ecuaciones difirenciales de 1er orden (ii)

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación Diferencial de primer orden se puede expresar de la siguiente forma:

[ ] )()(´ xgyxpy =+Para determinar su solución multiplicaremos ambos miembros por la siguiente función:

∫ dxxpe )(

Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del producto de la función buscada y(x) con la función ∫ dxxpe )(

Luego


Solución General…

Integrando miembro a miembro

Finalmente, se obtiene


Ejemplo 1

Encontrar la solución general para y´-2xy=xSolución General:

Para este caso tenemos: p(x)=-2x y g(x)=x

Calculando primero,

Luego utilizando la fórmula


Ejemplo 2

Encontrar la solución general para ( )xsenxy

xy 32´ 2=−

Solución:

Para este caso tenemos p(x)=-2/x y g(x)=x2sen(3x), luego:


Fórmula :


Ejemplo 3

Encontrar la solución general para senxyxy =+2´

Solución:


Aplicando integración por partes


Teorema

Si las funciones p y g son continuas en un intervalo (a,b) que contiene el punto xo, entonces existe una función única y=f(x)que satisface a la ecuación diferencial

y´+ p(x)y = g(x)para x є (a,b) que cumple la condición inicial y(xo)=yo


Ejemplo

Encontrar la solución particular desi y(1)=2

242´ xyxy =+

Solución:


Con la condición y=2 y x=1 , se obtiene 2=1+C/1 entonces, C=1


Ejercicio

Encontrar la solución particular 1)0(;2´ 2 ==− yxeyy x

Rpta: ( )[ ]32)( +−= xxx exeexy


Ejercicios de autoaprendizaje


Ejercicios de autoaprendizaje

Respuestas


Ecuaciones de Bernoulli

Existen ecuaciones diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli.Una ecuación de Bernoulli tiene la forma

donde n≠o y n≠1.

nyxgyxpy )()(´ =+


nyxgyxpy )()(´ =+


Simplificando se tiene

Esta última ecuación es lineal respecto a la variable v


ecuaciones difirenciales de 1er orden (ii)

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