7. integraÇÃo numÉrica parte 2 7.1 métodos de newton-cotes (rugiero) 7.2 método de romberg...

7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICAParte 2

7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero)

7.2 Método de Romberg (Burden-Faires)

7.2.1 Extrapolação de Richardson

7.2.2 Fórmula de Romberg

7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires)

7.4 Integração Dupla (Burden-Faires)

7.5 Método de Monte Carlo (Burian)

hoje

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes

Na primeira aula de integração vimos as fórmulas de Newton-Cotes, ou seja, método do trapézio, método de Simpson....

Thomas Simpson (1710-1761) Note que ele é contemporâneo de Euler e

Daniel Bernoulli. Ele viveu no período do auge do

desenvolvimento de métodos para resolução de EDO’s.

Seu principal interesse era a Teoria das Probabilidades.


As fórmulas de Newton Côtes não são adequadas para intervalos regulares de integração e polinômios de alto grau.

1. Quanto o polinômio for de alto grau, em subintervalos onde f(x) é quase-constante, ocorre o fenômeno de Runge

2. Quando a função varia muito num subinter-valo, o ajuste é ruim devido ao fato da partição ser regular.

Assim, dada uma partição teremos fenômeno de Runge ou ajuste ruim, dado o polinômio interpo-lador!!!!

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes Repetidos

O Método de Newton-Cotes Repetido ou Generalizado ou Composto consiste em resolver uma dada integral, por partes, através de subintervalos.

A aproximação por partes de uma integral é freqüentemente efetiva.

n


As fórmulas de Newton-Cotes são expressões para integrais, onde são consideradas várias subdivisões do intervalo de integração, que variam conforme o grau do polinômio ajusta-do nos subintervalos.

Polinômio de grau 1 Regra do Trapézio Polinômio de grau 2 Regra Simpson 1/3 Polinômio de grau 3 Regra Simpson 3/8 Polinômio de grau 4 (Livro Burden-Faires)....

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2 - Método de Romberg

O Método de Romberg utiliza a Regra do Trapézio repetida para obter aproxima-ções preliminares e em seguida aplica um processo de extrapolação de Richardson para melhor a aproxima-ção.

Regra Romberg || Trapézio Repetida+Extrapolação Richardson

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

A extrapolação de Richardson sempre é utilizada para gerar resultados de alta precisão, quando se usam fórmulas de Newton-Cotes de baixo grau.

L.F. Richardson e J.A. Gaunt, The deferred approach to the limit. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, v.226A, p.299-361, 1927.


Esta técnica pode ser aplicada quando a aproximação inicial tem um erro previsí-vel dependente de um parâmetro, normalmente o tamanho do passo .

Suponha que a cada passo, a integralaproxime-se de um valor desconhecido ,e que o erro de truncamento tenha a forma:

h

)(hNM

)1(......)( 33

22

11 hKhKhKhNM

Hipótese: o erro do procedimento é h-dependente


Definição:”Diz-se que as aproximaçõesde , dependentes de um passo , são deordem em se ,

onde é uma constante -independente“

Método do Trapézio fornece aproximações de ordem 2 Métodos de Simpson fornecem aproximações de ordem 4

h)(hN

M

Ch

MhNLim

mh

)(

0

m h

C h


Método do Trapézio fornece aproximações de ordem 2

Métodos de Simpson fornecem aproximações de ordem 4

baccf

ab

h

xfxfh

dxxfbx

ax, onde )(

12

)()()(

2)(

2

10

1

0

204

210

, onde )(90

)()()(4)(

3)(

2

0xxccf

ab

h

xfxfxfh

dxxfiv

bx

ax


Demonstra-se que o erro da regra do trapézio é uma série infinita de potências de , gerados pela série Taylor da dife-rença entre a função e a reta da interpolação. Assim, fica claro que o erro de truncamento de uma aproximação tem a forma

h)(xf

)1(......)( 33

22

11 hKhKhKhNM


Para determinar , como podeser qualquer, consideremos na expres-são (1), ou seja,

Multiplicando (2) por 2 e subtraindo de (1)

Observe que substituído por seu valor. Continuando o procedimento obtemos

h2/h

321 ,, KKK

)2(......2/2/2/)2/( 33

22

11 hKhKhKhNM

)3(...4/2/)()2/(2 333

222 hhKhhKhNhNM

1K ..., 32 KK


Fazendo definimos

Segue que a fórmula de aproximação de ordem para M,

Substituindo na expressão acima, obtemos a aproximação na ordem seguinte.

.....4

3

2)( 3322

2 hK

hK

hNM

2h

2/hh

)()2/()2/()()2/(2)(

)()(

111112

1

hNhNhNhNhNhN

hNhN


A fórmula de aproximação de ordem para M é dada por

e assim por diante.

.....83

)()2/()2/( 3322

2

h

KhNhNhNM

3h

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

O primeiro passo do procedimento de Romberg obtém as aproximações repetidas pela Regra do trapézio para

RECORDAÇÃO DA REGRA DO TRAPÉZIO REPETIDA

nmmmm nn onde 2.....,,4,2,1 1

321

,..,2,1 com xe /)( , , onde

12

)()(2)()(

2)(

i

21

1

mihiamabhbac

cfhab

xfbfafh

dxxf

i

m

ii

b

a


A Regra do Trapézio Repetida com a notação

Nesta notação, a Regra do Trapézio Repetidaescreve-se como

...2,1 para

2 1

K

ab

m

abh

kk

k

baccfhab

ihafbfafh

dxxf ki

kk

b

a

k

, onde 12

)()(2)()(

2)( 2

12

1

1

Note que para k=1 não há termo a ser somado


Introduzindo a notação

)3()(2

1

)(2

1

22)()(

4

)(2)()(2

)()(2

)()(2

3321,21,3

211,1

22

1,2

11,1

hafhafhRR

hafhR

abafbfaf

ab

hafbfafh

R

bfafab

bfafh

R

1,kR


Temos a aproximação da Regra do Trapézio em ordem genérica para a integral a ser calculada, ou seja,

Comentário: Ainda estamos no passo 1 do Método de Romberg calculando aproximações preliminares via Regra do trapézio.

nkhiafhRR ki

kkk

k

,..,3,2 para)12(2

122

111,11,


Exercício: Utilize a Regra do Trapézio Repeti-da para realizar o primeiro passo do esque-ma da integração de Romberg para obter uma aproximação da integral

para . Calculando os obtemos:6,...,2,1k

dxxsen

0

1,kR


Calculando

99839336.1e99357034.1

8/78/58/38/4/2

1

4/34/2/2

1

57079633.12/2

1

002

1,61,5

1,31,4

1,21,3

1,11,2

1,1

RR

sensensensenRR

sensenRR

senRR

sensenR


Como o resultado exato da integral é

a convergência é bastante lenta!

Utilizaremos a extrapolação de Richardson para acelerar a convergência.

20

dxxsen


Do Método da extrapolação de Richardson, escrevemos a Regra do Trapézio Repetida

Como (1)

Fazendo na equação acima e multiplicandopor 4, obtemos: (2)

baccfhab

ihafbfafh

dxxf ki

kk

b

a

k

, onde 12

)()(2)()(

2)( 2

12

1

1

iki

ik

iki

ik

b

ahKhKhKRdxxf 2

2

21

2

11,)(

2/kk hh

ik

ii

k

ik

ii

k

b

a

hKhK

hKRdxxf

2

2

21

2

11,1 4

42

)(


Fazendo (2)-(1), eliminamos o termo

A extrapolação de Richardson pode ser apli-cada fornecendo resultado para a integral daordem . Obtemos:)( 6

khO

2kh

iki

ii

i

kkk

iki

iki

i

kkk

b

a

hKRR

R

hhKRR

Rdxxf

2

1

1

2

1,1,11,1

2

1

2

2

1,1,11,1

4

41

33

433)(

31,11,

1,2,kk

kk

RRRR


Continuando o procedimento, uma fórmula para a integral a ser calculada, com ordem de aproximação , é dada por

A partir de (3) geramos a tabela de Romberg

)( 2 jkhO

14 1

1,11,1,, j

jkjkjkjk

RRRR


Tabela de Romberg:

: : : :

....

1,1R

1,2R 2,2R

1,nR

1,4R

1,3R 2,3R

2,4R

4,nR3,nR2,nR nnR ,

3,3R

3,4R 4,4R


Aplicando no exemplo

0.0

1.57079633 2.09439511

1.89611890 2.00455976 1.99857073

1.97423160 2.00026917 1.99998313 2.00000555

1.99357034 2.00001659 1.99999975 2.00000001 1.99999999

1.99839336 2.00000103 2.0000000 2.0000000 2.0000000 2.0000000

dxxsen

0


Comentários:1- Somente a primeira coluna exige cálculo de

função devido a Regra do Trapézio. O cálculo de função (por exemplo, a partir de uma tabela de dados experimentais) pode ser realizado por interpolaçaõ ou extrapolação spline. A primeira coluna tem alto custo computacional. As demais colunas não envolvem cálculos de função e aceleram a convergência do processo. Esta é a vantagem do método de Romberg.


Comentários:2- Devemos definir o inteiro n predefinindo o tamanho

da tabela de Romberg. Esta abordagem não é ótima, pois podemos já ter atingido a convergência desejada e ainda estarmos preenchendo a tabela de Romberg, como no exemplo dado.

3- Também temos que definir uma tolerância de erro para parar o cálculo. Podemos utilizar este erro como critério de parada. Quando a diferença entre próximos vizinhos for menor que o erro dado, paramos o procedimento numérico.


Exercícios Rugiero capítulo 7: 2, 4, 13.

Faça o exercício 13, também, por Romberg.

Exercício facultativo: 16

7. integraÇÃo numÉrica parte 2 7.1 métodos de newton-cotes (rugiero) 7.2 método de romberg...

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