aula 9 erro estacionario

AULA 09 - LTC36B

Controle 01

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Prof. Leandro Castilho Brolin

UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáCOELE – Coordenação de Engenharia Eletrônica

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RESUMO

(1) Introdução(2) Modo de classificação dos sistemas de controle(3) Erros Estacionários(4) Erro – Sistemas com distúrbio(5) Erro – Sistemas com realimentação não unitária

INTRODUÇÃO

● O erro estacionário pode ser definido como a diferença entre o sinal de entrada e o de saída quando o tempo tende ao infinito;

INTRODUÇÃO

● Será analisado o erro estacionário para sistemas com realimentação unitária;

● Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos fatores:

– Alterações na entrada de referência;

– Imperfeições nos componentes do sistema, como atrito estático, folga e mau funcionamento de amplificadores;

– Desgaste ou deterioração do sistema.

● Na verdade, vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado pela incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de sinais de entrada;

● Qualquer sistema de controle físico apresenta, inerentemente, erros estacionários na resposta a certos tipos de entradas;

● Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário não-nulo a uma entrada rampa.

CLASSIFICAÇÃO

● Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau, em rampa, em parábola, etc.

● Considere o sistema com realimentação unitária, com a seguinte função de transferência de malha aberta G(s):

CLASSIFICAÇÃO

● A função de transferência da equação contém o termo no denominador;

● A classificação do sistema em malha fechada será realizada com base no número de integrações indicadas pela função de transferência de malha aberta;

● Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2,· · · ,se N= 0, N=1, N= 2, · · · , respectivamente;

● Note que a classificação é diferente da que ser refere à ordem do sistema;

● Conforme N aumenta, a precisão aumenta, mas por outro lado agrava a estabilidade do sistema;

● É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e estabilidade.

ERRO ESTACIONÁRIO

Erro estacionário em termos de T(sErro estacionário em termos de T(s))

Considere o sistema abaixo

Então, temos:

mas,

logo,

ERRO ESTACIONÁRIO

Aplicando-se o teorema do valor final em E(s), tem-se:

Exemplo 1: Determinar o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado anteriormente se e se a entrada for um degrau unitário.

ERRO ESTACIONÁRIO

Erro estacionário em termos de G(sErro estacionário em termos de G(s))

Considere a função de transferência de um sistema com realimentação unitária abaixo:

A função de transferência entre o sinal de erro e(t) e o sinal de entrada r (t) é:

sendo o erro e(t) a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída.

O teorema do valor final oferece um modo conveniente de determinar o desempenho em regime permanente de um sistema estável. Assim, E(s) é:

ERRO ESTACIONÁRIO

O erro estacionário será:

● Deste modo, o erro depende do tipo de sinal de entrada aplicado no sistema;

● A seguir serão definidas algumas constantes de erro estático relacionado ao tipo de erro devido a um tipo de entrada;

● Quanto mais alta as constantes, menor o erro estacionário;

● As constantes de erro estáticos abordadas neste estudo serão: Kp constante de posição, Kv constante de velocidade e Ka constante de aceleração;

● As expressões deduzidas para o cálculo do erro estacionário podem ser aplicadas erroneamente aos sistemas instáveis. Assim, deve-se verificar a estabilidade do sistema.

ERRO ESTACIONÁRIO

Constante de Erro Estático de Posição Constante de Erro Estático de Posição KpKp..

O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau é:

A constante de erro estático de posição Kp é definida como:

Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro estático de posição Kp é dado como:

ERRO ESTACIONÁRIO

Para um sistema do tipo 0:

Para um sistema do tipo 1 ou maior:

CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:

Para um sistema do Tipo 0, a constante de erro estático de posição Kp é finita, enquanto para um sistema do Tipo 1 ou maior Kp é infinita, então:

, para sistema do tipo 0 e 0, para sistemas do tipo 1 ou maior.

ERRO ESTACIONÁRIO

Constante de Erro Estático de Velocidade Constante de Erro Estático de Velocidade KvKv..

O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em rampa é:

A constante de erro estático de velocidade Kv é definida como:

Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro estático de velocidade Kv é dado como:

ERRO ESTACIONÁRIO

O termo erro de velocidade é empregado aqui para expressar o erro estacionário para uma entrada em rampa. A dimensão do erro de velocidade é mesmo do erro do sistema. Então, o erro de velocidade não é um erro na velocidade, mas um erro devido a uma entrada em rampa (Exemplo dois carros em movimento com velocidades iguais mas deslocados um do outro).

Para um sistema do Tipo 0,

Para um sistema do tipo 1:

ERRO ESTACIONÁRIO

Para um sistema do tipo 2 ou maior:

Em resumo, o erro estacionário ess para uma entrada rampa unitária pode ser descrito da seguinte maneira:

Obs. O sistema tipo 0 é incapaz de seguir a entrada em regime estacionário.

ERRO ESTACIONÁRIO

Constante de Erro Estático de Aceleração Constante de Erro Estático de Aceleração KaKa..

O erro de estado estacionário para um sistema considerando uma entrada do tipo parábola, o qual é definido por:

É dado por:

A constante de erro estático de aceleração Ka é definida pela seguinte equação:

ERRO ESTACIONÁRIO

Então o erro de estado estacionário é dado por:

Os valores de Ka podem ser obtidos da seguinte maneira:

● Para um sistema do Tipo 0,:

● Para um sistema do Tipo 1,:

ERRO ESTACIONÁRIO

● Para um sistema do tipo 2:

● Para um sistema do Tipo 3 ou ordem maior:

Assim o erro em regime para uma entrada do tipo parábola pode ser resumido da seguinte forma:

ERRO ESTACIONÁRIO

ERRO ESTACIONÁRIO

Exemplo 2 Encontre os erros de estado estacionário para as seguintes entradas: 5u(t), 5tu(t) e 5t^2*u(t), aplicadas no sistema ilustrado abaixo:

ERRO – SISTEMAS COM DISTÚRBIO

Em geral utiliza-se sistema de controle com realimentação para atenuar o efeito do sinal de distúrbio na saída do sistema.

Para a figura acima, C(s) pode ser descrito como:

mas,


Substituindo-se C(s) na equação, obtemos a relação entre o sinal de erro e o sinal de entrada.

Assim podemos determinar o erro de estado estacionário da seguinte maneira:

Deste modo, denominando-se,


Analisando-se o erro devido ao sinal de distúrbio, podemos escrever,

neste contexto foi considerado uma entrada de distúrbio como uma entrada degrau, isto é, D(s) = 1/s.

Então, o erro estacionário pode ser reduzido pela diminuição da magnitude de G2(s) e pelo aumento da magnitude de G1(s). Uma sugestão é utilizar o seguinte sistema de controle.


Exemplo 3

Encontre o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado a seguir. Neste caso é considerado um sinal de distúrbio como um degrau:

ERRO – SISTEMAS COM REALIMENTAÇÃO NÃO UNITÁRIA

Em sistemas de controle podemos observar frequentemente realimentações que não são unitárias. Um diagrama de bloco de um sistema de controle generalizado é ilustrado a seguir.

Deslocando G1(s) para o lado direito do somatório, temos:


Na figura anterior podemos facilmente verificar que a realimentação não é unitária, pois existe um H(s) no ramo de retroação. O procedimento para reorganizar o diagrama de blocos objetivando-se que o sistema tenha realimentação unitária é descrito a seguir:

1) Soma-se e subtrai uma realimentação unitária no sistema conforme abaixo:


2) Simplifica-se H(s) com a realimentação negativa conforme descrito a seguir:

3) Simplifica-se H(s) − 1 com G(s) de acordo com a ilustração abaixo:


Exemplo 4

Considere o sistema ilustrado abaixo, determine o tipo do sistema, a constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro estacionário para uma entrada degrau unitário.

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