sucesiones imp

Sucesiones de numeros reales

Cesar Asensio, Luis M. Esteban y Antonio R. Laliena

Dpto. Matematica Aplicada

E.U.P.L.A.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 1 / 24

Indice

1 Definicion y primeras propiedades

2 Convergencia

3 Calculo de lımites

4 Tecnicas de eliminacion de indeterminaciones

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 2 / 24

Definicion

El concepto de funcion

Dados dos conjuntos A y B, se define

Funcion de A en B

Ley de emparejamiento de los elementos de A con elementos de B, quecumpla que todo elemento de A esta emparejado con un solo elementode B.

f : A → Bx 7→ f(x)

Notas:

1 El conjunto A se denomina dominio de la funcion f y el Bcodominio.

2 Dado a ∈ A, su pareja f(a) se denomina imagen de a por f .

3 El conjunto de todas las imagenes (que es un subconjunto de B) sedenomina imagen, rango o recorrido de f y se representa por f(A).

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 3 / 24

Definicion

Definicion de sucesion

Llamamos sucesion de numeros reales a una funcion

f : N → Rx 7→ xn

donde xn se denomina termino general de la sucesion. Suelerepresentarse por {xn} o {xn}∞n=1 o por su termino general xn.

Ejemplo: xn = 1n

xn : 1 7→ 12 7→ 1/2. . .n 7→ 1/n. . .

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 4 / 24

Definicion

Sucesion acotada, monotona

Decimos de una sucesion {xn} es acotada si |xn| ≤ k para algun k ∈ R.

Decimos que una sucesion {xn} es monotona

Creciente: n < m⇒ xn < xm.

Decreciente: n < m⇒ xn > xm.

No decreciente: n < m⇒ xn ≤ xm.

No creciente: n < m⇒ xn ≥ xm.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 5 / 24

Definicion

Sucesiones en wxMaxima

Para introducir una sucesion en wxMaxima utilizamos el operador deasignacion :=, por ejemplo

declare(n,integer);

a[n]:=1/n;

Con la primera orden le indicamos al programa que la variable n esentera (en nuestro caso sera entera positiva). Con la segunda orden leindicamos que tenemos una funcion con una variable entera, es deciruna sucesion. Maxima considera los terminos de la sucesion comoelementos de una lista, de ahı que la variable la ponga entre corchetes

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 6 / 24

Definicion

Representacion grafica de sucesiones

Dada una sucesion {xn}, si en el plano R2 representamos los puntos(n, xn) obtenemos la grafica de la sucesion. Por ejemplo, los diezprimeros terminos de xn = 1/n quedan

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

x n=

1/n

n

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 7 / 24

Definicion

Graficas de sucesiones en wxMaxima

Las ordenes utilizadas en wxMaxima para la grafica anterior son

declare(n,integer);

a[n]:=1/n;

xx:makelist(i,i,1,10);

yy:a[xx];

plot2d([discrete,xx,yy],[style,[points,1]],

[x,-1,11],[y,-1,2],

[xlabel,‘‘n’’], [ylabel,‘‘x n=1/n’’],

[plot format, gnuplot])$

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 8 / 24

Convergencia

Sucesion convergente

Definicion

Decimos que una sucesion xn es convergente, o que converge a uncierto numero l ∈ R si basta tomar n suficientemente grande para tenerlos terminos de la sucesion (a partir de ese n) tan cerca de l como sequiera.

Cuando una sucesion es convergente a l decimos que tiene lımite l y lodenotamos

lımn→∞

xn = l, o xnn→∞−→ l

PROPIEDADES:

1 Unicidad.

2 Existencia de lımite =⇒ acotacion.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 9 / 24

Convergencia

Sucesion divergente y oscilante

Definicion

Decimos que una sucesion xn es divergente a ∞ si basta tomar nsuficientemente grande para tener los terminos de la sucesion (a partirde ese n) tan grandes como se quiera. Analogamente, decimos que unasucesion xn es divergente a −∞ si basta tomar n suficientementegrande para tener los terminos de la sucesion (a partir de ese n) tanpequenos como se quiera.

Cuando una sucesion es divergente a ±∞ decimos que tiene lımite ±∞y lo denotamos

lımn→∞

xn = ±∞, o xnn→∞−→ ±∞

Decimos que una sucesion xn es oscilante si no es convergente nidivergente. En este caso se dice que no tiene lımite.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 10 / 24

Convergencia

Monotonıa, acotacion y convergencia

Teorema

Toda sucesion monotona y acotada es convergente.

Teorema

Toda sucesion monotona y no acotada es divergente.

Teorema

Si xnn→∞−→ 0 e yn es acotada entonces xn yn

n→∞−→ 0

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 11 / 24

Calculo de lımites

Aritmetica de lımites

Consideremos dos sucesiones an y bn.

Teorema

Si existen lımn→∞ an = l ∈ R y lımn→∞ bn = m ∈ R, entonces“existen y valen”

1 lımn→∞

(an + bn

)= l +m, salvo el caso ∞−∞,

2 lımn→∞

(anbn

)= lm, salvo el caso 0∞,

3 lımn→∞

(an/bn

)= l/m, salvo los casos ∞/∞ y 0/0, (bn 6= 0),

4 lımn→∞

(abnn

)= lm, salvo los casos 1∞, 00 y ∞0, (an > 0).

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 12 / 24

Calculo de lımites

Aritmetica de lımites (2)

Observaciones:

1 Indeterminaciones: ∞−∞, 0∞, ∞/∞, 0/0, 1∞, 00 y ∞0.

2 Lo que el anterior Teorema dice es que, a efectos practicos, loslımites se pueden calcular sustituyendo n por ∞ en la expresion dela que hay que calcular el lımite. Aparecen operaciones queinvolucran infinitos,...

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 13 / 24

Calculo de lımites

Aritmetica de infinito

SUMA

+ −∞ a ∞−∞ −∞ −∞ ?

b −∞ a+ b ∞∞ ? ∞ ∞

Ejemplo:lımn→∞

(n+ 3

)=∞+ 3 =∞.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 14 / 24

Calculo de lımites

Aritmetica de infinito (2)

PRODUCTO a, b > 0

* −∞ −a 0 a ∞−∞ ∞ ∞ ? −∞ −∞−b ∞ ab 0 −ab −∞0 ? 0 0 0 ?

b −∞ −ab 0 ab ∞∞ −∞ −∞ ? ∞ ∞

Ejemplo:

lımn→∞

(n2 − 3n

)= lım

n→∞(n− 3)n =∞ · ∞ =∞

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 15 / 24

Calculo de lımites

Aritmetica de infinito (3)

COCIENTE x/y. a, b > 0

y \ x −∞ −a 0 a ∞−∞ ? 0 0 0 ?

−b ∞ a/b 0 −a/b −∞0 * * ? * *

b −∞ −a/b 0 a/b ∞∞ ? 0 0 0 ?

Ejemplo:

lımn→∞

n2 − 3n

2n+ 1= lım

n→∞

n2−3nn

2n+1n

= lımn→∞

n− 3

2 + 1/n=∞− 3

2 + 0=∞

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 16 / 24

Calculo de lımites

Aritmetica de infinito (4)POTENCIA xy. a, b > 0

y \ x 0 0 < a < 1 1 a > 1 ∞−∞ ∞ ∞ ? 0 0

−b ∞ a−b 1 a−b 0

0 ? 1 1 1 ?

b 0 ab 1 ab ∞∞ 0 0 ? ∞ ∞

Ejemplo:lımn→∞

(n+ 1

2

)n=∞∞ =∞.

Nota: Para calcular estos lımites puede ser util la identidad

ab = eb ln a

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 17 / 24

Calculo de lımites

Calculo de lımites con wxMaxima

wxMaxima permite calcular lımites con la orden (accesible desde lapestana Analisis) limit.

Por ejemplo,

declare(n,integer);

limit((n+1/2)^(n), n, inf);

calcula el lımite del ultimo ejemplo.

Ejercicio: Calcular con wxMaxima los lımites

lımn→∞

(n+ 3

), lım

n→∞

(n2 − 3n

), lım

n→∞

n2 − 3n

2n+ 1, lım

n→∞sinnπ

Ejercicio: Limpiar la memoria de wxMaxima y calcular

lımn→∞

sinnπ

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 18 / 24

Criterios

Teoremas calculo lımites

Regla de Sandwich

Sean {xn}, {yn} y {zn} tres sucesiones de numeros reales tales que

xn ≤ zn ≤ yn ∀n ≤ n0

para algun n0 ∈ N. Si

lımn→∞

xn = lımn→∞

yn = λ ∈ R

Entonces,lımn→∞

zn = λ

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 19 / 24

Criterios

Teoremas calculo lımites (2)

Criterio de Stolz

Sean dos sucesiones de numeros reales {xn} e {yn} tales que verificanlas dos condiciones

1 {yn} es monotona (en sentido estricto).

2 lımn→∞ xn = 0 = lımn→∞ yn o lımn→∞ yn = ±∞.

Entonces, si lımn→∞xn+1−xn

yn+1−yn = λ ∈ R se cumple

lımn→∞

xnyn

= λ

Ejercicio:

lımn→∞

1 + 2√

2 + 3√

3 + · · ·+ n√n

n2

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 20 / 24

Criterios

Sucesiones equivalentes

an ∼ bnanbn

n→∞−→ 1

Por ejemplo,√n2 + 1 ∼ n ya que

lımn→∞

√n2 + 1

n= lım

n→∞

√n2 + 1

n2

= lımn→∞

√1 +

1

n2= 1

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 21 / 24

Criterios

Utilidad de las equivalencias

Principio de sustitucion

Si an ∼ bn entonces

lımn→∞

anϕn = lımn→∞

bnϕn,

lımn→∞

ϕn

an= lım

n→∞

ϕn

bn,

siempre que los lımites de la derecha existan.

En lenguaje menos tecnico, en un lımite se puede sustituir una expresionpor otra equivalente si la parte sustituida multiplica (divide) a todo elresto del lımite, es decir a la parte no sustituida.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 22 / 24

Criterios

Ejemplo de utilizacion de equivalencias

Se sabe que sin an ∼ an si an → 0 para n→∞ y ası podemos sustituir

lımn→∞

(an + 1) sin an√an + 1− 1

= lımn→∞

(an + 1) an√an + 1− 1

,

por aplicacion del Principio de sustitucion.

En el lımite

lımn→∞

an + sin an√an + 1− 1

no se puede sustituir sin an por an invocando el Principio de sustitucion.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 23 / 24

Criterios

Unas cuantas equivalencias

unn→∞−→ 1

lnun ∼ un − 1

ann→∞−→ 0

ln(1 + an) ∼ an,

kan − 1 ∼ an ln k, (kan ∼ an ln k + 1),

sin an ∼ tan an ∼ an ∼ arcsin an ∼ arctan an ∼ an,

1− cos an ∼ a2n/2, (cos an ∼ 1− a2n/2)

Equivalencia de Stirling

n! ∼ nne−n√

2πn

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 24 / 24