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Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace
Prof. Luis S. B. Marques
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica
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A frequência complexa
A variável complexa s é dada por:
A Parte real ou frequência neperiana fornece informação a respeito da taxa de crescimento ou decrecimento da amplitude da função exponencial:
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A frequência complexa
A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:
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A frequência complexa
A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:
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A frequência complexa
A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t
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A transformada de Laplace
A Transformada de Laplace é bastante utilizada para a análise de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições iniciais do sistema
A Transformada de Laplace de um sinal x(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência é definida por:
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A transformada de Laplace
Exercício: Para um sinal x(t) dado determine a sua transformada de laplace.
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A transformada de Laplace
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Propriedades da transformada de Laplace
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Exercício E4.1: Através da integração, determine a transformada de Laplace X(s) e a região de convergência para os sinais mostrados abaixo.
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A transformada Inversa de Laplace
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Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:
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Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:
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Solução de equação diferencial usando Laplace
Exercício: Resolva a equação diferencial abaixo:
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Solução de equação diferencial usando Laplace
Exercício E4.6 PÁGINA 337
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Resposta do Sistema
A transformada de Laplace fornece a resposta total, componente da resposta devido à entrada nula e componente da resposta devido estado nulo.
Por exemplo, a equação diferencial abaixo ao ser resolvida utilizando a transformada de Laplace possui ambos os termos na resposta. A componente de entrada nula corresponde às condições iniciais.
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Resposta do Sistema
termo devido as condições iniciais
termo devido À entrada
Resposta entrada nula Resposta de estado nulo
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Função de transferência
A função de transferência de um sistema é definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada
Diagrama de blocos
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Estabilidade
Considerando que P(s) e Q(s) não possuem fatores em comum implica em dizer que o denominador de H(s) é idêntico a Q(s). Assim sendo, pode-se determinar a estabilidade assintótica:
1.Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todos os polos da função de transferência H(s) estiverem no SPE. Os polos podem ser simples ou repetidos.
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Estabilidade
2. Um sistema LCIT é instável se e somente se uma das condições existirem: (i)ao menos um polo da função de H(s) estiver no SPD; (ii) existirem polos repetidos de H(s) no eixo imaginário.
3.Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem polos de H(s) no SPD e alguns polos não repetidos estiverem no eixo imaginário.
A localização dos zeros de H(s) não são importantes na determinação da estabilidade do sistema.
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Exercício: Determine a corrente i(t) no circuito abaixo, transformando o circuito para o domínio da frequência, se todas as condições iniciais forem nulas. Use Laplace e transformada inversa de Laplace.
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Sistema massa-molaadotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
2a lei de newton:
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Sistema massa-molaadotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
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Sistema massa-molaadotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
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Sistema massa-mola-amortecedoradotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
2a lei de newton:
CX(t)
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Sistema massa-mola-amortecedoradotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
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Sistema massa-mola-amortecedoradotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
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Geradores de condições iniciais
A corrente no capacitor é dada pela equação abaixo:
A transformada de Laplace desta equação é:
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Geradores de condições iniciais
A tensão no indutor é dada pela equação abaixo:
A transformada de Laplace desta equação é:
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Geradores de condições iniciais
A corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor antes da abertura da chave é igual a:
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Geradores de condições iniciais
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Diagrama de blocos
Diagrama de blocos de um Sistema simples com uma entrada e uma saída
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Diagrama de BlocosSistema composto de subsistemas conectados em série ou paralelo
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Sistemas com realimentação
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Sistemas com realimentação
A função de transferência em malha Fechada é modificada em relação à função de transferência em malha aberta. Diz-se, portanto, que tem-se agora os pólos em malha fechada.
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Sistemas com realimentação
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Sistemas com realimentaçãoConsidere o sistema abaixo. Os pólos de malha aberta são 0 e -20. Pode-se verificar que os pólos de malha fechada depende da constante Ka.
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Sistemas com realimentação
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Sistemas com realimentação
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Sistemas com realimentação
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Sistemas com realimentação
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Sistemas com realimentação
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Análise de sistemas de controle
A figura acima representa um sistema de controle automático de posição
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Análise de sistemas de controle
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Análise utilizando simulink
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Análise de sistemas de controle
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Análise de sistemas de controle
O Ganho do amplificador igual a 7 fornece uma resposta lenta, característica de um sistema superamortecido.
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Análise utilizando simulink
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Análise utilizando simulink
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Análise de sistemas de controle
O Ganho do amplificador igual a 16 fornece a resposta mais rápida sem oscilações, sistema com amortecimento crítico.
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Análise utilizando simulink
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Análise utilizando simulink
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Análise de sistemas de controle
O Ganho do amplificador igual a 80 fornece a resposta rápida e oscilatória, sistema subamortecimento.
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