*Caractersticas de los sistemas de control4Ver las limitaciones en la dinmica en lazo cerrado impuestas por el proceso y el controlador.Determinar la estabilidad de un sistema representado como funcin de transferenciaAprender a deducir el comportamiento dinmico de un sistema en lazo cerrado estudiando su modelo dinmico (funcin de transferencia en lazo cerrado).

PALABRAS CLAVE Y TEMASErrores en rgimen permanenteEstabilidad

OBJETIVOSDr. Alejo Guillen

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*Para qu realimentamos un sistema?Mejorar la estabilidad - conseguir un sistema estable a partir de uno inestable - mejorar la estabilidadPrecisin en rgimen permanente - seguimiento de una seal de referencia sin error en rgimen permanente - eliminar el efecto de perturbacin sobre la salida del sistemaRespuesta transitoria adecuada - transitorio suficientemente rpido - amortiguamiento adecuado

G(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)D(s)V(s)

++Dr. Alejo Guillen

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*Error en rgimen permanente de un sistema realimentadoG(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)D(s)V(s)

++Ante un cambio en la referencia o perturbacin, Que valor toma el error e(t) cuando se alcance estado estacionario?(1/2)Dr. Alejo Guillen

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*Error en rgimen permanente de un sistema realimentado

error

errorw(t)w(t)v(t)(2/2)Dr. Alejo Guillen

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*ANLISIS DE ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

Si la salida de un sistema de control en estado estacionario no coincide exactamente con la entrada se dice que el sistema tiene un error en estado estacionario

Dr. Alejo Guillen

*Los errores se pueden atribuir a muchos factores siendo los ms importantes:A.-Variacin en la entrada de referenciaB.-La imperfeccin de componentes, friccin, envejecimiento, deterioro

Dr. Alejo Guillen

*Seal de errorH(s)G(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)

(1/2)En los desarrollos que siguenSupondremos que H(s)=1Dr. Alejo Guillen

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*Seal de errorEl error en estado estacionario:

Polo en el origen de multiplicidad NN = el tipo de sistema Un sistema es denominado de tipo 0 si N=0.Un sistema es denominado de tipo 1 si N=1.Un sistema es denominado de tipo 2 si N=2Etc.Clasificacin distinta de la del orden de un sistema(2/2)Dr. Alejo Guillen

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*Error ante una entrada de referencia escalnty(t)

Y(s)Aw(t)w(t)essH(s)G(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)(1/2)Dr. Alejo Guillen

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*Error ante una entrada de referencia escalndondeCoeficiente de error esttico de posicin (constante de error escaln)

Si se desea un error estacionario cero para una referencia escaln, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 1 (GRH debe tener al menos un polo en s=0). En caso contrario habr un error estacionario finito inversamente proporcional a Kp.(2/2)Dr. Alejo Guillen

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*Error ante una referencia rampaG(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)H(s)=1

Y(s)w(t)=Atw(t)ess0t

y(t)(1/2)Dr. Alejo Guillen

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*Error ante una referencia rampadondeCoeficiente de error esttico de velocidad (constante de error rampa

Si se desea un error estacionario cero para una referencia rampa, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 2 (GR debe tener al menos dos polos en s=0)Un sistema tipo cero es incapaz de seguir una entrada rampa en estado estacionario. El sistema tipo 1 puede seguir a la referencia rampa con un error finito.(2/2)Dr. Alejo Guillen

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*Error ante una referencia parbolaG(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)H(s)=1

Y(s)w(t)ess0ty(t)

(1/2)Dr. Alejo Guillen

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*Error ante una referencia parboladondeCoeficiente de error esttico de aceleracin (constante de aceleracin)

Si se desea un error estacionario cero para una referencia parbola, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 3 (GR debe tener al menos tres polos en s=0)Los sistemas tipo 0 y 1 son incapaces de seguir una referencia parbola en estado estacionario. El sistema tipo 2 puede seguir a la referencia parbola con un error finito.(2/2)Dr. Alejo Guillen

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*Errores en lazo cerrado: cambios en la referenciaResumenPara que estos resultados sean vlidos, el sistema en lazo cerrado debe ser estable.Ya que el anlisis de error se basa en el empleo del teorema del valor final de la transformada de Laplace, es importante primero revisar si sE(s) tiene algn polo sobre el eje j o en el semiplano derecho del plano s.Dr. Alejo Guillen

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*Seal de errorSistemas con realimentacin no unitariaH(s)G(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)Cmo calcular el error?Vamos a sumar dos bloques: 1 y -1Dr. Alejo Guillen

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*Seal de errorSistemas con realimentacin no unitariaH(s)G(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)1-1Dr. Alejo Guillen

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*Seal de errorSistemas con realimentacin no unitariaH(s)-1G(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)1Dr. Alejo Guillen

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*Seal de errorSistemas con realimentacin no unitaria1

U(s)Y(s)W(s)Ahora trabajamos con este nuevo sistema y se puede aplicar todo lo vistoDr. Alejo Guillen

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*Lazo cerrado Las caractersticas bsicas de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado son determinadas por los polos de lazo cerrado. Por tanto, en problemas de anlisis es importante ubicar los polos de lazo cerrado en el plano s.Polos en lazo cerrado Races de la ecuacin caracterstica Su localizacin determina la estabilidad del sistema de control en lazo cerrado.

H(s)G(s)R(s)U(s)Y(s)W(s)E(s)D(s)V(s)

++Dr. Alejo Guillen

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EstabilidadIm(s)Re(s)Plano sESTABLEINESTABLEPolos en el semiplano izquierdo: sistema estableSi por lo menos uno de los polos no est en el semiplano izquierdo: sistema inestablePolos simples sobre el eje j y ninguna en el semiplano derecho: sistema en el lmite de estabilidad (marginalmente estable)Si por lo menos un polo mltiple est en el eje imaginario: sistema inestable

Un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotadaUn sistema es inestable si cualquier entrada acotada produce una salida no acotadaDr. Alejo Guillen

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*EstabilidadEjemplos(1/3)Dr. Alejo Guillen

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*EstabilidadEjemplos

Los polos del sistema en lazo cerrado Sistema estable

(2/3)Respuesta ante un escalon unitarioDr. Alejo Guillen

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Dr. Alejo Guillen

*Programa en MATLABN=[0 0 0 3];D=[1 3 2 3];T=0:0.1:6;step(N,D,T);grid

Dr. Alejo Guillen

*Dr. Alejo Guillen

*Dr. Alejo Guillen

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EstabilidadEjemplosLos polos del sistema en lazo cerrado

Sistema inestable(3/3)Respuesta ante un escalon unitarioDr. Alejo Guillen

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*Dr. Alejo Guillen

*Dr. Alejo Guillen

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Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzDice si hay o no races positivas en una ecuacin polinmica sin necesidad de resolverlaAplicado a un sistema de control, se puede obtener directamente informacin acerca de la estabilidad a partir de los coeficientes de la ecuacin caracterstica, sin necesidad de determinar los polos del sistema en lazo cerrado

(1/6)Dr. Alejo Guillen

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*Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzProcedimiento:1. Escribir el polinomio en s en la siguiente forma:2. Si cualquiera de los coeficientes es cero o negativo en la presencia de por lo menos un coeficiente positivo, hay una raz o races que son imaginarias o que tienen partes reales positivas. En tal caso el sistema no es estable.(2/6)Dr. Alejo Guillen

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*Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzCondiciones necesarias pero no suficientes para que el sistema sea estable:Todos los coeficientes ai tengan el mismo signo.Ningn ai=0

3. Si todos los coeficientes son positivos, se agrupan en filas y columnas segn la tabla:(3/6)Dr. Alejo Guillen

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Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzEl conjunto completo de los coeficientes es triangular.La cantidad de races de la ecuacin con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna de la tabla.

(4/6)Dr. Alejo Guillen

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*Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzCondicin necesaria y suficiente para que todas las races de la ecuacin queden en el semiplano izquierdo:Todos los coeficientes ai de la ecuacin sean positivosTodos los trminos en la primera columna de la tabla tengan signo positivo. El polinomio tiene tantas races con parte real positiva como cambios de signo que se producen en la primera columna de la tabla.

(5/6)Dr. Alejo Guillen

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*CASOS ESPECIAL 1

Si un termino de la primera columna en cualquier fila es cero pero los trminos restantes no son ceros este termino se sustituye por un nmero positivo pequeo() para encontrar los elementos de la siguiente fila.

Dr. Alejo Guillen

*CASOS ESPECIAL 2

Si todos los coeficientes calculados en una fila son cero, esto indica que en plano complejo S hay dos races de igual valor con signo opuesto (pueden ser reales o imaginarios)

Dr. Alejo Guillen

*CASOS ESPECIAL 2

Se forma un polinomio auxiliar P(S) con lo coeficientes del ultimo rengln antes de la fila de ceros.

Los coeficientes de dP/ds se reemplazan en la fila de ceros.

Dr. Alejo Guillen

*Criterio de estabilidad de Routh-HurwitzDeterminar los parmetros de un sistema para obtener estabilidadEjemplo:Funcin de transferencia en lazo cerrado0