Anlise Combinatria.

Anlise combinatria um estudo realizado na matemtica e na lgica, responsvel pela anlise das possibilidades e das combinaes. Observe alguns exemplos de exerccios que so resolvidos utilizando anlise combinatria. Se quiser saber quantos nmeros de quatro algarismos so formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, preciso aplicar as propriedades da anlise combinatria. Um homem possui cinco camisas, quatro calas, trs palets e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes pode se vestir? Para saber essas combinaes necessrio utilizar as propriedades da anlise combinatria.

Anlise Combinatria.

Para efetuar os clculos desses problemas devemos estudar algumas propriedades da anlise combinatria: - Princpio fundamental da contagem - Fatorial - Arranjos simples - Permutao simples - Combinao - Permutao com elementos repetidos

FatorialConsiderando n um nmero natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse nmero n (n!) o nmero: n! = n(n 1)(n 2)(n 3) * ...* 3 * 2 * 1 L-se n! como n fatorial ou fatorial de n. Veja alguns exemplos: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800

Princpio Fundamental da ContagemQuando um evento composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa m e as possibilidades da segunda etapa n, consideramos ento que o nmero total de possibilidades de o evento ocorrer dado pelo produto m*n. Exemplo 1 Ao lanarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades: Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades) Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Princpio Fundamental da Contagem Exemplo 2 Quantos nmeros de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos? Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 nmeros de 3 algarismos. Trs algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 nmeros de 3 algarismos distintos.

Arranjo simples A anlise combinatria estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinaes. Sendo que diferem em arranjos simples, combinaes simples. Arranjos so agrupamentos que a ordem dos seus elementos faz a diferena, por exemplo, os nmeros de trs algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} so: 312, 321, 132, 123, 213, 231 Esse agrupamento um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E considerado simples, pois os elementos no se repetem.

Arranjo simples Para que tenhamos arranjos simples preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados iro possuir n elementos, sendo que essa quantidade ser igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto. Veja o exemplo abaixo: Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.

Nesse exemplo percebemos que possvel formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (trs elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princpio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos: A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6 Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo: Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles so diferentes pela ordem dos seus elementos. Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles so diferentes pela natureza de seus elementos, pois so diferentes.

Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um nmero natural menor ou igual a n , p ser a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p A frmula geral utilizada no clculo da quantidade de arranjos simples :

Exemplo 2: Quantas palavras (com sentido ou no) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto? No necessrio montar todas os arranjos possveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a frmula A n , p = n! (n p)! Sendo que o conjunto formado por 20 elementos (n = 20) que sero unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a frmula. Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 1.860.480.

Combinao simplesNa combinao simples, a ordem dos elementos no agrupamento no interfere. So arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos ser uma combinao, dada pela seguinte expresso:Cn , p !

Combinao simples Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que sero tomados dois a dois:

Combinao simples Na mega-sena existem 50.063.860 combinaes, caso sejam tomadas seis a seis. Em um curso de lngua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de trs alunos para realizar um intercmbio em outro pas. Quantas possveis equipes podem ser formadas? Resoluo: O nmero de possveis grupos que pode ser dado pela expresso: C30,3 30! 30.29.28.27! 30.29.28 ! ! ! ! 4060 3!30 3 ! 3!.27! 3.2.1

Permutao simplesPodemos considerar a permutao simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formaro agrupamentos que se diferenciaro somente pela ordem. As permutaes simples dos elementos P, Q e R so: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o nmero de agrupamentos de uma permutao simples utilizamos a seguinte expresso P = n!. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1 Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

Exemplo 1 Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? Resoluo: Podemos variar as letras de lugar e formar vrios anagramas, formulando um caso de permutao simples. P = 4! = 24

Exemplo 2 De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produo de um lbum de fotografias promocionais? Resoluo: Note que o princpio a ser utilizado na organizao das modelos ser o da permutao simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciaro somente pela ordem dos elementos. P = n! P = 5! P = 5*4*3*2*1 P = 120 Portanto, o nmero de posies possveis 120.

Exemplo 3 De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres: a) em qualquer ordem. Resoluo: Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos 12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher Resoluo Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: Seis homens aleatoriamente na primeira posio. Seis mulheres aleatoriamente na ltima posio.

P = (6*6) * 10! P = 36*10! P = 130.636.800 possibilidades

Permutao com elementos repetidos Permutao de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutao, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo: A permutao da palavra MATEMTICA ficaria da seguinte forma: Sem levar em considerao as letras (elementos) repetidas, a permutao ficaria assim: P10 = 10! = 3.628.800 Agora, como a palavra MATEMTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutao entre si dessas repeties seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutao da palavra MATEMTICA ser:

Portanto, com a palavra MATEMTICA podemos montar 151200 anagramas. Seguindo esse raciocnio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutao com elementos repetidos calculada utilizando a seguinte frmula: Dada a permutao de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n1 vezes, n2 vezes e nn vezes. Ento, a permutao calculada:

Exemplo 1: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutao teremos:

Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas. Exemplo 2: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutao teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas. Exemplo 3: Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que dever comear com a letra B? B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 1 P2,37

1 . P2,37 = 7! = 420 2! . 3! Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.

Arranjos e Combinaes Simples Arranjos Simples (BE) Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p n) so os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados. Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim: An,p = n(n 1)(n 2) * ...*(n p + 1) ou Exemplos: A8,4 (onde n = 8 e p = 4)

Combinaes Simples Combinaes simples de n elementos tomados p a p (p n) so os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados. Indica-se por Cn,p , Cnp o nmero total de combinaes de n elementos tomados p a p e calcula-se por C n,p = (Observao: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos no importa.) Exemplos: C6,2 (onde n = 6 e p = 2)

AnagramasAs permutaes so agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso diferem entre si somente pela ordem dos mesmos. Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutaes simples de seus elementos so: 234, 243, 324, 342, 423 e 432. Indicamos o nmero de Permutaes simples de n elementos distintos por Pn = n! Exemplo 1 Quais os anagramas da palavra AMOR? Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutao dessas letras, de modo a formar ou no palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posio, 3 possibilidades para a segunda posio, 2 possibilidades para a 3 posio e 1 possibilidade para a quarta posio. Pelo princpio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Exemplo 2 Formar os anagramas a partir da palavra PATO Pelo Princpio Fundamental da Contagem podemos dizer que possvel formar 24 sequncias. P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP Exemplo 3 Carlos e Rose tm trs filhos: Srgio, Adriano e Fabola. Eles querem tirar uma foto de recordao na qual todos apaream lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas? A forma como iro se distribuir corresponde a uma permutao entre eles, ento: P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.