anÁlise dinÂmica da marcha - instituto superior técnico...

Disciplina de BIOMECÂNICA DO MOVIMENTO Mestrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA

4º Ano, 1º Semestre 2007/08

ANÁLISE DINÂMICA DA MARCHA

Ana Calhau*, Ângela Pisco**, Liliana Valente*** e Nuno Santos****

* Nº54605 Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Instituto Superior Técnico – Departamento de Física e-mail:[email protected]

** Nº55748

Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Instituto Superior Técnico – Departamento de Física

e-mail:[email protected]

*** Nº56141 Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Instituto Superior Técnico – Departamento de Física e-mail:[email protected]

**** Nº55746

Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Instituto Superior Técnico – Departamento de Física

e-mail: [email protected]

Palavras-chave: Marcha, Análise Dinâmica, ODE 45, Método dos Multiplicadores de Lagrange, Método de Baumgarte Resumo Com este trabalho pretendeu-se estudar, através de análise dinâmica, a marcha.

Para tal, desenvolveu e implementou-se, em MATLAB, um modelo biomecânico do corpo

humano (2D) tendo-se especificado as características antropométricas mais relevantes para

a correcta modelação dos vários segmentos anatómicos. Para a determinação das forças e

momentos resolveram-se as equações algébrico-diferenciais do movimento, tendo-se

determinado o vector dos multiplicadores de Lagrange, do qual é possível extrair as forças

internas desenvolvidas nos segmentos anatómicos e as reacções nas articulações de

referência. Os vectores das posições e velocidades são determinados por integração

numérica, após resolvidas as equações do movimento. Para a estabilização da integração e

resolução das referidas equações foi implementado o método de Baumgarte.

Ana Calhau, Ângela Pisco, Liliana Valente e Nuno Santos

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1. INTRODUÇÃO

A dinâmica é a parte da mecânica que analisa os corpos em movimento, permitindo o estudo do movimento de um sistema, tendo em consideração as forças exteriores aplicadas sobre este e as suas características inerciais. A análise dinâmica pode ser directa ou inversa. Na análise directa, a partir de um conjunto de forças aplicadas sobre o sistema pretende-se conhecer o movimento biomecânico. Esta análise tem importantes aplicações práticas, por exemplo, na reconstrução de acidentes. Na análise inversa, o objectivo é determinar as forças que originaram um dado movimento.

Neste trabalho, pretende-se desenvolver um programa que faça a análise dinâmica directa da marcha, implementando-se para tal um modelo biomecânico 2D do corpo humano, tendo-se especificado as características antropométricas mais relevantes. Os segmentos anatómicos são considerados corpos rígidos, sendo a sua cinemática e dinâmica definidas utilizando uma formulação de corpos múltiplos com coordenadas naturais.

Para a determinação do movimento da marcha, nomeadamente a determinação das posições, velocidades, acelerações, forças e momentos dos vários segmentos e juntas, utilizar-se-á, em cada instante, um modelo dinâmico, que garanta a consistência cinemática e, simultaneamente, a dinâmica do modelo. Este modelo terá por base a aplicação das equações do movimento e posterior integração numérica das acelerações e velocidades, a cada instante de tempo. A integração numérica deste procedimento é realizada por uma função disponibilizada pelo software utilizado, a qual é baseada no método numérico de Runge-Kutta. Para garantir a estabilidade do resultado obtido, o procedimento a implementar é o método de Baumgarte.

Com o objectivo de estudar o movimento da marcha serão determinadas, em coordenadas globais, as posições, velocidades e acelerações, dos pontos constituintes do modelo construído considerados mais relevantes, nos vários instantes de tempo. Serão também determinadas as forças internas exercidas pelos diferentes tipos de constrangimentos, isto é, as forças necessárias à manutenção do comprimento dos vários segmentos ou as reacções sentidas em cada junta definida explicitamente (tendo em conta diferentes contribuições), e os momentos articulares das várias juntas que traduzem o binário de forças sentido em cada articulação, como consequência do movimento sentido.

Para este estudo foi necessário recorrer a dados laboratoriais para descrever o movimento pedido. A componente cinemática do estudo ficou garantida ao se considerarem os ângulos descritos pelas juntas, ou seja, colectaram-se os dados das posições de todos os pontos e determinaram-se os vários ângulos que os diferentes segmentos fazem entre si. De modo semelhante obtiveram-se as forças de reacção impostas na zona planar do pé de forma a garantir a consistência dinâmica do problema.


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2. CONCEITOS TEÓRICOS

2.1 Dinâmica

A dinâmica pode dividir-se, de acordo com [1], em dois grandes grupos, a cinemática e a cinética.

A Cinemática prende-se com o estudo da geometria do movimento. Permite relacionar deslocamento, velocidade, aceleração e tempo, sem qualquer referência ao movimento em causa.

A Cinética estuda a relação que existe entre as forças que actuam num determinado corpo, a sua massa, e o movimento consequente. A cinética pode ser utilizada, por um lado, para prever o movimento causado por um determinado conjunto de forças (directa) ou, por outro, para determinar as forças que produzem um dado movimento (inversa).

No caso particular da marcha, é a cinética que trabalha com as variáveis que são a causa deste movimento, observado ou medido por câmaras. Como tal, o que interessa analisar são as forças musculares individuais, os momentos gerados pelos músculos em torno de uma articulação e os modelos de potência mecânica. Para se interpretar o que acontece em cada fase do ciclo da marcha há que ter em conta as leis de Newton e as leis da conservação de energia.

Há ainda a salientar que na marcha são muitas as combinações de forças musculares que podem gerar um mesmo movimento. Existem igualmente várias combinações de momentos de forças que podem resultar num mesmo modelo. Tal princípio demonstra a enorme flexibilidade e adaptabilidade do sistema neuromuscular [2].

Relativamente a métodos cinéticos que permitem analisar a marcha, pode referir-se captadores fixos no pé, baropodómetros e plataformas de forças e pressão.

2.2 Grupos e Percentis

Dadas as grandes diferenças antropométricas existentes entre os indivíduos de uma dada população, é frequente agrupar essa população com base em características semelhantes (sexo, idade, raça, entre outras), dividindo assim os indivíduos por grupos.

Em cada grupo existem indivíduos que embora tenham características em comum, apresentam antropometrias diferentes. Desta forma, para um dado indicador antropométrico, é possível traçar a sua distribuição em frequência e determinar o valor para o qual existe uma maior incidência de indivíduos. Este valor é conhecido por percentil 50 e, geralmente, aproxima-se muito do valor médio do indicador em estudo. O percentil 50 indica que 50% da população desse grupo tem dimensões inferiores ou iguais às descritas por esse percentil.

Em muitos estudos, dado não existirem dados antropométricos específicos para todos os indivíduos, o que se faz é utilizar informação do percentil mais próximo. Esta informação é escalada, utilizando alguns indicadores de referência (peso, estatura), que aproximam da melhor forma a antropometria do indivíduo em estudo.

Esses factores de escala são [3]:


4

��

�� !� ��"��# �� $��

%

3. DESCRIÇÃO DA METODOLOGIA UTILIZADA

3.1 Obtenção de Dados Cinéticos

No laboratório de Biomecânica foram recolhidos dados cinéticos, nomeadamente forças de reacção no chão (Fz) e centros de pressão (pontos na plataforma onde se encontram as resultantes). Para a recolha laboratorial destes dados recorreu-se a uma plataforma de pressão, com 1m de comprimento (RSScan). A frequência de amostragem da plataforma é de 100Hz.

Durante o procedimento, pediu-se ao sujeito em análise que caminhasse e que o primeiro pé que este colocasse sobre a plataforma fosse o pé esquerdo. Desta forma, considera-se que a tarefa tem início quando o calcanhar esquerdo toca na plataforma de pressão (HCLF – heel contact left foot) e acaba quando o pé direito largar esta plataforma (TORF – toe off left foot). Consideraram-se ainda mais 10 imagens antes do início e depois do final da execução da tarefa.

Figura 1 Representação esquemática do procedimento feito na aula e do modo de funcionamento de uma

plataforma de pressão


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3.2 Princípio das Potências Virtuais

O princípio das potências virtuais estabelece que a potência virtual (P*) de um sistema (bio)mecânico definido por nc coordenadas naturais é nula. Desta forma, sendo &' ( o vector das velocidades virtuais compatível com a cinemática do sistema em análise, o princípio pode ser formulado da seguinte forma:

)( *�+,' +(-+./ 0 ,' (1� 2

(1)

onde F é o vector de todas as forças que produzem potência virtual. Este vector pode ser definido por: 3 456 7 8 (2)

em que g é o vector que contém todas as forças exteriores aplicadas ao sistema, incluindo as forças de inércia dependentes da velocidade (centrífuga e Coriolis), M é a matriz de massa global do sistema e 96 o vector de acelerações generalizadas. A primeira parcela desta diferença dá o vector das forças de inércia do sistema.

Quanto ao vector de velocidades virtuais, este tem que pertencer ao espaço nulo da matriz jacobiana. Desta forma, tem-se que: :;5' ( 2 (3)

Como o vector g não inclui forças de constrangimento interno, pois estas não produzem potência virtual, a equação (2) conduz a um conjunto de equações de equilibro na qual as forças de constrangimento interno não surgem. Estas forças, contudo, devem aparecer nas equações de equilíbrio.

Com o intuito de incluir também as forças internas nas equações do movimento utiliza-se o Método dos Multiplicadores de Lagrange para o qual

8� :;<= (4)

em que >? é o vector de forças internas do sistema, @9A é a matriz Jacobiana (cujas linhas traduzem a direcção das forças internas associadas à manutenção dos vários constrangimentos) e λλλλ é o vector dos multiplicadores de Lagrange que fornece a magnitude das forças internas.

Assim, para (1) tem-se que: B( 5'<C456 7 8 D :;<=E (5)

Desta forma, incluiu-se em (1) as forças internas em falta.


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3.3 Equações do Movimento

É sempre possível encontrar as m componentes de λ de modo a que a parcela entre parêntesis, em (5), seja zero. Fica-se, assim, com: 456 D :;<= 8 (6)

que constitui a equação do movimento do sistema multicorpo.

A equação (6) tem n equações e nc+nh incógnitas, dado que o vector 96 tem dimensão igual ao número de coordenadas, nc, e o vector λ tem dimensão igual ao número de constrangimentos, nh. Para existirem tantas equações quanto incógnitas são necessárias mais nh equações.

Para resolver este problema podem usar-se as equações das acelerações cinemáticas (obtidas derivando duas vezes em ordem ao tempo as posições): :F,6 7:' G 7:' F,' 0 H (7)

Esta expressão é a definição do vector γ. Matricialmente as equações (6) e (7) podem ser apresentadas na forma:

I J :F1:F 2 K L,6MN LOHN (8)

O sistema definido em (8) trata-se de um sistema com nc+nh equações e nc+nh incógnitas. A matriz é simétrica, geralmente definida não-positiva e muitas vezes esparsa.

O sistema de equações (8) pode ser usado para o cálculo simultâneo das acelerações (,6 ), e das magnitudes das forças internas (λ).

3.4 Determinação da Solução das Equações do Movimento em Dinâmica Directa

Para se determinar a resposta dinâmica do sistema de corpos múltiplos que resulta da aplicação de determinadas forças externas há que recorrer ao método de integração numérica.

De acordo com este método, partindo dos vectores de posição e velocidades iniciais, bem como da matriz de massa, é possível determinar o vector das acelerações correspondente e, a partir deste, bem como do das velocidades, é possível obter o vector das posições e velocidades no instante seguinte, sendo os seus valores introduzidos em (8).

Desta forma, fazendo várias iterações, é possível caracterizar o sistema quanto às posições, velocidades e acelerações para cada instante partindo das posições a velocidades calculados no instante anterior.

Através deste método, é ainda possível obter os multiplicadores de Lagrange para os vários instantes o que irá permitir o cálculo das forças internas e os momentos nas articulações.

Assim, o método de integração numérica pode ser esquematizado da seguinte forma:


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Figura 2 Representação esquemática do procedimento realizado pela função ODE45 O ODE 45, referido neste método, é uma forma de fazer integração numérica no Matlab.

Este método segue uma estratégia do tipo predictor-corrector, ou seja, é dada uma aproximação inicial (predição) e depois esta é corrigida, procurando detectar as zonas de maior violação dos constrangimentos.

3.5 Estabilização das Equações dos Constrangimentos - Método de Baumgarte

Através do método de estabilização de Baumgarte é possível evitarem-se os erros resultantes das derivações das equações dos constrangimentos, garantindo-se assim a convergência.

O sistema (8) usa as equações das acelerações da cinemática (7), obtidas pela segunda derivação das equações de constrangimento em ordem ao tempo, como referido anteriormente.

Considere-se a seguinte equação diferencial, a qual se pretende integrar em ordem ao tempo: :6 P,Q �R 0 :F,6 D :' F,' D :' G 2 (9)

Dado que esta equação (9) é instável e irá divergir no tempo, tem então que se estabilizar as equações.

Assim, recorrendo ao método de Baumgarte, o que se faz é substituir a equação diferencial dos constrangimentos (9) pelo seguinte sistema: :6 D ST:' D U#: 2 (10)

onde α e β são constantes apropriadamente escolhidas.

V� L,�,�' N W J :F1:F 2 X Y56=Z [8\] t0 '̂ Y,',6 Z t

V _ V' �`abcdbb

tal que: : :' :6 2�� e Estabilização de Baumgarte

Equações do Movimento

^GcdG Y,,' Z�Df�

t = t + ∆t

ODE 45

Integração Directa


8

A solução geral desta equação tem a seguinte forma: : �/�ghG D �#�giG (11)

onde a1 e a2 são vectores constantes que dependem das condições iniciais, e s1 e s2 são raízes dadas por: �/Q �# 7T j kl# 7 m# (12)

Se α e β forem constantes positivas, as duas raízes vão ter uma parte real negativa que garante a estabilidade da solução geral (11). A posição e velocidade iniciais do sistema multicorpo deverão garantir que os vectores a1 e a2 são zero.

Do desenvolvimento da equação (10) obtém-se n; " ,6 γ(, pelo que se tem: \( \ 7 STC:;5' 7 oE 7 U#: (13)

que traduz a estabilização de Baumgarte. As constantes α e β são geralmente iguais entre si e adoptam valores entre 1 e 20, podendo

haver excepções. Para corpos rígidos toma-se α=β. O valor das constantes não muda significativamente o comportamento do método.

A estabilização de Baumgarte é geralmente simples e numericamente eficiente.

3.6 Forças Inerciais e Matriz de Massa para Corpos Bidimensionais

Através do princípio das potências virtuais, sendo 9' ( o vector das velocidades virtuais, a potência virtual das forças inerciais pode ser escrita da seguinte forma: )( ,' (1pq (14)

onde QI são forças inerciais. No caso planar, o objectivo é estabelecer as forças inerciais como o produto de uma matriz

pelo vector da aceleração: )( 7,' (1J,6 (15)

onde M é a matriz de massa, a qual é quadrada, simétrica e definida positiva.


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Figura 3 Elemento planar, com sistema de coordenadas de inércia e locais

Considerando o elemento plano da Figura 3 e considerando também as coordenadas iniciais do sistema (x,y) e as coordenadas do sistema móvel (rQ ^), cuja origem está definida no ponto i e o eixo x move-se segundo j, a localização de um ponto genérico P será definido pelo vector posição r do sistema de inércia e pelo vector s do sistema móvel. Assim: t t� D ut (16)

onde A é a matriz de rotação. Dado que está em causa um corpo rígido, a posição do vector s�� constante enquanto o elemento se move. Sendo a posição de um elemento caracterizada pelos pontos i e j, o ponto P será definido

por: t t� D ut t� D v/Ctw 7 t�E D v#� (17)

onde c1 e c2 são componentes do vector � na base formada pelos vectores ortogonais (rj-ri) e n. O vector n tem a mesma direcção que o eixo ^ e o mesmo módulo que (rj-ri). Fica então da seguinte forma: x x� D v/Cxw 7 x�E 7 v#CVw 7 V�E (18) V V� D v/CVw 7 V�E 7 v#Cxw 7 x�E (19)

Estas equações podem ser postas em forma matricial:


10

t Lr̂N yz 7 �/ �#7�# z 7 �/��/ 7�#�# �/ {|r+^+r}^}~ 0 �F (20)

onde q é o vector das coordenadas naturais do elemento. A matriz C é constante para um dado ponto P, não muda com o movimento do sistema ou

com o tempo. Assim: t' �5' (21) t6 �56 (22)

Formulando agora, a potência virtual das forças de inércia geradas no elemento, chega-se ao integral: B( 7�� ' (1�6 (1�� (23)

onde ρ é a densidade de massa. Usando as equações (21) e (22) obtemos: B( 7�� ,(1�1�,�� B( 7,(1 �� 1�� , (24)

Comparando a equação (17) com a equação (24) pode estabelecer-se que: 4 �� 1�� (25)

Fazendo o produto CTC, (25) apresenta-se na forma:

J � �� Pz 7 �/R# D �## 2 Pz 7 �/R�/ 7 �## 7�#2 Pz 7 �/R# D �## �# Pz 7 �/R�/ 7 �##Pz 7 �/R�/ 7 �## �# �/# D �## 27�# Pz 7 �/R�/ 7 �## 2 �/# D �## �

�� (26)

Esta equação envolve os seguintes integrais: � � �� / � �� /�� 1�� / �� 1�� /1 /�i y �� { (27)

onde m é a massa total do elemento, e ��, ��, �� são os momentos e produtos de inércia de x e V. A segunda equação é o 1º momento de área e a terceira equação é o momento de inércia.

Substituindo estas na equação (26) obtém-se a expressão final para a matriz de massa M:


11

4 ��7 #�� D q��i 2 �� D q��i 7��2 � 7 #�� D q��i �� D q��i�� D q��i �� q��i 2

7�� D q��i 2 q��i ��

(28)

onde Ii é o momento polar de inércia do ponto i. Esta matriz é geral para elementos planos, desde que estes sejam constituídos por pelo

menos 2 pontos. A matriz de massa é sempre constante ao longo do programa.

3.7 Aplicação de Forças Exteriores nos Pés

No modelo em estudo, os pés são alvo de forças de reacção que correspondem à oposição da força que o modelo executa durante a marcha, contra o solo. Estas forças de reacção foram consideradas nas equações do movimento (8) e por isso torna-se necessário referir a forma como contribuem para essa.

Como ilustrado na Figura 4, a posição da força FR, reacção do chão à força que o pé exerce no solo, não coincide com nenhum dos pontos que o modelo define (i, j ou k). Para além da transformação de coordenadas locais para globais, inerente ao próprio método, considera-se, portanto, uma matriz A de transformação de coordenadas, que fará a passagem das componentes da força do ponto PA para o elemento pé {i, j, k}.

Figura 4 Descrição dos vários pontos e

respectivos vectores de posição no pé

Sejam rA e ri os vectores posição dos pontos A e i, riA é a diferença entre esses pontos. Sabem-se os valores numéricos de rA, posição segundo o eixo dos xx, FR, segundo o eixo dos yy e ri, posição do ponto i dado pelo vector de coordenadas globais q.

Com o objectivo de determinar a contribuição da força FR para o vector das forças exteriores globais, utilizou-se o princípio dos trabalhos virtuais de força, através do uso da matriz c:

ri

y

x

riA

PA rA

i

k

j η

ξ

FR


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8� v< " � , em que v �z 7 v/ v# v/ 7v#7v# z 7 v/ v# v/ � (29)

As variáveis c1 e c2 são determinados da mesma forma que para o cálculo da matriz de massa:

v Lv/v#N ��/" t�� y��w 22 �w�{�/ " t�� (30)

O cálculo do vector posição em coordenadas locais, � iA, requer outra transformação de coordenadas, através da matriz A, pois:

t� t� D u" t�� t�� u�/" Ct� 7 t�E (31)

Considerando as matrizes X e ¡, como sendo a matriz presente na equação (34) e a mesma mas segundo coordenadas locais, tem-se que:

� u" � ��u �"��/ (32)

A matriz ¡ é dada na equação (34) enquanto que, facilmente se consegue X através de:

� ¢t�w £ t¤�w¥ �xw 7 x� 7CVw 7 V�EVw 7 V� xw 7 x� � (33)

em que os vectores rij e seu perpendicular, �¦ ij, são determinados pela diferença das posições, retiradas do vector de coordenadas globais q.

Concluindo, a aplicação das forças de reacção no pé fica determinada pela expressão:

8� v< " � , em que Lv/v#N ��/" ��" ��/��/ " Ct� 7 t�E (34)

4. DESCRIÇÃO DO MODELO UTILIZADO

Neste trabalho, o modelo utilizado é um sistema de corpos múltiplos, bidimensional e determinístico (o resultado é obtido após se estimarem e medirem alguns parâmetros antropométricos, dados do exterior envolvente e da resolução das equações do movimento), sendo o mesmo que o utilizado na análise cinemática.


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Figura 5 Representação do modelo utilizado, estando evidentes os segmentos (Li) tidos em conta

Os segmentos anatómicos são considerados rígidos, sendo a sua cinemática e dinâmica

definidas utilizando uma formulação de corpos múltiplos com coordenadas naturais. As articulações do modelo são modeladas com juntas mecânicas de geometria ideal e com amplitudes de movimento controladas.

O modelo biomecânico é fundamental sendo responsável por fornecer informação sobre a cinemática do sistema, nomeadamente, define segmentos anatómicos, corpos rígidos, articulações e graus de liberdade, define a topologia do sistema biomecânico e os comprimentos segmentares. Esta informação é toda ela necessária, servindo para a construção da matriz jacobiana.

Este modelo é também responsável por fornecer toda a informação sobre as características de massa e inércia, isto é, define a massa e inércia dos segmentos anatómicos, a localização de cada um destes segmentos e permite o cálculo dos factores de escala para uma maior biofidelidade antropométrica. Esta informação é também ela extremamente relevante pois permite a construção da matriz de massa. 4.3 Características Antropométricas e Matriz de Massa

Os dados obtidos em laboratório foram medidos a partir de um modelo humano, do sexo feminino, com 57Kg. Tendo em conta as designações atribuídas aos diferentes Li na Figura 5 tem-se para este modelo:

y

x

Lado esquerdo

Lado direito

L

L11

L15

L12 L1

L14

LL

LL

L1

L4

L

L

L10

L


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Tabela 1 Comprimentos dos diversos segmentos anatómicos

i Li (m) 1 0,080 2 0,210 3 0,140 4 0,378 5 0,400 6 0,413 7 0,375 8 0,155 9 0,210 10 0,085 11 0,235 12 0,275 13 0,275 14 0,230 15 0,330 16 0,435

Para a definição da matriz M e do vector de forças g torna-se necessário conhecer os dados

antropométricos bem como a massa, a inércia e a localização do centro de massa de cada um dos segmentos do modelo. Para a determinação destes últimos dados recorreu-se à tabela colocada em anexo (anexo 1). Nesta, o cálculo da massa de cada segmento anatómico é determinada em relação ao peso total do indivíduo e a localização do centro de massa bem como do raio de giração de cada segmento é determinada relativamente a um referencial local do segmento com origem na junta proximal.

Após obtidos os valores de massa e raio de giração torna-se possível calcular o momento de inércia I:

§ ¨ t©# (35) Desta forma, os valores obtidos para a massa, localização do centro de massa, raio de

giração e inércia foram os seguintes:


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Tabela 2 Valores obtidos para a massa, localização do centro de massa, raio de giração e momento de

inércia para o modelo estudado

Há, contudo, a salientar que é necessário conhecer o momento de inércia não apenas no seu

centro de massa mas também na origem do referencial local associado a cada segmento. Para tal, recorre-se ao Teorema dos Eixos Paralelos:

Ilocal = ICM + m.d2 (36)

sendo m a massa do segmento e d a distância entre o centro de massa e a origem do referencial local para um dado segmento.

5. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

A concretização deste trabalho, tal como nos trabalhos anteriores, foi realizada em software MatLab e vem no seguimento de uma linha de estudo tendo sido reutilizados alguns dados, assim como parte da implementação aí desenvolvida.

As funções criadas nos trabalhos anteriores e que foram novamente utilizadas são: avalia_funcao (tendo em conta a matriz dados_const, atribui constrangimento respectivo), avaliaprodutointerno (avalia o constrangimento ou guiamento de produto interno), avaliaprodutoexterno (avalia o constrangimento ou guiamento de produto externo), avaliaconstrangimentosimples (avalia o constrangimento simples), filtragem (filtra os valores das coordenadas dos vários pontos), give_value_teta (calcula e devolve os ângulos entre os diversos elementos), mmspder (função auxiliar do spline_edit), ordenaqtotal (ordena as coordenadas dos vários pontos vindos do ficheiro para as coordenadas dos pontos segundo a ordem pela qual os pontos foram modelados), spline_edit (devolve o valor dos ângulos e suas primeiras e segundas derivadas, por interpolação polinomial). O ficheiro .m que implementa o procedimento global deste método, principal_d, segue uma estrutura

Massa do

Segmento (kg) Centro de Massa

(m) Raio de Giração

(m) Momento de Inércia

(kg.m2.s-1) Pé esquerdo 0,8265 0,0700 0,0665 0,0037

Perna esquerda 2,6505 0,1637 0,1996 0,1056 Coxa esquerda 5,7000 0,1732 0,2160 0,2659 Coxa direita 5,7000 0,1788 0,2230 0,2835 Perna direita 2,6505 0,1624 0,1980 0,1039 Pé direito 0,8265 0,0775 0,0736 0,0045

Antebraço esquerdo 1,2540 0,1603 0,1943 0,0474 Braço esquerdo 1,5960 0,1199 0,1491 0,0355 Braço direito 1,5960 0,1199 0,1491 0,0355

Antebraço direito 1,2540 0,1569 0,1902 0,0454 Cabeça+Pescoço 4,6170 0,3300 0,3683 0,6262

Tronco 28,3290 0,2175 0,0000 0,0000


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diferente dos correspondentes nos trabalhos anteriores. Inicialmente optou-se por determinar todas as variáveis que não variam durante a execução do método, ou que são necessárias para este poder começar. A função obter_coord devolve os instantes temporais utilizados no ciclo do método (instante inicial e final e o passo a que é feita a iterada do ciclo do tempo), as coordenadas dos pontos no instante inicial, os tempos considerados para a interpolação (spline) dos ângulos e correspondentes valores, assim como os da primeira e segunda derivadas. O movimento da marcha, para que acompanhasse as forças obtidas pela plataforma de pressões (referentes ao apoio unilateral esquerda e direita seguinte), foi iniciado na frame correspondente ao instante em que o modelo coloca pela primeira vez o pé esquerdo na placa (contacto do calcanhar no chão). Devido a ausência de dados no vector da força, no final desta foram retiradas algumas frames. Estas correspondem ao início do segundo ciclo da marcha, altura em que o pé esquerdo contacta de novo o chão. A razão desta alteração passa por não haver valores disponíveis das forças de reacção no pé esquerdo, aquando da sua segunda passada.

Em seguida, através da função iniciar_variaveis, criou-se a matriz dados_const, idêntica aos trabalhos anteriores, e calcularam-se os comprimentos dos vários segmentos do modelo humano. Como dados iniciais novos, e recorrendo à função iniciar_variaveis_new criou-se uma célula cria_corpo_rigido, que possui toda a informação necessária referente aos vários segmentos anatómicos, e matriz de massa global, construída a partir de valores presentes na célula anterior. Explicitamente, cada linha da célula cria_corpo_rigido refere um segmento, tendo algumas variáveis importantes: massa e matriz de inércia, número dos pontos que constituem os elementos e suas coordenadas locais, posição do centro de massa de cada elemento e velocidades iniciais dos vários pontos.

Inicializaram-se os vectores das velocidades e acelerações a zero. A partir do ficheiro Forcas.xls, com as forças obtidas da plataforma de pressões, obtiveram-se os vectores de força para cada instante e para os dois pés. De salientar que, uma vez que a plataforma de pressão possuía uma frequência de amostragem (100Hz) duas vezes superior à frequência das câmaras que captaram os pontos para a cinemática (50Hz), eliminaram-se os instantes temporais em posições pares desses vectores.

A análise temporal do método inicia-se do mesmo modo que no trabalho anterior, à excepção de que o ciclo começa no instante de tempo inicial mais o passo, isto porque as variáveis que são modificadas no ciclo foram previamente inicializadas.

O processo actualiza os ângulos e respectivas derivadas para as que devem nesse instante ser usadas, como no trabalho anterior, actualizando também as posições e as forças que são impostas nos pés do modelo. Deste modo já é possível determinar as posições, velocidades e acelerações, dos vários pontos, a partir da função ode45.

Esta função tem como objectivo calcular as posições e as velocidades através de integração, resolvendo também as equações do movimento com o auxílio do procedimento resolve_equacao_mov. Nesta função, são inicializados os vectores de constrangimentos, os vectores do lado direito das equações dos constrangimentos de velocidade e de aceleração, a matriz jacobiana dos constrangimentos, e ainda os parâmetros α e β. De forma a obter a matriz e os vectores anteriores, chama-se o procedimento avalia_funcao, tal como nos trabalhos anteriores. Antes de se avaliar e resolver o sistema de equações lineares, são criados


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os vectores de força, através do procedimento aplicar_forca, e o γ proveniente da equação de Baumgarte. É importante salientar que não houve necessidade de se recorrer à função pinv disponível pelo software, uma vez que a simples divisão à direita (\) funcionou sem qualquer problema, tornando portanto, o método visivelmente mais rápido.

Ao nível da interface com o utilizador, o projecto inicia-se com um menu interactivo. Para abrir o menu interactivo basta fazer duplo clique sobre o ficheiro dinamenu.fig na current

directory. Este menu disponibiliza sete opções. Iniciar Aplicação, corre a função principal_d, carregando o workspace com todas as variáveis necessárias.

Ao nível da análise são possíveis três tipos, Cinemática, Dinâmica ou uma Comparação entre as duas.

Se se pretender uma análise cinemática, a opção Movimento chama a função video, a qual mostra o deslocamento do modelo, bem como a variação do ponto de aplicação da força nos pés. Por outro lado, Análise Cinemática chama a função obter_gráficos, a qual devolve a variação das posições, velocidades e acelerações, em função do tempo, para a anca, joelho e tornozelo.

Na parte de dinâmica, Reacções nas articulações corre a função obtergraficosforcas, que mostra os gráficos referentes às reacções nas juntas explícitas do modelo – anca, joelho e tornozelo. Momentos Articulares corre a função obtergraficosmmtos, que devolve os momentos articulares para os mesmos pontos que a função anterior.

Comparação dinâmica vs cinemática sobrepõe os resultados obtidos pelo anterior trabalho de cinemática com os obtidos neste trabalho, para as posições, velocidades e acelerações.

Por último, a opção Sair fecha o menu, tendo uma opção que é a visualização das referências.

6. DISCUSSÃO

Neste trabalho deu-se, em termos de resultados, particular relevância ao estudo dos momentos nas articulações e das reacções aí existentes. Foram considerados, como pontos de eleição para a análise, a anca, joelho e tornozelo.

Os momentos existentes nas articulações referem-se aos binários de forças aí aplicadas que tornam possível o movimento.

De acordo com Winter [2], o comportamento previsto para a variação do momento ao longo de uma passada varia de acordo com a

Figura 6.


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Figura 6 Variação do momento (N.m/kg) em função da percentagem de cadência da marcha para a anca1

Olhando agora para os resultados obtidos pelo programa, com o intuito de estabelecer

comparações, é possível constatar que os valores para o momento não são idênticos devido ao facto de na Figura 7 estes não estarem normalizados por massa. No entanto, dado que a massa acima da anca corresponde a 38,646 kg, verifica-se que os resultados vão de encontro ao previsto.

1 Figura extraída de [2]


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Figura 7 Variação do momento (N.m) em função do tempo de marcha (s) para a anca

Os momentos obtidos para as ancas direita e esquerda correspondem ao movimento relativo, respectivamente, das pernas direita e esquerda face ao tronco. Estes são por isso comparáveis ao resultado obtido para a anca por Winter. Dado não estar explicitamente indicado em [2] qual a perna considerada, por semelhança, a anca que apresenta resultados mais concordantes é a direita. A ordem de grandeza não está concordante com a indicada na Figura 6, tendo em conta a massa dos segmentos da Tabela 2.

Analisando os dados dos joelhos, verifica-se que nem o comportamento observado, nem as

ordens de grandeza são semelhantes ao descrito. Em parte pode dever-se a ter sido realizado um único ensaio. Por outro lado, o facto de a pessoa estar nervosa pode também ter condicionado a forma como o movimento foi realizado, o que teve implicações na variação do momento ao longo da passada. É também citada na literatura [2] uma maior dificuldade na repetibilidade dos resultados para a anca e para o joelho comparativamente ao tornozelo. Há a referir que a variação de momento entre os dois joelhos está desfasada, o que vai de encontro ao previsto, já que descrevem movimentos opostos.


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Figura 8 Variação do momento (N.m) em função do tempo de marcha (s) para o joelho

Relativamente ao tornozelo, e assumindo a mesma hipótese que no caso da anca, os

resultados obtidos apresentam uma semelhança perfeita com os da literatura. Se se normalizar o valor numérico dos momentos com a massa total do corpo, obtém-se um factor de escala idêntico ao da literatura, já que o valor máximo obtido ronda os 80N.m, o que dividindo pela massa dá aproximadamente 1.4 N.m/kg.


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Figura 9 Variação do momento (N.m) em função do tempo de marcha (s) para os tornozelos

Este ponto é o melhor indicador, de acordo com Winter [2], pelo que bons resultados neste ponto sugerem que o programa está com um comportamento aceitável.

Para as reacções, os resultados obtidos encontram-se de seguida apresentados e discutidos. Na anca, as reacções a obter devem respeitar a condição de que, atendendo a que se está

numa análise de corpos múltiplos, a soma da reacção da anca direita com a da anca esquerda deve ser tal que equilibre o peso suportado por esses pontos.


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Figura 10 Variação do força (N) em função do tempo de marcha (s) para a anca

Tal como se pode concluir da análise da Figura 10, o pressuposto é verificado, estando as reacções nas duas ancas em oposição de fase. As fases do ciclo da marcha são facilmente reconhecidas, correspondendo as zonas de maior intensidade aos apoios unilaterais.

No seguimento do que foi descrito para a anca, os resultados obtidos para os joelhos estão

perfeitamente coerentes, seguindo a linha de raciocínio atrás considerada.


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Figura 11 Variação do força (N) em função do tempo de marcha (s) para os joelhos

Analisando agora os tornozelos, os resultados estão perfeitamente coerentes com os anteriores, pelo que se consideram bastante satisfatórios.


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Figura 12 Variação do força (N) em função do tempo de marcha (s) para os tornozelos

Figura 13 Força de reacção do chão, normalizada por peso dos elementos, em função da percentagem de


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cadência da marcha2

Os dados disponíveis na literatura apenas permitem estabelecer paralelismos para as forças nos calcanhares.

Por observação das Figuras 10, 11 e 12 é possível constatar que as reacções nos três pontos em estudo, para o lado esquerdo, estão plenamente concordantes com a obtida por Winter para a reacção vertical no chão (vide Figura 13). Mais uma vez se chama à atenção para o facto de as escalas verticais não serem idênticas. As forças obtidas têm como que duas bossas, não tão bem definidas como as da literatura, nas quais a primeira está relacionada com a aceitação do peso e a segunda é devido ao impulsionamento da perna direita, demonstrando que o centro de massa do corpo está a ser acelerado, de forma a aumentar a sua velocidade [2].

De salientar que foi considerada a norma dos valores dos λ, pelo que não se tem informação descriminada da componente x e y das reacções, mas apenas do seu módulo. Como pode ser visto no Anexo 5, sobreposeram-se num mesmo gráfico as reacções no tornozelo, joelho e anca, tendo-se obtido o resultado esperado, já que a força deverá ser maior no tornozelo do que na anca, uma vez que o peso aí concentrado é também maior.

Foi ainda feita uma análise cinemática dos resultados (posições, velocidades e acelerações), que não irá ser discutida, mas cujos gráficos representativos se encontram em anexo. A razão da omissão deste ponto de discussão prende-se com a redundância que tal acarretaria face aos trabalhos anteriores.

Numa perspectiva de integração de resultados entre as análises cinemática (trabalho anterior) e dinâmica (presente trabalho), foram representadas em simultâneo as posições e velocidades obtidas com os dois tipos de análises. Os gráficos ilustrativos encontram-se em anexo. É notório o facto de tanto as posições como as velocidades terem uma evolução semelhante, tanto em comportamento, como valor numérico.

7. CONCLUSÃO

A introdução das forças no estudo do movimento permitiu caracterizar diferentes aspectos inerentes a este, com destaque para os momentos e reacções articulares.

Os resultados obtidos foram satisfatórios, apesar de deverem ser tidos em consideração alguns pontos. Por análise dos dados conclui-se que estes apresentam uma base line ligeiramente desviada de zero, o que impede os pontos conectados com o pé direito do modelo de serem exactamente zero, levando a pequenas flutuações, patentes contudo numa análise atenta do movimento.

Por outro lado, o facto de não ser possível determinar com uma precisão absoluta a entrada do pé na plataforma de pressões, ao nível dos instantes temporais, conduz à introdução de pequenos erros no ponto de aplicação considerado para a força de reacção da placa, o que, embora não de forma bastante significativa, condiciona os resultados desta análise.

A ordem de grandeza das forças, na casa das centenas de Newtons, está concordante com o 2 Imagem retirada de [2]


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esperado, na medida em que estas devem ser da ordem da força prevista por uma formulação simples da segunda equação de Newton, onde a força é proporcional à gravidade, sendo a constante de proporcionalidade a massa.

Um dos aspectos que se verificou ter bastante importância na consistência dos resultados foi o método de estabilização de Baumgarte considerado. A variação dos parâmetros deste tem especial impacto nas acelerações dos diferentes troços do modelo. Apesar de não se indicarem os resultados intermédios, foi estudada a influência dos parâmetros α e β para combinações destes entre 1 e 50, tendo-se concluído que um valor de 30 para ambos fornece bons resultados para o movimento.

Neste trabalho optou-se por restringir o movimento analisado a um único ciclo de marcha. A frequência de corte utilizada para filtrar as posições foi de 3Hz.

Os valores das forças não foram filtrados, uma vez que foram analisados previamente de forma qualitativa, tendo sido considerado que não apresentavam ruído. Dado que a frequência de amostragem na placa é de 100Hz e a dos dados cinemáticos 50Hz, apenas foram contabilizadas as forças de duas em duas aquisições, para que no final os resultados tivessem coerentes. A forma como estas foram aplicadas fugiu, em parte, ao procedimento canónico. Dado que os resultados disponibilizados continham, associado a cada instante de tempo, a posição no referencial da plataforma e o valor da força, começou por se assumir que o primeiro contacto, para ambos os pés, do pé com a placa era exactamente no calcanhar. Atribui-se portanto o valor 0 à contribuição desse ponto para o ponto de aplicação da força, em relação ao calcanhar. As seguintes contribuições foram calculadas por diferença face à primeira. O resto do procedimento foi feito de forma igual à das forças gravíticas. Com o objectivo de validar o modelo, implementou-se também a maneira canónica. No entanto, para efeitos de resultados utilizou-se apenas a primeira, pois os resultados obtidos foram melhores do que com a outra forma.

Ao nível de perspectivas futuras, seria interessante uma comparação inter-grupos, a qual permitiria concluir sobre as ordens de grandeza típica dos diversos momentos e reacções, bem como da sua evolução ao longo do tempo.

Um estudo sistemático de optimização tanto da frequência de corte, como dos parâmetros do método de Baumgarte revestir-se-ia também do maior interesse, adaptando o modelo à realidade em estudo.

Para aproximar os resultados cinemáticos dos dinâmicos, dever-se-iam ter recolhido dez frames antes do início da entrada na plataforma e dez frames após a saída, de forma a dar uma intuição do contexto cinemático às splines, cortanto, no passo seguinte, os instantes que não são relevantes. Assim, a descrepância inicial que se verifica seria atenuada e como é nesta zona que os resultados são mais díspares, no global estes ficariam mais semelhantes.

Sumarizando, foi um projecto interessante na medida em que tornou mais concretas certas noções, como por exemplo a relação que existe entre as forças calculadas nos exercícios puramente académicos e as que existem naturalmente no corpo humano. A associação das grandezas estudas em Newtons às mesmas grandezas nos sistemas vivos ficou muito mais concreta agora que se sabe que, por exemplo, os momentos nas articulações, tipicamente, são da ordem das dezenas de Newton.

A implementação deste código não foi complicada, pois teve como pilar fundamental o


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código de cinemática anteriormente desenvolvido.

REFERÊNCIAS

[1] Beer, F., Johnston, E. Mecância Vectorial para Engenheiros – Dinâmica, sexta edição, Mc Graw Hill, 1997

[2] Winter, David A., The Biomechanics and Motor Control of Human Gait: Normal, Elderly and Pathological,2nd Edition, University of Waterloo Press, 1991.

[3] M. Silva, Apontamentos da disciplina de Biomecânica do Movimento, dem, ist, 2004

[4] Abdel-Aziz & Karara, Direct Linear Transformation [DLT] Method, 1971. Link associado: www.biomech.hacettepe.edu.tr/kaynak/dlt_how_to.pdf, 2007

[5] Jalon, J. Numerical Analysis of Multibody System 2004. Link associado: http://mat21.etsii.upm.es/mbS/


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ANEXOS

ANEXO 1 Dados antropométricos3

3 Tabela retirada de [5]


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ANEXO 2 Menu interactivo que permite inicializar a aplicação e escolher o que se pretende visualizar


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ANEXO 3 Posições, velocidades e acelerações obtidas com este programa


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ANEXO 4 Comparação entre as posições e as velocidades obtidas pela cinemática e pela dinâmica


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ANEXO 5

anÁlise dinÂmica da marcha - instituto superior técnico...

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