números complejos · 2019-06-21 · reales e i2 = -1 3 + 2i , 9i ... conjunto de los números...
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Los números complejos
Terminología Definición Ejemplos
Número complejo a + bi , donde a y b
son números reales
e i2 = -1
3, 2 + i , -5i
Número imaginario a + bi , donde b≠0, a
y b son números
reales e i2 = -1
3 + 2i , 9i
Número imaginario
puro
bi , donde b≠0 -4i , 3𝑖, −𝑖
Para un número complejo a + bi , llamamos a la parte real y b
la parte imaginaria.
La unidad Imaginaria
• La unidad imaginaria, denotada i , tiene las
propiedades:
i = −1, esto es,
i2 = -1 .
• i NO es un número real. Es una nueva entidad
matemática que nos permite definir el
conjunto de los números complejos.
Conjugados• Si z = a + bi es un número complejo, entonces
su conjugado, denotado, , es a – bi .
• Sigue que el conjugado de a – bi es
a + bi
Ejemplo: Hallar el conjugado del número complejo:−6 + 10𝑖
2
•−6 +10𝑖
2= −3 + 5𝑖
• Su conjugado es : −3 − 5𝑖
División de NumerosComplejos
• La división de números complejos implica
utilizar la multiplicación por el conjugado del
denominador para eliminar la parte
imaginaria del denominador.
Soluciones complejas
• Si r es un número real positivo, entonces la
ecuación x2 = r tiene dos soluciones en los
números complejos, , donde 𝑥 =
𝑟 se llama la raiz principal.
• Hallar las soluciones de:
𝑥 = ± 𝑟𝑖
𝑥2 + 24 = 0𝑥2 = −24
𝑥 = ± −24
𝑥 = ± 24 𝑖
𝑥 = ± 4 ∙ 6 𝑖
𝑥 = ±2 6 𝑖
𝑥 = 2 6 𝑖 y 𝑥 = −2 6 𝑖
Soluciones complejas (cont.)Ejemplo: Resuelva la ecuación x2 – 2x =-26.Nota que: x2 – 2x + 26 = 0 Como no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática.
Para las soluciones son
En este caso, a = 1, b = -2 y c = 26. Entonces,
b b acx
a
2 4
2
ax bx c 2 0
x
22 2 4 1 26
2 1
(Ecuación cuadrática)
x
22 2 4 1 26
2 1
x
2 4 4 1 26
2
x
2 4 104
2
2 100
2
i2 100
2
i2 10
2i 1 5
El conjunto solución de la ecuación es {1+5i, 1-5i}.
Soluciones complejas de polinomios
• Halle el conjunto solución de la ecuación
Es una ecuación polinomial de grado mayor que 2 que factoriza.
Igualando cada factor a cero tenemos,
3 23 4 0x x x
2 3 4 0x x x
0x 2 3 4 0x xUsaremos la fórmula cuadrática con este factor para hallar los demás ceros.
Cont. ejemplo
Use la fórmula cuadrática para determinar las soluciones imaginarias:
Por lo tanto, el conjunto solución es .
2 3 4 0x x
b b acx
a
2 4
2
Ejemplo
Halle el conjunto solución de la ecuación
Es una ecuación polinómica de grado 3 que factoriza por agrupamiento.
Ahora resolvemos la siguientes ecuaciones:
2x – 3 = 0 4x2 + 1 = 0
La segunda tiene soluciones imaginarias.
3 28 12 2 3 0x x x
22 3 4 1 0x x
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