deret - modul. · pdf filesuatu barisan •deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun...

Modul ke:

Matematika Ekonomi

Deret

Pusat Bahan Ajar dan E-learning

02

2

BANJAR / BARISAN • Banjar ialah suatu fungsi yang wilayahnya ialah set

bilangan alam.

• Banjar ialah suatu set bilangan bernomor satu, dua, tiga dan seterusnya.

• Barisan/ banjar (sequence), Un, adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu

– Un : suku ke n

– Un = f (n) ; n = bilangan asli

• Banjar yang berakhir dinamakan banjar berhingga

• Banjar yang tak berakhir dinamakan banjar tak berhingga

3

Contoh-contoh banjar:

• Jenis barisan/banjar: - Aritmetika (Hitung) - Geometrika (Ukur) - Harmoni

• Banjar (1) dan banjar (5) adalah banjar hitung. • Banjar (2) yang sukunya kebalikan dari suku banjar hitung (1)

adalah banjar harmoni. • Banjar 6 adalah banjar ukur • Suku banjar (2) dan (3) mendekati 0, dan suku banjar (4)

mendekati 1 sebagai limit.

1. [n] = 1, 2, 3, ..., n, ...

2. [1/n] = 1, ½, 1/3, ..., 1/n, ...

3. [1/2n] = ½, ¼, 1/8, ..., 1/2

n, ...

4. [ {n + (-1)n} / n ] = 0, 3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6, 6/7, ..., {n + (-1)

n} / n, ...

5. [a + (n-1) d] = a, a+d, a+2d, ..., a + (n-1) d, ...

6. [arn-1

] = a, ar, ar2, ...,ar

n-1, ...

4

Definisi:

• Banjar Hitung ialah banjar yang selisih antara dua sukunya yang berikutan/berurutan adalah sama.

• Selisih itu dinamakan selisih sama yang adalah 1 pada banjar (1) dan d pada banjar (5).

• Banjar ukur ialah banjar yang nilai bandingnya antara dua sukunya yang berikutan/berurutan sama.

• Nilai banding (ratio) itu dinamakan nilai banding sama, yang adalah r pada banjar (6)

5

Banjar & Deret • Banjar (sequence) perlu dibedakan dari deret (series) yang

adalah jumlah suku-suku suatu banjar.

• Banjar (sequence) khusus seperti (1) dan (5), (2) dan (6) dalam bahasa inggris dinamakan juga progression, yaitu arithmatic progression, harmonic progression, dan geometric progression.

• Jumlah suku-suku banjar hitung adalah deret hitung (arithmatic series),

• jumlah suku-suku banjar harmoni adalah deret harmoni (harmonic series), dan

• jumlah suku-suku banjar ukur adalah deret ukur (geometric series).

6

DERET

• Deret (series), Sn, adalah jumlah semua suku dari suatu barisan

• Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku/ banjar/barisan.

• Jenis deret :

–deret hitung (arithmatic series),

–deret ukur (geometric series).

–deret harmoni (harmonic series),

7

• a + (a+d) + (a+2d) + ... + a+(n-1)d adalah deret hitung berhingga dengan n suku

• 1 + ½ + 1/3 + ... + 1/n adalah deret harmoni berhingga dengan n suku.

Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah dari terbaginya panjang kawat gitar atau piano menurut angka-angka yang sama, pada nada-nada harmoni. Rumus untuk jumlah deret harmoni belum ada.

• a + ar + ar2 + ... + ar n-1 + ... adalah deret ukur tak berhingga dengan tak berhingga suku.

8

RUMUS BARISAN & DERET ARITMETIKA

• Barisan :Un = a + (n – 1)b – Un : suku ke n

– a = U1 = suku pertama

– b = beda/selisih = Un – Un-1

• Deret : – Sn = n/2 (a + Un), atau

– Sn = n/2 (2a + (n – 1) b)

Sn : jumlah n suku pertama

• Hubungan barisan dan deret :

Un = Sn – Sn-1

9

Proses pencarian rumus

Contoh: 5, 10, 15, 20, 25, 30, , …. “x”

a U2 U3 U4 U5 U6 Un

Perhatikan: ternyata besarnya selisih antara nilai-nilai dua suku

yang berurutan (b) adalah 5. Suku pertama, yaitu U1 atau a,

adalah 5. Selanjutnya berturut-turut dapat dihitung :

U1 = a = 5

U2 = a + b = 5 + 5 = 10

U3 = a + 2b = 5 + 10 = 15

U4 = a + 3b = 5 + 15 = 20

.

.

.

Un = a + (n – 1)b = “x”

10

Besarnya suku ke-n adalah:

Jumlah nilai-nilainya sampai dengan suku ke –n adalah:

atau

a : besarnya suku pertama atau S1

b : selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan (beda)

n : banyaknya suku

Un : besarnya atau nilai suku ke n

Sn : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke n.

Un = a + (n – 1)b

Sn = n/2 (a + Un)

Sn = n/2 {2a + (n – 1)b}

11

KASUS

1. Cari suku ke 10 dan jumlah dari 15 suku pertama barisan 3, 7, 11 ..

2. Cari suku ke 8 dan jumlah dari 10 suku pertama dari barisan aritmetika jika nilai suku ke 2 = 8 dan suku ke 5 = 17

3. Penjualan bulan Januari sebesar 4.000 unit dan tiap bulan penjualan turun sebesar 100 unit. Berapakah :

a. Jumlah penjualan pada bulan Oktober

b. Total penjualan sampai dengan Desember

4. Diketahui Un = 3n2 + 4n, tentukan suku ke 7

12

BARISAN & DERET GEOMETRIKA

• Barisan :Un = arn-1

–Un : suku ke n

– Sn : jumlah dari n suku pertama

– a = U1 = suku pertama

– r = rasio = Un/Un-1

• Deret :

– Sn = a(rn – 1)/(r – 1) jika r > 1

– Sn = a(1 – rn)/(1 – r) jika r < 1, r ≠ 0

– Sn = a/(1 – r) jika n = ~

Sn : jumlah dari n suku pertama

13

Proses pencarian rumus Contoh : 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … “x”

a U2 U3 U4 U5 U6 U7 Un

Besarnya hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang beurutan (p)

– yaitu antara suatu suku dengan suku di depannya –adalah 2.

Suku pertama, yaitu U1 atau a, adalah 5. Selanjutnya berturut-

turut dapat dihitung:

U1 = a = 5

U2 = ap = 5 . 2 = 10

U3 = ap2 = 5. 2

2 = 20

U4 = ap3 = 5 . 2

3 = 40

.

.

.

Un = apn-1

= “x”

14

Besarnya suku ke - n adalah:

Jumlah nilai-nilainya sampai dengan suku ke - n adalah

a : besarnya suku pertama

p : hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang berurutan (pengganda)

n : banyaknya suku

Un : besarnya suku ke – n

Sn : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke – n.

Un = ap n - 1

Sn = a ( 1 - p n )

1 - p

15

KASUS

1. Carilah suku ke 3 dan jumlah dari 7 suku pertama barisan 8, 16, 32 ..

2. Carilah suku ke 10 dan jumlah dari 12 suku pertama dari barisan geometri jika suku ke 2 = 8 dan suku ke 5 = 64

3. Produksi tahun pertama sebesar 7.000 unit dan tiap tahun terjadi kenaikan 5%. Berapa :

a. Jumlah produksi tahun ke 5

b. Total produksi dalam 8 tahun pertama

Terima Kasih Mafizatun Nurhayati, SE. MM.