ecuaciones difirenciales de 1er orden (ii)
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación Diferencial de primer orden se puede expresar de la siguiente forma:
[ ] )()(´ xgyxpy =+Para determinar su solución multiplicaremos ambos miembros por la siguiente función:
∫ dxxpe )(
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del producto de la función buscada y(x) con la función ∫ dxxpe )(
Luego
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Solución General…
Integrando miembro a miembro
Finalmente, se obtiene
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Ejemplo 1
Encontrar la solución general para y´-2xy=xSolución General:
Para este caso tenemos: p(x)=-2x y g(x)=x
Calculando primero,
Luego utilizando la fórmula
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
Ejemplo 2
Encontrar la solución general para ( )xsenxy
xy 32´ 2=−
Solución:
Para este caso tenemos p(x)=-2/x y g(x)=x2sen(3x), luego:
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Fórmula :
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Ejemplo 3
Encontrar la solución general para senxyxy =+2´
Solución:
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
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Aplicando integración por partes
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Teorema
Si las funciones p y g son continuas en un intervalo (a,b) que contiene el punto xo, entonces existe una función única y=f(x)que satisface a la ecuación diferencial
y´+ p(x)y = g(x)para x є (a,b) que cumple la condición inicial y(xo)=yo
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Ejemplo
Encontrar la solución particular desi y(1)=2
242´ xyxy =+
Solución:
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Con la condición y=2 y x=1 , se obtiene 2=1+C/1 entonces, C=1
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Ejercicio
Encontrar la solución particular 1)0(;2´ 2 ==− yxeyy x
Rpta: ( )[ ]32)( +−= xxx exeexy
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Ejercicios de autoaprendizaje
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Ejercicios de autoaprendizaje
Respuestas
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Ecuaciones de Bernoulli
Existen ecuaciones diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli.Una ecuación de Bernoulli tiene la forma
donde n≠o y n≠1.
nyxgyxpy )()(´ =+
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
nyxgyxpy )()(´ =+
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Simplificando se tiene
Esta última ecuación es lineal respecto a la variable v
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
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