kriging & al

Seminar – 5. Juli 2010

Kriging & al.

Ralf Lindau

Seminar – 5. Juli 2010

ProjekteOMDI 1 : Optimal merging of water vapour retrievals from different instruments

NNW-Kriging von AMSU (NOAA-15 -16)und SSM/I (F13,14,15)

OMDI 2 : Modification and implementation of the Kriging software at DWD computers

GRAS : Climate Monitoring using GRAS-SAF data within CM-SAFGNSS (GlobNavSatSys) Receiver for Atmosphereic Sounding.

Champ limp sounding

Geringe Beobachtungsdichte weil jeweils zwei Satelliten notwendig sind

Tägliches Kriging schwierig, Match-up Differenzen

Umrechnung von zeitlichen und räumlichen Differenzen

OMDI 3 : Optimierte Bestimmung von korrelierten Fehlern in Wasserdampfschätzungen aus Satellitendaten

Berücksichtigung horizontaler Fehlerkovarianzen in der Kovarianzmatrix beim Kriging

OMDI 4 : Kriging of Layered Precipitable Water with known input errorsBisher: Inputfehler statistisch abgeleitet. Jetzt: Gegebene Satellitenfehler nutzen.

Bisher: Erst LPW integrieren, dann TPW kriggen Jetzt: Erst LPW kriggen, dann integrieren

Seminar – 5. Juli 2010

Kriging-Ansatz

• Es gibt n Beobachtungen xi an den Orten Pi.

• Mache eine Vorhersage x0 für den Ort P0 .

• Konstruiere die Vorhersage aus einem gewichteten Mittel der Beobachtungen xi.

• Berücksichtige dabei die Fehler xi.

• Bestimme die Gewichte i.

min1

2

10

m

t

n

iiii xxx

Seminar – 5. Juli 2010

Matrix und Input

Korrelationslänge

Var / n

Seminar – 5. Juli 2010

Varianzzerlegung

Seminar – 5. Juli 2010

Datenunabhängigkeit

• Wenn Daten unabhängig sind, gibt Varianz / n den Fehler des Mittelwertes.

• Alternativ: Bilde nu Unterkollektive und betrachte die Varianz der Mittelwerte dieser Unterkollektive Varu.

• Falls die ursprünglichen n Werte wirklich unabhängig waren, bleibt Varianz / n erhalten.

Var / n = Varu / nu

Seminar – 5. Juli 2010

Erhaltung von Var/n

Fasse jeweils zwei Beobachtungen zu einem Mittelwert zusammen.Wieviel Varianz wird dadurch zerstört?

Wenn die Unterkollektivmitglieder unabhängig sind, wird die Hälfte der Varianz herausgemittelt, die andere Hälfte bleibt also erhalten.

Und die Beobachtungsanzahl hat sich auch halbiert.

Sind die Beobachtung dagegen abhängig, wird weniger Varianz als dieHälfte zerstört und mehr als die Hälfte erhalten. Var / n wächst.Die Daten sind also fehlerhafter als es zunächst schien.

2424222

222

2

jjjiiijiji

iki

xxxxxxxxxxxxx

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Varianz mm2

weggemittelt + innere

0.00 + 6.77 4.39 + 2.38 6.12 + 0.65

„Unabhängige“ 81 5 2

Fehler 0.09 0.60 0.65

Die fünf Satelliten (2 AMSU, 3 SSM/I) sind unabhängig.Die einzelnen Pixel nicht.

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OMDI 3

Fehlerkovarianzen z.B. [x1 x2] verschwinden bei unabhängigen Daten.

Satellitendaten sind nicht unabhängig, denn sie beruhen auf einem einzigen Retrieval.

Überschätzt das Retrieval an einem Ort, so neigt es auch in der Nachbarschaft zur Überschätzung, weil die physikalischen Bedingungen ähnlich (schwierig) sind.

Zur Bestimmung der Fehlerkovarianzen benötigt man zwei unabhängige Satelliten.

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Fehlerkovarianz

D = ((x1 + x1) – (x2 + x2))2

D = 2 Var – 2 Cov + Err1 + Err2 - 2 ErrCov

Seminar – 5. Juli 2010

Fehlerkovarianz

D = ((x1 + x1) – (x2 + x2))2

S = (x1 + x1)2 + (x2 + x2)2

D = 2 Var – 2 Cov + Err1 + Err2 - 2 ErrCov

S = 2 Var + Err1 + Err2

Seminar – 5. Juli 2010

Fehlerkovarianz

D = ((x1 + x1) – (x2 + x2))2

S = (x1 + x1)2 + (x2 + x2)2

D = 2 Var – 2 Cov + Err1 + Err2 - 2 ErrCov

S = 2 Var + Err1 + Err2

S – D = 2 Cov + 2 ErrCov

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OMDI 4

Erst jede Schicht kriggen, dann integrieren.

Wie lautet dann der Fehler des TPW?

Zunächst: Einzelne Schichten kriggen.

Z.B. Schicht 39 (940 hPa, 1. Januar 2008)

Programm läuft (inklusive kleiner DWD Zusatzaufgaben: Datumsgrenzproblem)

„In“ Gebirgen ist richtigerweise LPW = 0

Man kann also ohne Probleme über alle Schichten (bis nominell 1050 hPa) integrieren, ohne Fehler zu machen:

Input

Output

g

dpqw ii

Seminar – 5. Juli 2010

Vergleich sum(lpw) mit tpw

Oben: Originaldaten

Vergleich Integral(LPW) mit TPW des Satelliten

Test, ob unsere Integrationsmethode, der des

Satellitenalgorithmus entspricht.

Widerspricht DWD Angaben, dass man nur bis

zum Bodendruck integrieren darf.

Unten: Gekriggte Daten

42 Schichten kriggen, dann integrieren.

Vergleich Sum(Krig(LPW)) mit Krig(TPW)

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Fehlerfortpflanzung

g

dpqw ii

Fehlerfortpflanzung: 22

2i

i

qq

ww

g

dp

q

w i

i

Die partiellen Ableitungen von w eingesetzt:

22

2i

i qg

dpw

Wenn alle Schichten gleiche Massen (dp) umfassten, gälte:n

pdpi

0 222

202 iqng

pw

Wenn alle Fehler gleich wären, gälte:

n

q

g

pw

2

2

202

Definition Gesamtwasserdampfgehalt

FFF;-)

Var/n:

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Fehler für abhängige Schichten

Jeweils zwei Schichten sind abhängig.

uu n

i

iiin

i

ii

g

dpqf

g

dpqw

11

Diese zwei Schichten sind gleich mächtig:

un

i

iii

g

dpqfw

1

1

22

2i

i

qq

ww

21

2

222 1

i

n

i

ii qg

dpfw

u

Alle Schichten gleich mächtig: 21

2

22

202 1 i

n

ii qf

gn

pw

u

Alle fi=1

un

iiqgn

pw

1

2

22

202 4

Alle qi gleich:

222

202 4

qgn

pnw u

n=2nu

un

i

ii

i g

dpf

q

w

1

1

un

q

g

pw

2

2

202

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Err(sum(krig(lpw)))

1.4 mm

2.8 mm

sum

(lpw

)tp

w

Quotient

Seminar – 5. Juli 2010

Fazit

Diagnose: Der Fehler von sum(lpw) wird um den Faktor 2 bis 3 unterschätzt.

Grund: die 42 Schichten sind eben nicht unabhängig.

Interpretation des Faktors: Die wahre vertikale Auflösung ist um den Faktor 4 bis 9 kleiner als die nominelle (42 Schichten)