lfya-01 preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. abdielc@acm.org

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Lenguajes Formales y Automatas

Abdiel E. Caceres GonzalezUniversidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB (www.ujat.mx)

abdielc@acm.org

-2012-

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Logica elemental

Preeliminares Matematicos -1-

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Logica elemental

En la logica, una proposicion es una frase de la cual se puede determinar si esverdaderea o falsa. Las frases “2+1 es 5”, “3 >

√8” y “17 es un numero

primo” son proposiciones, mientras que “ven a mi fiesta” y “¿que es unnumero primo?” no son proposiciones.

>(= (+ 2 1) 5)

>(es-numero-primo? 17)

En Racket podemos definir proposiciones. Definimos p como una proposicioncon valor de verdad #t (verdadero) y q como una proposicion con valor deverdad #f (falso).

1 (define p #t)

2 (define q #f)

3 (define r #f)

Escribir notas sobre datos primitivos en Racket

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DefinicionDos porposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad.

>(equal? p q)

>(equal? p r)

Escribir notas sobre procedimientos primitivos en Racket

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1 (define (proposiciones-equivalentes? a b)

2 (equal? a b))

>(proposiciones-equivalentes? p q)

>(proposiciones-equivalentes? p r)

Escribir notas sobre definicion de procedimientos en Racket

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Logica elemental

DefinicionSi p es una proposicion, su negacion es una nueva proposicion denotada por¬p que tiene el valor de verdad Falso si p es verdadero, y tiene el valorVerdadero si p es Falso.

1 (define (NEG a)

2 (if a #f #t))

>(NEG #t)

>(NEG #f)

Escribir notas sobre condicional if en Racket

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Dado que el valor de una proposicion ¬p depende de la proposicion p,podemos utilizar una tabla llamada tabla de verdad para visualizar lasdependencias

p ¬pT FF V

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DefinitionSi p y q son proposiciones, entonces la conjuncion de las proposiciones p y q,denotada por p ∧ q es una nueva proposicion que es verdadera unicamentecuando p y q son verdaderas y la conjuncion es falsa cuando al menos unaproposicion ya sea p o q o ambas es falsa.

Utilizar la tabla de verdad para disenar la definicion en Racket

>(Y #t #t)

>(Y #t #f)

>(Y #f #t)

>(Y #f #f)

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DefinitionSi p y q son proposiciones, entonces la disyuncion de las proposiciones p y q,denotada por p ∨ q es una nueva proposicion que es verdadera cuando algunade las proposiciones p o q o ambas son verdaderas y la conjuncion es falsacuando ambas proposiciones son falsas.

Utilizar la tabla de verdad para disenar la definicion en Racket

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DefinicionSi p y q son dos proposiciones, la condicional denotada por p → q es unanueva proposicion con tabla de verdad

p q p → qT T TT F FF T TF F T

1 (define (-> a b)

2 (if a b #t))

>(-> #t #t)

>(-> #t #f)

>(-> #f #t)

>(-> #f #f)

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DefinicionSi p y q son dos proposiciones, la bicondicional denotada por p ↔ q es unanueva proposicion con tabla de verdad

p q p ↔ qT T TT F FF T FF F T

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La recıproca de la condicional p → q es la proposicion q → p.

La contrapuesta de p → q es (¬q)→ (¬p).

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TeoremaSean p y q dos proposiciones para las que p ↔ q es siempre verdadera.Entonces p y q son equivalentes. Por otro lado, si p y q son equivalentes,entonces la bicondicional p ↔ q es siempre verdadera.

Escribir las tablas de verdad

Una proposicion es una tautologıa si es siempre verdadera. Una contradicciones una proposicion que siempre es falsa. Probar ¬a ∧ b → (¬a) ∨ (¬b) y su negacion

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Definicion (Funcion proposicional)Una funcion proposicional es una porposicion que tiene al menos un sımbolocon valor variable.

Por ejemplo, la frase “x2 + 2x − 15 = 0” tiene el smbolo variable x , ydependiendo del valor asignado a x , el valor de verdad de la frase sera falso overdadero.

La coleccion de objetos que pueden ser sustituidos por una variable en unafuncion proposicional se llama conjunto de significados de esa variable.Llamaremos conjunto de verdad de la funcion porposicional, al conjunto deobjetos que pertenecen al conjunto de significados para los cuales la funcionproposicional se convierte en una funcion verdadera al sustituir la variable porellos. C.significados=Z; C.verdad={3}

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Si P es una funcion proposicional que tiene a la variable x , lo escribimos comoP(x), pero ademas, se debe agregar el conjunto de verdad de la variable xjunto con algun sımbolo que permita determinar las condiciones necesariaspara obtener tales valores de verdad, estos sımbolos son los cuantificadores.Hay cuantificadores universales y cuantificadores existenciales.

Un cuantificador universal asociado a una variable x y su conjunto de verdadC se escribe ∀x : C . Ahora, junto con la funcion proposicional:

∀x ∈ C , P(x).

Esto significa que para todos los valores del conjunto de verdad C , sisustituimos el valor de x por cada uno de ellos, la funcion proposicional Ptendra un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definicion racket con la notacion matematica

1 (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8))

> (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8))

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Un cuantificador existencial asociado a una variable x y su conjunto de verdadC se escribe ∃x : C . Ahora, junto con la funcion proposicional:

∃x ∈ C , P(x).

Esto significa que en todos los valores del conjunto de verdad C , existe almenos un valor de modo que si sustituimos ese valor en x , la funcionproposicional P tendra un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definicion racket con la

notacion matematica

1 (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5))

> (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5))

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Teorıa de conjuntos

Un conjunto es una coleccion de objetos llamados elementos del conjunto.

Definicion (Conjunto vacıo)Si un conjunto A no tiene elementos, decimos que el conjunto A esta vacıo, ylo escribimos como ∅

1 (define V ’())

> (empty? V)

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Listas como conjuntos

Definicion (Lista)un objeto L es una lista en cualquiera de los siguientes casos:

1. Si L = ∅, entonces L una lista.

2. Si L 6= ∅, entonces L debe poder dividirse en dos partes:2.1 Car(L) que debe ser el primer elemento de L.2.2 Cdr(L) que contiene al resto de los elementos de L sin considerar el primero, y

debe ser una lista.

En Racket podemos manejar conjuntos con listas, considerando que el ordenen que aparecen los elementos no importa y que los elementos no deben serrepetidos.

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Si A es un conjunto y a es un elemento de A, lo escribimos como a ∈ A (a esun elemento del conjunto A). Si por el contrario, el elemento a noperteneciera al conjunto A, lo indicaremos por a 6∈ A.

1 (define (PERTENECE? a A)

2 (cond ((empty? A) #f)

3 ((equal? a (car A)) #t)

4 (else (PERTENECE? a (cdr A)))))

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Ejemplo. Metodo de substitucion. Probar con (PERTENECE? 4 ’(2 6 8 3 4 1))

1 (define (PERTENECE? a A)

2 (cond ((empty? A) #f)

3 ((equal? a (car A)) #t)

4 (else (PERTENECE? a (cdr A)))))

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Definicion (Cardinalidad)La cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que contiene. Si Aes un conjunto, la cardinalidad del conjunto A se denota por |A|.Notemos que:

I |A| = 0 si A = ∅I |A| = 1 + |A′| si A′ = Cdr(A)

Hacer un diagrama de Venn

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Definicion (Subconjunto)Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A es un subconjunto de B y lodenotamos por A ⊆ B cuando todos los elementos del conjunto A tambien sonelementos del conjunto B.

Notemos que pueden haber elementos del conjunto B que no sean elementosdel conjunto A.Hacer un diagrama de Venn

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1 (define (SUBCONJUNTO? A B)

2 (cond ((empty? A) #t) ; el conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto3 ((PERTENECE? (car A) B) (SUBCONJUNTO? (cdr A) B))

4 (else #f)))

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Definicion (Conjuntos iguales)Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A y B son iguales y lo denotamoscomo A = B, si A ⊆ B y B ⊆ A.

Se deja el programa en Racket como ejercicio.

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Definicion (Conjunto potencia)Sea A un conjunto. El conjunto potencia de A se denota como P(A) y es elconjunto de todos los subconjuntos de A.

Por ejemplo, si A = {1, 2, 3},2A = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Describir el algoritmo

A P(A)

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1 ; crea una lista de parejas con el elemento a en cada una de ellas y cada elemento de B2 ; en la segunda entrada3 (define (enlista a B)

4 (cond ((empty? B) ’())

5 ((list? (car B)) (cons (append (list a) (car B)) (enlista a (cdr B))))

6 (#t (cons (list a (car B)) (enlista a (cdr B))))))

8 ; producto cartesiano de 2 conjuntos9 (define (PC A B)

10 (apply append (map (lambda (a) (enlista a B)) A)))

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Operaciones con conjuntos

Definicion (Union)Sean A y B dos conjuntos. La union de los conjuntos A y B se denota porA ∪ B y es el conjunto {x ∈ A ∨ x ∈ B}

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Definicion (Union extendida)Sean A1, . . . ,An n conjuntos. La union de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai es

n⋃i=1

Ai = A1 ∪ · · · ∪ An

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Definicion (Interseccion)Sean A y B dos conjuntos. La interseccion de los conjuntos A y B se denotapor A ∩ B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x ∈ B}

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Definicion (Interseccion extendida)Sean A1, . . . ,An n conjuntos. La interseccion de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai

esn⋂

Ai = A1 ∩ · · · ∩ An

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Definicion (Diferencia)Sean A y B dos conjuntos. La diferencia del conjunto A respecto del conjuntoB se denota por A/B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x 6∈ B}

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Una relacion del conjunto A con el coonjunto B es un subconjunto de A× B.Por tanto, si R ⊆ A× B y (a, b) ∈ R con a ∈ A y b ∈ B, se dice que elelemento a esta relacionado con el elemento b bajo la relacion R.Mostrar ejemplo con A = {2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9} y R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)}

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Una relacion R definida como subconjunto de A×B define dos conjuntos muyimportantes.

Definicion (Dominio)El dominio de una relacion R definida como subconjunto de A× B se denotapor Dom(R) y es el conjunto

{a ∈ A|∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R}

Mostrar el dominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el dominio de una relacion

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Una relacion R definida como subconjunto de A×B define dos conjuntos muyimportantes.

Definicion (Imagen)La imagen de una relacion R definida como subconjunto de A× B se denotapor Im(R) y es el conjunto

{b ∈ B|∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R}

La imagen de la relacion tambien se conoce como codominio.

Mostrar el codominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el codominio de una relacion

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Una relacion R definida como subconjunto de A× B para dos conjuntos A yB se denota como

R : A→ B

Donde A es el dominio de la relacion.

Si Im(R) = B, entonces la relacion es sobreyectiva.

Si cada elemento del Dom(R) esta relacionado con exactamente un elementode la Im(R), entonces la relacon es Inyectiva o 1-1.

Si la relacion es sobreyectiva e inyectiva, entonces la relacion es biyectiva.escribir definiciones en Racket Determinar si una relacion tiene estas propiedades

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Definicion (Funcion)Una relacion R : A→ B es una funcion si cada elemento del dominio tienerelacion con exactamente un elemento del codominio. Esto es(a, b1) ∈ R ∧ (a, b2) ∈ R → b1 = b2

Definition (Imagen)Sea F : A→ B una funcion de A en B. Un elemento b ∈ Cod(R) es laimagen de a ∈ Dom(F ) si (a, b) ∈ F . La imagen de a bajo la funcion F sedenota F (a).

La imagen de A′ ⊂ A bajo la funcion F se denotaF (A′) = {b ∈ Cod(F )|(a, b) ∈ R ∧ a ∈ A′}

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Definicion (Composicion)Sean F : A→ B y G : B → C dos funciones. Llamamos la composicion de lasfunciones F con G y lo denotamos por F ◦ G o simplemente FG a una nuevafuncion FG : A→ C definida como

(a, c) ∈ FG → ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ F , (b, c) ∈ G

Notemos que FG no es una operacion, sino un identificador de una nuevafuncion.

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En general, utilizamos esta tecnica para demostrar que las afirmaciones secumplen para un cierto conjunto de numeros naturales, cuando la verificaciondirecta es imposible de realizar.

No podemor simplemente verificar que la afirmacion se cumple solo para uncierto numero de ejemplos, porque precisamente los ejemplos no son unaprueba.

Consideremos la siguiente afirmacion:

n2 ≤ 5n!; n ≥ 3

Como claramente es imposible verificar esta afirmacion para todos los numerosnaturales mayores que 2 (n ≥ 3), entonces utilizamos la induccion matematicaque consiste de verificar 3 pasos:

1. El paso base: Comprobar que la sentencia es verdadera para el numeromas pequeno en el conjunto especificado en la sentencia original.

2. La hipotesis inductiva: Suponer que la sentencia es verdadera para eln-esimo numero del conjunto.

3. El paso deductivo: Utilizar la hipotesis inductiva para probar que eln + 1-esimo numero tambien cumple la propiedad.

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EjemploPruebe por induccion que la suma de los primeros n numeros naturales esexactamente k(k + 1)/2.

1. El paso base

1 =1(1 + 1)

2⇒ 1 = 1

2. La hipotesis inductiva:

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

3. El paso deductivo:

n(n + 1)

2+ (n + 1) =

(n + 1)((n + 1) + 1)

(n + 1)(n + 2)

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