transferencia de calor - estacionario - abaqus

2

ÍNDICE

ÍNDICE ....................................................................................................................................................... 2

EJERCICIOS RESUELTOS ..................................................................................................................... 3

1. BARRA PLANA SIN GENERACIÓN DE CALOR CON COEFICIENTE DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

CONSTANTE .............................................................................................................................................. 3

1.1. Introducción teórica ................................................................................................................ 3

1.2. Desarrollo del modelo en Abaqus ........................................................................................... 4


DEPENDIENTE DE LA TEMPERATURA ......................................................................................................... 6

2.1. Introducción teórica ................................................................................................................ 6

2.2. Desarrollo del modelo en Abaqus ........................................................................................... 7


DEPENDIENTE DE LA TEMPERATURA (DECRECIENTE) Y CONVECCIÓN FORZADA ..................................... 12

3.1. Introducción teórica .............................................................................................................. 12

3.2. Desarrollo del modelo en Abaqus ......................................................................................... 13

4. CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE UNA PLACA COMPUESTA, SIN GENERACIÓN DE CALOR, CON

COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR CONSTANTE....................................................................... 16



5. CONDUCCIÓN DEL CALOR A TRAVÉS DE UNA PLACA, CON GENERACIÓN DE CALOR UNIFORME, Y

CONDUCTIVIDAD TÉRMICA CONSTANTE .................................................................................................. 23



6. CONDUCCIÓN DE CALOR A TRAVÉS DE UNA TUBERÍA, SIN GENERACIÓN DE CALOR Y CON

COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR CONSTANTE....................................................................... 27



7. CONDUCCIÓN DE CALOR A TRAVÉS DE UNA CÁSCARA ESFÉRICA SIN GENERACIÓN DE CALOR Y CON

CONDUCTIVIDAD TÉRMICA CONSTANTE .................................................................................................. 32



8. CONDUCCIÓN DE CALOR DEPENDIENTE DEL TIEMPO A TRAVÉS UNA BARRA, SIN GENERACIÓN DE

CALOR Y CON CONDUCTIVIDAD TÉRMICA CONSTANTE ........................................................................... 38



3

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Barra plana sin generación de calor con coeficiente de

conductividad térmica constante

1.1. Introducción teórica

Para un medio isotrópico y homogéneo la ecuación general de transferencia de calor por conducción en estado estacionario sin generación interna de calor es:

Si además se considera que la conductividad térmica no depende de la

temperatura, la ecuación anterior queda:

Por otra parte, como se simulará una conducción de calor unidimensional en una barra plana es posible usar las coordenadas rectangulares y expresar la ecuación (2) sólo en función de x. De esta forma, Integrando dos veces esta ecuación se obtiene la distribución de temperaturas en la barra:

Para hallar el valor de las constantes 1C y 2C se deben considerar las condiciones de contorno mostradas en la Figura 1. Es decir,

Figura 1 – Esquema del problema

(1)

(2)

(3)

(4)

(5.a)

(5.b)

02 =∇ T

( )( ) 0=∇⋅∇ TTk

02

2

=∂∂

x

T

21 CxCT +=

10TT

x=

=

2TTLx

==

1

0

TT

x

==

2TT

Lx

==

x

4

Reemplazando estos valores en la ecuación (4) se obtienen los valores para las constantes:

Finalmente, la expresión para el perfil de temperaturas en la barra será:

1.2. Desarrollo del modelo en Abaqus Se simuló en el programa Abaqus una barra de oro de las siguientes características:

Tabla 1 – Datos de la barra Propiedad Magnitud

Altura 0.2 m Ancho 0.2 m

Longitud 2 m k 317 W/(m K) ρ 19300 kg/m3 c 128 J/(kg K) T1 20 K T2 250 K

La barra fue generada en el módulo Part utilizando el método de extrusión y luego se le asoció el material en el módulo Property. Las condiciones de borde de la Figura 1 se cargaron en el módulo Load y luego se generó un paso estacionario en el módulo Step.

Para modelar la transferencia de calor por elementos finitos se realizó el mallado de la barra usando semillas de 0.1 m y elementos lineales hexaédricos tipo DC3D8. Finalmente, se creó un caso nuevo en el módulo Job y se corrió la simulación.

A continuación se muestra el perfil de temperaturas obtenido con el programa

así como también la comparación entre este resultado y el estimado con la ecuación teórica (7).

(6.a) L

TTC 12

1

−=

12 TC = (6.b)

112 Tx

L

TTT +

−= (7)

5

Perfil de Temperatura estacionario en una barra

(k constante)

0

50

100

150

200

250

300

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Longitud (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)

Perfil de temperatura Abaqus (ºC)

Perfil de temperatura Teórico (ºC)

Figura 2 – Perfil de temperatura para conductividad térmica constante

6

Tabla 2 – Perfiles de temperatura para k constante

Longitud (m)

Perfil de Temperatura (Abaqus)

(ºC)

Perfil de Temperatura (Teórico)

(ºC) 0 20 20

0.1 31.5 31.5 0.2 43 43 0.3 54.5 54.5 0.4 66 66 0.5 77.5 77.5 0.6 89 89 0.7 100.5 100.5 0.8 112 112 0.9 123.5 123.5 1 135 135

1.1 146.5 146.5 1.2 158 158 1.3 169.5 169.5 1.4 181 181 1.5 192.5 192.5 1.6 204 204 1.7 215.5 215.5 1.8 227 227 1.9 238.5 238.5 2 250 250


conductividad térmica dependiente de la temperatura

2.1. Introducción teórica Para simular la conducción de calor estacionaria sin generación interna de calor para un material con conductividad térmica variable se debe partir de la ecuación:

Por otra parte, si se considera una variación lineal de la conductividad térmica con la temperatura, la ecuación general que la describe será de la forma:

Por lo tanto, para una barra plana en la que sólo exista transferencia de calor

unidimensional la ecuación a resolver para hallar el perfil de temperaturas será:

Integrando dos veces la ecuación anterior, se obtiene la solución general:

(8)

(9)

(10)

( )( ) 0=∇⋅∇ TTk

( ) bTaTk +=

( ) ( ) 0=

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂

x

TbTa

xx

TTk

x

7

donde las constantes a y b dependen del material y 1C y 2C , de las condiciones de contorno de la barra.

Para obtener el perfil de temperatura de la barra la ecuación (11) puede reescribirse como: en la que sólo se mantuvo la raíz con sentido físico. 2.2. Desarrollo del modelo en Abaqus Se simularon en Abaqus los casos correspondientes a una conductividad térmica creciente y decreciente con la temperatura. Para modelar la barra de oro se usaron los datos de la Tabla 1 con excepción de la conductividad térmica para la que en cada caso se usaron los datos que figuran en las tablas siguientes.

Tabla 3 – Datos para k creciente Conductividad

(W/m K) Temperatura

(K) 317 20 500 250

Tabla 4 – Datos para k decreciente Conductividad

(W/m K) Temperatura

(K) 500 20 317 250

A fin de comparar la estimación teórica del perfil de temperatura obtenido a

partir de la ecuación (12) con los resultados obtenidos con Abaqus se determinaron para ambos casos las constantes a , b , 1C y 2C tal como se muestra en la Tabla 5.

Tabla 5 – Constantes para los perfiles teóricos de temperatura. Constante k creciente k decreciente

1C 46977.5 46977.5

2C 6180.87 10159.13 a 0.796 -0.796 b 301.087 515.913

(11)

(12)

212

2CxCTbT

a +=+

( )a

CxCabbT 21

2 2 +++−=

8

Para hallar estos parámetros se usaron las condiciones de borde enunciadas en las ecuaciones (5.a) y (5.b) y los datos de conductividad térmica a las respectivas temperaturas extremas (1k y 2k ) obtenidos de las tablas 3 y 4. Las ecuaciones generales usadas para determinar estas constantes fueron las siguientes:

El modelado por elementos finitos de la transferencia de calor en la barra se

realizó usando un mallado con semillas de 0.1 m y elementos lineales hexaédricos tipo DC3D8. A continuación se muestran los perfiles de temperatura obtenidos con el programa para ambos casos así como también las comparaciones entre estos resultados y los estimados teóricamente.

Figura 3 – Perfil de temperatura para conductividad térmica creciente

(13.a) ( ) ( )122

12

21 2TT

L

bTT

L

aC −+−=

12

12 2TbT

aC +=

12

12

TT

kka

−−=

12

1221

TT

TkTkb

−−=

(13.b)

(13.c)

(13.d)

9

Figura 4 – Perfil de temperatura para conductividad térmica decreciente

10


(k creciente)

0

50

100

150

200

250

300

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Longitud (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)




(k decreciente)

0

50

100

150

200

250

300

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Longitud (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)



11

C omparac ión de perfiles de T emperatura es tac ionarios

0

50

100

150

200

250

300

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

L ong itud (m )

Te

mp

era

tura

(°C

)

Perfil de temperatura Abaqus (k constante) (ºC)

Perfil de temperatura Teórico (k constante) (ºC)

Perfil de temperatura Abaqus (k creciente) (ºC)Perfil de temperatura Teórico (k creciente) (ºC)

Perfil de temperatura Abaqus (k decreciente) (ºC)

Perfil de temperatura Teórico (k decreciente) (ºC)

Tabla 6 – Perfiles de temperatura para k creciente

Longitud (m)


(ºC)


(ºC) 0 20 20

0.1 34.56 34.55 0.2 48.63 48.61 0.3 62.25 62.22 0.4 75.46 75.42 0.5 88.30 88.25 0.6 100.79 100.74 0.7 112.96 112.90 0.8 124.83 124.78 0.9 136.43 136.38 1 147.77 147.72

1.1 158.87 158.83 1.2 169.74 169.71 1.3 180.41 180.37 1.4 190.87 190.84 1.5 201.14 201.12 1.6 211.23 211.22 1.7 221.16 221.15 1.8 230.92 230.92 1.9 240.53 240.53 2 250 250

12

Tabla 7 – Perfiles de temperatura para k decreciente

Longitud (m) Perfil de Temperatura

(Abaqus) (ºC)


(ºC) 0 20 20

0.1 29.47 29.47 0.2 39.08 39.08 0.3 48.84 48.85 0.4 58.77 58.78 0.5 68.86 68.88 0.6 79.13 79.16 0.7 89.59 89.63 0.8 100.26 100.29 0.9 111.13 111.17 1 122.23 122.28

1.1 133.57 133.62 1.2 145.17 145.22 1.3 157.04 157.10 1.4 169.21 169.26 1.5 181.71 181.75 1.6 194.54 194.58 1.7 207.75 207.78 1.8 221.37 221.39 1.9 235.44 235.45 2 250 250


conductividad térmica dependiente de la temperatura (decreciente) y convección forzada


El perfil teórico de temperatura para una barra con conductividad térmica dependiente de la temperatura y sin generación interna de calor ya se calculó en la sección anterior y es de la forma:


(14) 212

2CxCTbT

a +=+

x

1

0

TT

x

==

2TT

Lx

==

( )FLL TThq −= 2

13

donde las constantes a y b dependen del material y 1C y 2C , de las condiciones de contorno de la barra que para el caso de la Figura 5 serán de la forma:

siendo FT la temperatura del seno del fluido que se encuentra en contacto con la superficie de la barra.

Las expresiones para a y b son iguales a las calculadas en la sección anterior. Es decir:

donde los subíndices I y II corresponden a las dos temperaturas para las que se informan datos de conductividad térmica en la Tabla 9. Por otra parte, usando las condiciones de borde y el perfil de temperaturas (14) se obtienen las constantes 1C y 2C :

Finalmente, la expresión para el perfil de temperatura de la barra será: 3.2. Desarrollo del modelo en Abaqus Se simuló en Abaqus una barra de oro con conductividad térmica decreciente con la temperatura. Para esto, se usaron los datos de las tablas 8 y 9.

(15.a)

(15.b)

(16.a)

(16.b)

(19)

(18)

(17)

10TT

x=

=

( )FLLx

LxTTh

x

Tkq −=

∂∂−=

== 2

III

III

TT

kka

−−=

III

IIIIII

TT

TkTkb

−−=

( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]FFLFLFL TbaTTbaTaLhbaTLhbaT

a

hC 22 11

21 +−+++++++=

12

12 2TbT

aC +=

( )[ ]bCxCaba

T −++= 212 2

1

14

Tabla 8 – Datos de la barra Propiedad Magnitud

Altura 0.2 m Ancho 0.2 m

Longitud 2 m ρ 19300 kg/m3 c 128 J/(kg K) T1 150 ºC TF 20 ºC hL 70 W/m2K

Tabla 9 – Datos para k decreciente

Conductividad (W/m K)

Temperatura (K)

500 20 317 250

A fin de comparar la estimación teórica del perfil de temperatura obtenido a partir de la ecuación (19) con los resultados obtenidos con Abaqus se determinaron las constantes a , b , 1C y 2C tal como se muestra en la Tabla 10.

Tabla 10 – Constantes para el perfil teórico de temperatura.

Constante k decreciente

1C -6782.52

2C 68435.87 a -0.795 b 515.91

El modelado por elementos finitos de la transferencia de calor en la barra se realizó usando un mallado con semillas de 0.1 m y elementos lineales hexaédricos tipo DC3D8. Para modelar la transferencia de calor por convección forzada se ingresó en el módulo Interaction una interacción de tipo “Surface heat condition” en la que se cargó el coeficiente de convección hL y la temperatura del seno del fluido (“Sink Temperature”).

A continuación se muestra el perfil de temperatura obtenido con el programa así como también la comparación con el estimado teóricamente.

15

Perfil de Temperatura estacionario en una barra con

convección forzada en uno de sus extremos

100

110

120

130

140

150

160

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Longitud (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)



Figura 6 – Perfil de temperatura para barra con convección forzada

16

Tabla 11 – Perfiles de temperatura para k decreciente y convección forzada

Longitud (m)


(ºC)


(ºC) 0 150 150

0.1 148.29 148.29 0.2 146.59 146.59 0.3 144.90 144.90 0.4 143.21 143.21 0.5 141.52 141.52 0.6 139.84 139.84 0.7 138.17 138.17 0.8 136.50 136.50 0.9 134.84 134.84 1 133.18 133.18

1.1 131.53 131.53 1.2 129.88 129.88 1.3 128.24 128.24 1.4 126.61 126.60 1.5 124.97 124.97 1.6 123.35 123.35 1.7 121.73 121.73 1.8 120.11 120.11 1.9 118.50 118.50 2 116.90 116.89

4. Conducción del calor a través de una placa compuesta, sin

generación de calor, con coeficiente de transferencia de calor constante


Si se asume un modelo de conducción estacionario y unidimensional con conductividades térmicas constantes, la variación de la temperatura en cada placa estará dada por la ecuación:


x

0

0

TT

x

==

1

2

TT

Lx

==

Bronce de Aluminio

int

1

TT

Lx

==

21 PlacaPlaca qq =

Bronce

Placa 1 Placa 2

17

mientras que el flujo de calor se expresará según:

Integrando dos veces la ecuación (20) se obtiene la distribución de temperaturas en cada placa:

Para hallar el valor de las constantes 1C , 2C , 3C y 4C se deben considerar las

condiciones de contorno mostradas en la Figura 7. Es decir,

De las ecuaciones (21) y (24.d) surge que:

de donde puede hallarse la relación entre 1C y 3C :

La constante 2C surge al reemplazar la condición de borde (24.a) en la ecuación (22):

De la misma forma, reemplazando la ecuación (24.b) en la (23) teniendo en cuenta la expresión hallada para 3C se obtiene:

(20)

(21)

(22)

(23)

(24.a)

(24.b)

(24.c)

(24.d)

(25)

(26)

(27)

(28)

02

2

=∂∂

x

T

x

Tkq

∂∂−=

211 CxCT Placa +=

432 CxCT Placa +=

00TT

x=

=

12

TTLx

==

int21

11

TTTLx

Placa

Lx

Placa ====

11

21

Lx

Placa

Lx

Placa qq==

=

1

11

1

22

23

21

111

Lx

Placa

Lx

PlacaPlacaPlacaPlaca

Lx

PlacaPlaca

Lx

Placa qx

TkCkCk

x

Tkq

===

==

∂∂−=−=−=

∂∂−=

12

1

3 Ck

kC Placa

Placa

=

02 TC =

212

1

14 LCk

kTC Placa

Placa

−=

18

Finalmente, escribiendo la condición de borde (24.c) en función de los perfiles de temperatura definidos por las ecuaciones (22) y (23) y teniendo en cuenta las expresiones halladas para 2C , 3C y 4C se obtiene la expresión para 1C :

Si entonces se reemplaza la ecuación anterior en (26) y (28) se obtienen las expresiones finales para 3C y 4C :

Por lo tanto, los perfiles de temperatura en ambas placas serán:

4.2. Desarrollo del modelo en Abaqus Se simuló en Abaqus una placa compuesta por una sección de Bronce de aluminio y otra de Bronce de las siguientes características:

Tabla 12 – Datos para la placa de Bronce de Aluminio Propiedad Magnitud Longitud 0.5m

k 83 W/(m K) ρ 8666 kg/m3 c 410 J/(kg K)

(29)

(31)

(30)

(32.b)

(32.a)

+

−

−=

211

2

011

2

1

1 LLk

k

TT

k

kC

Placa

PlacaPlaca

Placa

+

−

−=

211

2

013

1 LLk

k

TTC

Placa

Placa

+

−

−−=

211

2

01214

1 LLkk

TTLTC

Placa

Placa

0

211

2

011

21

1

Tx

LLk

k

TT

k

kT

Placa

PlacaPlaca

PlacaPlaca +

+

−

−=

( ) 12

211

2

012

1

TLx

LLkk

TTT

Placa

Placa

Placa +−

+

−

−=

19

Tabla 13 – Datos para la placa de Bronce Propiedad Magnitud Longitud 0.5m

k 26 W/(m K) ρ 8666 kg/m3 c 343 J/(kg K)

Las condiciones de contorno usadas fueron:

Tabla 14 – Condiciones de contorno de temperatura Parámetro Magnitud

T0 300 K T1 0 K

A partir de estos datos, se calcularon las constantes para los perfiles teóricos de

temperatura enunciados en las ecuaciones (32.a) y (32.b):

Tabla 15 – Constantes para los perfiles teóricos de temperatura. Constantes

1C -143.11

2C 300

3C -456.88

4C 456.88

El modelado por elementos finitos de la transferencia de calor en la placa compuesta se realizó usando un mallado con semillas de 0.015 m y elementos lineales tipo DC2D4. Para poder modelar adecuadamente la transferencia de calor en la interfase entre ambos materiales se ingresó en el módulo Interaction una interacción de tipo “Surface to surface contact” en la que se especificó la siguiente propiedad de contacto:

Tabla 16 – Parámetros para vinculación de las placas k (W/mK) Clearance

300 0 0 0.5

A continuación se muestran los perfiles de temperatura obtenidos con el programa así como también la comparación con los estimados teóricamente.

20

Como puede verse en el gráfico siguiente, la pendiente del perfil de temperaturas

es más suave en la placa de Bronce de Aluminio lo que es compatible con el hecho de que este material tiene una conductividad térmica más alta.

Perfil de Temperatura estacionario en placa compuesta

0

50

100

150

200

250

300

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Longitud (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)

TPlaca 1 (Abaqus)

TPlaca 1 (Teórica)

TPlaca 2 (Abaqus)

TPlaca 2 (Teórica)

Figura 8 – Perfil de temperatura para placa compuesta

21

Tabla 17 – Perfiles de temperatura para Placa 1

Longitud (m)

Perfil de Temperatura Placa 1

(Abaqus) (ºC)


(Teórico) (ºC)

0.0000 300.0000 300.0000 0.0152 297.8320 297.8315 0.0303 295.6630 295.6631 0.0455 293.4950 293.4946 0.0606 291.3260 291.3261 0.0758 289.1580 289.1576 0.0909 286.9890 286.9892 0.1061 284.8210 284.8206 0.1212 282.6520 282.6522 0.1364 280.4840 280.4837 0.1515 278.3150 278.3153 0.1667 276.1470 276.1467 0.1818 273.9780 273.9783 0.1970 271.8100 271.8098 0.2121 269.6410 269.6414 0.2273 267.4730 267.4729 0.2424 265.3040 265.3045 0.2576 263.1360 263.1359 0.2727 260.9680 260.9675 0.2879 258.7990 258.7990 0.3030 256.6310 256.6306 0.3182 254.4620 254.4620 0.3333 252.2940 252.2936 0.3485 250.1250 250.1251 0.3636 247.9570 247.9567 0.3788 245.7880 245.7881 0.3939 243.6200 243.6197 0.4091 241.4510 241.4512 0.4242 239.2830 239.2828 0.4394 237.1140 237.1143 0.4545 234.9460 234.9459 0.4697 232.7770 232.7773 0.4848 230.6090 230.6089 0.5000 228.4400 228.4404

22

Tabla 18 – Perfiles de temperatura para Placa 2

Longitud (m)


(Abaqus) (ºC)


(Teórico) (ºC)

0.5000 228.4400 228.4404 0.5152 221.5180 221.5179 0.5303 214.5950 214.5955 0.5455 207.6730 207.6730 0.5606 200.7500 200.7506 0.5758 193.8280 193.8282 0.5909 186.9060 186.9058 0.6061 179.9830 179.9831 0.6212 173.0610 173.0609 0.6364 166.1380 166.1383 0.6515 159.2160 159.2161 0.6667 152.2930 152.2934 0.6818 145.3710 145.3712 0.6970 138.4490 138.4486 0.7121 131.5260 131.5264 0.7273 124.6040 124.6037 0.7424 117.6810 117.6815 0.7576 110.7590 110.7589 0.7727 103.8360 103.8367 0.7879 96.9140 96.9140 0.8030 89.9915 89.9918 0.8182 83.0691 83.0691 0.8333 76.1467 76.1469 0.8485 69.2243 69.2243 0.8636 62.3018 62.3021 0.8788 55.3794 55.3794 0.8939 48.4570 48.4572 0.9091 41.5346 41.5346 0.9242 34.6121 34.6124 0.9394 27.6897 27.6897 0.9545 20.7673 20.7675 0.9697 13.8449 13.8449 0.9848 6.9224 6.9227 1.0000 0.0000 0.0000

23

5. Conducción del calor a través de una placa, con generación de calor uniforme, y conductividad térmica constante


La ecuación diferencial que describe la transferencia de calor por conducción

con generación interna de calor es:

Integrando dos veces esta ecuación para una generación de calor constante se obtiene el perfil de temperatura a lo largo de la barra: a partir del cual se pueden despejar las constantes de integración aplicando las condiciones de contorno de la Figura 9. De esta forma,

Finalmente, reemplazando los resultados anteriores en la ecuación (34) se obtiene la ecuación general del perfil de temperatura:

5.2. Desarrollo del modelo en Abaqus

Se simuló en Abaqus la transferencia de calor por conducción con generación interna de calor para una placa de plata alemana de las siguientes características:


(33)

(34)

(35.a)

(35.b)

(36)

02

2

=+∂∂

Qx

Tk ɺ

212

2CxCx

k

QT ++−=

ɺ

L

TTL

k

QC 12

1 2−+=

ɺ

12 TC =

( ) 112

22

2T

L

xTT

L

x

L

x

k

LQT +

−+

−

=ɺ

x

1

0

TT

x

==

2TT

Lx

==

Qɺ

24

Tabla 19 – Datos para la placa de Plata alemana Propiedad Magnitud

Altura 0.016m Longitud 0.1m

k 24.9 W/(m K) ρ 8618 kg/m3 c 394 J/(kg K)



T1 0 ºC T2 0 ºC Qɺ 50 W/m3

A partir de estos datos, y a fin de comparar los datos obtenidos con el simulador

con los teóricos, se calcularon las constantes para el perfil teórico de temperatura enunciado en la ecuación (36):

Tabla 21 – Constantes para el perfil teórico de temperatura. Constantes

1C 0.1004

2C 0

El modelado por elementos finitos de la transferencia de calor se realizó usando

un mallado con semillas de 0.002 m y elementos lineales tipo DC2D4. Para modelar la generación de calor uniforme se definió un “Body Heat Flux” en el módulo Load.

A continuación se muestra el perfil de temperatura obtenido con el programa así como también la comparación con el estimado teóricamente.

25

Perfil de Temperatura estacionario en una barra con

generación interna de calor

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Longitud (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)



Figura 10 – Perfil de temperatura para placa con generación interna de calor

26

Tabla 22 – Perfiles de temperatura para placa con generación interna de calor

0 0 00.002 0.000196787 0.0001967870.004 0.000385542 0.0003855420.006 0.000566265 0.0005662650.008 0.000738956 0.0007389560.01 0.000903615 0.000903614

0.012 0.001060240 0.0010602410.014 0.001208840 0.0012088350.016 0.001349400 0.0013493980.018 0.001481930 0.0014819280.02 0.001606430 0.001606426

0.022 0.001722890 0.0017228920.024 0.001831330 0.0018313250.026 0.001931730 0.0019317270.028 0.002024100 0.0020240960.03 0.002108430 0.002108434

0.032 0.002184740 0.0021847390.034 0.002253010 0.0022530120.036 0.002313250 0.0023132530.038 0.002365460 0.0023654620.04 0.002409640 0.002409639

0.042 0.002445780 0.0024457830.044 0.002473900 0.0024738960.046 0.002493980 0.0024939760.048 0.002506020 0.0025060240.05 0.002510040 0.002510040

0.052 0.002506020 0.0025060240.054 0.002493980 0.0024939760.056 0.002473900 0.0024738960.058 0.002445780 0.0024457830.06 0.002409640 0.002409639

0.062 0.002365460 0.0023654620.064 0.002313250 0.0023132530.066 0.002253010 0.0022530120.068 0.002184740 0.0021847390.07 0.002108430 0.002108434

0.072 0.002024100 0.0020240960.074 0.001931730 0.0019317270.076 0.001831330 0.0018313250.078 0.001722890 0.0017228920.08 0.001606430 0.001606426

0.082 0.001481930 0.0014819280.084 0.001349400 0.0013493980.086 0.001208840 0.0012088350.088 0.001060240 0.0010602410.09 0.000903615 0.000903614

0.092 0.000738956 0.0007389560.094 0.000566265 0.0005662650.096 0.000385542 0.0003855420.098 0.000196787 0.000196787

0.1 0 0

Longitud (m)

Perfil de Temperatura (Abaqus) (ºC)

Perfil de Temperatura (Teórico) (ºC)

27

6. Conducción de calor a través de una tubería, sin generación de calor y con coeficiente de transferencia de calor constante

6.1. Introducción teórica Se desea modelar la transferencia de calor estacionaria en una tubería de bronce de aluminio. Para esto, se considerará que la transferencia de calor será sólo en dirección radial y que la conductividad térmica será constante en el rango de temperaturas considerado. En estas condiciones, la ecuación que describe el fenómeno es:

que puede integrarse para obtener:

Las constantes pueden calcularse a partir de las condiciones de borde impuestas en las superficies interna y externas de la tubería. De esta forma,

Finalmente, el perfil de temperaturas radial en la tubería puede expresarse según:


Se simuló en Abaqus la transferencia de calor radial en una tubería de bronce de aluminio de las siguientes características:


(37)

(38)

(39.a)

(39.b)

(40)

0=

∂∂

∂∂

r

Tr

r

21 ln CrCT +=

−=

1

2

121

lnR

R

TTC

−=

1

2

12212

ln

lnln

R

R

RTRTC

−

=

1

2

21

12

ln

lnln

R

R

R

rT

R

rT

T

r

1

1

TT

Rr

==

2

2

TT

Rr

==

28

Tabla 23 – Datos para la tubería de Bronce de Aluminio Propiedad Magnitud

Radio interno 0.008m Radio externo 0.05m

k 83 W/(m K) ρ 8666 kg/m3 c 410 J/(kg K)



T1 250 ºC T2 20 ºC




1C -125.506

2C -355.982 Se plantearon dos modelos para simular la tubería. El primero (Caso 1) fue una

placa bidimensional con la que se buscó representar un sector circular del corte transversal de la tubería. En el segundo (Caso 2), la tubería directamente se simuló mediante un elemento axisimétrico.

Para el primer caso, el modelado por elementos finitos se realizó con elementos lineales tipo DC2D4 mientras que para el segundo se usaron elementos tipo DCAX4. En ambos casos, el mallado se realizó con semillas de 0.001 m.

A continuación se muestran los perfiles de temperatura obtenidos con el programa para ambos modelos así como también la comparación con el estimado teóricamente. Como puede verse, los dos enfoques usados para modelar el sistema dan resultados análogos.

29

Figura 12 – Perfil de temperatura para la tubería (Caso 1)

30

Perfil de Temperatura estacionario en una tubería

0

50

100

150

200

250

0.008 0.012 0.016 0.02 0.024 0.028 0.032 0.036 0.04 0.044 0.048

Radio (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)



Figura 13 – Perfil de temperatura para la tubería (Caso 2)

31

Tabla 26 – Perfiles de temperatura para la tubería

Radio (m)


(ºC)


(ºC) Caso 1 Caso 2

0.008 250 250 250 0.009 235.23 235.23 235.22 0.01 222.01 222.01 221.99 0.011 210.06 210.06 210.03 0.012 199.14 199.14 199.11 0.013 189.10 189.10 189.07 0.014 179.80 179.80 179.76 0.015 171.14 171.14 171.11 0.016 163.04 163.04 163.01 0.017 155.43 155.43 155.40 0.018 148.25 148.25 148.22 0.019 141.47 141.47 141.44 0.02 135.03 135.03 135.00 0.021 128.90 128.90 128.88 0.022 123.07 123.07 123.04 0.023 117.49 117.49 117.46 0.024 112.14 112.14 112.12 0.025 107.02 107.02 106.99 0.026 102.09 102.09 102.07 0.027 97.36 97.36 97.34 0.028 92.79 92.79 92.77 0.029 88.39 88.39 88.37 0.03 84.13 84.13 84.11 0.031 80.01 80.01 80.00 0.032 76.03 76.03 76.01 0.033 72.17 72.17 72.15 0.034 68.42 68.42 68.40 0.035 64.78 64.78 64.76 0.036 61.24 61.24 61.23 0.037 57.80 57.80 57.79 0.038 54.45 54.45 54.44 0.039 51.19 51.19 51.18 0.04 48.01 48.01 48.01 0.041 44.91 44.91 44.91 0.042 41.89 41.89 41.88 0.043 38.94 38.94 38.93 0.044 36.05 36.05 36.04 0.045 33.23 33.23 33.22 0.046 30.47 30.47 30.46 0.047 27.77 27.77 27.77 0.048 25.13 25.13 25.12 0.049 22.54 22.54 22.54 0.05 20 20 20

32

7. Conducción de calor a través de una cáscara esférica sin generación

de calor y con conductividad térmica constante

7.1. Introducción teórica Se desea modelar la transferencia de calor estacionaria en una cáscara esférica de bronce de aluminio. Para esto, se considerará que la transferencia de calor será sólo en dirección radial y que la conductividad térmica será constante en el rango de temperaturas considerado. En estas condiciones, la ecuación que describe el fenómeno es:

que puede integrarse para obtener:

Las constantes pueden calcularse a partir de las condiciones de borde impuestas en las superficies interna y externas de la esfera. De esta forma,

Finalmente, el perfil de temperaturas radial en la esfera puede expresarse según: 7.2. Desarrollo del modelo en Abaqus

Se simuló en Abaqus la transferencia de calor radial en una cáscara esférica de bronce de aluminio de las siguientes características:


(42)

(41)

(43.a)

(43.b)

(44)

02 =

∂∂

∂∂

r

Tr

r

21 C

r

CT +−=

( )1212

211 TT

RR

RRC −

−=

−−=

12

11222 RR

TRTRC

−

−−

−

−=

r

R

RR

TR

r

R

RR

TRT 2

12

111

12

22 11

r

1

1

TT

Rr

==

2

2

TT

Rr

==

33

Tabla 27 – Datos para la cáscara esférica de Bronce de Aluminio Propiedad Magnitud

Radio interno 0.008m Radio externo 0.05m

k 83 W/(m K) ρ 8666 kg/m3 c 410 J/(kg K)



T1 250 ºC T2 20 ºC




1C -2.19

2C -23.81

Se plantearon dos modelos para simular la cáscara esférica. Para el primero (Caso 1) se usó un elemento tridimensional con el que se representó un sector de la esfera mientras que para el segundo (Caso 2) se usó un elemento axisimétrico.

Para el primer caso, el modelado por elementos finitos se realizó con elementos lineales tipo DC3D8 mientras que para el segundo se usaron elementos tipo DCAX4. El mallado se realizó con semillas de 0.004 m y 0.0025 m respectivamente.

A continuación se muestran los perfiles de temperatura obtenidos con el programa para ambos modelos así como también la comparación con el estimado teóricamente. Como puede verse, los dos enfoques usados para modelar el sistema dan resultados análogos.

34

Figura 15 – Perfil de temperatura para la cáscara esférica (Caso 1)

35

Figura 16 – Perfil de temperatura para la cáscara esférica (Caso 2)

36

Perfil de Temperatura estacionario en una esfera

(usando sector circular)

0

50

100

150

200

250

0.008 0.012 0.016 0.02 0.024 0.028 0.032 0.036 0.04 0.044 0.048

Radio (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)



Perfil de Temperatura estacionario en una esfera

(usando elemento axisimétrico)

0

50

100

150

200

250

0.008 0.012 0.016 0.02 0.024 0.028 0.032 0.036 0.04 0.044 0.048

Radio (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)



37

Tabla 30 – Perfil de temperatura para cáscara esférica (Caso 1)

Radio (m)


(ºC)


(ºC) 0.008 250 250

0.0118182 161.603 161.538 0.0156364 117.212 116.279 0.0194545 89.634 88.785 0.0232727 71.031 70.313 0.0270909 57.626 57.047 0.0309091 47.512 47.059 0.0347273 39.606 39.267 0.0385455 33.261 33.019 0.0423636 28.058 27.897 0.0461818 23.713 23.622

0.05 20 20

Tabla 31 – Perfil de temperatura para cáscara esférica (Caso 2)

Radio (m)


(ºC)


(ºC) 0.008 250 250

0.0104706 186.144 185.393 0.0129412 146.312 145.454 0.0154118 119.124 118.321 0.0178824 99.393 98.684 0.0203529 84.426 83.815 0.0228235 72.685 72.165 0.0252941 63.230 62.791 0.0277647 55.452 55.085 0.0302353 48.943 48.638 0.0327059 43.415 43.165 0.0351765 38.662 38.461 0.0376471 34.533 34.375 0.0401176 30.911 30.792 0.0425882 27.709 27.624 0.0450588 24.858 24.804 0.0475294 22.303 22.277

0.05 20 20

38

8. Conducción de calor dependiente del tiempo a través una barra, sin generación de calor y con conductividad térmica constante


Se desea modelar la transferencia de calor no estacionaria en una barra de bronce de aluminio de longitud L que se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme 0T

y cuyos extremos situados en 2L

x ±= son puestos en t=0 súbitamente a una

temperatura 1T constante. La ecuación que sirve para modelar este problema es:

que se encuentra sujeta a las condiciones de contorno:

Resolviendo esta ecuación diferencial por el método de separación de variables se obtiene el perfil de temperatura teórico:


Se simuló en Abaqus la transferencia de calor no estacionaria en una barra de bronce de aluminio de las siguientes características:

Tabla 32 – Datos para la barra de Bronce de Aluminio Propiedad Magnitud Longitud 0.1m

Altura 0.025m Ancho 0.025

k 83 W/(m K) ρ 8666 kg/m3 c 410 J/(kg K)


(45)

(46.a)

(46.b)

(47)

2

2

2

2

x

T

x

T

c

k

t

T

∂∂=

∂∂

=

∂∂ α

ρ

( ) 00, TxT =

( ) 10,2 TtLT =>±

( ) ( )

+

+

−−+= ∑∞

=

+−xk

Le

kTTTT

k

tL

kn

212

cos

211

20

2

14

011

22

π

π

απ

39


T0 250 ºC T1 20 ºC

El modelado por elementos finitos se realizó usando un mallado con semillas de

0.005 m y elementos lineales tipo DC3D8. Para poder realizar la simulación no estacionaria se creó en el módulo Step un paso tipo Transient al que se le fue variando el período de tiempo de simulación a fin de calcular perfiles de temperatura a varios tiempos. Por otra parte, en el módulo Load se definió la temperatura inicial de la barra en el paso inicial (Step Initial) y luego se impusieron las condiciones de borde en los extremos en el paso Step-1.

A continuación se muestran los perfiles de temperatura obtenidos con el programa para distintos tiempos así como también la comparación con los resultados estimados teóricamente.

Figura 17 – Perfil de temperatura de la barra (t=180 s)

40

Perfil de Temperatura no estacionario para una barra de Bronce de Aluminio

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Radio (m)

Te

mp

era

tura

(°C

)t=5 seg (Abaqus)

t=5 seg (Teórico)

t=20 seg (Abaqus)

t=20 seg (Teórico)

t=40 seg (Abaqus)

t=40 seg (Teórico)

t=60 seg (Abaqus)

t=60 seg (Teórico)

t=80 seg (Abaqus)

t=80 seg (Teórico)

t=100 seg (Abaqus)

t=100 seg (Teórico)

t=400 seg (Abaqus)

t=400 seg (Teórico)

41

0 5 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 300 400 5000 250 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

0.005 250 83.754 50.080 38.430 31.678 27.409 24.701 22.983 21.892 21.201 20.762 20.483 20.050 20.005 20.0010.01 250 138.462 79.209 56.401 43.068 34.635 29.286 25.892 23.738 22.372 21.505 20.955 20.098 20.010 20.0010.015 250 179.850 106.507 73.467 53.889 41.501 33.642 28.656 25.492 23.484 22.211 21.403 20.144 20.015 20.0020.02 250 208.220 131.224 89.206 63.876 47.838 37.663 31.20727.110 24.511 22.862 21.816 20.187 20.019 20.0020.025 250 226.221 152.769 103.229 72.783 53.489 41.248 33.481 28.554 25.427 23.443 22.185 20.225 20.023 20.0020.03 250 236.954 170.727 115.196 80.389 58.315 44.310 35.424 29.787 26.209 23.940 22.500 20.257 20.026 20.0030.035 250 243.019 184.838 124.815 86.509 62.198 46.774 36.988 30.778 26.839 24.339 22.753 20.283 20.029 20.0030.04 250 246.251 194.966 131.855 90.990 65.042 48.579 38.133 31.505 27.300 24.631 22.939 20.302 20.031 20.0030.045 250 247.792 201.052 136.147 93.724 66.777 49.679 38.831 31.948 27.581 24.810 23.052 20.314 20.032 20.0030.05 250 248.244 203.081 137.589 94.643 67.360 50.049 39.066 32.097 27.675 24.870 23.090 20.318 20.033 20.0030.055 250 247.792 201.052 136.147 93.724 66.777 49.679 38.831 31.948 27.581 24.810 23.052 20.314 20.032 20.0030.06 250 246.251 194.966 131.855 90.990 65.042 48.579 38.133 31.505 27.300 24.631 22.939 20.302 20.031 20.0030.065 250 243.019 184.838 124.815 86.509 62.198 46.774 36.988 30.778 26.839 24.339 22.753 20.283 20.029 20.0030.07 250 236.954 170.727 115.196 80.389 58.315 44.310 35.424 29.787 26.209 23.940 22.500 20.257 20.026 20.0030.075 250 226.221 152.769 103.230 72.783 53.489 41.248 33.481 28.554 25.427 23.443 22.185 20.225 20.023 20.0020.08 250 208.220 131.223 89.206 63.876 47.838 37.663 31.20727.110 24.511 22.862 21.816 20.187 20.019 20.0020.085 250 179.850 106.507 73.467 53.889 41.501 33.642 28.656 25.492 23.484 22.211 21.403 20.144 20.015 20.0020.09 250 138.462 79.209 56.402 43.068 34.635 29.286 25.892 23.738 22.372 21.505 20.955 20.098 20.010 20.0010.095 250 83.754 50.080 38.430 31.678 27.409 24.701 22.983 21.892 21.201 20.762 20.483 20.050 20.005 20.0010.1 250 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

Longitud (m)

Tiempo (seg)

Tabla 34 – Perfil de temperatura de la barra (Abaqus)

42

5 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 300 400 5000 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

0.005 78.981 49.587 38.227 31.487 27.243 24.568 22.880 21.816 21.145 20.722 20.455 20.045 20.005 20.0000.010 132.025 78.310 56.003 42.691 34.308 29.023 25.689 23.588 22.262 21.427 20.900 20.090 20.009 20.0010.015 174.931 105.356 72.889 53.336 41.021 33.255 28.359 25.271 23.324 22.096 21.322 20.132 20.013 20.0010.020 206.142 130.006 88.468 63.161 47.216 37.162 30.822 26.824 24.303 22.714 21.711 20.171 20.017 20.0020.025 226.562 151.664 102.356 71.922 52.741 40.646 33.019 28.210 25.177 23.264 22.058 20.205 20.020 20.0020.030 238.576 169.871 114.214 79.405 57.460 43.621 34.895 29.393 25.923 23.735 22.355 20.235 20.023 20.0020.035 244.930 184.295 123.750 85.425 61.256 46.015 36.405 30.345 26.523 24.113 22.594 20.259 20.026 20.0030.040 247.941 194.721 130.732 89.834 64.036 47.769 37.510 31.042 26.963 24.391 22.769 20.276 20.028 20.0030.045 249.182 201.019 134.990 92.524 65.733 48.838 38.185 31.467 27.231 24.560 22.875 20.287 20.029 20.0030.050 249.508 203.125 136.421 93.428 66.303 49.198 38.412 31.610 27.321 24.617 22.911 20.290 20.029 20.0030.055 249.182 201.019 134.990 92.524 65.733 48.838 38.185 31.467 27.231 24.560 22.875 20.287 20.029 20.0030.060 247.941 194.721 130.732 89.834 64.036 47.769 37.510 31.042 26.963 24.391 22.769 20.276 20.028 20.0030.065 244.930 184.295 123.750 85.425 61.256 46.015 36.405 30.345 26.523 24.113 22.594 20.259 20.026 20.0030.070 238.576 169.871 114.214 79.405 57.460 43.621 34.895 29.393 25.923 23.735 22.355 20.235 20.023 20.0020.075 226.562 151.664 102.356 71.922 52.741 40.646 33.019 28.210 25.177 23.264 22.058 20.205 20.020 20.0020.080 206.142 130.006 88.468 63.161 47.216 37.162 30.822 26.824 24.303 22.714 21.711 20.171 20.017 20.0020.085 174.931 105.356 72.889 53.336 41.021 33.255 28.359 25.271 23.324 22.096 21.322 20.132 20.013 20.0010.090 132.025 78.310 56.003 42.691 34.308 29.023 25.689 23.588 22.262 21.427 20.900 20.090 20.009 20.0010.095 78.981 49.587 38.227 31.487 27.243 24.568 22.880 21.816 21.145 20.722 20.455 20.045 20.005 20.0000.1 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

Tiempo (seg)Longitud (m)

Tabla 35 – Perfil de temperatura de la barra (Teórico)

transferencia de calor - estacionario - abaqus

Documents