notación trataremos a estos vectores
(colecciones de funciones) como si fueran funciones ordinarias
utilizando un representante de la clase de equivalencia.
En el marco de los espacios de Hilbert se trabaja en , el espacio
de las funciones de cuadrado integrable en el sentido de Lebesgue.
Aquí se identifican dos funciones si coinciden casi en todas partes
(salvo en un conjunto de medida nula). Este espacio es el completado
del espacio de las funciones de cuadrado integrable en el sentido de
Riemann.
3.2.1 Definición.
Se llama serie de Fourier a la sucesión de sumas parciales (de
polinomios trigonométricos) en forma compleja
o en forma real
.
Otra representación se obtiene a partir del armónico (sinusoide)
donde
11
,
,
Siendo estas representaciones equivalentes, su uso dependerá de las
aplicaciones
En todo punto donde la serie converge se notará su suma
Evidentemente, si la función existe tendrá período
3.2.2. Representación en serie de Fourier de una función
El problema de descomponer una función dada en serie de
Fourier no siempre tiene respuesta positiva.
Ahora supongamos que una función con período se puede
expresar como serie de Fourier, es decir que
Entonces integrando ambos miembros de la igualdad en el intervalo y usando las propiedades de ortogonalidad de las
funciones seno y coseno se obtiene los coeficientes de Fourier
mientras que
.
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Se puede remplazar el intervalo simétrico por
cualquier otro intervalo de la forma
Para precisar mejor la diferencia entre la función y la serie de
Fourier que se le asocia se usa la notación
donde los coeficientes están dados por las fórmulas anteriores.
En efecto puede suceder que para ciertas funciones los coeficientes
no existan y por tanto tampoco la serie de Fourier, o que la serie
exista y sea divergente o que aunque sea convergente no lo haga
hacia la función.
Se define una función es suave por tramos en un intervalo
si tanto la función como primera derivada son continuas
por tramos en . También se dice que es de clase por tramos.
Teorema de Dirichlet
Sea una función de período . Si es de suave por tramos
en entonces la serie de Fourier asociada converge hacia si
es continua en y hacia
)] si no es continua en .
3.2.3.Series de senos y de cosenos
Si es un función par ( y desarrollable en serie
de Fourier entonces
y
.
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Por tanto la serie de Fourier solo contiene términos cosenos:
,
Si la función es impar la serie de Fourier solo tendrá términos
senos:
,
----------
En algunos casos la función es continua por tramos en un intervalo y se quiere desarrollarle en serie de Fourier. Se procede así:
(i) se hace una extensión de al intervalo – llamada
(ii) se hace la extensión periódica de a todo con período
para esta nueva función se halla la serie de Fourier.
Las extensiones más convenientes son la par y la impar dadas por
y
pues conducen a series de Fourier que contienen solo cosenos o
senos cuyos coeficientes son, respectivamente
y
Ejemplo
Se considera la función definida por y .
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Como la función es par su serie de Fourier es
Si toma el valor de se tiene el siguiente resultado conocido
3.2.4. Propiedades de las series de Fourier
a) Aproximación
Si aproximamos la función por la suma finita
el error se define por
y el error cuadrático medio por
Se puede mostrar que
El fénomeno de Gibbs
Cuando es suficientemente grande, Gibss observó que en los
puntos de discontinuidad el valor dado por la aproximación
continua produce un error de aproximadamente el 9% del salto
de discontinuidad.
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Efecto de Gibbs
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b) Teorema de Parseval
Sea una función de período desarrollable en serie de Fourier.
Entonces
+
La última igualdad muestra que el valor cuadrático medio de una
función periódica es igual a la suma de los valores cuadráticos
medios de sus armónicos. Se observa que el contenido de potencia de
la función periódica , definido por
depende
únicamente de la amplitud de sus armónicos y no de sus fases.
c) Continuidad de una serie de Fourier
¿Bajo qué condiciones sobre su serie de Fourier es continua?
Sea una función suave a trozos, su serie de Fourier es continua
en – si y solo si continua y
Si el desarrolla la serie de Fourier de cosenos o de senos a partir de
un “medio” intervalo , se tiene que
Sea una función suave a trozos, su serie de Fourier
(i) de cosenos es continua en si y solo si es continua
(ii) de senos es continua en si y solo si es continua y
d) Derivación término a término de una serie de Fourier
No siempre se puede derivar término a término una serie de Fourier.
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Veamos el siguiente contraejemplo:
El desarrollo en serie de Fourier de senos de si
es
. Al derivar la serie término a
término se obtiene y mientras que la
derivada de es 1. No se mantiene la igualdad pues laserie de
cosenos de 1 es 1.
Si una serie de Fourier de es continua y suave por tramos
entonces se puede derivar término a término
Para las series de Fourier de cosenos y de senos se tienen resultados
similares:
(i) Si continua y suave por tramos entonces la serie de
Fourier de cosenos de se puede derivar término a término
(ii) Si continua, y suave por tramos
entonces la serie de Fourier de senos de se puede derivar
término a término
e) Integración término a término de una serie de Fourier
Se puede integrar series de Fourier sin mayores dificultades
Sea una función suave por tramos, su serie de Fourier se puede
integrar término a término, la serie infinita resultante es convergente
y siempre converge a la integral de para
El resultado es válido incluso si la serie de Fourier original tiene
discontinuidades de salto
La serie obtenida al integrar será continua pero no
necesariamente será de Fourier.
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4. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Las series de Fourier permiten tratar varios problemas que
involucran funciones periódicas, ahora se busca extender este
análisis cuando las funciones no son periódicas para asociarles un
espectro en frecuencias.
4.1. Definiciones
► Sea una función integrable sobre ,
, su
transformada de Fourier es la función dada por la fórmula
► Si la transformada de Fourier de es una función integrable, la
fórmula dicha transformada inversa de Fourier, operación notada
, permite encontrar a partir de
La variable corresponde al tiempo y la variable a la frecuencia.
Se dice que está en el dominio temporal y que está en el
dominio frecuencial.
Este par de transformadas de Fourier tendrán propiedades análogas
pues solo cambian el coeficiente multiplicativo y – que se vuelve
En general la función es compleja y se tendrá que
donde es el espectro de amplitud de y el espectro
de fase de
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Observaciones
Si es una función real entonces
a) y son funciones par e impar de
b) y son funciones par e impar de
4.2. Propiedades de las transformadas de Fourier
a) Linealidad :
Si , funciones integrables en
b) Escalonamiento :
Si , entonces
(La expansión en el dominio del tiempo es equivalente a la
contracción en el dominio de la frecuencia y viceversa)
c) Desplazamiento en el tiempo:
Si entonces
d) Desplazamiento en la frecuencia:
Si entonces
e) Convolución
► La convolución de dos funciones y , notada ,se
define por la función
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La convolución es una operación conmutativa, asociativa y
distributiva respecto a la suma.
Convolución en el tiempo:
Si y entonces
Convolución en la frecuencia:
Si y entonces
(El interés principal de calcular el producto de convolución por
transformadas de Fourier es que estas operaciones son menos
costosas en tiempo para una computadora que el cálculo directo de la
integral)
f) Teorema de Parseval
Si entonces
=
(La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señal
es igual a la energía total de su transformada de Fourier a
lo largo de todas sus componentes frecuenciales)
g) Continuidad
La transformada de Fourier de es una función continua, de
límite nulo al infinito y acotada por donde
,
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h) Derivabilidad
Si la función es integrable, entonces se puede
derivar la transformada de Fourier bajo el signo de integración y se
tiene
i) Transformada de la derivada
Si es derivable, de límite nulo al infinito y si la derivada de f(t)
es integrable entonces . Este resultado se puede generalizar para derivadas de orden superior:
.
Estas propiedades se pueden demostrar sin mayor dificultad usando
las propiedades de la integral y aplicando la técnica de la integración
por partes.
Por ejemplo para la propiedad del desplazamiento en el tiempo:
entonces con el cambio de variable se obtiene
=
y por tanto
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5. LA “función” DELTA DE DIRAC
La delta de Dirac , llamada por abuso de lenguaje función de
Dirac, se puede considerar informalmente como una función que
toma el “valor” infinito en cero y el valor 0 en los demás puntos, y
cuya integral en vale 1. En realidad la delta de Dirac no es una
función sino una función generalizada o distribución. También se le
llama función impulso.
Es muy útil para aproximar funciones cuya representación gráfica
tiene la forma de una gran punta estrecha y modela una carga
puntual. La delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de
funciones discontinuas.
La delta de Dirac viene dada por la fórmula:
por tanto
donde
es una función continua , que se anula fuera de algún intervalo
finito (soporte de la función) y que se conoce como función test
Delta de Dirac (función impulso)
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5.1. Algunas propiedades de
1.
2.
3.
,
4. La derivada de está dada por
5. La derivada de la función escalón unitario (Heaviside) es
6. =
, por tanto
7. Para la convolución se tiene
5.2. Aplicaciones
Algunas de estas propiedades pueden utilizarse para: (i) investigar el
comportamiento de las series de Fourier para las derivadas de formas
de ondas con un número finito de discontinuidades en un período,
(ii) calcular los coeficientes de las series de Fourier de algunas
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funciones, (iii) hallar las transformadas de Fourier de ciertas
funciones que no satisfacen la condición suficiente
, como la constante, , , el escalón
unitario etc.
Se tiene así: ,
5.3. Función peine de Dirac
La función peine de Dirac es una suma de deltas de Dirac
espaciadas de :
A esta función también se le conoce como tren de impulsos
unitarios, que aparece en la siguiente figura:
Como esta función tiene período T, se calcula su serie de Fourier y
se tiene
,
que consiste de un término constante y una suma de armónicos
todos con la misma amplitud
La propiedad
conduce a
25
es decir el cálculo aproximado de una integral por el método de los
rectángulos es equivalente al cálculo de la integral de la función
multiplicada por un peine de Dirac.
La transformada de Fourier de un peine de Dirac en el tiempo es
también un peine similar en la frecuencia:
6. ANALISIS DE FOURIER DISCRETO
En muchos procesos del tratamiento de señales se trabaja con señales
discretas o digitales. La discretización de una señal continua se hace
a través de una operación llamada muestreo.
6.1. Transformada de Fourier discreta(TFD)
El equivalente a la transformada de Fourier para señales continuas es
la transformada de Fourier discreta (TFD). Su definición para una
señal x de N valores viene dada por
para
y su transformada inversa discreta por
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Los factores de normalización y los signos de las
exponenciales son convencionales, pueden cambiar a condición de
que los signos sean contrarios y que el producto de dichos factores
sea .
Si notamos y la TFD se puede expresar
matricialmente mediante
,
La TFD permite evaluar una representación espectral (en
frecuencias) discreta de una señal discreta en una ventana de tiempo
finita. Este análisis es relativamente sencillo y además eficaz en
aplicaciones de eliminación del ruido que contamina una señal y en
otros tipos de filtrados (pasa bajos, filtros para altos, filtros pasa
banda,etc.)
TFD de algunas funciones
a)
b)
c) Si entonces
6.2. Transformada rápida de Fourier (TRF)
La transformada rápida de Fourier (TRF) es un algoritmo eficiente
que permite calcular la transformada de Fourier discreta (TFD) y su
inversa. Sus aplicaciones no solamente están en el tratamiento digital
de funciones y filtrado digital sino que se extienden a las ecuaciones
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diferenciales. Este algoritmo fue presentado originalmente en 1965
por James Cooley y John Tukey.
Evaluar directamente las sumas de la TFD cuesta
productos complejos y sumas complejas mientras que la
TRF utiliza solo productos y sumas.
Así para N=1024 el tiempo de cálculo del algoritmo rápido puede ser
100 veces más pequeño que el cálculo que utiliza la definición de la
TFD.
La idea es utilizar el principio “dividir para conquistar”:
descomponer la transformada a tratar en otras más simples y éstas a
su vez hasta llegar a transformadas de 2 elementos donde k puede
tomar los valores 0 y 1. Una vez resueltas las transformadas más
simples hay que agruparlas en otras de nivel superior que deben
resolverse de nuevo y así sucesivamente hasta llegar al nivel más
alto. Al final de este proceso, los resultados obtenidos deben
reordenarse.
El procedimiento es similar para el cálculo de la transformada
inversa.
6.3. La transformada
La transformada es una generalización de la transformada de
Fourier discreta (TFD). Es una aplicación que transforma una
sucesión en una función de una variable compleja , tal
que
sea convergente.
Para una señal la variable representa al tiempo discretizado,
mientras que la variable no representa nada en particular (es una
creación abstracta) pero por analogía con la transformada de Fourier
se le llama frecuencia.
La TFD se encuentra evaluando en (es decir sobre el
círculo unidad):
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La transformada tiene las propiedades de linealidad,
desplazamiento, convolución.
Si consideramos el impulso de Dirac y el escalón unitario
y
para
La transformada inversa viene dada por
Donde es un camino recorrido en sentido contrario a las agujas del
reloj y completamente contenido en el dominio de convergencia
7. ANALISIS DE FOURIER Y PROCESAMIENTO
DE SEÑALES
En este capítulo desarrollaremos algunas técnicas del procesamiento
de señales que involucran series y transformadas de Fourier,
particularizaremos sobre el análisis del espectro y de sistemas, el
filtrado y el muestreo de señales.
7.1. Análisis espectral
Las series de Fourier permiten describir una señal, función del
tiempo, como superposición de señales más simples (sinusoides) de
varias frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental . El
espectro de frecuencia es una medida de la distribución de
amplitudes o de las fases de cada frecuencia. El proceso que
cuantifica las diversas intensidades de cada frecuencia se conoce
como análisis espectral.
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Una señal periódica se puede representar mediante un gráfico de
flechas paralelas al eje de las ordenadas de altura (intensidad) en
la frecuencia . Se obtiene así una representación del espectro de
amplitudes en rayas de la señal. Recordemos que
Una representación similar con rayas se puede hacer para el espectro
de fases, donde ahora las flechas tendrán alturas iguales a los
argumentos .
Estos espectros son discretos. En el caso que los sean reales la
señal tiene una sola representación en frecuencia.
Para la señal dada por la siguiente gráfica, sus coeficientes son
y su espectro de magnitud
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Para la transformada de Fourier el espectro será continuo. Para la
función escalón unitario se dan las gráficas de su transformada
de Fourier
y de sus espectros:
7.2 Sistemas y filtros
Un sistema es un proceso (o un aparato) que produce transformación
de señales. Se distinguen por tanto, una señal de entrada, una de
salida y un mecanismo de transformación representado
matemáticamente por un operador
Entonces si
, se tiene con
Si hay múltiples señales de entrada o de salida las funciones
tienen valores vectoriales.
Como ejemplos de sistemas tenemos circuitos eléctricos,
amplificadores, teléfonos.
Las señales de entrada y de salida no son necesariamente de la
misma naturaleza (por ejemplo en un modem). Se dirá que un
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sistema es analógico (discreto) si transforma una señal analógica
(discreta) en otra señal analógica (discreta).
7.2.1. Propiedades de los sistemas
Si se dota a e de la estructura de espacios vectoriales (reales o
complejos) un sistema puede tener alguna o algunas de las
siguientes propiedades:
a) Linealidad: una combinación lineal de entradas produce la
misma combinación de salidas:
A la linealidad se le conoce también como “principio de
superposición”. Hay que observar que algunos sistemas no
lineales pueden ser “adecuadamente” linearizados.
b) Invariancia: un desplazamiento en la entrada produce el mismo
desplazamiento en la salida:
Si entonces
Un sistema invariante también se dice estacionario
c) Causalidad: la salida no depende de entradas futuras, es decir la
respuesta en un instante dado solo depende del pasado anterior a
ese instante.
Si entonces
d) Continuidad: S es continuo si para toda sucesión que
tiende hacia , la sucesión tiende hacia
.
Esta noción expresa la idea que si dos señales de entrada son
cercanas las salidas correspondientes también lo son.
La continuidad está ligada al concepto de norma pues:
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significa que . Por tanto se dotará a los
espacios de funciones de normas.
e) Memoria: si un sistema no tiene memoria entonces la salida en
un instante depende de la entrada en ese instante
f) Invertibilidad: entradas distintas producen salidas distintas:
Si entonces
Entre los sistemas más interesantes a tratar están los lineales,
invariantes y continuos.
7.2.2. Algunos Sistemas
a) Amplificador
constante fija
b) Línea con retardo
, constante real
c) Diferencial
7.2.3. Sistemas lineales, continuos e invariantes
El término filtro designa a la vez un sistema físico que permite
modificar señales (por ejemplo un ecualizador) y su modelo
matemático dado por un sistema lineal, continuo e invariante . El
papel de un filtro es modificar la fase y la amplitud de las
componentes de una señal. Los sistemas a), b) y c) son filtros.
Otra definición de sistema lineal invariante es que las señales de
entrada y de salida (o respuesta) están relacionadas por una ecuación
diferencial lineal con coeficientes constantes o un sistema con este
tipo de ecuaciones. Este modelo da cuenta de la relación existente
entre las variaciones de la señal de salida y los valores o las
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variaciones de la señal de entrada. Aparece en circuitos eléctricos y
sistemas mecánicos.
a) Salida de una señal periódica
Enunciemos en primer lugar el siguiente resultado
La respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señal
exponencial es también una señal exponencial y
proporcional a la entrada, es decir
Dicho de otra manera, es función propia de asociada al valor
propio .
Este resultado es importante ya que la serie de Fourier asociada a
una señal periódica se escribe y por tanto
por linealidad se tendrá
.
Es decir que la imagen de la señal periódica está determinada
completamente por las salidas que corresponden a los elementos de
la base
.
Tanto la serie de entrada como la serie de salida tienen las mismas
frecuencias, lo que no es el caso para sistemas no lineales que crean
nuevas frecuencias. Por tanto la localización de las rayas del espectro
no cambia. El filtrado consistirá entonces en disminuir, amplificar o
seleccionar ciertas rayas.
b) Salida de una señal cualquiera
Ahora se estudiará la respuesta a un señal cualquiera. Para ello
notaremos la salida del impulso unitario (delta de
Dirac), llamada respuesta impulsional.
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La respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señal
cualquiera está dada por el producto de convolución de esta
entrada y de la respuesta del sistema al impulso unitario:
En lugar de calcular explícitamente la respuesta del sistema en el
tiempo, cuyo cálculo puede resultar laborioso, muchas veces interesa
determinar su contenido en frecuencias y se tiene el siguiente
resultado en términos de transformadas de Fourier:
Si , , entonces
,
A , se le conoce como la función de transferencia del sistema,
y se acostumbra a escribirle como cociente
. La
función de transferencia tipifica al filtro pues determina la forma en
la que la señal entrante cambia en amplitud y fase al pasar a través
del filtro.
Observación
El valor de para la salida de la exponencial tratada en el literal
6.2.3.a) es justamente
7.2.4. Filtros digitales
Los filtros digitales modifican una señal discreta mediante
operaciones matemáticas.
Los filtros analógicos utilizan componentes físicas (resistencias,
condensadores, transistores, etc.), los filtros digitales actúan con
35
circuitos integrados, procesadores programables o software de una
computadora (por ejemplo los programas para retocar imágenes).
La representación matemática en el dominio temporal discreto se da
mediante ecuaciones en diferencias. Para un filtro de orden para
una señal se tiene
En el dominio de las frecuencias, usando la transformada , la
función de transferencia de orden viene dada por
Los valores de los coeficientes y determinarán el tipo de filtro
(pasa bajo, pasa alto, etc.). En general se toma .
7.3. Muestreo
El muestreo es la operación que consiste en tomar muestras
periódicas de los valores de una señal continua (analógica) a
intervalos regulares de tiempo (o de la variable independiente).
La frecuencia a la cual se capturan los valores se dice frecuencia de
muestreo.
El muestreo es el primer proceso que interviene en la conversión de
una señal analógica en digital. Los otros procesos matemáticos son
la cuantificación (asignación de un margen de valor a un único nivel
de salida por ejemplo por redondeo o truncamiento sobre una
precisión determinada) y la codificación (traducción de los valores
cuantificados a un código, generalmente binario). La cuantificación,
al contrario del muestreo, no es reversible pues se produce una
pérdida de información que se traduce en un error llamado ruido de
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cuantificación. Durante el muestreo la señal es aún analógica (puede
tomar cualquier valor), a partir de la cuantificación la señal se vuelve
digital (toma ya valores finitos).
Esta transcripción a señales digitales se realiza con el objetivo de
facilitar su procesamiento (compresión, etc.) y darle a la señal
resultante mayor inmunidad al ruido y otras interferencias a las que
son más sensibles las señales analógicas.
Según el teorema de Nyquist-Shannon para replicar con exactitud la
forma de la señal la frecuencia de muestreo debe ser superior al
doble de la máxima frecuencia a muestrear. Esa frecuencia límite se
llama frecuencia de Nyquist. Por ejemplo un CD de audio contiene
datos musicales muestreados a 44,1kHz (44 100 muestras por
segundo) ya que el oído humano puede captar los sonidos hasta
16kHz y a veces hasta 22kHz.
Teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempo
Sea una señal analógica, cuya frecuencia más alta es (o sea
que la señal es de banda limitada). Si se realiza un muestreo regular
de ) con frecuencia de muestreo mayor o igual a , entonces
se puede determinar por completo a partir de la señal discreta.
Dicho de otra manera, la información completa de la señal analógica
original que cumple el criterio anterior se describe completamente
por la serie total de muestras resultantes del proceso de muestreo, de
la siguiente manera:
o
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donde y
Se observa que cada muestra está multiplicada por la función
“muestreadora”
y todas estas funciones resultantes se suman para obtener
Muestreo y reconstitución de
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En caso de que la señal sea muestreada a una tasa inferior a la
indicada las trasladadas vecinas se superponen dando origen al
fenómeno llamado “aliasing” y no se puede recuperar la señal
inicial. Si se cumple con la condición indicada de nada sirve
aumentar la frecuencia de muestreo.
Como se constata con las fórmulas expuestas la señal analógica no se
obtiene mediante interpolación lineal de los puntos resultantes del
muestreo.
También existe un teorema similar cuando se considera el dominio
de las frecuencias.
Teorema del muestreo uniforme en el dominio de la frecuencia
Sea una señal analógica, cuyo banda es – (es decir fuera
de ese intervalo ), entonces su transformada de Fourier
se puede determinar en forma unívoca a partir de los valores de
tomados en los puntos equidistantes , mediante la fórmula
Encabalgamiento de señales. “aliasing”
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REFERENCIAS
[1] Claude GASQUET, Patrick WITOMSKI Analyse de Fourier et applications, Université de Grenoble I, Dunod (1996)
[2] Hwei P. HSU, Análisis de Fourier, Addison-Wesley
Iberoamérica,(1987)
[3] http://www.jhu.edu/~signals/index.html