cálculo numérico prof. guilherme amorim 17/07/2014 aula 26 – integração numérica - erros
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Cálculo Numérico
Prof. Guilherme Amorim17/07/2014
Aula 26 – Integração Numérica - Erros
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O que vimos na última aula?
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O que vimos na última aula?
Fórmulas de Newton-Cotes Ideia geral: Integrar o polinômio
interpolador da função 𝑓 Método Trapézio:
Método de Simpson:
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O que ficou faltando?
O estudo do erro para os dois métodos.
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Erros em Integração Numérica Na maior parte dos casos, a
determinação de erros em integrações numéricas só será possível se conhecermos a expressão analítica da função que se deseja calcular sua integral.
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Erro no Método dos trapézios Pelo teorema fundamental do cálculo,
temos:
Pelo método do trapézio, temos:
Logo, podemos afirmar que Sendo Ti o erro entre e
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Revisão
Polinômio de Taylor
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Revisão
Polinômio de Taylor Representa uma aproximação polinomial
para a função ao redor do ponto .
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Erro no Método dos trapézios Desenvolvendo pela série de Taylor em
torno de e calculando em , obtemos:
Substituindo em , temos:
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Erro no Método dos trapézios Por outro lado, temos:
Como
Sabendo que F é integral de f, ou seja,
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Erro no Método dos Trapézios Com isso,
Considerando a soma dos n erros,
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Erro no Método de Simpson
De maneira similar, obteremos:
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Exemplo
Determine os erros cometidos pelos métodos dos trapézios e de simpson no cálculo da integral usando 7 pontos no intervalo [0,0;0,6]:
Trapézios:
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Exemplo
Simpson:
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Exercício 1 Cap. 6
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Exercício 1 Cap. 6 - Resposta
Trapézio
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Exercício 1 Cap. 6 - Resposta Simpson
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Bibliografia
[1] Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed. Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010.
[2] Notas de aula Luiza Amalia Pinto Cantão (UNESP) Disponível em: http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series7.pdf