lfya-01 preeliminares matemáticos

41
TMC2012 -abc. [email protected] Preeliminares matem´ aticos L´ogicaelemental Relaciones y funciones Inducci´onmatem´ atica Lenguajes Formales y Aut´ omatas Abdiel E. C´ aceres Gonz´ alez Universidad Ju´ arez Aut´onoma de Tabasco, DACB (www.ujat.mx) [email protected] -2012-

Upload: abdiel-e-caceres-gonzalez

Post on 10-Aug-2015

138 views

Category:

Education


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Lenguajes Formales y Automatas

Abdiel E. Caceres GonzalezUniversidad Juarez Autonoma de Tabasco, DACB (www.ujat.mx)

[email protected]

-2012-

Page 2: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Preeliminares Matematicos -1-

Page 3: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

En la logica, una proposicion es una frase de la cual se puede determinar si esverdaderea o falsa. Las frases “2+1 es 5”, “3 >

√8” y “17 es un numero

primo” son proposiciones, mientras que “ven a mi fiesta” y “¿que es unnumero primo?” no son proposiciones.

>(= (+ 2 1) 5)

#f

>(es-numero-primo? 17)

#t

En Racket podemos definir proposiciones. Definimos p como una proposicioncon valor de verdad #t (verdadero) y q como una proposicion con valor deverdad #f (falso).

1 (define p #t)

2 (define q #f)

3 (define r #f)

Escribir notas sobre datos primitivos en Racket

Page 4: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

DefinicionDos porposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad.

>(equal? p q)

#f

>(equal? p r)

#t

Escribir notas sobre procedimientos primitivos en Racket

Page 5: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

1 (define (proposiciones-equivalentes? a b)

2 (equal? a b))

>(proposiciones-equivalentes? p q)

#f

>(proposiciones-equivalentes? p r)

#t

Escribir notas sobre definicion de procedimientos en Racket

Page 6: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

DefinicionSi p es una proposicion, su negacion es una nueva proposicion denotada por¬p que tiene el valor de verdad Falso si p es verdadero, y tiene el valorVerdadero si p es Falso.

1 (define (NEG a)

2 (if a #f #t))

>(NEG #t)

#f

>(NEG #f)

#t

Escribir notas sobre condicional if en Racket

Page 7: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Dado que el valor de una proposicion ¬p depende de la proposicion p,podemos utilizar una tabla llamada tabla de verdad para visualizar lasdependencias

p ¬pT FF V

Page 8: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

DefinitionSi p y q son proposiciones, entonces la conjuncion de las proposiciones p y q,denotada por p ∧ q es una nueva proposicion que es verdadera unicamentecuando p y q son verdaderas y la conjuncion es falsa cuando al menos unaproposicion ya sea p o q o ambas es falsa.

Utilizar la tabla de verdad para disenar la definicion en Racket

>(Y #t #t)

#t

>(Y #t #f)

#f

>(Y #f #t)

#f

>(Y #f #f)

#f

Page 9: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

DefinitionSi p y q son proposiciones, entonces la disyuncion de las proposiciones p y q,denotada por p ∨ q es una nueva proposicion que es verdadera cuando algunade las proposiciones p o q o ambas son verdaderas y la conjuncion es falsacuando ambas proposiciones son falsas.

Utilizar la tabla de verdad para disenar la definicion en Racket

Page 10: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

DefinicionSi p y q son dos proposiciones, la condicional denotada por p → q es unanueva proposicion con tabla de verdad

p q p → qT T TT F FF T TF F T

1 (define (-> a b)

2 (if a b #t))

>(-> #t #t)

#t

>(-> #t #f)

#f

>(-> #f #t)

#t

>(-> #f #f)

#t

Page 11: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

DefinicionSi p y q son dos proposiciones, la bicondicional denotada por p ↔ q es unanueva proposicion con tabla de verdad

p q p ↔ qT T TT F FF T FF F T

Page 12: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

La recıproca de la condicional p → q es la proposicion q → p.

La contrapuesta de p → q es (¬q)→ (¬p).

Page 13: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

TeoremaSean p y q dos proposiciones para las que p ↔ q es siempre verdadera.Entonces p y q son equivalentes. Por otro lado, si p y q son equivalentes,entonces la bicondicional p ↔ q es siempre verdadera.

Escribir las tablas de verdad

Una proposicion es una tautologıa si es siempre verdadera. Una contradicciones una proposicion que siempre es falsa. Probar ¬a ∧ b → (¬a) ∨ (¬b) y su negacion

Page 14: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Funcion proposicional)Una funcion proposicional es una porposicion que tiene al menos un sımbolocon valor variable.

Por ejemplo, la frase “x2 + 2x − 15 = 0” tiene el smbolo variable x , ydependiendo del valor asignado a x , el valor de verdad de la frase sera falso overdadero.

La coleccion de objetos que pueden ser sustituidos por una variable en unafuncion proposicional se llama conjunto de significados de esa variable.Llamaremos conjunto de verdad de la funcion porposicional, al conjunto deobjetos que pertenecen al conjunto de significados para los cuales la funcionproposicional se convierte en una funcion verdadera al sustituir la variable porellos. C.significados=Z; C.verdad={3}

Page 15: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Si P es una funcion proposicional que tiene a la variable x , lo escribimos comoP(x), pero ademas, se debe agregar el conjunto de verdad de la variable xjunto con algun sımbolo que permita determinar las condiciones necesariaspara obtener tales valores de verdad, estos sımbolos son los cuantificadores.Hay cuantificadores universales y cuantificadores existenciales.

Un cuantificador universal asociado a una variable x y su conjunto de verdadC se escribe ∀x : C . Ahora, junto con la funcion proposicional:

∀x ∈ C , P(x).

Esto significa que para todos los valores del conjunto de verdad C , sisustituimos el valor de x por cada uno de ellos, la funcion proposicional Ptendra un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definicion racket con la notacion matematica

1 (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8))

> (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8))

#t

>

Page 16: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Un cuantificador existencial asociado a una variable x y su conjunto de verdadC se escribe ∃x : C . Ahora, junto con la funcion proposicional:

∃x ∈ C , P(x).

Esto significa que en todos los valores del conjunto de verdad C , existe almenos un valor de modo que si sustituimos ese valor en x , la funcionproposicional P tendra un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definicion racket con la

notacion matematica

1 (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5))

> (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5))

#t

>

Page 17: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Teorıa de conjuntos

Un conjunto es una coleccion de objetos llamados elementos del conjunto.

Definicion (Conjunto vacıo)Si un conjunto A no tiene elementos, decimos que el conjunto A esta vacıo, ylo escribimos como ∅

1 (define V ’())

> V

’()

> (empty? V)

#t

Page 18: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Listas como conjuntos

Definicion (Lista)un objeto L es una lista en cualquiera de los siguientes casos:

1. Si L = ∅, entonces L una lista.

2. Si L 6= ∅, entonces L debe poder dividirse en dos partes:2.1 Car(L) que debe ser el primer elemento de L.2.2 Cdr(L) que contiene al resto de los elementos de L sin considerar el primero, y

debe ser una lista.

En Racket podemos manejar conjuntos con listas, considerando que el ordenen que aparecen los elementos no importa y que los elementos no deben serrepetidos.

Page 19: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Si A es un conjunto y a es un elemento de A, lo escribimos como a ∈ A (a esun elemento del conjunto A). Si por el contrario, el elemento a noperteneciera al conjunto A, lo indicaremos por a 6∈ A.

1 (define (PERTENECE? a A)

2 (cond ((empty? A) #f)

3 ((equal? a (car A)) #t)

4 (else (PERTENECE? a (cdr A)))))

Page 20: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Ejemplo. Metodo de substitucion. Probar con (PERTENECE? 4 ’(2 6 8 3 4 1))

1 (define (PERTENECE? a A)

2 (cond ((empty? A) #f)

3 ((equal? a (car A)) #t)

4 (else (PERTENECE? a (cdr A)))))

Page 21: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Cardinalidad)La cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que contiene. Si Aes un conjunto, la cardinalidad del conjunto A se denota por |A|.Notemos que:

I |A| = 0 si A = ∅I |A| = 1 + |A′| si A′ = Cdr(A)

Hacer un diagrama de Venn

Page 22: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Subconjunto)Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A es un subconjunto de B y lodenotamos por A ⊆ B cuando todos los elementos del conjunto A tambien sonelementos del conjunto B.

Notemos que pueden haber elementos del conjunto B que no sean elementosdel conjunto A.Hacer un diagrama de Venn

Page 23: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

1 (define (SUBCONJUNTO? A B)

2 (cond ((empty? A) #t) ; el conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto3 ((PERTENECE? (car A) B) (SUBCONJUNTO? (cdr A) B))

4 (else #f)))

Page 24: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Conjuntos iguales)Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A y B son iguales y lo denotamoscomo A = B, si A ⊆ B y B ⊆ A.

Se deja el programa en Racket como ejercicio.

Page 25: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Conjunto potencia)Sea A un conjunto. El conjunto potencia de A se denota como P(A) y es elconjunto de todos los subconjuntos de A.

Por ejemplo, si A = {1, 2, 3},2A = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Describir el algoritmo

A P(A)

Page 26: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

1 ; crea una lista de parejas con el elemento a en cada una de ellas y cada elemento de B2 ; en la segunda entrada3 (define (enlista a B)

4 (cond ((empty? B) ’())

5 ((list? (car B)) (cons (append (list a) (car B)) (enlista a (cdr B))))

6 (#t (cons (list a (car B)) (enlista a (cdr B))))))

7

8 ; producto cartesiano de 2 conjuntos9 (define (PC A B)

10 (apply append (map (lambda (a) (enlista a B)) A)))

Page 27: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Operaciones con conjuntos

Definicion (Union)Sean A y B dos conjuntos. La union de los conjuntos A y B se denota porA ∪ B y es el conjunto {x ∈ A ∨ x ∈ B}

Page 28: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Union extendida)Sean A1, . . . ,An n conjuntos. La union de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai es

n⋃i=1

Ai = A1 ∪ · · · ∪ An

Page 29: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Interseccion)Sean A y B dos conjuntos. La interseccion de los conjuntos A y B se denotapor A ∩ B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x ∈ B}

Page 30: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Interseccion extendida)Sean A1, . . . ,An n conjuntos. La interseccion de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai

esn⋂

i=1

Ai = A1 ∩ · · · ∩ An

Page 31: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Diferencia)Sean A y B dos conjuntos. La diferencia del conjunto A respecto del conjuntoB se denota por A/B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x 6∈ B}

Page 32: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Una relacion del conjunto A con el coonjunto B es un subconjunto de A× B.Por tanto, si R ⊆ A× B y (a, b) ∈ R con a ∈ A y b ∈ B, se dice que elelemento a esta relacionado con el elemento b bajo la relacion R.Mostrar ejemplo con A = {2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9} y R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)}

Page 33: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Una relacion R definida como subconjunto de A×B define dos conjuntos muyimportantes.

Definicion (Dominio)El dominio de una relacion R definida como subconjunto de A× B se denotapor Dom(R) y es el conjunto

{a ∈ A|∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R}

Mostrar el dominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el dominio de una relacion

Page 34: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Una relacion R definida como subconjunto de A×B define dos conjuntos muyimportantes.

Definicion (Imagen)La imagen de una relacion R definida como subconjunto de A× B se denotapor Im(R) y es el conjunto

{b ∈ B|∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R}

La imagen de la relacion tambien se conoce como codominio.

Mostrar el codominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el codominio de una relacion

Page 35: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Una relacion R definida como subconjunto de A× B para dos conjuntos A yB se denota como

R : A→ B

Donde A es el dominio de la relacion.

Si Im(R) = B, entonces la relacion es sobreyectiva.

Si cada elemento del Dom(R) esta relacionado con exactamente un elementode la Im(R), entonces la relacon es Inyectiva o 1-1.

Si la relacion es sobreyectiva e inyectiva, entonces la relacion es biyectiva.escribir definiciones en Racket Determinar si una relacion tiene estas propiedades

Page 36: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Page 37: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Funcion)Una relacion R : A→ B es una funcion si cada elemento del dominio tienerelacion con exactamente un elemento del codominio. Esto es(a, b1) ∈ R ∧ (a, b2) ∈ R → b1 = b2

Definition (Imagen)Sea F : A→ B una funcion de A en B. Un elemento b ∈ Cod(R) es laimagen de a ∈ Dom(F ) si (a, b) ∈ F . La imagen de a bajo la funcion F sedenota F (a).

La imagen de A′ ⊂ A bajo la funcion F se denotaF (A′) = {b ∈ Cod(F )|(a, b) ∈ R ∧ a ∈ A′}

Page 38: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

Definicion (Composicion)Sean F : A→ B y G : B → C dos funciones. Llamamos la composicion de lasfunciones F con G y lo denotamos por F ◦ G o simplemente FG a una nuevafuncion FG : A→ C definida como

(a, c) ∈ FG → ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ F , (b, c) ∈ G

Notemos que FG no es una operacion, sino un identificador de una nuevafuncion.

Page 39: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

En general, utilizamos esta tecnica para demostrar que las afirmaciones secumplen para un cierto conjunto de numeros naturales, cuando la verificaciondirecta es imposible de realizar.

No podemor simplemente verificar que la afirmacion se cumple solo para uncierto numero de ejemplos, porque precisamente los ejemplos no son unaprueba.

Consideremos la siguiente afirmacion:

n2 ≤ 5n!; n ≥ 3

Como claramente es imposible verificar esta afirmacion para todos los numerosnaturales mayores que 2 (n ≥ 3), entonces utilizamos la induccion matematicaque consiste de verificar 3 pasos:

1. El paso base: Comprobar que la sentencia es verdadera para el numeromas pequeno en el conjunto especificado en la sentencia original.

2. La hipotesis inductiva: Suponer que la sentencia es verdadera para eln-esimo numero del conjunto.

3. El paso deductivo: Utilizar la hipotesis inductiva para probar que eln + 1-esimo numero tambien cumple la propiedad.

Page 40: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica

EjemploPruebe por induccion que la suma de los primeros n numeros naturales esexactamente k(k + 1)/2.

1. El paso base

1 =1(1 + 1)

2⇒ 1 = 1

2. La hipotesis inductiva:

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2

3. El paso deductivo:

n(n + 1)

2+ (n + 1) =

(n + 1)((n + 1) + 1)

2=

(n + 1)(n + 2)

2

Page 41: LFyA-01 Preeliminares matemáticos

TMC2012

-abc. [email protected]

Preeliminaresmatematicos

Logica elemental

Relaciones y funciones

Induccion matematica