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Cálculo Numérico
Integração Numérica
Prof. Jorge Cavalcanti – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br
MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/
2
Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.
Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular
Forma de obtenção de uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] Métodos Numéricos.
b
a
dxxf )(
Integração Numérica
3
Idéia básica da integração
numérica substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].
Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio –pn(x).
Integração Numérica
4
Fórmulas de Newton-Cotes –São fórmulas de integração do tipo:
Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura):
x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] (nós de integração).
A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) (pesos).
,...,n,[a,b],ix
xfAxfAxfAdxxf
i
nn
b
a
10
1100
),(...)()()(
n
iiin
xfAfI0
)()(
Integração Numérica
5
O uso desta técnica decorre do fato de:
Por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;
Conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproximado;
A única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.
Integração Numérica
6
Métodos de integração numérica mais utilizados
Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios.
Regra 1/3 de Simpson
Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b
Integração Numérica
7
Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f(x), ou seja, n=1.
Este polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.
Regra dos Trapézios
8
Área do trapézio: A=h . (t+T) /2
h - altura do trapézio
t - base menor
T - base maior
De acordo com a figura:
h= b – a = x1 – x0
t= f(a) = f(x0)
T = f(b) = f(x1)
Logo,
1
0
102
x
x
xfxfh
dxxf )()()(
Regra dos Trapézios Simples
a = x0 b = x1
P0
f(x)
p1(x)f(x1)
f(x0)
h = b-a
9
a) Pela Regra dos Trapézios Simples:
I = h/2 [f(x0) + f(x1)]
h= x1 – x0 = 3,6 – 3,0 = 0,6
f(x) = 1/x, f(x0) = 1/3 e f(x1) = 1/3,6
I=0,6/2 (1/3 + 1/3,6) = 0,18333
b) Pelo Cálculo Integral:
Exercício: Estimar o valor de:
Pela regra dos trapézios simples e depois verificar o valor exato da integral.
Regra dos Trapézios
6,3
0,3x
dxI
6,3
0,3x
dxI = ln (x) = ln (3,6) – ln (3,0) = 0,18232
3,0
3,6
10
Intervalo [a, b] relativamente pequeno
Aproximação do valor do integral é aceitável.
Intervalo [a, b] de grande amplitude
Aproximação defasada.
Pode-se subdividi-lo em n subintervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear.
A amplitude dos subintervalos será h=(b-a)/n .
A integral no intervalo é dado pela soma das integrais definidas pelos subintervalos.
Regra dos trapézios simples aplicada aos subintervalos.
Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida):soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu subintervalo.
Regra dos Trapézios Simples
11
Intervalo [a, b] de grande amplitude.
Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.
Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
12
A Regra aproxima pequenos trechos da curva y = ƒ(x) por segmentos de reta. Para fazer uma aproximação para a integral de f de a até b, somamos as áreas ‘assinaladas’ dos trapézios obtidos pela união do final de cada segmento com o eixo x.
É interessante observar que aproximar a área sob a função pela soma de áreas de trapézios é o equivalente a:
Realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os pontos (xn, yn) com retas.
13
Fórmula:
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim, esta
fórmula pode ser simplificada em:
)()(...
)()()()()(
NN
x
x
xfxfh
xfxfh
xfxfh
dxxfm
1
2110
2
220
Nx
x
NNxfxfxfxfxf
hdxxf
0
12102
2)()(...)()()()(
Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
14
a=3,0; b=3,6; f(x) = 1/x
h= (b-a)/n = (3,6 – 3,0)/6 = 0,6/6 = 0.1
ITR= h/2 [f(x0) + 2[f(x1)+f(x2)+f(x3)+ f(x4)+f(x5)]+f(x6)]
ITR= 0,18235
Exercício: Estimar o valor de:
Pela regra dos trapézios repetida, subdividindo o intervalo em 6 subintervalos.
Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
6,3
0,3x
dxI
x f(x)=1/x
3.0 0,3333
3.1 0,3225
3.2 0,3135
3.3 0,3030
3.4 0,2941
3.5 0,2857
3.6 0,2778
15
Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (n=1) (x0=0.0 e x1=4.0, h=4)
I=h/2(f(x0)+f(x1))=2x(1.00000+0.24254) = 2.48508
Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos(x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0, h=(b-a)/n =(4-0)/2=2
I=h/2(f(x0)+2f(x1)+f(x2)=1x(1.00000+2x0.44722+ 0.24254) = 2.1369
Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos
(x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0, h=(b-a)/n = (4-0)/8 = 0.5
I=(0.5/2).(f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)+2f(x4)+2f(x5)+2f(x6)+2f(x7)+f(x8)) =2.0936
x y=(1+x²)-1/2
0.0 1.00000
0.5 0.89445
1.0 0.70711
1.5 0.55475
2.0 0.44722
2.5 0.37138
3.0 0.31623
3.5 0.27473
4.0 0.24254A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2.0947.
Exemplo: Estimar o valor de
para 02 pontos (Trapézio Simples), 3 e 9 pontos (Repetida)
Regra dos Trapézios
4
0
2121 dxx /)(
16
Regra de 1/3 de Simpson
Seja I= . Para este caso vamos considerar novamente uma subdivisão do intervalo [a,b] em um número de subintervalos n (par).
A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos trechos de curvas usando arcos parabólicos.
b
a
dxxf )(
17
Podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2.
Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos:
x0 = a
x1 = x0 + h
x2 = x0 + 2h = b
Regra de 1/3 de Simpson
18
O Polinômio de Lagrange de grau 2 que estabelece a função de interpolação de f(x) nos pontos [xi,f(xi)] será:
Regra de 1/3 de Simpson
P2(x)=L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)+ L2(x)f(x2)
))((
))(()(
2010
210
xxxx
xxxxxL
)1)((
))(()(
201
201
xxxx
xxxxxL
))((
))(()(
1202
102
xxxx
xxxxxL
x0 = a; x1 = x0 + h;x2 = x0 + 2h = b
(x0 - x1) = a – (a+h) = -h
(x0 – x2) = a – (a+2h) = -2h
(x1 – x0) = (a+h) - a = h
(x1 – x2) = (a+h) – (a+2h)= -h
(x2 – x0) = (a+2h)-a = 2h
(x2 – x1) = (a+2h)-(a+h) = h
19
O Polinômio será:
Regra de 1/3 de Simpson
)())(2(
))(()(
))((
))(()(
)2)((
))(()( 2
101
200
212 xf
hh
xxxxxf
hh
xxxxxf
hh
xxxxxP
S
x
x
x
x
x
x
x
x
b
a
Idxxxxxh
xfdxxxxx
h
xf
dxxxxxh
xfdxxpdxxf
2
0
2
0
2
0
2
0
))((2
)())((
)(
))((2
)()()(
1022
2021
2120
2
Então se f(x) P2(x):
20
Regra de 1/3 de Simpson
As integrais podem ser resolvidas, por exemplo, usando a mudança das variáveis x – x0 = zh.
Assim, x = x0 + zh, então x – x1 = x0 + zh – (x0 + h) = (z – 1)h x – x2 = x0 + zh – (x0 + 2h) = (z – 2)h
e, para x = x0 , z = 0; x = x1 , z = 1; x = x2 , z = 2;
Após essas mudanças, com dx = hdz :
dzzzhhxf
dzzzhxfdzzzhxf
IS
2
0
22
0
1
2
0
0 )1)((2
)()2)(()()2)(1(
2
)(
21
Regra de 1/3 de Simpson
Resolvendo as integrais, obtemos a Regra de 1/3 de Simpson:
2
0
x
x
210 xfxf4xf3
hdxxf )]()()([)(
)]()()([ 210s xfxf4xf3
hI
22
a) Pela Regra de 1/3 de Simpson:
IS= h/3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
h= (x2 – x0)/2 = (3,6 – 3,0) = 0,6/2 = 0,3
f(x) = 1/x; f(x0) = 1/3,0; f(x1) = 1/3,3 e f(x2) = 1/3,6;
IS =0,3/3 (1/3 +4*(1/3,3) + (1/3,6) = 0,18232
b) Pelo Cálculo Integral:
Exercício: Estimar o valor de:
Pela Regra de 1/3 de Simpson (com dois intervalos) e comparar com o valor exato da integral.
Regra de 1/3 de Simpson
6,3
0,3x
dxI
6,3
0,3x
dxI = ln (x) = ln (3,6) – ln (3,0) = 0,18232
3,0
3,6
23
Regra de 1/3 de Simpson Repetida
Pela Regra de Simpson, foram necessários 3 pontos para a interpolação de Lagrange, o que significou a divisão do intervalo de integração em 2 subintervalos.
A Regra de Simpson Repetida consiste em subdividirmos o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude h, onde n é um número par de subintervalos, pois cada parábola utilizará 03 pontos consecutivos.
24
Regra de 1/3 de Simpson Repetida
Aplica-se então a regra para cada 03 pontos, isto é, a cada 2 subintervalos obtendo:
2
1
2
22
0
)()()(m
k
x
x
x
x
b
a
k
k
m
dxxfdxxfdxxf
)()(4)(
)()(4)()()(4)(3
12
432210
mmm xfxfxf
xfxfxfxfxfxfh
SRm
mm
x
x
Ixfxfxf
xfxfxfxfxfh
dxxfm
)()()(2
)()()(4)()(3
)(
242
13100
...
...
...
25
Exemplo
Calcular usando a regra de Simpson,
usando 10 sub-intervalos.
5
1
dxx)ln(
x f(x) A Af(x)
1,00 0,0000 1 0,0000
1,40 0,3365 4 1,3459
1,80 0,5878 2 1,1756
2,20 0,7885 4 3,1538
2,60 0,9555 2 1,9110
3,00 1,0986 4 4,3944
3,40 1,2238 2 2,4476
3,80 1,3350 4 5,3400
4,20 1,4351 2 2,8702
4,60 1,5261 4 6,1042
5,00 1,6094 1 1,6094
30,3522xAf )(
4010
15h ,
4,047030,35223
40
xAf3
hdxxf
m
0
x
x
,
)()(
26
Exercício
Calcular usando a regra de
Simpson, para 2, 4 e 6 sub-intervalos.
3
0
x dx1xe )(
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